初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）高一預(yù)習(xí)5.1 任意角和弧度制（教師版）

第五章《三角函數(shù)》5.1任意角和弧度制【知識梳理】知識點一角的概念(1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負角和零角．(2)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．(3)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．知識點二弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧長公式：l＝α·r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半徑，α(0<α<2π)為弧所對圓心角．【基礎(chǔ)自測】1．判斷正誤．（1）小于的角都是銳角．()（2）終邊與始邊重合的角為零角．()（3）大于的角都是鈍角．()（4）將時鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是．()【答案】

（1）

×；

（2）×；

（3）×；

（4）×

2．角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用公式可求角的弧度數(shù).【詳解】角對應(yīng)的弧度數(shù)為，故選：B.3．終邊與坐標軸重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}【答案】D【詳解】終邊在坐標軸上的角大小為90°或90°的整數(shù)倍，所以終邊與坐標軸重合的角的集合為{α|α＝k·90°，k∈Z}．故選D.4.已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是_______．【答案】{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}【詳解】觀察圖形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．5．已知扇形的圓心角為，且圓心角所對的弦長為，則圓心角所對的弧長為___________，該扇形的面積為___________.【答案】

【分析】由條件求扇形的半徑，再由弧長公式和面積公式求扇形的弧長及面積.【詳解】由已知可得，，連接圓心與弦的中點，則，，，∴，即扇形的半徑為4，∴

圓心角所對的弧長，扇形的面積，故答案為：，.【例題詳解】一、任意角的概念例1下列結(jié)論：①三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角；②始邊相同而終邊不同的角一定不相等；③小于90°的角為銳角；④鈍角比第三象限角??；⑤小于180°的角是鈍角、直角或銳角．其中正確的結(jié)論為________(填序號)．【答案】②【詳解】①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正確；②始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故②正確；③小于90°的角可以是零角，也可以是負角，故③不正確；④鈍角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正確；⑤0°角或負角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故⑤不正確．跟蹤訓(xùn)練1經(jīng)過2個小時，鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是（

）.A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向確定角的正負，由旋轉(zhuǎn)的大小確定角的絕對值，即可得解.【詳解】鐘表的時針和分針都是順時針旋轉(zhuǎn)，因此轉(zhuǎn)過的角度都是負的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是－60°，－720°.故選：B二、終邊相同的角及象限角例2(1)將下列各角表示為k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第幾象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1020°.【詳解】(1)420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．(3)1020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1020°是第四象限角．(2)下列說法中正確的序號有________．①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．【答案】①②③④【分析】根據(jù)象限角的表示，分別表示形式，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，①是第四象限角，是正確的；②是第三象限角，是正確的；③，其中是第二象限角，所以為第二象限角是正確的；④，其中是第一象限角是正確的，所以正確的序號為①②③④【點睛】本題主要考查了象限角的表示及判定，其中解答中熟記象限角的表示，合理判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.(3)在直角坐標系中寫出下列角的集合：(1)終邊在軸的非負半軸上；(2)終邊在上．【答案】(1)；(2).【分析】(1)在0°～360°內(nèi)求出終邊在軸的非負半軸上的角，再直接寫出角的集合.(2)在0°～360°內(nèi)求出終邊在上的角，再直接寫出角的集合.【詳解】(1)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在x軸的非負半軸上的角有一個，它是0°，所以終邊落在x軸的非負半軸上的角的集合為.(2)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在y=x(x≥0)上的角有一個，它是45°，所以終邊在y=x(x≥0)上的角的集合為.跟蹤訓(xùn)練2(1)將化為的形式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由終邊相同的角的概念求解即可.【詳解】由知.故選：B.(2)下列各角中，與160°角是同一象限角的是（

