第七章　§7.2　球的切、接問題-2025高中數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版

§7.2球的切、接問題重點(diǎn)解讀與球的切、接問題是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計(jì)算能力．其關(guān)鍵點(diǎn)是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問題轉(zhuǎn)化為平面問題或特殊幾何體來解決或轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的切、接問題來解決．一、正方體與球1．內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2R＝正方體棱長a.2．棱切球：棱切球直徑2R＝正方體的面對角線長eq\r(2)a.3．外接球：外接球直徑2R＝正方體體對角線長eq\r(3)a.二、長方體與球外接球：外接球直徑2R＝體對角線長eq\r(a2＋b2＋c2)(a，b，c分別為長方體的長、寬、高)．三、正棱錐與球1．內(nèi)切球：V正棱錐＝eq\f(1,3)S表·r＝eq\f(1,3)S底·h(等體積法)，r是內(nèi)切球半徑，h為正棱錐的高．2．外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱錐外接球半徑為R，高為h)．四、正四面體的外接球、內(nèi)切球若正四面體的棱長為a，高為h，正四面體的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則h＝eq\f(\r(6),3)a，R＝eq\f(\r(6),4)a，r＝eq\f(\r(6),12)a，R∶r＝3∶1.五、正三棱柱的外接球球心到正三棱柱兩底面的距離相等，正三棱柱兩底面中心連線的中點(diǎn)為其外接球球心．R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h柱,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)AD))2.六、圓柱的外接球R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋r2)(R是圓柱外接球的半徑，h是圓柱的高，r是圓柱底面圓的半徑)．七、圓錐的外接球R2＝(h－R)2＋r2(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑)．題型一外接球命題點(diǎn)1定義法例1(1)(2023·茂名模擬)已知菱形ABCD的各邊長為2，∠B＝60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點(diǎn)B為P，連接PD，得到三棱錐P－ACD，如圖所示，當(dāng)三棱錐P－ACD的表面積最大時(shí)，三棱錐P－ACD的外接球體積為()A.eq\f(5\r(2)π,3) B.eq\f(4\r(3)π,3)C．2eq\r(3)π D.eq\f(8\r(2)π,3)答案D解析由題意可得，△ACD，△ACP均為邊長為2的等邊三角形，△PAD，△PCD為全等的等腰三角形，則三棱錐P－ACD的表面積S＝2S△ACD＋2S△PCD＝2×eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＋2×eq\f(1,2)×2×2sin∠PCD＝2eq\r(3)＋4sin∠PCD≤2eq\r(3)＋4，當(dāng)且僅當(dāng)sin∠PCD＝1，即PC⊥CD時(shí)，三棱錐P－ACD的表面積取最大值，此時(shí)△PAD，△PCD為直角三角形，PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝2eq\r(2)，取PD的中點(diǎn)O，連接OA，OC，由直角三角形的性質(zhì)可得OA＝OC＝OD＝OP＝eq\r(2)，即三棱錐P－ACD的外接球的球心為O，半徑R＝eq\r(2)，故外接球體積V＝eq\f(4,3)π×(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3).(2)(2023·韶關(guān)模擬)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若AA1＝AC＝2，AB⊥BC，則此球的體積為________．答案eq\f(8\r(2),3)π解析設(shè)△ABC的外接圓的圓心為D，半徑為r，球的半徑為R，球心為O，底面△ABC為直角三角形，故其外接圓圓心D在斜邊中點(diǎn)處，則r＝1，又OD＝eq\f(1,2)AA1＝1，在Rt△OCD中，R＝eq\r(r2＋12)＝eq\r(2)，V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(2),3)π.思維升華到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．跟蹤訓(xùn)練1某建筑的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛好者制作了一個(gè)實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為12cm，外層底面直徑為16cm，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為20cm的球面上，則此模型的體積為________cm3.