新高考新教材適用2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三立體幾何考點(diǎn)突破練7空間中的平行與垂直

考點(diǎn)突破練7空間中的平行與垂直1.(2024·浙江杭州模擬)已知底面為菱形的四棱錐P-ABCD中,△PAD是等邊三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F分別是棱PC,AB上的點(diǎn),從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另一個(gè)成立:①F是線段AB的中點(diǎn);②E是線段PC的中點(diǎn);③BE∥平面PFD.2.(2024·全國(guó)甲·文19)小明同學(xué)參與綜合實(shí)踐活動(dòng),設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示:底面ABCD是邊長(zhǎng)為8(單位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.(1)證明:EF∥平面ABCD;(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度).3.(2024·湖南長(zhǎng)郡十五校聯(lián)考)如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,E,F分別為AB,AC邊的中點(diǎn),將平面AEF沿EF折疊,M為線段EF的中點(diǎn).(1)設(shè)平面PBE與平面PCF相交于直線l,求證:l⊥BC;(2)平面AEF沿EF折疊過(guò)程中,當(dāng)∠PMA=π3時(shí),求四棱錐P-BCFE的體積4.(2024·四川遂寧模擬)如圖,平面五邊形ABCDE中,∠B=∠BAD=∠E=∠CDE=90°,CD=DE=EA=2,將△ADE沿AD折疊,得四棱錐P-ABCD.(1)證明:PC⊥AD;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求點(diǎn)B到平面PCD的距離.

考點(diǎn)突破練7空間中的平行與垂直1.證明選①②,證明③.取線段PD的中點(diǎn)M,連接ME,FM.因?yàn)镕為線段AB的中點(diǎn),E為線段PC的中點(diǎn),所以ME∥CD,ME=12CD,FB∥CD,FB=12CD,則ME∥FB,ME=FB,所以四邊形MEBF是平行四邊形,則BE∥MF.因?yàn)锽E?平面PDF,MF?平面PDF,所以BE∥平面選②③,證明①.取線段PD的中點(diǎn)M,連接ME,FM.因?yàn)镋為線段PC的中點(diǎn),所以ME∥CD,ME=12CD因?yàn)镕B∥CD,所以ME∥FB,即平面MEBF∩平面PDF=FM.因?yàn)锽E∥平面PFD,所以BE∥MF,所以四邊形MEBF是平行四邊形,則BF=ME.因?yàn)镸E=12CD=12AB,所以BF=1即F是AB的中點(diǎn).選①③,證明②.取線段CD的中點(diǎn)N,連接BN,EN,所以DN∥FB,且DN=FB,即四邊形BFDN是平行四邊形,則BN∥DF.因?yàn)锽N?平面PDF,DF?平面PDF,所以BN∥平面PDF.因?yàn)锽E∥平面PDF,BN∩BE=B,所以平面PDF∥平面BEN.又EN?平面BNE,所以EN∥平面PDF.因?yàn)镋N?平面PDC,平面PDC∩平面PDF=DP,所以EN∥PD.因?yàn)镹是線段CD的中點(diǎn),所以E是線段PC的中點(diǎn).2.(1)證明過(guò)點(diǎn)E作EE'⊥AB于點(diǎn)E',過(guò)點(diǎn)F作FF'⊥BC于點(diǎn)F',連接E'F'.∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形,△EAB,△FBC均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直,∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD,且EE'=FF',∴四邊形EE'F'F是平行四邊形,則EF∥E'F'.∵E'F'?平面ABCD,EF?平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.(2)解過(guò)點(diǎn)G,H分別作GG'⊥CD,HH'⊥DA,交CD,DA于點(diǎn)G',H',連接F'G',G'H',H'E',AC.由(1)及題意可知,G',H'分別為CD,DA的中點(diǎn),EFGH-E'F'G'H'為長(zhǎng)方體,故該包裝盒由一個(gè)長(zhǎng)方體和四個(gè)相等的四棱錐組合而成.∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形,∴AC=82+82=82(cm),E'F'=H'E'=12AC=42(cm),EE'=AE∴該包裝盒的容積為V=VEFGH-E'F'G'H'+4VA-EE'H'H=E'F'×E'H'×EE'+4×13×SEE'H'H×14AC=42×42×43+4×13×42×43×22=3.(1)證明如圖,連接PA,PM,AM,∵△ABC為等邊三角形,M為EF的中點(diǎn),∴EF⊥AM,EF⊥PM.∵PM∩AM=M,∴EF⊥平面PMA.∵E,F分別為AB,AC邊的中點(diǎn),∴EF∥BC,∴BC⊥平面PMA.∵A∈BE,A∈CF,∴A∈平面PBE,A∈平面PCF,∴PA即為平面PBE與平面PCF的交線l,∴l(xiāng)?平面PMA,∵BC⊥平面PMA,∴l(xiāng)⊥BC.(2)解∵EF?平面AEF,EF⊥平面PMA,∴平面PMA⊥平面AEF.∴點(diǎn)P究竟面AEF的距離即為點(diǎn)P到AM的距離,設(shè)點(diǎn)P到AM的距離為h,∵∠PMA=π3,∴h=PMsinπ3=32×32=34,∴四棱錐4.(1)證明取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO.因?yàn)镈E=EA=2,即PA=PD=2,所以AD⊥PO.因?yàn)椤螦PD=90°,所以DO=12DA=12PA2+PD2=12×2=1又CD=2,所以AD⊥CO.因?yàn)镻O∩CO=O,PO?平面POC,CO?平面POC,所以AD⊥平面POC.因?yàn)镻C?平面POC,所以AD⊥PC.(2)解因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,PO⊥AD,所以PO⊥平面ABCD.又CD=2,則