天津市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次階段性測(cè)試試題含解析

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次階段性測(cè)試試題留意事項(xiàng)：1、本試卷分為第1卷（選擇題）和第Ⅱ卷（解答題），試卷滿分100分，考試用時(shí)60分鐘．2、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、校區(qū)、班號(hào)等必要信息填寫在答題卡相應(yīng)位置，并在規(guī)定時(shí)間起先答題．答卷時(shí)，需將答案填寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的區(qū)域，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．祝各位考生考試順當(dāng)!第Ⅰ卷第一部分：選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.已知直線在軸上的截距是，在軸上的截距是，則直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由直線的截距式方程干脆得出答案.【詳解】直線在軸上的截距是，在軸上的截距是所以直線的方程為，即故選：A【點(diǎn)睛】本題考查直線的截距式方程，屬于基礎(chǔ)題.2.已知直線與直線相互平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)，分類探討，求得結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線：即，直線：即，滿意．當(dāng)時(shí)，直線與直線相互平行，，解得實(shí)數(shù)．綜上，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條直線平行的性質(zhì)，考查分類探討思想，屬于基礎(chǔ)題．3.已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】由直線系方程求出直線所過(guò)定點(diǎn)，再由兩點(diǎn)求斜率，求得定點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：由直線可知直線過(guò)定點(diǎn)，且斜率為，又，，如圖，，．直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則的取值范圍為．的取值范圍是：，，．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線系方程的應(yīng)用，以及兩點(diǎn)求直線的斜率，還考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．4.過(guò)點(diǎn)引直線，使到它的距離相等，則此直線方程為（）A. B.C或 D.或【答案】C【解析】【分析】設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出的值，從而求出直線方程.【詳解】由題意得直線斜率存在，設(shè)直線方程為，因?yàn)榈街本€距離相等，所以，解得：或，所以直線方程為或，整理得：或.故答案為：C5.如圖，在平行六面體中，為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，用表示出及，再借助向量減法即可得解【詳解】在平行六面體中，是平行四邊形，于是得，又，且，而為的中點(diǎn)，則，從而得，所以.故選：D6.過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程是（）A. B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】先由題意得到圓的圓心坐標(biāo)，與半徑，設(shè)所求直線方程為，依據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1，由題意，易知所求切線斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為，即，所以有，整理得，解得，或；因此，所求直線方程分別為：或，整理得或.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查求過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程，依據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可求解，屬于?？碱}型.7.已知圓C的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則的最大值是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意可得C到直線的距離小于或等于2，從而建立關(guān)于的不等式，求解即可得到答案．【詳解】圓C的方程為，整理得：，圓心為C，半徑．又直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，點(diǎn)C到直線的距離小于或等于2，，化簡(jiǎn)得：，解得，所以的最大值是．故選：D．8.已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且斜率為2的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，若為直角，則橢圓E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)題干條件得到，由勾股定理得到，，作出協(xié)助線，求出點(diǎn)P坐標(biāo)為，代入橢圓方程，求出，求出離心率.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)闉橹苯牵?，設(shè)，則，由勾股定理得：，即，解得：，所以，，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，則，由勾股定理得：，所以，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為，將代入橢圓方程中，，又，解得：，方程兩邊同時(shí)除以，得：，解得：或，因?yàn)?，所?故選：A9.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用配方化簡(jiǎn)x2+y2-2x-15=0得到圓的半徑為4，所以橢圓的長(zhǎng)軸為4，依據(jù)離心率求出c，依據(jù)勾股定理求出b得到橢圓的解析式即可．【詳解】故選A．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生會(huì)依據(jù)條件求圓標(biāo)準(zhǔn)方程，以及敏捷運(yùn)用橢圓簡(jiǎn)潔性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)力．10.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則點(diǎn)P的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)求出，再利用，求出軌跡方程，留意.【詳解】由題意得：，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得：，因?yàn)?，所以所以，因?yàn)?，所以，?故選：D第Ⅱ卷其次部分：填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.