專題06乘法公式（4個知識點9種題型2種中考考法）（解析版）

專題06乘法公式（4個知識點9種題型2種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：平方差公式知識點2：平方差公式的應(yīng)用知識點3：完全平方公式知識點4：完全平方公式的應(yīng)用【方法二】實例探索法題型1：平方差公式的特征題型2：利用平方差公式進行計算題型3：利用平方差公式進行化簡求值題型4：利用平方差公式進行綜合運算題型5：平方差公式的應(yīng)用題型6：完全平方公式的特征題型7：利用完全平方公式進行計算題型8：利用完全平方公式進行綜合運算題型9：完全平方公式的應(yīng)用【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1：平方差公式考法2：完全平方公式【方法四】成果評定法【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：平方差公式（1）平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便．知識點2：平方差公式的應(yīng)用（1）常見驗證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗證平方差公式）．（2）運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對平方差公式做出幾何解釋．知識點3：完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同．（3）應(yīng)用完全平方公式時，要注意：①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．知識點4：完全平方公式的應(yīng)用（1）運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對完全平方公式做出幾何解釋．（2）常見驗證完全平方公式的幾何圖形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關(guān)系）【方法二】實例探索法題型1：平方差公式的特征1．（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）下列各式計算中，結(jié)果正確的是（）A．（x﹣2）（2+x）＝x2﹣2 B．（x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4 C．（﹣x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2 D．（ab﹣c）（ab+c）＝a2b2﹣c2【分析】根據(jù)平方差公式的特征：（1）兩個兩項式相乘；（2）有一項相同，另一項互為相反數(shù)，可利用平方差公式計算即可．【解答】解：A、應(yīng)為（x﹣2）（2+x）＝x2﹣4，故本選項錯誤；B、（x+2）（3x﹣2）＝3x2+4x﹣4，故本選項錯誤；C、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，故本選項錯誤；D、本選項符合平方差公式的特征，并且計算正確，故本選項正確故選：D．【點評】本題考查了平方差公式，運用平方差公式計算時，關(guān)鍵要找相同項和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方．2．（2022秋?閔行區(qū)期中）下列整式乘法能用平方差公式計算的是（）A．（2a+b）（a﹣2b） B．（b﹣2a）（﹣2a﹣b） C．（2a+b）（﹣2a﹣b） D．（a﹣2b）（2b﹣a）【分析】根據(jù)平方差公式對各選項分別進行判斷．【解答】解：A、（2a+b）（a﹣2b）不能用平方差公式計算，故此選項不符合題意；B、（b﹣2a）（﹣2a﹣b）＝（2a﹣b）（2a+b）＝4a2﹣b2，故此選項符合題意；C、（2a+b）（﹣2a﹣b）＝﹣（2a+b）2，故此選項不符合題意；D、（a﹣2b）（2b﹣a）＝﹣（a﹣2b）2，故此選項不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．題型2：利用平方差公式進行計算3．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）計算：＝．【分析】先提取公因式﹣1，再利用平方差公式計算即可．【解答】解：原式＝﹣（a﹣）（a+）＝﹣（a2﹣）＝﹣a2．故答案為：﹣a2．【點評】此題考查的是平方差公式，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．4．（2022秋?長寧區(qū)校級期中）計算：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝．【分析】平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，據(jù)此計算即可．【解答】解：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝（1﹣4a2）（1+4a2）＝1﹣16a4．故答案為：1﹣16a4．【點評】本題主要考查了平方差公式，熟記公式是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022秋?黃浦區(qū)期中）計算：（2a﹣b）（b+2a）＝．【分析】根據(jù)平方差公式進行計算即可．【解答】解：原式＝（2a﹣b）（2a+b）＝（2a）2﹣b2＝4a2﹣b2，故答案為：4a2﹣b2．【點評】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．6．（2022秋?寶山區(qū)校級月考）計算：＝．【分析】根據(jù)平方差公式解答即可．