浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page19浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題時(shí)量：120分滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，則它們的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩平行線間的距離公式求解即可，留意兩直線的一般式的要一樣.【詳解】由，得，所以與的距離為.故選：A.2.用分層抽樣的方法，從某中學(xué)3000人(其中高一年級1200人，高二年級1000人，高三年級800人)中抽取若干人.已知從高一抽取了18人，則從高二和高三年級共抽取的人數(shù)為（）A.24 B.27 C.30 D.32【答案】B【解析】【分析】由題意求出樣本容量，再利用分層抽樣的定義求解即可【詳解】解：設(shè)從三個(gè)年級中共抽取人，則，解得，則從高二和高三年級共抽取的人數(shù)為，故選：B3.已知O為空間隨意一點(diǎn)，A、B、C、P滿意隨意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則m的值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)條件推得，再由四點(diǎn)共面可求得.【詳解】因?yàn)?，所以由得，即，因?yàn)镺為空間隨意一點(diǎn)，A、B、C、P滿意隨意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，所以，故.故選：B.4.已知直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】由直線的位置關(guān)系與充分必要條件的概念求解，【詳解】令得，當(dāng)時(shí)，，重合，當(dāng)時(shí)，，故“”是“”的充要條件，故選：C5.如圖所示，在棱長為的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，所以平面的一個(gè)法向量．點(diǎn)到平面的距離為．故選：D．6.一個(gè)質(zhì)地勻稱的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事務(wù)A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事務(wù)B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.事務(wù)A與事務(wù)B互斥C.事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立 D.【答案】C【解析】【分析】利用互斥事務(wù)、相互獨(dú)立事務(wù)意義及古典概率公式逐項(xiàng)計(jì)算推斷作答.【詳解】依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個(gè)基本領(lǐng)件，則，A不正確；事務(wù)B含有的基本領(lǐng)件有8個(gè)：，其中事務(wù)發(fā)生時(shí)，事務(wù)A也發(fā)生，即事務(wù)A，B可以同時(shí)發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的全部基本領(lǐng)件有16個(gè)，，即事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立，C正確；，D不正確.故選：C7.在平行六面體中，，，，，則與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：，則，，，，，，所以，故選：D8.在正中，M為BC中點(diǎn)，P為平面內(nèi)一動點(diǎn)，且滿意，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，由求得點(diǎn)軌跡，再將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用直線斜率的幾何意義求得的范圍，進(jìn)而求得的最大值，從而的最大值可求.【詳解】依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸建立直角坐標(biāo)系如圖1，不妨設(shè)正三角形的邊長為2，則,設(shè)則，，，即，即，點(diǎn)軌跡為：，則，所以，當(dāng)時(shí),，即；當(dāng)時(shí),令,則表示與連線的斜率，如圖2，且，設(shè)直線與圓相切，直線化為，則圓心到直線距離,解得或，，故，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為，的最大值為；綜上：的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵有兩個(gè)，一個(gè)是建立直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)軌跡方程，且將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，另一個(gè)是利用直線斜率的幾何意義求得的范圍.二、選擇題：本題共小4題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知空間向量，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，依據(jù)垂直得到數(shù)量積為0，列出方程，求出，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，依據(jù)向量平行列出方程組，求出；C選項(xiàng)，依據(jù)向量運(yùn)算法則計(jì)算出，利用模長公式列出方程，求出；D選項(xiàng)，先利用向量夾角余弦公式計(jì)算出兩向量夾角的余弦，進(jìn)而計(jì)算出正弦值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，故A錯(cuò)誤；令，則，，故B正確；，所以，解得：，故C正確；當(dāng)，，因?yàn)?，，故D正確．故選：BCD10.某小組有2名男生和3名女生，從中任選2名同學(xué)去參與唱歌競賽，在下列各組事務(wù)中，是互斥事務(wù)的是（）A.恰有1名女生和恰有2名女生 B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名女生和全是女生 D.