在正四面體中，是上的點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，若，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量的線性運(yùn)算再結(jié)合空間向量的基本定理即可得到答案.【詳解】如圖所示：.由空間向量基本定理得：，，.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算，同時(shí)考查空間向量的基本定理，屬于簡(jiǎn)潔題.12.光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在直線的方程為___________________.【答案】【解析】【分析】求得直線與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出直線上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程，即為反射光線所在直線的方程.【詳解】聯(lián)立，解得，則直線與直線的交點(diǎn)為.設(shè)直線上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)在直線上，則，整理得.直線的斜率為，直線與直線垂直，則，整理得.所以，，解得，即點(diǎn).所以，反射光線所在直線的斜率為，因此，反射光線所在直線的方程為，即.故答案：.【點(diǎn)睛】運(yùn)用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的求解是解題關(guān)鍵.13.已知圓C過(guò)點(diǎn)（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線：被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】【詳解】設(shè)圓心為，則圓心到直線的距離為，因?yàn)閳A截直線所得的弦長(zhǎng)，依據(jù)半弦、半徑、弦心距之間的關(guān)系有，即，所以或（舍去），半徑r=3-1=2所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為14.圓與圓的公共弦長(zhǎng)為_________．【答案】【解析】【分析】?jī)蓤A方程相減，得公共弦所在直線的方程，計(jì)算圓的圓心到公共弦所在直線的距離，再利用圓的弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】解：由圓與圓，兩圓方程相減，得公共弦所在直線的方程為，圓的圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以公共弦長(zhǎng).故答案為：.15.已知圓，直線，，則直線截圓所得弦長(zhǎng)的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】求出直線所過(guò)定點(diǎn)，推斷定點(diǎn)在圓內(nèi)，數(shù)形結(jié)合知直線截圓所得弦長(zhǎng)最小時(shí)，弦心距最大，此時(shí)，利用斜率求出參數(shù)m，即可由勾股定理求出此時(shí)的弦長(zhǎng).【詳解】直線l可化為，令，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)，易知點(diǎn)A在圓C內(nèi)，所以直線截圓所得弦長(zhǎng)最小時(shí)，弦心距最大，此時(shí)，圓，圓心，半徑為5，，又，則，解得，，直線截圓所得弦長(zhǎng)的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問題、求直線截圓所得弦長(zhǎng)，屬于中檔題.第三部分．解答題（共3小題，第16題10分，第17題10分，第18題15分，共35分）16.已知直線恒過(guò)定點(diǎn)，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求圓的方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）按重新整理直線方程，再依據(jù)兩直線交點(diǎn)確定定點(diǎn)P，（2）先求線段AP中垂線方程，再求AP中垂線方程與直線交點(diǎn)得圓心C，最終依據(jù)CA得半徑，即得圓C的方程.【詳解】（1）直線，即，所以由得,即定點(diǎn)P的坐標(biāo)，（2）因?yàn)?，AP中點(diǎn)為,所以線段AP中垂線方程：由得因此圓C的方程為【點(diǎn)睛】本題考查圓標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線過(guò)定點(diǎn)，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.17.已知三點(diǎn)．（1）求證:為等腰直角三角形；（2）若直線上存在一點(diǎn)P，使得面積與面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）證明過(guò)程見解析；（2）【解析】【分析】（1）求出，得到及，證明出結(jié)論；（2）設(shè)出，結(jié)合第一問得到只需點(diǎn)P到直線距離相等，依據(jù)點(diǎn)到直線的距離的向量公式列出方程，求出答案.【小問1詳解】由題意得：，，則，所以，且，所以為等腰直角三角形；【小問2詳解】設(shè)，由（2）得：，所以要想面積與面積相等，則只需點(diǎn)P到直線的距離相等，即，故，，，解得：，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為18.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為平行四邊形，平面ADE⊥平面CDEF，∠ADE＝60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝4，點(diǎn)G是棱CF上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)CG＝3時(shí)，求證EG∥平面ABF；（Ⅱ）求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值為，求線段CG的長(zhǎng)．【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明直線AB∥EG，從而由線線平行推證線面平行；（2）過(guò)A作DE垂線AO，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量以及直線的方向向量，從而求解線面角的正弦值；（3）由（2）中所建的直角坐標(biāo)系，依據(jù)二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值，求得G點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得CG的長(zhǎng)度.【詳解】（Ⅰ）證明：由已知得CG∥DE且CG＝DE，故四邊形CDEG為平行四邊形，∴CD∥EG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，∴AB∥EG，又EG?平面ABF，AB?平面ABF，∴EG∥平面ABF．（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A作AO⊥DE交DE于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OK∥CD交CF于點(diǎn)K由（1）知平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE，AO?平面ADE，∴AO⊥平面CDEF，∵CD⊥DE，∴OK⊥DE，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，﹣1，0），E（0，2，0），C（3，﹣1，0），F(xiàn)（3，3，0），，D（0，﹣1