【解答】解：原式＝﹣＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查了平方差公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．7．（2022秋?閔行區(qū)期中）計算：（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）×（232+1）（結(jié)果用冪的形式表示）．【分析】根據(jù)平方差公式解答即可．【解答】解：原式＝×（232+1）＝＝＝＝＝．【點評】此題考查平方差公式，關(guān)鍵是根據(jù)平方差公式解答．題型3：利用平方差公式進行化簡求值8．（2022秋?長寧區(qū)校級期中）已知x+y＝7，y＝3，求（x+1）（y+1）（x﹣1）（y﹣1）的值．【分析】先根據(jù)所給條件求出x的值，然后再利用平方差公式代值計算即可．【解答】解：∵x+y＝7，y＝3，∴x＝4，∴（x+1）（y+1）（x﹣1）（y﹣1）＝（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1）＝（x2﹣1）（y2﹣1），把x＝4，y＝3代入求值，原式＝（42﹣1）（32﹣1）＝15×8＝120，答：（x+1）（y+1）（x﹣1）（y﹣1）的值為120．【點評】本題主要考查了代數(shù)式求值，正確求出x的值，再利用平方差求解是解題的關(guān)鍵．題型4：利用平方差公式進行綜合運算9．（2022秋?浦東新區(qū)期中）計算：＝．【分析】直接利用平方差公式因式分解，再進一步找出規(guī)律計算即可．【解答】解：原式＝（1﹣）×××…×＝×…×＝＝．故答案為：．【點評】此題考查利用平方差公式因式分解，注意算式的特點，靈活計算．10．（2022秋?上海期末）計算：（x﹣2y）（x+2y）﹣x（x﹣y）．【分析】根據(jù)平方差公式和單項式乘多項式的運算法則求解即可．【解答】解：（x﹣2y）（x+2y）﹣x（x﹣y）＝x2﹣4y2﹣x2+xy＝﹣4y2+xy．【點評】本題考查了平方差公式，單項式乘多項式，熟練掌握這些運算法則是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?嘉定區(qū)期中）計算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）．【分析】根據(jù)平方差公式以及單項式乘多項式的運算法則計算即可．【解答】解：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）＝x2﹣4﹣6x2+18x＝﹣5x2+18x﹣4．【點評】本題考查了整式的混合運算，掌握相關(guān)公式與運算法則是解答本題的關(guān)鍵．要注意：平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．題型5：平方差公式的應(yīng)用12．（2021春?靜安區(qū)期末）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2【分析】第一個圖形中陰影部分的面積計算方法是邊長是a的正方形的面積減去邊長是b的小正方形的面積，等于a2﹣b2；第二個圖形陰影部分是一個長是（a+b），寬是（a﹣b）的長方形，面積是（a+b）（a﹣b）；這兩個圖形的陰影部分的面積相等．【解答】解：∵圖甲中陰影部分的面積＝a2﹣b2，圖乙中陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），而兩個圖形中陰影部分的面積相等，∴陰影部分的面積＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：C．【點評】此題主要考查了乘法的平方差公式．即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這個公式就叫做平方差公式．13．（2022秋?黃浦區(qū)期中）從邊長為a的正方形內(nèi)去掉一個邊長為b的小正方形（如圖1），然后將剩余部分剪拼成一個長方形（如圖2），上述操作能驗證的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）【分析】分別求出從邊長為a的正方形內(nèi)去掉一個邊長為b的小正方形后剩余部分的面積和拼成的矩形的面積，根據(jù)剩余部分的面積相等即可得出算式，即可選出選項【解答】解：∵從邊長為a的正方形內(nèi)去掉一個邊長為b的小正方形，剩余部分的面積是：a2﹣b2，圖2拼成的是長為a+b，寬為a﹣b的矩形，因此面積為（a+b）（a﹣b），∴根據(jù)剩余部分的面積相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：C．【點評】本題考查了平方差公式的運用，解此題的關(guān)鍵是用算式表示圖形的面積，用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，即把實際問題轉(zhuǎn)化成用數(shù)學(xué)式子表示出來．14．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）簡便運算：198×202．【分析】將原式化為（200﹣2）×（200+2），然后利用平方差公式計算即可．【解答】解：原式＝（200﹣2）×（200+2）＝2002﹣22＝40000﹣4＝39996．【點評】此題考查的是平方差公式的運用，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．15．（2022秋?閔行區(qū)期中）用乘法公式計算：50.2×49.8．【分析】根據(jù)平方差公式進行解答便可．【解答】解：50.2×49.8＝（50+0.2）×（50﹣0.2）＝502﹣0.22＝2500﹣0.04＝2499.96．【點評】本題考查了有理數(shù)乘法，平方差公式，靈活應(yīng)用平方差公式是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?