至少有1名女生和全是男生【答案】AD【解析】【分析】逐個(gè)選項(xiàng)分析事務(wù)之間是否有同時(shí)發(fā)生的可能性再推斷即可.【詳解】A中兩個(gè)事務(wù)是互斥事務(wù),恰有一名女生即選出的兩名學(xué)生中有一名男生一名女生,它與恰有2名女生不行能同時(shí)發(fā)生，A是；B中兩個(gè)事務(wù)不是互斥事務(wù),兩個(gè)事務(wù)均可能有一名男生和一名女生，B不是；C中兩個(gè)事務(wù)不是互斥事務(wù),至少一名女生包含全是女生的狀況，C不是；D中兩個(gè)事務(wù)是互斥事務(wù),至少有一名女生與全是男生明顯不行能同時(shí)發(fā)生，D是.故選：AD11.已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，可得圓心到的距離為5，得到圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為6，最小值為4，再由，可得，從而得到的取值范圍，結(jié)合選項(xiàng)得答案【詳解】解：圓的圓心，半徑為1，因?yàn)閳A心到的距離為5，所以圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為6，最小值為4，因?yàn)閳A上存在點(diǎn)，使得，所以以為直徑的圓與圓有交點(diǎn)，所以，所以，所以選項(xiàng)BC符合題意，故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為6，最小值為4，再由圓上存在點(diǎn)，使得，得以為直徑的圓與圓有交點(diǎn)，從而可求出，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題12.已知實(shí)數(shù)x，y滿意，記，則z的值可能是（）A.0 B. C. D.1【答案】BCD【解析】【分析】通過三角換元后借助于協(xié)助角公式結(jié)合已知即可求得的范圍.詳解】因?yàn)椋O(shè)故有解所以，故即所以或，易知故選：BCD【點(diǎn)睛】利用三角換元有效的削減了運(yùn)算量進(jìn)而使得問題更加清楚.對協(xié)助角公式有一個(gè)更加深化的理解，利用方程的等價(jià)轉(zhuǎn)化簡化問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線過且與圓相切，則直線的方程為_____________.【答案】或【解析】【分析】由直線與圓相切得，分類探討直線斜率存在與否兩種狀況，利用點(diǎn)線距離公式求得相應(yīng)參數(shù)，由此求得直線的方程.【詳解】依題意，得圓的圓心為，半徑為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，故，即直線與圓相切，滿意題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，此時(shí)，解得，所以直線方程為，即；綜上：直線方程為或.故答案為：或.14.如圖，大小為的二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段PM與NQ分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱l.若，，，則_____________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算可得，再依據(jù)向量所成角，結(jié)合數(shù)量積公式平方即可得解.【詳解】依據(jù)題意，，由二面角大小為，可得，，所以，故答案為：15.某電池廠有A，B兩條生產(chǎn)線制造同一型號可充電電池.現(xiàn)采納樣本量比例安排的分層隨機(jī)抽樣，從某天兩條生產(chǎn)線上的成品中隨機(jī)抽取樣本，并測量產(chǎn)品可充電次數(shù)的平均數(shù)及方差，結(jié)果如下：項(xiàng)目抽取成品數(shù)樣本平均數(shù)樣本方差A(yù)生產(chǎn)線產(chǎn)品82104B生產(chǎn)線產(chǎn)品122004則20個(gè)產(chǎn)品組成的總樣本的平均數(shù)為__________，方差為__________.【答案】①.204②.28【解析】【分析】先由平均數(shù)的定義求得，再利用方差與平均數(shù)的公式分別求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，設(shè)A生產(chǎn)線產(chǎn)品的樣本為，平均數(shù)為，B生產(chǎn)線產(chǎn)品的樣本為，平均數(shù)為，兩生產(chǎn)線的樣本為，平均數(shù)為，則，又，，所以，所以.故答案為：.16.關(guān)于x的不等式恒成立，則k的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先由題設(shè)條件求得，再將不等式轉(zhuǎn)化為上半圓上隨意一點(diǎn)到直線的距離小于或等于，結(jié)合圖像，可得，由此可得k的取值范圍.【詳解】由題意可得，得，則原不等式可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)直線，上半圓，即，半徑為，則由點(diǎn)線距離公式可知，表示上半圓上隨意一點(diǎn)到直線的距離小于或等于，且直線過定點(diǎn)，如圖，設(shè)圓心（原點(diǎn)）到直線的距離為，由于上半圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，所以，即，即，解得或，所以k的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、.（1）求AC的垂直平分線的一般式方程；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直線垂直求得垂直平分線的斜率，即可求得直線方程；（2）依據(jù)的長度以及點(diǎn)到直線的距離，即可求得三角形面積.【小問1詳解】依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，中點(diǎn)的坐標(biāo)，又，所以垂直平分線的斜率為，所以其方程為，即.【小問2詳解】依據(jù)（1）中所求可得直線的方程為：，整理得：，又點(diǎn)到直線的距離，故三角形的面積.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，E，F(xiàn)分別是AD，PB的中點(diǎn)．（1）證明：平面PCD．