新教材 人教B版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè) 第六章 平面向量初步 知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)及解題方法提煉

第六章平面向量初步

6.1平面向量及其線性運(yùn)算...................................................1

6.1.1向量的概念........................................................1

6.1.2向量的加法........................................................5

6.1.3向量的減法.......................................................10

6.1.4數(shù)乘向量.........................................................13

6.1.5向量的線性運(yùn)算...................................................16

6.2向量基本定理與向量的坐標(biāo)...............................................19

6.2.1向量基本定理.....................................................19

6.2.2直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算........................................22

6.2.3平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算..........................................24

6.3平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用................................................30

6.1平面向量及其線性運(yùn)算

6.1.1向量的概念

知識(shí)點(diǎn)

向量的定義與表示

(1)定義：既有，大小一又有方向一的量.

(2)表示方法：

①幾何表示法：用以A為始點(diǎn)，以3為終點(diǎn)作.有向線段.檢.

②字母表示法：在印刷時(shí)，通常用加粗.的斜體小寫(xiě)字母如a,b,c、…

表示向量，在書(shū)寫(xiě)時(shí)，可寫(xiě)成.帶箭頭一的小寫(xiě)字母如a,b,和….

(3)向量的模：向量的大小也稱(chēng)為向量的長(zhǎng)度或模，如a,協(xié)的模分別記作⑷，

\AB\-

思考：(1)定義中的“大小”與“方向”分別描述了向量的哪方面的特性？只

描述其中一個(gè)方面可以嗎？

(2)由向量的幾何表示方法我們?cè)撊绾螠?zhǔn)確地畫(huà)出向量？

提示:⑴向量不僅有大小，而且有方向.大小是代數(shù)特征，方向是幾何特征.看

一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素，二者缺一不可.

(2)要準(zhǔn)確畫(huà)出向量，應(yīng)先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向

量的大小確定向量的終點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)

特殊向量

(1)零向量：_始點(diǎn)一和.終點(diǎn)一相同的向量稱(chēng)為零向量,記作0.

(2)單位向量：長(zhǎng)度(或模)為」—的向量稱(chēng)為單位向量.

(3)相等向量：大小相等且方向相同的向量稱(chēng)為相等向量.向量a與

b相等，記作a=B.

(4)平行向量或共線向量：方向―桓回—或_相反—的非零向量稱(chēng)為平行向量,

也稱(chēng)為共線向量.向量。平行于上記作a〃氏規(guī)定—雯—向量平行于任何向

量.

思考：(1)0與0相同嗎？0是不是沒(méi)有方向？

(2)若則兩向量在大小與方向上有何關(guān)系？

(3)“向量平行”與“幾何中的平行”一樣嗎？

提示：(1)0與0不同，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|=0.0有方向，其

方向是任意的.

(2)若”=仇意味著|a|=|回，且a與萬(wàn)的方向相同.

(3)向量平行與幾何中的平行不同，向量平行包括基線重合的情況，故也稱(chēng)向

量共線.

題型

向量的有關(guān)概念

典例剖析

典例1給出下列命題：

(1)平行向量的方向一定相同；

(2)向量的模一定是正數(shù)；

(3)始點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

(4)若向量協(xié)與也是共線向量，則A、B、C、。四點(diǎn)必在同一直線上.

其中正確的序號(hào)是(3).

［分析］從共線向量、單位向量、相反向量等的概念及特征進(jìn)行逐一考察，

注意各自的特例對(duì)命題的影響.

［解析］(1)錯(cuò)誤.兩向量方向相同或相反都視為平行向量.(2)錯(cuò)誤.|0|=0.(3)

正確.對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動(dòng)的.(4)錯(cuò)誤.共

線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量屈，也必

須在同一直線上.故填(3).

規(guī)律方法：要充分理解與向量有關(guān)的概念，明白它們各自所表示的含義，搞

清它們之間的區(qū)別是解決與向量概念有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵.

題型

相等向量與共線向量

典例剖析

典例2如圖，四邊形A3CD是平行四邊形，四邊形A3DE是矩形.

(1)找出與向量檢相等的向量；

(2)找出與向量檢共線的向量.

［分析］(1)找與向量顯相等的向量，就是找與協(xié)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

(2)找與油共線的向量，就是找與屈方向相同或相反的向量.

［解析］(1)由四邊形A3CD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形知，血，成)

與油的長(zhǎng)度相等且方向相同，所以與向量顯相等的向量為比，ED.

(2)由題圖可知虎，ED,反:與檢方向相同，BA,CD,DE,前與檢方向相

反，所以與向量屈共線的向量有比，ED,EC,BA,CD,DE,CE.

規(guī)律方法：1.尋找相等向量的方法：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相

等的向量，再確定哪些是同向且共線的.

2.尋找共線向量的方法：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線

段，再構(gòu)造同向或反向的向量.

3.共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不

一定是相等向量.若兩向量相等，則兩向量方向相同，模相等；若兩向量共線，

則兩向量方向相同或相反.

題型

向量的表示與應(yīng)用

典例剖析

典例3(1)如圖的方格由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形并在一起組成，方格

紙中有定點(diǎn)A,點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn)，且|才a=小，畫(huà)出所有的向量公；

(2)如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=DC,N,M分別是AD,3c上的點(diǎn),

且國(guó)=疝.求證：DN=MB.

［分析］(1)根據(jù)方向與大小確定終點(diǎn)即可.

(2)利用向量相等證明四邊形ABCD,CNAM為平行四邊形，進(jìn)而得到加=而.