）A．600° B．520° C．－140° D．－380°【答案】B【分析】由象限角的概念對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】160°角是第二象限角，600°角是第三象限角，520°角是第二象限角，角是第三象限角，角是第四象限角.故選：B.三、區(qū)域角的表示例3(1)已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)題意先求解終邊在30°，角的終邊所在直線上的角的集合，再結(jié)合圖形書寫即可.【詳解】解：終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為，終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角的取值范圍為．(2)終邊在第四象限的角的集合是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)任意角的定義即可寫出答案.【詳解】終邊在第四象限的角的集合是或.故選：C.跟蹤訓(xùn)練3如圖，寫出終邊落在陰影部分的角的集合（包括邊界）．

【分析】（1）結(jié)合圖像，先分別表示終邊落在兩塊區(qū)域的角的集合，再取并集即可；（2）先寫出在的范圍內(nèi)，陰影部分對應(yīng)的角，再表示即可【詳解】（1）這是對頂角區(qū)域的表示問題，結(jié)合圖像終邊落在陰影部分的角的集合可表示為：或（2）在的范圍內(nèi)，陰影部分為終邊落在陰影部分的角的集合可表示為：四、確定nα及eq\f(α,n)所在的象限例4已知角的終邊在第四象限.（1）試分別判斷、是哪個象限的角；（2）求的范圍.【答案】（1）是第二或第四象限的角，是第三或第四象限或軸的非正半軸的角；（2）（）.【分析】（1）先寫出的范圍，再求出和的范圍，即可求解；（2）由寫出的范圍，再求出的范圍，再判斷即可.【詳解】是第四象限的角，，，當時，此時是第二象限；當時，此時是第四象限；又此時是第三象限或第四象限或軸的非正半軸；（2）跟蹤訓(xùn)練4已知是銳角，那么是（

）．A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角【答案】C【分析】由題知，故，進而得答案.【詳解】因為是銳角,所以,所以,滿足小于180°的正角.其中D選項不包括，故錯誤.故選：C五、弧度制的概念例5下列說法正確的是()A．1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑B．大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大C．所有圓心角為1弧度的角所對的弧長都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【詳解】對于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑”，故A正確；對于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯誤；對于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對的弧長是不等的，故C錯誤；對于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯誤．跟蹤訓(xùn)練5(1)下列說法中，錯誤的是（

）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑有關(guān)【答案】D【分析】利用角度和弧度的定義及轉(zhuǎn)化關(guān)系分別進行判斷即可.【詳解】根據(jù)角度和弧度的概念可知二者都是角的度量單位，的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正確；1rad的角是，故C正確；無論哪種角的度量方法，角的大小都與圓的半徑無關(guān)，只與角的始邊和終邊的位置有關(guān)，故D錯誤.故選：D(2)4弧度的角的終邊所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)弧度和任意角的定義即可判斷.【詳解】∵4rad≈rad，∴，故其終邊在第三象限.故選：C.六、角度制與弧度制的互化例6將下列角度化為弧度，弧度轉(zhuǎn)化為角度(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【答案】(1)弧度；(2)π弧度；(3)弧度；(4)；(5)；(6)【分析】利用弧度即可得出，即角度化弧度乘以，弧度化角度乘以，需注意單位為度．【詳解】(1)解：弧度弧度，(2)解：弧度弧度，(3)解：弧度弧度．(4)解：弧度，(5)解：弧度，(6)解：弧度．跟蹤訓(xùn)練6已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)，試比較α，β，γ，θ，φ的大?。敬鸢浮喀?lt;β<γ<θ＝φ.七、與扇形的弧長、面積有關(guān)的計算例7已知扇形的圓心角是，半徑為.（1）若，求扇形的弧長.（2）若扇形的周長為，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）；（2），扇形的面積取得最大值25.【分析】（1）根據(jù)弧長公式計算可得；（2）根據(jù)扇形的弧長公式和面積公式可以直接求最值．【詳解】解：（1），.（2）由已知得，，所以，所以當時，取得最大值25，此時，.【點睛】本題考查扇形的弧長公式和面積公式，屬于中檔題．跟蹤訓(xùn)練7已知扇形的周長為20cm，面積為cm，求扇形圓心角的大小.【答案】【解析】設(shè)圓心角和半徑，根據(jù)周長和面積建立方程組，即可得解.【詳解】扇形的周長為20cm，面積為cm，設(shè)扇形圓心角，，半徑r，則，解得或8（舍去）所以.【點睛】此題考查扇形的周長和面積公式的辨析應(yīng)用，關(guān)鍵在于熟練掌握周長和面積公式，建立等量關(guān)系求解方程組.【課堂鞏固】1．下列說法中，正確的是（

