2025年新高考數(shù)學一輪復(fù)習-9.3-隨機事件的概率與古典概型【課件】

9.3-隨機事件的概率與古典概型?1.理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系.了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算.2.理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.3.理解概率的性質(zhì)，掌握隨機事件概率的運算法則.4.結(jié)合實例，會用頻率估計概率.CONTENTS010203/目錄

知識·逐點夯實考點·分類突破課時·過關(guān)檢測01?1.隨機事件（1）事件的相關(guān)概念

②對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn（A）隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P（A），因此可以用頻率fn（A）來估計概率P（A）.（2）概率和頻率2.事件的關(guān)系和運算（1）兩個事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系和運算含義符號表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA＝B事件的關(guān)系和運算含義符號表示并事件（和事件）A與B至少有一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件（積事件）A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥事件A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立事件A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω③不可能事件的概率P（?）＝0.（3）互斥事件的概率加法公式：如果事件A與事件B互斥，那么P（A∪B）＝

P（A）＋P（

?

?；（4）對立事件的概率：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P（B）＝

1－P（A）或P（A）＝1－P（

?

B

?

）

?.（2）概率的幾個基本性質(zhì)①概率的取值范圍：

0≤P（A）≤1

?；②必然事件的概率P（Ω）＝1；0≤P（A）≤1

P（A）＋P（B）1－P（A）或P（A）＝1－P（B）3.古典概型（1）古典概型的特征（2）古典概型的概率公式

?1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）兩個事件的和事件是指兩個事件同時發(fā)生.

（

）答案：（1）×

（2）若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件.

（

）（3）擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件.

（

）答案：（2）×

答案：（3）×2.（2022·全國甲卷）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為

（

）

3.（多選）若n（n≥3）個人站成一排，其中不是互斥事件的是

（

）A.“甲站排頭”與“乙站排頭”B.“甲站排頭”與“乙不站排尾”C.“甲站排頭”與“乙站排尾”D.“甲不站排頭”與“乙不站排尾”解析：BCD

排頭只能有一人，因此“甲站排頭”與“乙站排頭”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同時發(fā)生，因此它們都不互斥.故選B、C、D.4.李老師在某大學連續(xù)3年主講經(jīng)濟學院的高等數(shù)學，下表是李老師這門課3年來的考試成績分布：成績90分及以上80～89分70～79分60～69分50～59分50分以下人數(shù)4217224086528經(jīng)濟學院一年級的學生王小明下學期將選修李老師的高等數(shù)學課，用已有的信息估計他得以下分數(shù)的概率：（1）90分及以上的概率：

?；

答案：（1）0.07

（2）不及格（60分及以上為及格）的概率：

?.

答案：（2）0.15.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為

?.

解析：因為“抽到的不是一等品”的對立事件是“抽到的是一等品”，且P（A）＝0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率為1－0.65＝0.35.答案：0.35?

若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）.

某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.20，0.25，0.3，0.25，這四條流水線的合格率依次為0.95，0.96，0.97，0.98，從出廠產(chǎn)品中任取一件，則恰好抽到不合格的概率是

?.

解析：由結(jié)論可知：P＝0.2×（1－0.95）＋0.25×（1－0.96）＋0.3×（1－0.97）＋0.25×（1－0.98）＝0.034.答案：0.03402?隨機事件關(guān)系的判斷【例1】

（1）（多選）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，設(shè)事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，則下列結(jié)論正確的是

（

）A.A?BB.A∩B＝?C.A∪B＝“至少一次中靶”D.A與B互為對立事件解析

（1）事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，所以A，B是互斥不對立事件，所以A、D選項錯誤，B選項正確.A∪B＝“至少一次中靶”，C選項正確.答案

（1）BC

（2）（多選）將顏色分別為紅、綠、白、藍的4個小球隨機分給甲、乙、丙、丁4個人，每人一個，則下列說法正確的是

（

）A.事件“甲分得紅球”與事件“乙分得白球”是互斥不對立事件B.事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”是互斥不對立事件C.事件“甲分得綠球，乙分得藍球”的對立事件是“丙分得白球，丁分得紅球”

答案

（2）BD｜解題技法｜事件關(guān)系判斷的策略（1）判斷事件的互斥、對立關(guān)系時一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.反之互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生；（2）判斷事件的交、并關(guān)系時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析.也可類比集合的關(guān)系和運用Venn圖分析事件.?

口袋中裝有3個紅球和4個黑球，每個球編有不同的號碼，現(xiàn)從中取出3個球，則互斥而不對立的事件是

（

）A.至少有1個紅球與至少有1個黑球B.至少有1個紅球與都是黑球C.至少有1個紅球與至多有1個黑球D.恰有1個紅球與恰有2個紅球解析：D

對于A，不互斥，如取出2個紅球和1個黑球，與至少有1個黑球不是互斥事件，所以A不符合題意；對于B，至少有1個紅球與都是黑球不能同時發(fā)生，且必有其中1個發(fā)生.所以為互斥事件，且為對立事件，所以B不符合題意；對于C，不互斥.如取出2個紅球和1個黑球，與至多有1個黑球不是互斥事件，所以C不符合題意；對于D，恰有1個紅球與恰有2個紅球不能同時發(fā)生，所以為互斥事件，但不對立，如恰有3個紅球.用頻率估計概率【例2】

某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率.