答案912π解析由題意，設(shè)球心為O，模型內(nèi)層圓柱底面的圓心為O1，模型外層圓柱底面的圓心為O2，點(diǎn)A，B分別在圓O1，O2上，如圖，連接AO，BO，AO1，BO2，OO1，則O2在OO1上，因?yàn)锳O＝BO＝10cm，AO1＝6cm，BO2＝8cm，在Rt△AO1O中，由勾股定理得OO1＝eq\r(AO2－AO\o\al(2,1))＝8(cm)，在Rt△BO2O中，由勾股定理得OO2＝eq\r(BO2－BO\o\al(2,2))＝6(cm)，所以內(nèi)層圓柱的高h(yuǎn)1＝16cm，外層圓柱的高h(yuǎn)2＝12cm，所以此模型的體積V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,2)))2×12＋πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))2×(16－12)＝912π(cm3)．命題點(diǎn)2補(bǔ)形法例2數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一．該禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形．將長方體ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到如圖2所示的十面體ABCD－EFGH.已知AB＝AD＝2，AE＝eq\r(7)，則十面體ABCD－EFGH外接球的表面積是________．答案(11＋2eq\r(2))π解析由題中數(shù)據(jù)可知A1E2＝1＋(eq\r(2)－1)2＝4－2eq\r(2)，則AA1＝eq\r(7－4－2\r(2))＝eq\r(2)＋1，因?yàn)槭骟wABCD－EFGH是由長方體ABCD－A1B1C1D1的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到，所以長方體ABCD－A1B1C1D1的外接球就是十面體ABCD－EFGH的外接球．設(shè)十面體ABCD－EFGH外接球的半徑為R，(2R)2＝22＋22＋(eq\r(2)＋1)2，則R2＝eq\f(11＋2\r(2),4)，故十面體ABCD－EFGH外接球的表面積是4πR2＝(11＋2eq\r(2))π.思維升華(1)補(bǔ)形法的解題策略①側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解．②若直棱柱的底面有外接圓，可以補(bǔ)成圓柱求解．(2)正方體與球的切、接常用結(jié)論(正方體的棱長為a，球的半徑為R)①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a.②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a.③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(3)長方體的共頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(4)正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a(a為該正四面體的棱長)．跟蹤訓(xùn)練2在四面體S－ABC中，SA⊥平面ABC，在△ABC中，內(nèi)角B，A，C成等差數(shù)列，SA＝AC＝2，AB＝1，則該四面體的外接球的表面積為________．答案8π解析由題意，在△ABC中，內(nèi)角B，A，C成等差數(shù)列，可得2A＝B＋C，因?yàn)锳＋B＋C＝π，可得3A＝π，即A＝eq\f(π,3)，在△ABC中，由余弦定理的推論可得cosA＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2×AC×AB)＝eq\f(1,2)，即eq\f(22＋12－BC2,2×2×1)＝eq\f(1,2)，解得BC＝eq\r(3)，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC，所以該四面體的外接球與該長方體的外接球是相同的，如圖所示，根據(jù)長方體的對角線長等于其外接球的直徑，可得(2R)2＝22＋12＋(eq\r(3))2，解得R2＝2，所以該四面體的外接球的表面積為S＝4πR2＝8π.命題點(diǎn)3截面法例3(1)(2022·新高考全國Ⅱ)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100π B．128πC．144π D．192π答案A解析由題意，得正三棱臺上、下底面的外接圓的半徑分別為eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3)＝3，eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×4eq\r(3)＝4.設(shè)該棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上．設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)球心O在線段O1O2上時(shí)，R2＝32＋OOeq\o\al(2,1)＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；當(dāng)球心O不在線段O1O2上時(shí)，R2＝42＋OOeq\o\al(2,2)＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以該球的表面積為4πR2＝100π.綜上，該球的表面積為100π.(2)在平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將其沿對角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD.若四面體A′BCD的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為()A.eq\f(\r(3)π,2)B．