［解析］(1)畫(huà)出所有的向量公，如圖：

(2)因?yàn)榻?比，

所以|曲|=|灰7|,且AB〃CD,

所以四邊形ABCD是平行四邊形.

所以|應(yīng)|=|麗|,且D4〃C3.

又因?yàn)檠c畫(huà)的方向相同，

所以宓=房.

同理可證四邊形CMUf是平行四邊形，所以而/=隔.

因?yàn)閨/|=|應(yīng)|,|6=|殖|,

所以|而|=|兩，DN//MB,

即加與血的模相等且方向相同，所以加=麻.

易錯(cuò)警示

典例剖析

典例4在DABCD中，。是兩對(duì)角線AC,3。的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集S={A,B,

C,D,0},向量集合7={麗〃，NGS1,且M,N不重合，則集合T中元素

的個(gè)數(shù)為12.

［錯(cuò)解］S={A,B,C,D,O},S中任意兩點(diǎn)連成的有向線段有：AB,AC,

AD,AOiBA,BC,BD,BO；CA,CB,CD,CO；DA,DB,DC,DO］OA,

OB,OC,OD,共有20個(gè)元素.

［辨析］求解時(shí)，若忽略對(duì)相等向量的考慮.

［正解］在上面20個(gè)向量中，由平行四邊形的性質(zhì)可知(如圖)，共有8對(duì)向

量相等，即檢=病，BA=CD,AD=BC,nA=CB,Ab=OC,OA=CO,D0=

OB,OD=BO,

又集合中元素具有互異性，所以集合T中的元素共有12個(gè).

6.1.2向量的加法

知識(shí)點(diǎn)

向量加法的定義及其運(yùn)算法則

(1)向量加法的定義

定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算.

(2)向量求和的法則

已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作協(xié)=a,BC=b

作出向量公,則向量一左稱(chēng)為a與〃的和，記作a+b,

三角形法則即a+Z>=AB+BC=AC.

C

AaB

已知兩個(gè)一不共線一向量a,從作協(xié)=a,AD=b,以_

通套為鄰邊作238,

平行四邊形法則蘭

則對(duì)角線上的向量證=a+方.

(3)向量a,〃的模與a+Z>的模之間的關(guān)系：lla|一|加|_W_la+bl_W_lal+

叫

思考：(1)向量求和的三角形法則中求和的兩個(gè)向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是怎樣連接

的？和向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是怎樣的？

(2)利用向量求和的三角形法則時(shí)，若向量a,8中有零向量怎么辦？若兩向

量共線時(shí)，能否利用三角形法則求和？

(3)向量求和的平行四邊形法則中“不共線”是否多余，去掉可以嗎？

(4)平行四邊形法則中，求和的兩個(gè)向量與和向量的起點(diǎn)有什么特點(diǎn)？和向量

是怎樣產(chǎn)生的？

提示：(1)求和的兩個(gè)向量“首尾連接”，其和向量是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指

向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量.

(2)對(duì)于零向量與任一向量a,規(guī)定O+a=a+O=A.當(dāng)兩向量共線時(shí)，仍可

以使用三角形法則求和.

(3)不可以，因?yàn)槿绻麅蓚€(gè)向量共線，就無(wú)法以它們?yōu)猷忂呑鞒銎叫兴倪呅危?/p>

也不會(huì)產(chǎn)生和向量.

(4)求和的兩個(gè)向量與和向量共起點(diǎn)，和向量是以求和的兩個(gè)向量為鄰邊的平

行四邊形的對(duì)角線向量.

知識(shí)點(diǎn)

多個(gè)向量相加

為了得到有限個(gè)向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個(gè)向

量的始點(diǎn)為始點(diǎn)，最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量,就是這些向量的

和，如圖所示.

a+b+c+d+e

知識(shí)點(diǎn)

向量加法的運(yùn)算律

交換律結(jié)合律

a~\~b=b~\~a(a+5)+c=a+3+c)

思考：(a+b)+(c+d)=(a+J)+S+c)成立嗎？

提示：成立，向量的加法運(yùn)算滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的

加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行.

題型

向量的加法法則

典例剖析

典例1(1)如圖，在△ABC中，D,E分別是A3,AC上的點(diǎn)，點(diǎn)/為線

段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE//BC,AB//CF,連接CD,那么(在橫線上只填上一個(gè)

向量)：

@AB+DF=A€；②病+危=曲.

A

(2)下列說(shuō)法正確的是3^.

①若⑷=3,回=2,則匠+加21,

②若向量a,b共線,則|a+b|=|a|+M

③若|a+b|=|a|+|b|,則向量a,b共線.

(3)如圖所示，已知向量a、b、c不共線，求作向量a+b+C.

［解析］(1)如題圖，由已知得四邊形DFCS為平行四邊形，由向量加法的

運(yùn)算法則可知：

①協(xié)+痂=笳+求=公；

②病+危=病+屈=瓶

(2)①正確，當(dāng)兩向量反向時(shí)，和向量的模最小為1;②中描述的只是向量同

向時(shí)的情況，故不正確，反之正確，即③正確.

(3)a、b、c不共線中隱含著a,仇c均為非零向量，因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量

都是共線的.利用三角形法則或平行四邊形法則作圖.

解法一：(三角形法則)：如圖(1)所示，作油=a,BC=b,則公=。十方，再

作詼=c,則病=公+①=(a+》)+c,即Ab=a+b+C.

解法二：(平行四邊形法則)：:a、b、c不共線，如圖(2)所示.