長寧區(qū)校級期中）．【分析】原式把2021×2023變形為（2022+1）×（2022﹣1），運用平方差公式進行計算求解即可．【解答】解：＝＝＝＝．【點評】本題主要考查了運用平方差公式進行計算，熟練掌握平方差公式的特征是解答本題的關(guān)鍵．17．（2022秋?青浦區(qū)校級期中）用乘法公式計算：99×101．【分析】將99化為（100﹣1），將101化為（100+1），正好構(gòu)造成平方差公式，再利用公式計算即可．【解答】解：由平方差公式，得99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999．【點評】本題主要考查了平方差公式的運用，能夠正確構(gòu)造成平方差公式結(jié)構(gòu)形式是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）計算：20212﹣2020×2022．【分析】根據(jù)平方差公式解決此題．【解答】解：20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021﹣1）（2021+1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．【點評】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．19．（2022秋?閔行區(qū)期中）利用公式計算：1001×999﹣9972．【分析】將原式進行變形為（1000+1）×（1000﹣1）﹣（1000﹣3）2，再利用平方差公式和完全平方公式展開計算即可．【解答】解：（3）1001×999﹣9972＝（1000+1）×（1000﹣1）﹣（1000﹣3）2＝10002﹣1﹣10002+6000﹣9＝6000﹣10＝5990．【點評】本題考查平方差公式和完全平方公式，熟練掌握公式是解答本題的關(guān)鍵．20．（2022秋?閔行區(qū)期中）如圖，正方形ABCD與正方形CEFG的面積之差是6，求陰影部分的面積．【分析】設(shè)正方形ABCD與正方形CEFG的邊長分別為a和b，由題意得b2﹣a2＝6．再根據(jù)圖形寫出S陰的表達式，將b2﹣a2＝6整體代入計算即可．【解答】解：設(shè)正方形ABCD與正方形CEFG的邊長分別為a和b，由題意得：b2﹣a2＝6．由圖形可得：S陰＝a（b﹣a）+（b2﹣ab）＝ab﹣a2+b2﹣ab＝（b2﹣a2）＝×6＝3．故陰影部分的面積為3．【點評】本題考查了整式的乘法在幾何圖形面積計算中的應(yīng)用，根據(jù)圖形正確列出算式是解題的關(guān)鍵．題型6：完全平方公式的特征21．（2022秋?徐匯區(qū)期末）下列等式中，能成立的是（）A．（a+b）2＝a2+ab+b2 B．（a﹣3b）2＝a2﹣9b2 C．（1+a）2＝a2+2a+1 D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式求出每個式子的值，再判斷即可．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本選項錯誤；B、（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2，故本選項錯誤；C、（1+a）2＝1+2a+a2，故本選項正確；D、（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，故本選項錯誤；故選：C．【點評】本題考查了完全平方公式，平方差公式的應(yīng)用，注意：平方差公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，完全平方公式是：（a±b）2＝a2±2ab+b2．題型7：利用完全平方公式進行計算22.計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【思路點撥】此題都可以用完全平方公式計算，區(qū)別在于是選“和”還是“差”的完全平方公式.【答案與解析】解：(1)．(2)．(3)．(4)．【總結(jié)升華】(1)在運用完全平方公式時要注意運用以下規(guī)律：當(dāng)所給的二項式符號相同時，結(jié)果中三項的符號都為正，當(dāng)所給的二項式符號相反時，結(jié)果中兩平方項為正，乘積項的符號為負．(2)注意之間的轉(zhuǎn)化．題型8：利用完全平方公式進行綜合運算23．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）計算：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2．【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式，完全平方公式計算，再合并同類項，即可求解．【解答】解：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2＝4x2﹣3x+8x﹣6﹣4x2+4x﹣1＝9x﹣7．【點評】本題主要考查了整式的混合運算，熟練掌握多項式乘以多項式法則，完全平方公式是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）計算：（a+2b）2﹣2b（a﹣b）．【分析】根據(jù)完全平方公式及整式加減法則進行計算即可得出答案．【解答】解：原式＝a2+4ab+4b2﹣2ab+2b2＝a2+2ab+6b2．【點評】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式及整式加減法則進行求解是解決本題的關(guān)鍵．25．（2022秋?黃浦區(qū)期中）計算：（x+y）2﹣2（x﹣y）（2x+y）．【分析】直接利用完全平方公式和平方差公式將原式變形進而得出答案．