｜解題技法｜1.頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.2.利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.?

（2020·全國Ⅰ卷）某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020等級ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；

乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？解：（2）由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤6525－5－75頻數(shù)40202020

由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤70300－70頻數(shù)28173421

古典概型【例3】

（1）（2022·新高考Ⅰ卷）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為

（

）

答案

（1）D

（2）（2022·全國甲卷）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為

?.

2.求樣本空間中樣本點個數(shù)的方法（1）枚舉法：適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題；（2）樹狀圖法：適用于需要分步完成的試驗結(jié)果.樹狀圖在解決求樣本點總數(shù)和事件A包含的樣本點個數(shù)的問題時直觀、方便，但畫樹狀圖時要注意按照一定的順序確定分枝，避免造成遺漏或重復(fù)；（3）排列、組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點個數(shù)時，可利用排列、組合的知識.?1.在一個不透明的容器中有6個小球，其中有4個黃球，2個紅球，它們除顏色外完全相同，如果一次隨機取出2個球，那么至少有1個紅球的概率為（

）

2.（2022·全國乙卷）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為

?.

互斥事件與對立事件的概率【例4】

某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：（1）1張獎券的中獎概率；

（2）1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.

｜解題技法｜互斥事件概率的兩種求法（1）將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率；（2）若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的和事件時分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮先求其對立事件的概率，即運用“正難則反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.?

經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：（1）至多2人排隊等候的概率；解：記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥.（1）記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P（G）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.（2）至少3人排隊等候的概率.解：（2）法一：記“至少3人排隊等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，所以P（H）＝P（D∪E∪F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.03

A.至多有1張移動卡B.恰有1張移動卡C.都不是移動卡D.至少有1張移動卡

2.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓.如圖是易經(jīng)先天八卦圖，每一卦由三根線組成（“?”表示一根陽線，“?”表示一根陰線），現(xiàn)從八卦中任取兩卦，這兩卦的陽線數(shù)目相同的概率為

（

）

3.從集合{1，2，4}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{2，4，5}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝（a，b）與向量n＝（2，－1）垂直的概率為

（

）

4.“仁、義、禮、智、信”為儒家“五常”，由孔子提出“仁、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，董仲舒擴充為“仁、義、禮、智、信”.將“仁、義、禮、智、信”排成一排，則“仁”排在第一位，且“智、信”相鄰的概率為

（

）

5.（多選）下列說法正確的是

（

）A.若事件A與B互斥，則A∪B是必然事件B.《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》是我國四大名著.若在這四大名著中，甲、乙、丙、丁分別任取一本進行閱讀，設(shè)事件E＝“甲取到《紅樓夢》”，事件F＝“乙取到《紅樓夢》”，則E與F是互斥但不對立事件C.擲一枚骰子，記錄其向上的點數(shù)，記事件A＝“向上的點數(shù)不大于5”，事件B＝“向上的點數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則B?AD.10個產(chǎn)品中有2個次品，從中抽取一個產(chǎn)品檢查其質(zhì)量，則樣本空間含有2個樣本點解析：BCD

對于A，事件A與B互斥時，A∪B不一定是必然事件，故A錯誤；對于B，事件E與F不會同時發(fā)生，所以E與F是互斥事件，但除了事件E與F之外還有事件“丙取到《紅樓夢》”“丁取到《紅樓夢》”，所以E與F不是對立事件，故E與F是互斥但不對立事件，故B正確；對于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B包含于A，故C正確；對于D，樣本空間Ω＝{正品，次品}，含有2個樣本點，故D正確.6.某城市2022年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率P其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市2022年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為

?.

7.將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率為

?；以第一次向上的點數(shù)為橫坐標x，第二次向上的點數(shù)為縱坐標y的點（x，y）在圓x2＋y2＝15的內(nèi)部的概率為

?.

8.從（3x＋1）5的展開式各項的系數(shù)中任取兩個，其和為奇數(shù)的概率是

?.

9.在二行四列的方格棋盤上沿骰子的某條棱翻動骰子（相對面上分別標有1點和6點，2點和5點，3點和4點）.開始時，骰子如圖（1）那樣擺放，朝上的點數(shù)是2，最后翻動到如圖（2）所示位置.現(xiàn)要求翻動次數(shù)最少，則最后骰子朝上的點數(shù)為1的概率為

?.

10.隨機抽取一個年份，對某市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨（1）在4月份任取一天，估計該市在該天不下