3πC.eq\f(\r(2)π,3)D．2π答案A解析如圖，設(shè)BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).因?yàn)辄c(diǎn)F為底面Rt△BCD的外心，則三棱錐A′－BCD的外接球球心必在過點(diǎn)F且與平面BCD垂直的直線l1上．又點(diǎn)E為底面Rt△A′BD的外心，則外接球球心必在過點(diǎn)E且與平面A′BD垂直的直線l2上．所以球心為l1與l2的交點(diǎn)．又FE∥CD，CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，所以FE⊥平面A′BD.所以球心為點(diǎn)F.又A′B＝A′D＝1，所以BD＝eq\r(2)，又CD＝1，所以BC＝eq\r(3)，球半徑R＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(3),2).故V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3)π,2).思維升華與球截面有關(guān)的解題策略(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑．(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，實(shí)現(xiàn)空間問題平面化的目的．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知正四棱臺的上、下底面的頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，上、下底面正方形的外接圓半徑分別為1和2，圓臺的兩底面在球心的同側(cè)，則此正四棱臺的體積為________．答案eq\f(28\r(2)－14\r(5),3)解析由題知，正四棱臺的上、下底面的頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，取正四棱臺上底面一點(diǎn)為A，正方形中心為O1，下底面一點(diǎn)為B，正方形中心為O2，正四棱臺外接球球心為O，連接AO1，OO1，BO2，OA，OB，如圖所示，記正四棱臺高O1O2＝h，OO1＝m，在Rt△AOO1中，AO＝3，AO1＝1，OO1＝m，所以有m2＋1＝9，解得m＝2eq\r(2)，在Rt△BOO2中，BO＝3，BO2＝2，OO2＝m－h(huán)>0，所以有(m－h(huán))2＋4＝9，解得m－h(huán)＝eq\r(5)，即h＝2eq\r(2)－eq\r(5)，因?yàn)樗睦馀_上、下底面正方形的外接圓半徑分別為1和2，所以四棱臺上、下底面正方形的邊長分別為eq\r(2)和2eq\r(2)，所以S上＝2，S下＝8，h＝2eq\r(2)－eq\r(5)，故正四棱臺體積為V＝eq\f(1,3)h(S上＋S下＋eq\r(S上S下))＝eq\f(28\r(2)－14\r(5),3).(2)兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為eq\f(32π,3)，兩個(gè)圓錐的高之比為1∶3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為()A．3πB．4πC．9πD．12π答案B解析如圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)D，設(shè)圓錐AD和圓錐BD的高之比為3∶1，即AD＝3BD，設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4πR3,3)＝eq\f(32π,3)，可得R＝2，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因?yàn)镃D⊥AB，AB為球的直徑，所以△ACD∽△CBD，所以eq\f(AD,CD)＝eq\f(CD,BD)，所以CD＝eq\r(AD·BD)＝eq\r(3)，因此這兩個(gè)圓錐的體積之和為eq\f(1,3)π×CD2·(AD＋BD)＝eq\f(1,3)π×3×4＝4π.題型二內(nèi)切球例4如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一塊石材，測量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，則一個(gè)加工所得的健身手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為()A.eq\f(32π,3)，4 B.eq\f(9π,2)，3C．6π，4 D.eq\f(32π,3)，3答案D解析依題意知，當(dāng)健身手球與直三棱柱的三個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，健身手球的體積最大．易知AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10，設(shè)健身手球的半徑為R，則eq\f(1,2)×(6＋8＋10)×R＝eq\f(1,2)×6×8，解得R＝2.則健身手球的最大直徑為4.因?yàn)锳A1＝13，所以最多可加工3個(gè)健身手球．于是一個(gè)健身手球的最大體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).思維升華(1)多面體內(nèi)切球的球心與半徑的確定①內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等．②正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合．