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作為=a,OB=b,

以為、訪為鄰邊作。。405,

則對(duì)角線勘=a+b,再作沆=c,

以灰、歷為鄰邊作OOCED.

則無(wú)=a+HC.

規(guī)律方法：1.向量求和的注意點(diǎn)：

⑴三角形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)也適用.

(2)兩個(gè)向量的和向量仍是一個(gè)向量.

(3)平行四邊形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)不適用.

2.利用三角形法則時(shí)，要注意兩向量“首尾順次相連“，其和向量為“起

點(diǎn)指向終點(diǎn)”的向量；利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點(diǎn)”，其和向量

為共起點(diǎn)的“對(duì)角線”向量.

題型

向量加法的運(yùn)算律

典例剖析

典例2化簡(jiǎn)或計(jì)算：⑴詼+病+蕊=病.

⑵協(xié)+痂+麗+比+麗=0.

(3)2BCD中(如圖)，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0.

則①屐>+屈=施：

?CD+AC+Db=A6)；

(3)AB+Ab+CD=A￡>；

?AC+BA+DA=0.

［解析］⑴①+病+屈=港+南+詼=病+的=病.

(2)AB+DF+a)+BC+M=(AB+BC)+(CD+DF)+M=AC-bCF+M=

AF+FA=O.

⑶①Ab+檢=公，

@Cb+AC+DO=Cb+AC=Ad,

(3)AB+AD+cb=AC+cb=Ab,

(4)AC+BA+DA=DC+BA=0.

規(guī)律方法：(1)解決該類(lèi)題目要靈活應(yīng)用向量加法的運(yùn)算律和向量加法法則，

注意各向量的起、終點(diǎn)及向量起、終點(diǎn)字母排列順序，特別注意勿將0寫(xiě)成0.

(2)運(yùn)用向量加法求和時(shí)，在圖中表示“首尾相接”時(shí)，其和向量是從第一個(gè)

向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn).

題型

利用向量加法證明幾何問(wèn)題

典例剖析

典例3在DABCD的對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線及反向延長(zhǎng)線上，取點(diǎn)F,E,

使3E=D網(wǎng)如圖).用向量的方法證明：四邊形AECR也是平行四邊形.

AB

［解析］'：AE=AB+BE,FC=FD+DC.

又：筋=病，BE=FD,：.AE=FC,

即AE,RC平行且相等，

二四邊形AECR是平行四邊形.

規(guī)律方法：用向量證明幾何問(wèn)題的一般步驟：

(1)要把幾何問(wèn)題中的邊轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的向量.

⑵通過(guò)向量的運(yùn)算及其幾何意義得到向量間的關(guān)系.

易錯(cuò)警示

典例剖析

典例4如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)。，P,Q,E,F,G,H.^\OP+OQ=

(C)

H

A.OHB.OG

C.FOD.EO

［錯(cuò)解］A

［辨析］選錯(cuò)的原因是沒(méi)有認(rèn)真根據(jù)向量的二角形法則(或平行四邊形法則)

作出圖形.

［正解］以0P,。。為鄰邊作平行四邊形，如圖所示，則舁+的=血，由

而和用的模相等，方向相同，得而=用，即9+的=歷.

6.1.3向量的減法

知識(shí)點(diǎn)

相反向量

定義：如果兩個(gè)向量大小.相等一，方向—相反—,那么稱(chēng)這兩個(gè)向量是相

反向量.

性質(zhì)：

(1)對(duì)于相反向量有：a+(—d)=0.

(2)若a,萬(wàn)互為相反向量，則a=—b,a-\-b=O.

⑶零向量的相反向量仍是零向量.

思考：有人說(shuō)：相反向量即方向相反的向量，定義中“大小相等”是多余的，

對(duì)嗎？

提示：不對(duì)，相反向量要從“模”與“方向”兩個(gè)方面去理解，不是僅方向

相反，還必須大小相等.

知識(shí)點(diǎn)

向量的減法

(1)定義：平面上任意兩個(gè)向量a,b,如果向量x滿(mǎn)足=a,則稱(chēng)x

為向量a,的差，記作x=a-5.

(2)作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作以=a,OB=b,則向量a—/>=應(yīng)，

如圖所示.

a—萬(wàn)可以表示為從向量_力_的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.

(3)向量減法的三角形法則：當(dāng)向量a,方不共線時(shí)，向量a,b,a—8正好能

構(gòu)成一個(gè)三角形，因此求兩向量差的作圖方法也常稱(chēng)為向量作差的三角形法則.

(4)a—Z>=a+(-6).

思考：(1)由向量減法作圖方法，求差的兩個(gè)向量的起點(diǎn)是怎樣的？差向量的

方向如何？

(2)由向量減法的定義，你認(rèn)為向量的減法與加法有何聯(lián)系？

提示：(1)求差的兩個(gè)向量是共起點(diǎn)的，差向量連接兩向量終點(diǎn)，方向指向被

減向量.

(2)向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義，—麗=啟,

就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法.

題型

向量的減法

典例剖析

典例1(1)在△ABC中，D,E,R分別為A3,BC,CA的中點(diǎn)，則辟'一訪

等于(D)

A.FDB.FC

C.FED.RE

(2)如圖，已知向量a,b,c,求作a—C.

［解析］⑴由題意可知后一勵(lì)=統(tǒng)一用=就.

(2)如圖，以A為起點(diǎn)分別作向量協(xié)和危，使腦=a,AXJ=B.連接CS,得

向量宓，再以點(diǎn)C為起點(diǎn)作向量詼，使詼=C.連接得向量所.則向量方方

即為所求作的向量a—C.

