浙江專用2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷專題04一元函數(shù)的導數(shù)及其應用難點新人教A版

專題04一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（難點）一、單選題1．已知直線與是曲線的兩條切線，則（

）A． B． C．4 D．無法確定【答案】A【分析】依據(jù)題意，明顯地，切線必過，進而利用切線方程的公式，分別計算出，可得答案.【解析】解：由已知得，曲線的切線過，時，曲線為，設，直線在曲線上的切點為，，切線：，又切線過，∴，，同理取，曲線為，設，直線在曲線上的切點為，，切線：，又切線過，，∴，故選：A2．已知直線與曲線，分別交于點，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．e【答案】B【分析】設與直線垂直，且與相切的直線為，切點為，設與直線垂直，且與相切的直線為，切點為，進而依據(jù)導數(shù)的幾何意義求得坐標得，即可得直線與直線重合時最小，再求距離即可.【解析】解：設與直線垂直，且與相切的直線為，設與直線垂直，且與相切的直線為，所以，，設直線與的切點為，因為，所以，解得，，即，設直線與的切點為，因為，所以，解得，，即，此時，所以，當直線與直線重合時，最小，最小值為.故選：B3．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)已知條件構造函數(shù)，再利用導數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關系及偶函數(shù)的定義，結合函數(shù)的單調(diào)性及一元一次不等式的解法即可求解.【解析】已知，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又因為偶函數(shù)，所以，所以，，所以不等式等價于，則，解得，所以不等式的解集為故選：A.4．已知函數(shù)，，曲線的圖象上不存在點P，使得點P在曲線下方，則符合條件的實數(shù)a的取值的集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得恒成立，分類探討，可得，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)可得，即得.【解析】由題可得恒成立，令，則，當時，單調(diào)遞增，函數(shù)的值域為R，不合題意，當時，，不合題意，當時，，由在上單調(diào)遞增，存在，使，即，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，設，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即所以，即.故選：A.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分別常數(shù)，即將問題轉化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.5．設函數(shù)，的最小值為，則的最大值為（

）A． B．0 C．1 D．【答案】C【分析】對分類探討求出，再分類探討求出的最大值.【解析】設，不妨設，所以，所以，所以，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.所以.當時，，所以，所以所以在單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞增，所以.所以的最大值為1.當時，，在單調(diào)遞減，沒有最大值，所以的最大值為1.故選：C【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵有兩個，其一是分類探討求出，其二是分類探討求出的最大值.6．已知函數(shù)，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若關于x的方程恰有三個不同的零點，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)解析式探討、的函數(shù)性質(zhì)，由零點個數(shù)知與的交點橫坐標一個在上，另一個在上，數(shù)形結合可得，且，，進而可得代入目標式，再構造函數(shù)探討最值即可得解.【解析】由解析式，在上單調(diào)遞增且值域為，在上單調(diào)遞增且值域為，函數(shù)圖象如下：所以，的值域在上隨意函數(shù)值都有兩個x值與之對應，值域在上隨意函數(shù)值都有一個x值與之對應，要使恰有三個不同的零點，則與的交點橫坐標一個在上，另一個在上，由開口向下且對稱軸為，由上圖知：，此時且，，結合圖象及有，，則，所以，且，令且，則，當時，遞增；當時，遞減；所以，故最大值為.故選：A【點睛】關鍵點點睛：依據(jù)已知函數(shù)的性質(zhì)推斷與的交點橫坐標的范圍，進而得到與的關系，代入目標式并構造函數(shù)探討最值.7．設函數(shù)，若曲線上存在點，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明.令函數(shù)，化為.令，利用導數(shù)探討其單調(diào)性即可得出.【解析】解：，當時，取得最大值，當時，取得最小值，即函數(shù)的取值范圍為，，若上存在點，使得成立，則，.又在定義域上單調(diào)遞增.所以假設，則（c），不滿意.同理假設，也不滿意.綜上可得：.，.函數(shù)，的定義域為，等價為，在，上有解即平方得，則，設，則，由得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即當時，函數(shù)取得微小值，即（1），當時，（e），則.則.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的應用、利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理實力與計算實力，屬于難題.8．對于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，恒有，則稱數(shù)列有界；若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列無界，已知數(shù)列滿意：，，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，則下列結論正確的是（