【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣2（2x2﹣xy﹣y2）＝x2+2xy+y2﹣4x2+2xy+2y2＝﹣3x2+4xy+3y2．【點評】此題主要考查了完全平方公式和平方差公式，掌握其公式結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．26．（2022秋?奉賢區(qū)期中）計算：（2a+b）（a﹣2b）﹣（2a﹣b）2．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣4a2+4ab﹣b2＝﹣2a2+ab﹣3b2．【點評】本題考查完全平方公式、多項式乘多項式法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．題型9：完全平方公式的應(yīng)用27．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）一個正方形的邊長為acm，若它的邊長增加5cm，則新正方形面積增加了（）cm2．A．25 B．10a C．25+5a D．25+10a【分析】完全平方公式（a+b）＝a2+2ab+b2的應(yīng)用．【解答】解：原正方形的面積＝a2（cm2）新正方形的面積＝（a+5）2＝（a2+10a+25）cm2所以增加的面積＝（10a+25）cm2．故本題選D．【點評】本題主要是考查了完全平方公式的應(yīng)用．28．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）如圖，將一張正方形紙片剪成四個面積相等的小正方形紙片，然后將其中一張小正方形紙片再剪成四個面積相等的小正方形紙片，如此剪下去，第n次剪好后，所得到的所有正方形紙片的個數(shù)是（）A．4n B．3n C．3n+1 D．2n+2【分析】通過觀察已知圖形可得：每剪一次都比上一次增加3個正方形紙片；所以可得規(guī)律為：第n次操作后共得到4+3（n﹣1）．【解答】解：分析可得：每次都比上一次增加3個．∴第n次操作后共得到4+（n﹣1）×3＝（3n+1）個．故選：C．【點評】本題考查學(xué)生通過觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力．29．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）已知a+b＝6，a2+b2＝20，則ab的值為．【分析】根據(jù)a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【解答】解：∵a+b＝6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝20，即36﹣2ab＝20，解得ab＝8．故答案為：8．【點評】本題主要考查了完全平方公式，熟記公式是解答本題的關(guān)鍵．30．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）如果一個正方形的周長為（8a+4b）（其中a＞0，b＞0），則該正方形的面積為．【分析】根據(jù)正方形的周長公式求出其邊長，再根據(jù)面積公式進行計算即可．【解答】解：一個正方形的周長為（8a+4b），所以邊長為（2a+b），所以面積為（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故答案為：4a2+4ab+b2．【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．31．（2023秋·上海浦東新·七年級?？计谥校├猛耆椒焦接嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)完全平方公式計算即可．【詳解】解：【點睛】本題考查了完全平方公式，掌握是解題的關(guān)鍵．32．（2022秋?寶山區(qū)校級月考）解方程：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5）．【分析】根據(jù)完全平方公式和多項式乘多項式的運算法則解答即可．【解答】解：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5），2（x2﹣6x+9）＝2x2﹣5x+6x﹣15，2x2﹣12x+18＝2x2+x﹣15，﹣13x＝﹣33，∴x＝．【點評】本題考查了完全平方公式和多項式乘多項式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和多項式乘多項式的運算法則．33．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）計算：（a﹣2b+c）2．【分析】原式利用完全平方公式展開即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝（a﹣2b）2+c2+2c（a﹣2b）＝a2﹣4ab+4b2+c2+2ac﹣4bc．【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．34．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）已知ab＝3，a﹣b＝4，求2a2+7ab+2b2的值．【分析】根據(jù)a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，由ab＝3，a﹣b＝4，即可算出a2+b2的值，再由2a2+7ab+2b2，可得2（a2+b2）+7ab，代入計算即可得出答案．【解答】解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝22，2a2+7ab+2b2＝2（a2+b2）+7ab＝2×22+7×3＝44+21＝65．