規(guī)律方法：1.作兩向量的差的步驟

2.求兩個(gè)向量的減法的注意點(diǎn)

(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行，如a-b,可以先作一兒然后用加法a+(-

3即可.

(2)向量減法的三角形法則對(duì)共線向量也適用.

題型

向量的加減法運(yùn)算

典例剖析

典例2化簡(jiǎn)慶一防+前一油得(D)

A.ABB.AD

C.BCD.0

［解析］(1)解法一：AC-BD+CD-AB=AC-Bb+Cb+BA

=(AC+CD)+(BA-Bh)=Ab+DA=O.

解法二：MJ-BD+CD-AB=M：+DB+Cb+BA

=(AXJ+CD)+(DB+BA)=Ab+DA=O.

規(guī)律方法：向量減法運(yùn)算的常用方法

常用方法

|可以通過(guò)相反向量，把向量減法的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算

〈|運(yùn)用向量減法的三角形法則，此時(shí)要注意兩個(gè)向量要有共同的起點(diǎn)

」引入點(diǎn)。，逆用向量減法的三角形法則，將各向量起點(diǎn)統(tǒng)一

題型

向量加減運(yùn)算幾何意義的應(yīng)用

典例剖析

典例3⑴已知非零向量a"滿(mǎn)足⑷=幣+1,|例=巾一1,且|a—回=4,

則la+方的值為4.

B

DE

(2)如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，3是該平行四邊形外一點(diǎn)，且檢

=a,AC=b,AE=c,試用向量a,b,c表示向量詼，BC,BD.

［解析］如圖,令次=a,OB=b,^\\BA\=\a-b\.

以。4與為鄰邊作平行四邊形OACB,則|慶|=|a+瓦由于(市+1>+(市

-l)2=42.ik\OA\2+\OB\2=\BA\2,所以△。45是NA03為90。的直角三角形，從

而OALOB,所以平行四邊形OACB是矩形.根據(jù)矩形的對(duì)角線相等有|沆|=|就

|=4,即|a+辦|=4?

(2)因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，

所以詼=Z^=c,BC=AC-AB=b-a,

故應(yīng))=慶:+詼=8—a+C.

規(guī)律方法：1.解決用已知向量表示未知向量問(wèn)題的思路應(yīng)搞清楚圖形中的相

等向量、相反向量、平行向量以及構(gòu)成三角形三向量之間的關(guān)系，確定已知向量

與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.

2.利用向量加、減法求解或證明問(wèn)題的一般步驟：

(1)由題意作出相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，構(gòu)造有關(guān)向量.

⑵利用三角形法則和平行四邊形法則、對(duì)向量的加、減法進(jìn)行運(yùn)算.

⑶構(gòu)造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的邊、角關(guān)系解題.

易錯(cuò)警示

典例剖析

典例4寫(xiě)出下列各式成立時(shí)，向量服〃應(yīng)滿(mǎn)足的條件.

(l)\a-\-b\=\a-b\；(2)|?+Z?|=|a|+|Z,|；

(3)\a+b\=\a\~\b\-,(4)\a-b\=\a\+\b\.

［錯(cuò)解］⑴。、1垂直.

(2)a、b方向相同.

(3)a、b方向相反,且間＞向.

(4)a、b方向相反.

［辨析］忽略”叭〃中至少一個(gè)為零向量”的條件，使答案不完整.

［正解］(1)。、〃垂直或a、力中至少一個(gè)為零向量.

(2)a、方方向相同或a、8中至少一個(gè)為零向量.

(3)a、b方向相反且⑷＞步|,或8=0.

(4)a、〃方向相反，或a、8中至少一個(gè)為零向量.

6.1.4數(shù)乘向量

知識(shí)點(diǎn)

向量的數(shù)乘運(yùn)算

定義：實(shí)數(shù)7與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)乘向量，記作

AA.

規(guī)定：(1)當(dāng)7W0且aWO時(shí)，|2a|=|2||fl|,且

①當(dāng)丸＞0時(shí)，■的方向與a的方向相同一；

②當(dāng)丸＜0時(shí)，■的方向與a的方向一相反、.

(2)當(dāng)4=0或a=0時(shí)，Xa=0.

思考：(1)定義中“是一個(gè)向量”告訴了我們什么信息？

(2)若把|加=|叫|寫(xiě)成|加二加|可以嗎?為什么？

提示：(1)數(shù)乘向量的結(jié)果仍是一個(gè)向量，它既有大小又有方向.

(2)不可以，當(dāng)丸＜0時(shí)不成立.

知識(shí)點(diǎn)

向量數(shù)乘的運(yùn)算律

設(shè)九〃為實(shí)數(shù)，則癡)=(%)a：

特別地，我們有(―7)a=—0/)=〃—a).

思考：這里的條件“九〃為實(shí)數(shù)”能省略嗎？為什么？

提示：不能，數(shù)乘向量中的九〃都是實(shí)數(shù)，只有九〃都是實(shí)數(shù)時(shí)，運(yùn)算律

才成立.

知識(shí)點(diǎn)

向量共線的條件

如果存在實(shí)數(shù)九使得則

思考：“若向量則存在實(shí)數(shù)九使得8=14.”成立嗎？

提示：不成立，若a=0,b^Q,則2不存在.

題型

數(shù)乘向量的定義

典例剖析

典例1設(shè)a是非零向量，丸是非零實(shí)數(shù)，則以下結(jié)論正確的有②③.