）A．當時，數(shù)列有界 B．當時，數(shù)列有界C．當時，數(shù)列有界 D．當時，數(shù)列有界【答案】B【分析】當時，構造新函數(shù)，利用導數(shù)推斷其單調(diào)性，進而得出，由此推斷A;構造函數(shù)，推斷其單調(diào)性，推出，進而得到，從而說明，推斷B;當時，說明成立，從而推斷C,D.【解析】當時，令，則，當時，，故，因為，則，所以，（這是因為），令，則，故時單調(diào)遞增函數(shù)，故，則，假設，則，故由歸納法可得成立，所以，故數(shù)列無界，故A錯；又由，設則，故遞減，則，所以，則，則，故，則，故，即當時，數(shù)列有界，故B正確當時，，由，，假設，則，即成立，所以此時都無界，故C,D錯誤；【點睛】本題給定數(shù)列的新定義，要求能依據(jù)定義去推斷數(shù)列是否符合要求，其中涉及到構造函數(shù)，并推斷函數(shù)的單調(diào)性等問題，較為困難，比較困難.二、多選題9．關于切線，下列結論正確的是（

）A．與曲線和圓都相切的直線l的方程為B．已知直線與拋物線相切，則a等于C．過點且與曲線相切的直線l的方程為D．曲線在點處的切線方程為．【答案】ABD【分析】對A，由導數(shù)法求出曲線在切點處的切線方程，再由直線與圓相切與圓心到直線距離的關系列式即可求；對B，直線與拋物線相切，即兩方程聯(lián)立有唯一解；對C，點不在曲線上，設切點坐標為，結合導數(shù)法建立方程組求出切點坐標，即可進一步求出切線方程；對D，由導數(shù)法干脆求切線方程即可.【解析】對A，設直線l與曲線相切于點，則由知曲線在點P處的切線方程為，即直線l的方程為．由直線l與圓相切得，解得.故直線l的方程為．A正確；對B，由消去y得，所以解得．B正確；對C，因為點不在曲線上，所以設切點坐標為.又因為，所以解得所以切點坐標為，所以，所以直線l的方程為，即．C錯誤；D中，，所以，所以切線方程為，即．D正確．故選：ABD10．已知函數(shù)，下列說法不正確的是（

）A．當時，函數(shù)僅有一個零點B．對于，函數(shù)都存在極值點C．當時，函數(shù)不存在極值點D．，使函數(shù)都存在3個極值點【答案】ABD【分析】由時，即可推斷A選項；當時，求導確定函數(shù)的單調(diào)性即可推斷C選項；由C選項即可推斷B選項；由的零點個數(shù)即可推斷D選項.【解析】，，令，則，對于A，當時，，函數(shù)無零點，則A錯誤；對于C，當時，，，，，當時，，即單增，當時，，即單減，則，即函數(shù)單增，不存在極值點，C正確；對于B，由C選項知錯誤；對于D，假設，使函數(shù)都存在3個極值點，即存在3個變號零點，又由上知，當時，，即單增，最多只有1個零點；當時，當時，，即單增，當時，，即單減，最多只有2個零點，和存在3個變號零點沖突，則不存在，使函數(shù)都存在3個極值點，D錯誤.故選：ABD.【點睛】解決極值點問題，關鍵在于求導后由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，對于導數(shù)的正負不好干脆確定的，可以通過構造函數(shù)，再次求導，進而確定導數(shù)的正負，使問題得到解決.11．已知函數(shù)（），則下列命題正確的是（

）A．在上是單調(diào)遞增函數(shù) B．對隨意，都有C．對隨意，都有 D．【答案】ACD【分析】利用函數(shù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系可推斷A，利用特值可推斷B，利用函數(shù)的單調(diào)性可推斷CD.【解析】對于A，，記，則，故當時，，那么，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，因為對于，，當時，，，所以當時，，由A知，即，故C正確；對于D，，即，等價于，此式成立，故D正確：故選：ACD.12．已知，，則下列結論正確的是（