【點評】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的變式應(yīng)用進行求解是解決本題的關(guān)鍵．35．（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）如圖是用四張相同的長方形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個關(guān)于a、b的等式．【分析】空白部分為一個正方形，找到邊長，表示出面積；也可用大正方形的面積減去4個矩形的面積表示，然后讓這兩個面積相等即可．【解答】解：空白部分為正方形，邊長為：（a﹣b），面積為：（a﹣b）2．空白部分也可以用大正方形的面積減去4個矩形的面積表示：（a+b）2﹣4ab．∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．【點評】本題考查了完全平方公式的幾何意義，用不同的方法表示相應(yīng)的面積是解題的關(guān)鍵．36．（2022秋·七年級單元測試）若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF作正方形，求陰影部分的面積．【答案】（1）5；（2）28．【分析】（1）設(shè)（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根據(jù)已知等式確定出所求即可；（2）設(shè)正方形ABCD邊長為x，進而表示出MF與DF，求出陰影部分面積即可．【詳解】解：（1）設(shè)（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）∵正方形ABCD的邊長為x，AE＝1，CF＝3，∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，∴（x﹣1）?（x﹣3）＝48，∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴陰影部分的面積＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．設(shè)（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，則（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴a＝8，b＝6，a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即陰影部分的面積是28．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，應(yīng)從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義，主要圍繞圖形面積展開分析．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1：平方差公式1．（2022?上海）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【分析】根據(jù)合并同類項法則，積的乘方的運算法則，完全平方公式以及平方差公式即可作出判斷．【解答】解：A、a2和a3不是同類項，不能合并，故本選項不符合題意；B、（ab）2＝a2b2，故本選項不符合題意；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本選項不符合題意；D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了平方差公式和完全平方公式的運用以及合并同類項法則，積的乘方的運算法則，理解公式結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵，需要熟練掌握并靈活運用．考法2：完全平方公式2．（2018?上海）計算：（a+1）2﹣a2＝．【分析】原式利用完全平方公式化簡，合并即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，故答案為：2a+1【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【方法四】成功評定法一、單選題1．（2022秋·上海靜安·七年級上海田家炳中學(xué)?？计谥校┫铝懈魇街校荒苡闷椒讲罟接嬎愕氖牵?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【分析】注意平方差公式的特征：兩個二項式相乘，其中一項相等，另一項互為相反數(shù)即可運用平方差公式．【詳解】解：，∴不能運用平方差公式．故選：D.【點睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋·上?！て吣昙壭Ｂ?lián)考期末）下列各式是完全平方式的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式的公式結(jié)構(gòu)對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A、，故本選項正確；B、應(yīng)為，故本選項錯誤；C、應(yīng)為，故本選項錯誤；D、應(yīng)為，故本選項錯誤．故選：A．【點睛】本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·上海·七年級專題練習(xí)）已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，則ab等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式將原式展開，然后二者相減得到4ab即可求解．【詳解】∵，∴，即4ab＝4，解得，ab＝1．故選：C．【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練記憶完全平方公式并可以根據(jù)條件變形是本題的關(guān)鍵．