①閆a|；

②a與A2a方向相同；

③|—2訓(xùn)=2|心間.

［分析］根據(jù)數(shù)乘向量的概念解決.

［解析］當(dāng)0〈丸VI時(shí)，瓶|<|a|,①錯(cuò)誤；②③正確.

規(guī)律方法：數(shù)乘向量與原來(lái)向量是共線的，其幾何意義就是把原來(lái)的向量沿

著它的方向或者反方向放大或縮小.

題型

數(shù)乘向量的運(yùn)算

典例剖析

典例2下列各式化簡(jiǎn)正確的是②③.

①一3X2a=-5a；

(2)^aX3X(—2)=—3a；

③一2X筋=2就；

④0X8=0.

［分析］根據(jù)向量數(shù)乘的運(yùn)算律解決.

［解析］因?yàn)橐?X2a=-6a，3”X3X(—2)=—3a,-2XAB=~2AB=2BA,

0X8=0.所以，①④錯(cuò)誤，②③正確.

規(guī)律方法：施中的實(shí)數(shù)丸稱(chēng)為向量a的系數(shù)，數(shù)乘向量運(yùn)算就是把數(shù)與向量

的系數(shù)相乘，作為新向量的系數(shù).

題型

數(shù)乘向量的應(yīng)用

典例剖析

角度1判斷向量共線

典例3已知a=2e,b=—4e,判斷a,b是否平行，求⑷：|用的值；若a

//b,說(shuō)出它們是同向還是反向.

［分析］利用數(shù)乘向量的定義解決.

［解析］因?yàn)閆>=—4e=-2(2e)=-2a,所以a〃瓦且21al=步|,即⑷：步|

=1：2.向量a,8反向.

母題探究：把本例條件改為“a=2e,8=3e,”其他條件不變，試判斷a與

方是否平行，求|a|：|臼的值；若a〃兒說(shuō)明它們是同向還是反向.

33

［解析］因?yàn)?=3e=］(2e)=］a,所以a〃方，

3

且引a|=|臼,即⑷：|例=2：3.向量a,b同向.

角度2判斷三點(diǎn)共線

典例4已知油=e,BC=~3e,判斷A,B,C三點(diǎn)是否共線，如果共線，

說(shuō)出點(diǎn)A是線段BC的幾等分點(diǎn).

［分析］利用數(shù)乘向量的定義解決.

［解析］因?yàn)椴?-3e=—3屈，所以屈〃病，

且有公共點(diǎn)5,所以A,B,C三點(diǎn)共線，又因?yàn)?0=343,且向量檢，BC

反向，如圖，所以點(diǎn)A是線段3C的三等分點(diǎn).

CAB

規(guī)律方法：數(shù)乘向量的應(yīng)用

(1)如果存在實(shí)數(shù)九使得〃=癡，則b〃4

(2)如果存在實(shí)數(shù)九使得屈=丸/，則協(xié)〃病，且A5與AC有公共點(diǎn)A,

所以A,B,C三點(diǎn)共線.

易錯(cuò)警示

典例剖析

2

-

典例5若點(diǎn)C在線段A3上，且騎=率則危=_|_協(xié)，BC=--

CnZJ_—-_5

AB.

32f3ff2f

［錯(cuò)解］55設(shè)AC=3左，則CB=2左，所以AB=5左，故危反

［辨析］解決有關(guān)數(shù)乘向量的問(wèn)題，注意向量的方向的對(duì)應(yīng)性.

［正解］因?yàn)镃在線段A3上，且赤=萬(wàn)，所以病與協(xié)方向相同，求與協(xié)方

向相反，

且器=1，AB=I所以公=河，BC=~l^.

6.1.5向量的線性運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)

向量的加法與數(shù)乘向量的混合運(yùn)算

規(guī)定：一般地，一個(gè)含有向量加法、數(shù)乘向量運(yùn)算的式子，要先算數(shù)乘向

量，再算向量加法.

運(yùn)算律：設(shè)對(duì)于實(shí)數(shù)A,〃以及向量a,b,有(l)/la+〃a=(7+〃)a.(2Wa

+/＞)=7a+/i■方.

思考：(1)向量的加法與數(shù)乘向量能進(jìn)行混合運(yùn)算的根本原因是什么？

(2)這里的條件“九〃為實(shí)數(shù)”能省略嗎？為什么？

提示：(1)向量的加法與數(shù)乘向量的結(jié)果仍是一個(gè)向量.

(2)不能，數(shù)乘向量中的九〃都是實(shí)數(shù)，只有九〃都是實(shí)數(shù)時(shí)，運(yùn)算律才成

立.

知識(shí)點(diǎn)

向量的線性運(yùn)算

向量的加、減、數(shù)乘向量以及它們的混合運(yùn)算，統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算.

題型

向量的線性運(yùn)算

典例剖析

典例1⑴化簡(jiǎn)6a-［4a-b-5(2a-3b)］+(a+lb)；

(2)把滿(mǎn)足3x—2y=a,—4x+3y=Z＞的向量x、y用a、表示出來(lái).

［分析］求解的依據(jù)是運(yùn)算律，采用與代數(shù)式的運(yùn)算相似的方法.

［解析］(1)原式=6a—(4a—10a+15萬(wàn))+a+7方=(6—4+10+l)a+(l—

15+7)6=130-75.

3x-2y=a,①

(2)由已知得＜

「4x+3y=》.②

①X3+②X2得x=3a+2Z>,

①X4+②X3,得y=4a+35.