③正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合．④體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法．(2)正四面體的內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑是外接球半徑的三分之一(a為該正四面體的棱長)．跟蹤訓(xùn)練4(1)(2023·淮北模擬)半球內(nèi)放三個(gè)半徑為eq\r(3)的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是()A．1＋eq\r(3) B.eq\r(3)＋eq\r(5)C.eq\r(5)＋eq\r(7) D.eq\r(3)＋eq\r(7)答案D解析三個(gè)小球的球心O1，O2，O3構(gòu)成邊長為2eq\r(3)的正三角形，則其外接圓半徑為2.設(shè)半球的球心為O，小球O1與半球底面切于點(diǎn)A.如圖，經(jīng)過點(diǎn)O，O1，A作半球的截面，則半圓⊙O的半徑為OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于點(diǎn)B.則OA＝O1B＝2.設(shè)該半球的半徑是R，在Rt△OAO1中，由(R－eq\r(3))2＝22＋(eq\r(3))2可得R＝eq\r(3)＋eq\r(7).(2)(2024·海東模擬)在正四棱錐P－ABCD中，PA＝5，AB＝6，則該四棱錐內(nèi)切球的表面積是()A.eq\f(4π,7)B.eq\f(24π,7)C.eq\f(36π,7)D.eq\f(72π,7)答案C解析過點(diǎn)P作PO⊥平面ABCD，則O為正方形ABCD的中心，連接OA，如圖，因?yàn)锳B＝6，所以O(shè)A＝3eq\r(2)，所以O(shè)P＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(25－18)＝eq\r(7)，則四棱錐P－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×62×eq\r(7)＝12eq\r(7)，四棱錐P－ABCD的表面積S＝6×6＋eq\f(1,2)×6×eq\r(25－9)×4＝84.設(shè)四棱錐P－ABCD內(nèi)切球的半徑為r，內(nèi)切球的球心為O′，由V＝VO′－ABP＋VO′－BCP＋VO′－CDP＋VO′－ADP＋VO′－ABCD，可得V＝eq\f(1,3)Sr，即12eq\r(7)＝eq\f(1,3)×84r，解得r＝eq\f(3\r(7),7)，故四棱錐P－ABCD內(nèi)切球的表面積是4πr2＝eq\f(36π,7).課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)答案C解析由題意作圖，如圖所示，過球心O作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴BC＝5，又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，∴球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).2．已知在三棱錐P－ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，則其外接球體積為()A.eq\f(4π,3)B．4πC.eq\f(32π,3)D．4eq\r(3)π答案A解析AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(3)，設(shè)PB＝h，則由PA＝2PB，可得eq\r(3＋h2)＝2h，解得h＝1，可將三棱錐P－ABC還原成如圖所示的長方體，則三棱錐P－ABC的外接球即為長方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(12＋\r(2)2＋12)＝2，R＝1，所以其外接球的體積V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3).3．已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為eq\f(4π,3)的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是()A．6eq\r(3)B．12eq\r(3)C．18eq\r(3)D．24eq\r(3)答案C解析根據(jù)已知可得球的半徑等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形內(nèi)切圓的半徑等于1，即底面三角形的高等于3，邊長等于2eq\r(3)，所以這個(gè)三棱柱的表面積等于3×2eq\r(3)×2＋2×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝18eq\r(3).4．(2024·南昌模擬)在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合，得到三棱錐O－DEF，則該三棱錐的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r的比值為()A.2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．2eq\r(6)D.eq\r(6)答案C解析因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，所以折起后OD，OE，OF兩兩互相垂直，故該三棱錐的外接球，即以O(shè)D，OE，OF為棱的長方體的外接球．設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則OD＝2，OE＝1，OF＝1，故2R＝eq\r(OD2＋OE2＋OF2)＝eq\r(6)，則R＝eq\f(\r(6),2).