4．（2021秋·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期中）將多項式加上一個單項式后，使它能成為一個完全平方式，下列添加單項式錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出答案．【詳解】解：A.4x2+2x+1，不是完全平方式，故此選項符合題意；B.4x2+4x+1=（2x+1）2，是完全平方式，故此選項不符合題意；C.4x2-4x+1=（2x-1）2，是完全平方式，故此選項不符合題意；D.4x4+4x2+1=（2x2+1）2，是完全平方式，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練運用完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．5．（2021秋·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形后，將剩余部分通過割補拼成新的圖形.根據(jù)圖形能驗證的等式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形后的面積=a2-b2，新的圖形面積等于（a+b）（a-b），由于兩圖中陰影部分面積相等，即可得到結(jié)論．【詳解】圖中陰影部分的面積等于兩個正方形的面積之差，即為a2-b2；通過割補拼成的平行四邊形的面積為（a+b）（a-b），∵前后兩個圖形中陰影部分的面積相等，∴a2-b2=（a+b）（a-b）．故選B．【點睛】考查了利用幾何方法驗證平方差公式，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)拼接前后的面積不變得到等量關(guān)系．6．（2021秋·上?！て吣昙壠谥校┰谙铝卸囗検街校c-x-y相乘的結(jié)果為x2－y2的多項式是(

)A．x－y B．x＋y C．–x＋y D．–x－y【答案】C【分析】依據(jù)多項式乘多項式法則進行判斷即可．【詳解】解：（x-y）（-x-y）=y2-x2，故A錯誤；（-x-y）（x+y）=-x2-2xy-y2，故B錯誤；（-x+y）（-x-y）=x2-y2，故C正確；（-x-y）（-x-y）=x2+2xy+y2，故D錯誤．故選：C．【點睛】本題主要考查的是多項式乘多項式和平方差公式，熟練掌握多項式乘多項式法則以及平方差公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022秋·上海·七年級校聯(lián)考期末）若是一個完全平方式，則．【答案】【分析】根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)特征解決此題．【詳解】解：．∵是一個完全平方式，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查完全平方式，熟知完全平方式的結(jié)構(gòu)是解答的關(guān)鍵．8．（2020秋·上海浦東新·七年級?？计谥校⒍囗検奖硎境傻男问剑敬鸢浮俊痉治觥繉⒃阶冃螢榧纯傻贸鼋Y(jié)果．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了整式混合運算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．9．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┤鐖D（1），是一個長為，寬為的矩形，用剪刀沿矩形的兩條對稱軸剪開，把它分成四個全等的小矩形，然后按圖（2）拼成一個新的正方形，則中間空白部分的面積為．【答案】【分析】先求出正方形的邊長，繼而得出面積，然后根據(jù)空白部分的面積正方形的面積矩形的面積即可得出答案．【詳解】解：由題意可得，正方形的邊長為，故正方形的面積為，又原矩形的面積為，中間空的部分的面積．故答案為：．【點睛】此題考查了完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是求出正方形的邊長．10．（2022秋·上海靜安·七年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谥校┯嬎悖骸敬鸢浮俊痉治觥坷闷椒讲罟竭M行求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解題的關(guān)鍵：．11．（2022秋·上海靜安·七年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谥校┤绻稳検绞峭耆椒绞?，那么常數(shù)【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式的構(gòu)成即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵二次三項式是完全平方式，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了完全平方式，熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵：．12．（2020秋·上海閔行·七年級上海市民辦文綺中學(xué)?？计谥校┮阎?，則．【答案】【分析】先把原等式化成兩個完全平方式的和，根據(jù)完全平方式的非負性求出的值，再代入求值即可．【詳解】解：，，，，，，故答案為：【點睛】本題考查了完全平方式的定義及性質(zhì)，乘方運算，本題的關(guān)鍵是根據(jù)完全平方式的非負性求出的值．13．（2022秋·上海青浦·七年級校考期中）計算：．【答案】/【分析】根據(jù)平方差公式進行計算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．