：.x=3a+2b,y=4a+3B.

規(guī)律方法：熟練掌握和運(yùn)用運(yùn)算律(實(shí)數(shù)與向量的積滿(mǎn)足的結(jié)合律與分配律),

即當(dāng)入〃為實(shí)數(shù)時(shí),有：(D(AjU)a=A(jua)；②(7+〃)a=2a+〃a；?A(a+&)=Aa+

AB.

題型

用已知向量表示相關(guān)向量

典例剖析

典例2(1)設(shè)。，E分別是△ABC的邊A3,3C上的點(diǎn)，AD=^AB,BE=

2_1

利C.若無(wú)=力協(xié)+弱病(尢，丸2為實(shí)數(shù))，則尢+后的值為2一

(2)如圖所示，已知￡243。的邊3C,CD上的中點(diǎn)分別為K,L,且AK=ei,

AL=e29試用ei9及表示就，CD-

DL

AB

2]

[解析]⑴由已知途=防一所5=揖一/

=|(AC—AB)+^AB=—^AB+|AC,

171

所以=一工,丸工，從而丸

41o2=321+%2=5.

(2)設(shè)比=x,則麻=；x,M3=AK+KB=ei—^x,DL=^ei—^x,又Ab=x,

由45+51=戲，得

,11

x十/ei—F=e2，

42一42

解方程得工=乎2—于1,即3。=]2—于1,

」ff1-42

由AB=e\—'^x,得CD=—,ei+1e2.

規(guī)律方法：用已知向量表示未知向量的技巧

(1)由已知向量表示未知向量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以

及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律.

(2)當(dāng)直接表示較困難時(shí)，應(yīng)考慮利用方程(組)求解.

題型

向量平行、三點(diǎn)共線問(wèn)題

典例剖析

典例3如圖，在△ABC中，D,R分別是BC,AC的中點(diǎn)，AE=^AD,AB

—a,AC—B.

A

BD

(1)用a,力分別表示向量AE,BF；

(2)求證：B,E,尸三點(diǎn)共線.

［解析］⑴???助=3(超+公)=今。+小),

一2一1?

AE=^AD—+b),

*.,AF=^AC=^,

：.RF=AF~AB=-a+^B.

十

(2)由⑴知3F=一

：.BE=^BF.

二防與麗共線.

又BE,有公共點(diǎn)8,

：.B,E,R三點(diǎn)共線.

規(guī)律方法：L證向量平行，用〃=M.

2.證三點(diǎn)共線，除證明兩向量平行外還需要兩向量有公共點(diǎn).

易錯(cuò)警示

典例剖析

典例4設(shè)a,6是兩個(gè)不共線的向量，若向量ka+2b與Sa+kb的方向相

反，則k——4.

［錯(cuò)解］±4

［辨析］本題容易出現(xiàn)得到-±4的錯(cuò)誤，出錯(cuò)的原因是忽視了條件方向相

反對(duì)上取值的限制.因此由兩個(gè)向量共線求參數(shù)時(shí)要注意兩向量的方向.

［正解］因?yàn)橄蛄靠?2萬(wàn)與8a+協(xié)的方向相反，所以hz+2b=，8a+H>)n

2=Ak,

，左=—4(因?yàn)榉较蛳喾矗酝?lt;00左<0).

*=82

6.2向量基本定理與向量的坐標(biāo)

6.2.1向量基本定理

知識(shí)點(diǎn)

共線向量定理

如果0#0,且〃〃a,則存在.唯一.的實(shí)數(shù)上使得8=14.

如果A,B,C是三個(gè)不同的點(diǎn)，則它們共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)九使

得協(xié)=證.

思考：(1)定理中的條件“aWO”能否省略，為什么？

(2)這里的“唯一”的含義是什么？

提示：(1)不能.如果a=0,bWO,不存在實(shí)數(shù)九使得Z>=/L4.如果a=0,

b=0,則對(duì)任意實(shí)數(shù)人都有8=14.

(2)如果還有b=/ua,則有2=〃.

知識(shí)點(diǎn)

平面向量基本定理

(1)定理：如果平面內(nèi)的兩個(gè)向量a,b不共線，則對(duì)該平面內(nèi)的任意

一個(gè)一.向量C,一存在唯一一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使得c=xa+y5.

(2)基底：平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量a,8組成的集合｛a,方｝稱(chēng)為該平面

上向量的一組基底.

思考：(1)定理中的“不共線”能否去掉？

(2)平面內(nèi)的每一個(gè)向量都能用a,〃唯一表示嗎？

提示：(1)不能，兩個(gè)共線向量不能表示平面內(nèi)的任意向量，不能做基底.

(2)是的，在平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)確定的不共線的向量的和，且

這樣的表示是唯一的.

題型

共線向量定理的應(yīng)用

典例剖析

典例1已知向量m,n不是共線向量，a=3m+2n,b=6m—4n,c=m

+xn.

⑴判斷m8是否平行；

(2)若?！╟,求％的值.

［解析］(1)顯然a為非零向量，若a〃辦，則存在實(shí)數(shù)九使得辦=腦，即6機(jī)

—4〃=丸(3機(jī)+2〃)，

6=32,［2=2,

?e.1...<*.］./.2不存在.「.a與力不平行.

、424,［/I2,

(2Y：a//c,...存在實(shí)數(shù)廠，使得c=^.

：.?/+龍〃=?3?/+2〃)

「_1

1=3r，r=y2

二1cX=T.