（2）求直線PA與平面CEF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由平行四邊形可得線線平行，進(jìn)而由線面平行的判定定理即可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法即可求解線面角.【小問1詳解】如圖，設(shè)M為PC的中點(diǎn)，連接FM，MD．因?yàn)镕，M分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以．在正方形ABCD中，，所以．所以四邊形DEFM為平行四邊形，．因?yàn)槠矫鍼CD，平面PCD，所以平面PCD．【小問2詳解】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DP所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，．設(shè)平面CEF的法向量為，則即令，則．設(shè)直線PA與平面CEF所成角為，則，故直線PA與平面CEF所成角的正弦值為．19.為進(jìn)一步增加疫情防控期間群眾的防控意識，使廣闊群眾充分了解新冠肺炎疫情防護(hù)學(xué)問，提高預(yù)防實(shí)力，做到科學(xué)防護(hù)，科學(xué)預(yù)防.某組織通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行新冠肺炎疫情防控科普學(xué)問問答.共有100人參與了這次問答，將他們的成果（滿分100分）分成，，，，，這六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值，并估計(jì)這100人問答成果的中位數(shù)和平均數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法從問答成果在內(nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本，再從樣本中隨意抽取2人，求這2人的問答成果均在內(nèi)的概率.【答案】（1），中位數(shù)為，平均數(shù)為72（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)以及中位數(shù)和平均數(shù)的概念，進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）依據(jù)分層抽樣在[60，70）內(nèi)的有人，分別記為A，B；問答成果在[70，80）內(nèi)的有人分別記為a，b，C，從中隨意抽取2人，列出試驗(yàn)的樣本空間，再利用概率公式，進(jìn)行計(jì)算即可得解.【小問1詳解】由圖可知，，解得.設(shè)中位數(shù)為x，則，所以.這100人問答成果的平均數(shù)約為.【小問2詳解】用分層隨機(jī)抽樣的方法從問答成果在[60，80）內(nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則問答成果在[60，70）內(nèi)的有人，分別記為A，B；問答成果在[70，80）內(nèi)的有人分別記為a，b，C.從中隨意抽取2人，則試驗(yàn)的樣本空間{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共有10個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事務(wù)A為2人的問答成果均在[70，80）內(nèi)的概率，則，所以這2人的間答成果均在[70，80）內(nèi)的概率.20.如圖，在三棱柱中，平面，，，且為線段的中點(diǎn)，連接，，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過證明面，即可由線面垂直證明線線垂直；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，求得兩個(gè)平面的法向量，再求兩平面夾角的余弦值即可.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以；因?yàn)?，所以；因?yàn)?，面，所以面；又因?yàn)槠矫妫?【小問2詳解】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：則，，，，，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，所以，不妨??；設(shè)平面的法向量為，則，所以，不妨取；設(shè)平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.21.已知某聞名高校今年綜合評價(jià)招生分兩步進(jìn)行：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進(jìn)入其次步面試；若材料初審合格，則進(jìn)入其次步面試.只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評價(jià)的錄用資格，且材料初審與面試之間相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲?乙?丙三名考生報(bào)名參與該高校的綜合評價(jià)，假設(shè)甲?乙?丙三名考生材料初審合格的概率分別是，面試合格的概率分別是.（1）求甲?乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評價(jià)錄用資格的概率；（2）求三人中至少有一人獲得該高校綜合評價(jià)錄用資格的概率；（3）求甲?乙?丙三名考生獲得該高校綜合評價(jià)錄用資格的人數(shù)為1人或2人的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）甲?乙兩位考生中有且只有一位獲得錄用資格，求即可.（2）只需求三人中至少有一人獲得該高校綜合評價(jià)錄用資格的對立事務(wù)的概率即可.（3）由獨(dú)立事務(wù)乘法公式即可求解.【小問1詳解】設(shè)事務(wù)A表示“甲獲得該高校綜合評價(jià)錄用資格”，事務(wù)表示“乙獲得該高校綜合評價(jià)錄用資格”，則，甲?乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評價(jià)錄用資格的概率為：.【小問2詳解】設(shè)事務(wù)表示“丙獲得該高校綜合評價(jià)錄用資格”，則，三人中至少有一人獲得該高校綜合評價(jià)錄用資格的對立事務(wù)是三人都沒有獲得該高校綜合評價(jià)錄用資格，三人中至少有一