）A．函數(shù)在上的最大值為3 B．C．函數(shù)的極值點有2個 D．函數(shù)存在唯一零點【答案】ABC【分析】A：利用導數(shù)探討f(x)在上的單調(diào)性，從而可求其最大值；B：求出f(x)的最小值，推斷最小值的范圍即可；C：利用導數(shù)探討g(x)的導數(shù)的零點狀況即可推斷g(x)的極值點個數(shù)；D：由g(x)在上的單調(diào)性并推斷其值域即可推斷零點狀況．【解析】對于A，，令，則，故在上單調(diào)遞增，∴，在上單調(diào)遞增，∴，故A正確；對于B，由選項A知，在上單調(diào)遞增．∵，，∴存在，使得，即，則，∴當時，，，單調(diào)遞減；當時，，，單調(diào)遞增；∴，故B正確；對于C，，定義域為，，令，則．令，，則，∴在上單調(diào)遞減．又，，∴存在，使得，即，∴當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；故．又，，∴有兩個零點，∴有兩個極值點，故C正確；對于D，由選項C知當時，，∴當時，，于是在上單調(diào)遞減，∴當，，∴在上沒有零點，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題13．設點P在曲線上，點Q在曲線上，則|PQ|的最小值為_____.【答案】【分析】令、，易知分別由已知函數(shù)向上平移一個單位得到且互為反函數(shù)，即關于，所以僅需P、Q關于對稱且兩點處切線平行于時|PQ|的最小，利用導數(shù)的幾何意義求點坐標，結合點線距離公式及對稱性即可求最小值.【解析】令、分別向上平移一個單位可得、，而與關于對稱，∴當兩條曲線在P、Q處的切線均與平行時，P、Q關于對稱，|PQ|有最小，對應曲線平移到、后，P、Q關于對稱即可，∴令，則，∴有，則，即，∴到的距離，∴.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：令、有原函數(shù)由它們經(jīng)過同樣的平移得到，且、關于對稱，即當P、Q在、上的對應點關于對稱且切線與平行時|PQ|最小.14．已知函數(shù)的圖象關于點中心對稱，若，，使得，則的最大值是______．【答案】##【分析】結合的對稱性、單調(diào)性以及導數(shù)求得正確答案.【解析】關于點中心對稱，所以，，所以，解得，，，令解得，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以的極大值是，微小值是，依題意，，使得，所以是的單調(diào)遞減區(qū)間，所以的最大值是.故答案為：【點睛】本題的關鍵點有兩點，一個是依據(jù)的對稱中心求得的值，另一個是函數(shù)單調(diào)性的“定義”的變型“，，使得”，這個條件給出的是的單調(diào)性.15．已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最大值為___________.【答案】【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)、的單調(diào)性，結合已知條件可得出，變形后可得出，故，構造函數(shù)，其中，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，即可得解.【解析】因為，其中，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，且當時，，當時，.因為，其中，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，且當時，，當時，.因為存在，，使得成立，則，，因為，由題意，所以，，則，所以，，故，其中，構造函數(shù)，其中，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，因此，.故答案為：.16．已知定義域為R的奇函數(shù)滿意：，若方程在上恰有三個根，則實數(shù)k的取值范圍是________．【答案】【分析】由題可知直線與函數(shù)的圖像有三個交點，利用導數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結合思想能求出實數(shù)的取值范圍．【解析】定義為的奇函數(shù)滿意：，方程在上恰有三個根，即直線與函數(shù)的圖像有三個交點，由是上的奇函數(shù)，則，當時，，則，當時，，當時，，在上遞減，在上遞增，結合奇函數(shù)的對稱性和“周期現(xiàn)象”得在，上的圖像如下：由于直線過定點，如圖，連接，兩點作直線，過點作的切線，設切點，，其中，，則斜率，切線過點，則，即，則，當直線繞點在與之間旋轉時，直線與函數(shù)在，上的圖像有三個交點，故．故答案為：四、解答題17．已知函數(shù)．(1)探討在上的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案不唯一，詳細見解析(2)【分析】（1）依據(jù)函數(shù)求解導數(shù)，故依據(jù)，確定導函數(shù)正負區(qū)間，得函數(shù)到單調(diào)性；（2）依據(jù)不等式，參變分別得恒成立，故可構造函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性求最小值，則求得的取值范圍．【解析】（1）解：因為，，所以．當時，由，得；由，得．則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當時，由，得；由，得．則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）解：不等式恒成立，即不等式恒成立，即等價于恒成立．設，則．設，則．設，則．由，得，所以在上單調(diào)遞增，則，即，故在上單調(diào)遞增．因為，所以在上單調(diào)遞增，則，得，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則．故，即的取值范圍是．18．