［x=2r,_23

廠子

規(guī)律方法：1.利用共線向量基本定理可解決兩類(lèi)向量問(wèn)題：(1)判定向量平行

(先假設(shè)平行,用基本定理列方程,根據(jù)丸iei+〃ie2=22ei+〃2e2,其中ei,e2不共

線，列實(shí)數(shù)方程組，求解)；(2)已知向量求參數(shù).

2.判定向量平行還可用結(jié)論“當(dāng)存在實(shí)數(shù)九使得上癡時(shí)，b//a^.

3.證三點(diǎn)共線：用三點(diǎn)共線的兩個(gè)充要條件.

題型

平面向量基本定理的理解

典例剖析

典例2(1)設(shè)ei、e2是不共線向量，則下面四組向量中，能作為基底的組

數(shù)是(C)

①ei和ei+e2②ei——2e2和e2——2ei

(Dei——2e2和4e2——2ei④ei+e2和ei——ei

A.1B.2

C.3D.4

(2)如果ei、e2是平面a內(nèi)所有向量的一組基底，那么(A)

A.若實(shí)數(shù)施、丸2,使力61+丸262=0,則九=丸2=0

B.空間任一向量a可以表示為0=7161+4262,這里力、是實(shí)數(shù)

C.對(duì)實(shí)數(shù)力、丸2,久61+丸262不一定在平面Ct內(nèi)

D.對(duì)平面a中的任一向量a,使a=4iei+%2e2的實(shí)數(shù)丸1、上有無(wú)數(shù)對(duì)

［分析］(1)根據(jù)基底的構(gòu)成條件判斷.

(2)由平面向量基本定理的內(nèi)容理解判斷.

［解析］(1)③中，,.，4e2—2ei=-2(ei—2e2),...兩向量共線,其他不共線,

故選C.

(2)平面a內(nèi)任一向量都可寫(xiě)成ei與e2的線性組合形式，而不是空間內(nèi)任一

向量，故B不正確；對(duì)任意實(shí)數(shù)為、h,向量力ei+%262一定在平面a內(nèi)；而對(duì)

平面a中的任一向量a,實(shí)數(shù)儲(chǔ)、丸2是唯一的.

規(guī)律方法：對(duì)平面向量基本定理的理解

(1)在平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和，且這

樣的分解是唯一的，同一個(gè)非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向

量的分解式是唯一的，即0=叩+皿，且x=y=O.

(2)對(duì)于固定的不共線向量a,8而言，平面內(nèi)任一確定的向量的分解是唯一

的，但平面內(nèi)的基底卻不唯一，只要平面內(nèi)的兩個(gè)向量不共線，就可以作為基底，

它有無(wú)數(shù)組.

題型

用基底表示向量

典例剖析

典例3如圖所示，設(shè)N,P是△ABC三邊上的點(diǎn)，且血f=凝，CN

=1G4,AP=^AB,若AB=a,A<J=b,

試用a,b^MN,俞，的表示出來(lái).

ff—2f12

［解析］NP=AP—AN=^AB—^AC=^a—^b,

MN=CN—CM=1—^CB=——］(A3—AC)=~~^b—1(a—b)=1

PM=-MP=-(疚+柿)=|(a+b).

規(guī)律方法：平面向量基本定理的作用及注意點(diǎn)

(1)根據(jù)平面向量基本定理，任何一組基底都可以表示任意向量.用基底表示

向量，主要是利用三角形法則或平行四邊形法則，進(jìn)行向量的加減法運(yùn)算.

(2)解題時(shí)要注意適當(dāng)選擇向量所在的三角形或平行四邊形，利用已知向量表

示未知向量，或找到已知向量與未知向量的關(guān)系，用方程的觀點(diǎn)求出未知向量.

易錯(cuò)警示

典例剖析

典例4如圖，在四邊形A3CD中，AC和3。相交于點(diǎn)。，設(shè)A5=a,

AB=b,若AH=2D忑，則A0=a和力表示).

AB

［錯(cuò)解］2a+0設(shè)檢=/，則A少=7(AlT+。忑)=7(AIT+|A的=疝)

+；/1AB.

■:D、0、3三點(diǎn)共線，.'.A—^L=1,.*.2=2.

：.AO=2AD+A~B=2a+B.

［辨析］不能正確應(yīng)用直線的向量參數(shù)方程致錯(cuò).

［正解］|a+|a設(shè)檢=/，則AZ7=〃AU+D^)=7(AU+1AH)=AAT)

+1XA_B.

因?yàn)?。?、3三點(diǎn)共線，所以7+受=1，

??1?1

所以7=1，所以

6.2.2直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)

直線上向量的坐標(biāo)

給定一條直線I及這條直線上一個(gè)單位向量e,對(duì)于這條直線上的任意一個(gè)

向量a,一定存在—唯二—的實(shí)數(shù)x,使得a=xe,此時(shí)x稱(chēng)為向量a的.坐標(biāo)..

在直線上指定原點(diǎn)。，以e的方向?yàn)檎较?，如果把向量a的始點(diǎn)平移到原

點(diǎn)0,那么a的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)就是向量a的坐標(biāo).

思考：向量a的坐標(biāo)x能刻畫(huà)它的模與方向嗎？

提示：能.

⑴⑷=|xe|=|x||e|=|x|.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，a的方向與e的方向相同；當(dāng)x=0時(shí)，a是零向量；當(dāng)x<0

時(shí)，a的方向與e的方向相反.

知識(shí)點(diǎn)

直線上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系

如果直線上兩個(gè)向量a,力的坐標(biāo)分別為xi,xi.