14．（2022秋·上海寶山·七年級校考期中）已知：，則．【答案】【分析】將方程兩邊同時除以字母x，把整式方程化為分式方程，再結(jié)合完全平方公式及其變式即可求解．【詳解】解：將方程兩邊同時除以字母x得：，故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式及其變式，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．（2022秋·上海嘉定·七年級統(tǒng)考期中）若是一個完全平方式，則實數(shù)的值為【答案】/或8/8或【分析】根據(jù)完全平方式的一般形式求解即可．【詳解】解：是一個完全平方式，，,故答案為：．【點睛】本題考查完全平方式，熟記完全平方式的一般形式是解答的關(guān)鍵．16．（2020秋·上海嘉定·七年級統(tǒng)考期末）計算：.【答案】【分析】根據(jù)平方差公式計算即可.【詳解】；故答案為.【點睛】本題考查了整式的乘法解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式.17．（2022秋·上海浦東新·七年級?？计谥校┮阎?，那么．【答案】17【分析】對已知等式變形，然后利用平方差公式計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：17．【點睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，掌握是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┤绻稳検绞峭耆椒绞剑敲闯?shù)a的值為．【答案】【分析】根據(jù)完全平方式的特征進行計算即可．【詳解】解：根據(jù)完全平方式的特征，可知：，故答案為：．【點睛】本題考查完全平方式的相關(guān)知識．形如：或的式子稱為完全平方式．本題屬于易錯知識點，熟練掌握完全平方式的特征是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2022秋·上海靜安·七年級上海市市西中學(xué)?？计谥校┖啽氵\算：．【答案】【分析】利用平方差公式計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了平方差公式，牢記平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·上海靜安·七年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥肯雀鶕?jù)多項式乘以多項式和完全平方公式的計算法則去括號，然后合并同類項即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了多項式乘以多項式，完全平方公式，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．21．（2021秋·上海·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】兩次用平方差公式即可算得答案．【詳解】【點睛】本題考查整式的運算，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式．22．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥堪芽醋饕粋€整體，再運用平方差公式進行計算即可求解.【詳解】解：【點睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記平方差公式和完全平方公式．23．（2020秋·上海浦東新·七年級?？计谥校┤粢?guī)定：．計算：，其中．【答案】，．【分析】按照新規(guī)定列式，利用乘法公式去括號，整理，再代入數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了整式的混合運算—化簡求值，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．24．（2020秋·上海浦東新·七年級?？茧A段練習(xí)）圖a是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖b的形狀拼成一個正方形．(1)你認為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于(2)請用兩種不同的方法求圖b中陰影部分的面積方法1：方法2：(3)觀察圖b，你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：，，．(4)根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若，則．【答案】(1)(2)，(3)(4)29【分析】（1）利用小長方形的長減去寬即可得；（2）方法1：根據(jù)陰影部分的面積等于大正方形的面積減去四個小長方形的面積；方法2：直接利用正方形的面積公式即可得；（3）根據(jù)（2）中兩種方法所求的面積相等即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)（3）中的等量關(guān)系，代入計算即可得．【詳解】（1）解：由圖可知，陰影部分的正方形的邊長等于，故答案為：．（2）解：方法1：陰影部分的面積等于大正方形的面積減去四個小長方形的面積，則陰影部分的面積等于，方法2：陰影部分的面積等于小正方形的面積，則陰影部分的面積等于，故答案為：，．（3）解：由（2）可知，．（4）解：，，故答案為：29．【點睛】本題主要考查了完全平方公式與幾何圖形，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．25．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）工廠接到訂單