已知（為自然對數(shù)的底數(shù)），(1)當時，若直線是與的公切線，求的方程；(2)若對于隨意的，都有，求實數(shù)的取數(shù)范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）分別設與，的切點，求出切線方程，進而結合公切線建立方程，再解方程得切點坐標，再求解切線方程即可；（2）由題知，進而令，求函數(shù)的最小值得，再結合單調(diào)性得，則，最終依據(jù)在上單調(diào)遞增即可得答案.（1）解：設與的切點又切線方程為：，即①設與切點為切線方程為：，即②由題知，①，②都是的方程，則有，消去得，即，解得或當時切線方程為當時切線方程為綜上，直線的方程為或.（2）解：要使，即令，易知在單調(diào)遞增，因為趨近于時趨近于，趨近于時趨近于，故必有，使，此時則當時單調(diào)遞減；當時單調(diào)遞增.故又，所以令，因為所以在單調(diào)遞減所以，要使，則又在上單調(diào)遞增所以，，即實數(shù)的取數(shù)范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)求救公共切線問題，不等式恒成立問題，考查運算求解實力，邏輯推理實力等.本題其次問解題的關鍵在于構造函數(shù)，結合函數(shù)隱零點問題，得，，再探討最小值大于等于零恒成立得，進而得的取數(shù)范圍.19．已知函數(shù)且(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)設函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的范圍．【答案】(1)(2)單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為(3)【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，干脆利用列式求解值；把代入函數(shù)解析式，再由導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求出的解析式，求其導函數(shù)，利用導函數(shù)大于等于0在上恒成立，可得在上恒成立，令，再由導數(shù)求其最大值得答案．【解析】（1）由，得，，得；（2），，當時，，當時，，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；（3），，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立，也就是在上恒成立，即.令，則，當時，，當時，，的單調(diào)減區(qū)間為，.單調(diào)增區(qū)間為，則當時，.設，由上有，得.則.，得在上的最大值為.故實數(shù)的范圍是．【點睛】關鍵點點睛：本題涉及求函數(shù)單調(diào)區(qū)間及已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍，前兩問較為基礎，要完成（3）問需留意以下兩點：（1）函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)遞增等價于其導函數(shù)在某區(qū)間大于等于0恒成立.（2）求時，為防止出錯可采納降次思想.20．已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求實數(shù)m和n的值；(2)已知，是函數(shù)的圖象上兩點，且，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先求導，由可求對應的m和n的值；（2）設，由可推斷，由得，設，，，得，代換整理得，原不等式要證，只需證，全部代換為關于的不等式得，設，，由導數(shù)得，再證，放縮得，進而得證.【解析】（1）由，得.因為函數(shù)在處的切線方程為，所以，，則；（2）證明：由（1）可得，，，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.因為，是函數(shù)的圖象上兩點，且，不妨設，且，所以.由，得，即.設，.設，則，所以，即，故.要證，只需證，即證，即證，即證，即證，即證.令，，則，證明不等式；設，則，所以當時，；當時，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，所以成立.由上還不等式可得，當時，，故恒成立，故在上為減函數(shù)，則，所以成立，即成立.綜上所述，.21．已知是函數(shù)的一個極值點．(1)求值；(2)推斷的單調(diào)性；(3)是否存在實數(shù)，使得關于的不等式的解集為?干脆寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(3)存在，【分析】（1）求導得到導函數(shù)，依據(jù)計算得到答案.（2）求導得到，依據(jù)導數(shù)的正負得到單調(diào)區(qū)間.（3）先證明，，計算得到，且，得到答案.【解析】（1），則，，解得.，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.故是函數(shù)的極大值點，滿意.（2），當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.（3），當，易知，，故.故，滿意條件.當時，設，故，故，即，當時，設，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，故.，即可以無限接近.綜上所述：.【點睛】本題考查了依據(jù)極值點求參數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等式恒成立問題，意在考查學生的計算實力，轉化實力和綜合應用實力，其中放縮的思想是解題的關鍵.22．已知函數(shù)，.(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）依據(jù)在上單調(diào)遞增，轉化為恒成立，即恒成立，構造新函數(shù)求最值即可得的取值范圍；（2）將要證，轉化為證明，結合（1）中構造的函數(shù)，分