(l)a=Z?的充要條件是xi=x2.

(2)a+Z＞的坐標(biāo)為xi+%2,a—b的坐標(biāo)為xi—%2"a的坐標(biāo)為In.

(3)設(shè)A(xi),3(x2)是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，Mx)是線段A3的中點(diǎn)，則-3=位一

X1+X2

xil,x=__2：__?

題型

求直線上的向量坐標(biāo)

典例剖析

典例1已知e是直線I上的一個(gè)單位向量，向量a與8都是直線I上的向

量，分別在下列條件下寫(xiě)出a與萬(wàn)的坐標(biāo)：

(l)a=2e,b=-3e；

(2)a=—ge,b=4e.

［解析］(l)：e的坐標(biāo)為1,又a=2e,b=-3e,

的坐標(biāo)為2,b的坐標(biāo)為一3.

(2)：e的坐標(biāo)為1,又a=—ge,b=4e,

的坐標(biāo)為一；，?的坐標(biāo)為4.

規(guī)律方法：為了求出直線上向量的坐標(biāo)，可以選擇如下兩種方法中的任何一

種：

(1)將向量用單位向量表示出來(lái).

(2)將向量的始點(diǎn)平移到原點(diǎn)，讀出終點(diǎn)的坐標(biāo).

題型

直線上向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算

典例剖析

典例2已知直線上向量a的坐標(biāo)為一3,〃的坐標(biāo)為4,求下列向量的坐

標(biāo)：

(l)a-Z＞；(2)|&；(3)—2a+35.

［解析］(l)a-b的坐標(biāo)為一3—4=一7.

(2),的坐標(biāo)為1X4=］.

(3)—2a+3辦的坐標(biāo)為(一2)X(—3)+3X4=18.

規(guī)律方法：若a,力的坐標(biāo)分別為xi,X2,則a+〃的坐標(biāo)為xi+X2,a—8的

坐標(biāo)為X\~X29Xa的坐標(biāo)為in,ua+vb的坐標(biāo)為ux\+vxi9ua~vb的坐標(biāo)為ux\

~VX2.

題型

數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式

典例剖析

典例3已知A,B,C為數(shù)軸上三點(diǎn)，且XA=—2,XB=6,試求符合下列

條件的點(diǎn)C的坐標(biāo).

(1)AC=1O；(2)|AC|=3|5C|.

［解析］(1)：AC=1O,.?/*—XA|=10,

.*.XC=XA±10,

.*.xc=-12或8.

(2)V\AC\=3\BC\,：.\XC-XA\=3\XC-XB\,

即kc+2|=3|xc~6|,

，xc+2=3(xc—6)或無(wú)c+2=—3(xc—6),.,.xc=10或4.

規(guī)律方法：注意題目中AC與證的含義不一樣，AC=\AXJ\=\XC-XA\,解題時(shí)

要注意區(qū)分，避免出錯(cuò).

易錯(cuò)警示

典例剖析

典例4若e是直線/上的一個(gè)單位向量，向量8=—5是這條直

線上的向量，則M+2回=_|_.

［錯(cuò)解］易2

［辨析］本題混淆了向量的模與向量的概念致誤.

1112

［正解］|a+2b|=磨+2*(一呼)|=|v一e|=§.

6.2.3平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)

平面向量的坐標(biāo)

(1)向量的垂直：平面上的兩個(gè)非零向量a,b,如果它們所在的直線互相垂

直，則稱(chēng)向量a,8垂直，記作—?規(guī)定零向量與任意向量都—垂直

(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底｛ei,62｝中，gile2,則稱(chēng)這組

基底為正交基底，在正交基底下向量的分解稱(chēng)為向量的正交分解.

(3)向量的坐標(biāo)：給定平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的_單位一向量ei,ei,對(duì)于平面

內(nèi)的向量如果。=加1+>62,則稱(chēng)(x,y)為向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y).

思考：(1)正交分解與平面向量基本定理有何聯(lián)系？

(2)平面中，若以ei的方向?yàn)閤軸的正方向，以e2的方向?yàn)閥軸的正方向，

則ei,e2的坐標(biāo)分別是什么？

(3)向量的坐標(biāo)就是其終點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

提示：(1)正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直時(shí)).

(2>1=(1,0),62=(0,1).

(3)不一定，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為始點(diǎn)的向量坐標(biāo)就是該向量的終點(diǎn)坐標(biāo)，如果

向量不是以坐標(biāo)原點(diǎn)為始點(diǎn)，則向量坐標(biāo)就跟終點(diǎn)坐標(biāo)不同，而對(duì)同一向量或相

等向量(向量坐標(biāo)相同)，若選擇不同的始點(diǎn)坐標(biāo)，則終點(diǎn)坐標(biāo)也不同.

知識(shí)點(diǎn)

平面上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系

若a=(xi,yi),b=(x2,/),AER,則：

(l)a+Z>=(xi+12,yi+y2),

(T)a-b=(xi-X2,yi—y2),

(3)2a=Clxi,/Ivi).

(4)向量相等的充要條件：a=bo尤i=X2且yi=y2.

(5)模長(zhǎng)公式：|a|='保+y?.

思考：(1)平面向量的加法坐標(biāo)運(yùn)算法則若寫(xiě)成“若a=(xi,yi),b=(X2,yi),

則a+b=(y\+yi,xi+%2)”可以嗎？

(2)如果〃，0是兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么〃a+仍，4a—防的坐標(biāo)如何表示？

提示：(1)不可以，兩向量的