初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）高一預(yù)習(xí)專題強(qiáng)化2 不等式恒成立、能成立問題（教師版）

強(qiáng)化專題2不等式恒成立、能成立問題【方法技巧】在解決不等式恒成立、能成立的問題時(shí)，常常使用不等式解集法、分離參數(shù)法、主參換位法和數(shù)形結(jié)合法解決，方法靈活，能提升學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．一、“Δ”法解決恒成立問題(1)如圖①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R?二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象恒在x軸上方?ymin>0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)如圖②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集為R?二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象恒在x軸下方?ymax<0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))二、數(shù)形結(jié)合法解決恒成立問題結(jié)合函數(shù)的圖象將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值或函數(shù)圖象的位置(相對(duì)于x軸)關(guān)系求解．可結(jié)合相應(yīng)一元二次方程根的分布解決問題．三、分離參數(shù)法解決恒成立問題通過分離參數(shù)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．四、主參換位法解決恒成立問題轉(zhuǎn)換思維角度，即把變?cè)c參數(shù)變換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍求解．五、利用圖象解決能成立問題結(jié)合二次函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)值的問題解決．六、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決能成立問題能成立問題可以轉(zhuǎn)化為m>ymin或m<ymax的形式，從而求y的最大值與最小值，從而求得參數(shù)的取值范圍．【題型目錄】一、“Δ”法解決恒成立問題二、數(shù)形結(jié)合法解決恒成立問題三、分離參數(shù)法解決恒成立問題四、主參換位法解決恒成立問題五、利用圖象解決能成立問題六、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決能成立問題【例題詳解】一、“Δ”法解決恒成立問題1．不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分類討論和兩種情況，結(jié)合一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式為滿足解集為R；當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意得，且，解得．綜上，的取值范圍為．故選：B．2．若關(guān)于x的一元二次不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)k滿足（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】只需要滿足條件即可.【詳解】由題意，整理可得，，解得.故選：C.3．（多選）不等式對(duì)任意的恒成立，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】可整理為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)有：，故A正確；當(dāng)時(shí)，滿足，即原不等式成立，B錯(cuò)誤；由，得，所以，C正確；，D正確；故選：ACD．4．若“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】求出給定命題的否定，再由所得命題為真命題，求解作答.【詳解】命題“，”的否定是：，，依題意，命題“，”為真命題，當(dāng)時(shí)，成立，則，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則，解得，綜上得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：二、數(shù)形結(jié)合法解決恒成立問題1．（多選）若“，都有”是真命題，則實(shí)數(shù)可能的值是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】AB【分析】求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，分別對(duì)和進(jìn)行分類討論，即可得到答案【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，①若即，如圖，由圖像可知當(dāng)時(shí)隨的增大而增大，且時(shí)，即滿足題意；②若時(shí)，如圖，由圖像可知的最小值在對(duì)稱軸處取得，則時(shí)，，解得，此時(shí)，，綜上，，故選：AB．2．已知不等式的解集，若對(duì)任意，不等式恒成立．則的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集確定系數(shù)，則在上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)有即可求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，且，可得，所以在上恒成立，而在上遞增，故只需即可，所以.故答案為：3．當(dāng)1≤x≤2時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范圍．【詳解】令y＝x2＋mx＋4.∵y<0在[1,2]上恒成立．∴x2＋mx＋4＝0的根一個(gè)小于1上，另一個(gè)大于2.如圖，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4<0，,4＋2m＋4<0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋5<0，,2m＋8<0.))∴m的取值范圍是{m|m<－5}．三、分離參數(shù)法解決恒成立問題1．對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】參變分離可得對(duì)任意的恒成立，利用基本不等式求出的最大值，即可得解.【詳解】解：因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，即對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以.故選：C2．已知命題p：“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的最大值是___．【答案】【分析】分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為，然后利用均值不等式求出最小值即可得答案.【詳解】解：由題意，，恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即a的最大值是．故答案為：.3．寫出使不等式恒成立的一個(gè)實(shí)數(shù)的值__________．【答案】不少于的任意一個(gè)實(shí)數(shù)【分析】對(duì)不等式全分離,即恒成立,只需,對(duì)二次函數(shù)配方即可求得最大值,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)楹愠闪?所以,即只需,因?yàn)?所以,故只需即可.故答案為:不少于的任意一個(gè)實(shí)數(shù)4．已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【分析】先求得存在量詞命題的否定，然后利用分離常數(shù)法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求得的取值范圍.【詳解】由題意得，“，”是真命題，則對(duì)恒成立，在區(qū)間上，的最小值為，所以，即a的取值范圍是.故答案為：5．函數(shù)，若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________．【答案】【分析】由命題“”是假命題，可得其否定為真命題，再分離參數(shù)，即可得解.【詳解】因?yàn)槊}“”是假命題，所以命題“”是真命題，即在上恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，而，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.四、主參換位法解決恒成立問題1．若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】等價(jià)于“”為真命題．令，解不等式即得解.【詳解】解：命題“”為假命題，其否定為真命題，即“”為真命題．令，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為.故選：C2．若不等式對(duì)任意成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題得不等式對(duì)任意成立，解不等式組即得解.【詳解】由題得不等式對(duì)任意成立，所以，即，解之得或.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是聯(lián)想到“反客為主”，把“”看作自變量，把“”看作參數(shù)，問題迎刃而解.3．不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B． C．D．【答案】A【分析】令，利用一次函數(shù)的單調(diào)性分討論可得答案.【詳解】令，對(duì)一切均大于0恒成立，所以，或，或，解得或，，或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，或.故選：A.五、利用圖象解決能成立問題1．命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【分析】先寫出原命題的否定，然后結(jié)合判別式以及對(duì)分類討論來(lái)求得的取值范圍.【詳解】命題“”是假命題，所以“”是真命題，當(dāng)時(shí)，不成立，不符合題意，所以，所以或，所以或.故選：B2．若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用判別式即可研究不等式的解的情況.【詳解】若關(guān)于的不等式有解,則，解得.故選：C.3．若命題，是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【分析】依題意可得二次函數(shù)與軸有交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為判別式的關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】已知命題，是真命題，則二次函數(shù)圖像與軸有交點(diǎn)，所以，解得或.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.4．若命題“，使”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，并結(jié)合判別式的符號(hào)做出判斷即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】由題意可知，①若，即或，當(dāng)時(shí)，不等式為，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，不等式為，顯然，使成立，即符合題意；②若，即，此時(shí)不等式對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)開口向下，滿足條件；③若，即或，此時(shí)不等式對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)開口向上，若要滿足題意，則需方程由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即，解得，即滿足條件時(shí)；綜合①②③可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：六、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決能成立問題1．已知命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知時(shí)，，再根據(jù)二次函數(shù)求最值即可得答案.【詳解】解：因?yàn)槊}“，”為真命題，所以，命題“，”為真命題，所以，時(shí)，，因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).所以，時(shí)，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C2．若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，可得在區(qū)間內(nèi)有解，從而大于在區(qū)間的最小值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】由關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，得在區(qū)間內(nèi)有解，從而大于在區(qū)間的最小值.令，，函數(shù)圖像拋物線開口向上，對(duì)稱軸方程為，則在上單調(diào)遞減，在是單調(diào)遞增則，，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．3．若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍___________．【答案】或【分析】轉(zhuǎn)化為命題“，使得成立”為真命題，利用不等式有解,左邊的最小值小于右邊