設(shè)內(nèi)切球球心為I，由VO－DEF＝VD－OEF＝eq\f(1,3)·S△OEF·OD＝eq\f(1,3)，三棱錐O－DEF的表面積S＝4，VO－DEF＝VI－ODE＋VI－ODF＋VI－OEF＋VI－DEF＝eq\f(1,3)Sr，所以r＝eq\f(1,4)，則有eq\f(R,r)＝2eq\r(6).5．(2023·聊城模擬)“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為1，則該多面體外接球的體積為()A.eq\f(4π,3)B.eq\f(8\r(2)π,3)C．4πD．8π答案A解析將該多面體放入正方體中，如圖所示．由于多面體的棱長為1，所以正方體的棱長為eq\r(2)，因?yàn)樵摱嗝骟w是由棱長為eq\r(2)的正方體連接各棱中點(diǎn)所得，所以該多面體外接球的球心為正方體體對角線的中點(diǎn)，其外接球直徑等于正方體的面對角線長，即2R＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2)，所以R＝1，所以該多面體外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3).6．(2022·全國乙卷)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)O組成的圓錐體積最大．設(shè)圓錐的高為h(0<h<1)，底面半徑為r，則圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(1－h(huán)2)h，則V′＝eq\f(1,3)π(1－3h2)，令V′＝eq\f(1,3)π(1－3h2)＝0，得h＝eq\f(\r(3),3)，所以V＝eq\f(1,3)π(1－h(huán)2)h在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))上單調(diào)遞減，所以當(dāng)h＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，四棱錐的體積最大．二、多項(xiàng)選擇題7．已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，若線段MN的最小值為eq\r(3)－1，則下列說法中正確的是()A．正方體的外接球的表面積為12πB．正方體的內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)πC．正方體的棱長為2D．線段MN的最大值為2eq\r(3)答案ABC解析設(shè)正方體的棱長為a，則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半，即eq\f(\r(3),2)a；內(nèi)切球的半徑為棱長的一半，即eq\f(1,2)a.∵M(jìn)，N分別為外接球和內(nèi)切球上的動(dòng)點(diǎn)，∴MNmin＝eq\f(\r(3),2)a－eq\f(1,2)a＝eq\f(\r(3)－1,2)a＝eq\r(3)－1，解得a＝2，即正方體的棱長為2，∴正方體外接球的表面積為4π×(eq\r(3))2＝12π，內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)π，故A，B，C正確；線段MN的最大值為eq\r(3)＋1，故D錯(cuò)誤．8.傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)．如圖是一個(gè)圓柱容球，O1，O2為圓柱下、上底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1的一條直徑，若球的半徑r＝2，則()A．球與圓柱的表面積之比為1∶2B．平面DEF截得球的截面面積最小值為eq\f(16,5)πC．四面體CDEF的體積的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(32,3)))D．若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則PE＋PF的取值范圍為[2＋2eq\r(5)，4eq\r(3)]答案BCD解析由球的半徑為r，可知圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為2r，則球的表面積為4πr2，圓柱的表面積為2πr2＋2πr·2r＝6πr2，所以球與圓柱的表面積之比為2∶3，故A錯(cuò)誤；ABCD所在截面如圖所示，過點(diǎn)O作OG⊥DO1于點(diǎn)G，則由題可得OG＝eq\f(1,2)×eq\f(2×4,2\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，設(shè)點(diǎn)O到平面DEF的距離為d1，平面DEF截得球的截面圓的半徑為r1，則d1≤OG，req\o\al(2,1)＝r2－deq\o\al(2,1)＝4－deq\o\al(2,1)≥4－eq\f(4,5)＝eq\f(16,5)，所以平面DEF截得球的截面面積最小值為eq\f(16,5)π，故B正確；由題可知四面體CDEF的體積等于，點(diǎn)E到平面DCO1的距離d∈(0,2]，又＝eq\f(1,2)×4×4＝8，所以＝eq\f(2,3)×8d＝eq\f(16d,3)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(32,3)))，故C正確；由題可知點(diǎn)P在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)P在底面的射影為P′，則PP′＝2，PE＝eq\r(22＋P′E2)，PF＝eq\r(22＋P′F2)，P′E2＋P′