）A．第二象限的角是鈍角 B．第二象限的角必大于第一象限的角C．是第二象限的角 D．是終邊相同的角【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合象限角的定義與終邊相同的角的定義即可求解【詳解】對于A：當角為是，該角為第二象限角，但不是鈍角，故A錯誤；對于B：分別取第一象限的角為，第二象限角，此時第一象限的角大于第二象限的角，故B錯誤；對于C：是第三象限的角，故C錯誤；對于D：因為，所以是終邊相同的角，故D正確；故選：D2．若是第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角【答案】D【分析】根據(jù)題意求出的范圍即可判斷.【詳解】由題意知，，，則，所以，．當k為偶數(shù)時，為第四象限角；當k為奇數(shù)時，為第二象限角．所以是第二或第四象限角.故選：D.3．已知角與的頂點均在原點，始邊均在x軸的非負半軸上，終邊相同，且，則__________．（用角度表示）【答案】630°【分析】根據(jù)題目條件得到，求出，列出不等式組，求出.【詳解】由題意得，，即，而，即，解得：，，所以.故答案為：630°.4．數(shù)學(xué)中處處存在著美，機械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．【答案】【分析】根據(jù)圖形分析，利用扇形面積和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】由條件可知，弧長，等邊三角形的邊長，則以點A、B、C為圓心，圓弧所對的扇形面積為，中間等邊的面積所以萊洛三角形的面積是.故答案為：5．當是銳角時，試判斷是哪個象限的角．【答案】第一象限角或第二象限角或終邊在軸正半軸上的角.【分析】根據(jù)銳角范圍求出2α范圍，根據(jù)任意角的分類即可判斷.【詳解】因為為銳角，所以，，為第一象限角或第二象限角或終邊在軸正半軸上的角.6．用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(包括邊界，如圖所示).【答案】，【分析】先利用弧度制寫出邊界角，再按逆時針順序?qū)懗鰠^(qū)域角即可.【詳解】因為，由圖（1）知：以射線為終邊的角的集合為，角的終邊與即的角的終邊相同，以為終邊的角為，所以終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合為：.因為，，由圖（2）知：以射線為終邊的角為，以射線為終邊的角為，所以終邊在直線上的角為：，同理終邊在軸上的角為，所以終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合.7．在與角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.（1）最大的負角；（2）最小的正角；（3）的角.【答案】（1）;（2）;（3）【分析】化簡得，再令可得;令可得與角終邊相同的最小正角;令得,取可得.【詳解】因為，所有與終邊相同的角可表示為：則，則則，則令得，從而，代入得.【點睛】本題考查終邊相同的角.所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合：或8．將下列角度與弧度進行互化.(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】對于（1）、（2）根據(jù)，可將角度轉(zhuǎn)化為弧度；對于（3）、（4）根據(jù)，可將弧度轉(zhuǎn)化為角度.【詳解】(1);(2);(3);(4);9．已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l，若，R=10，求：（1）扇形的面積；（2）扇形的弧長及該弧所在弓形的面積.【答案】（1）；（2）扇形弧長，該弧所在弓形的面積.【分析】（1）由扇形面積公式，即可求面積.（2）由扇形弧長公式、弓形的面積扇形面積減去由半徑和弦所成三角形的面積，即可求弧長、弓形的面積.【詳解】（1）由扇形面積公式，知：.（2）由扇形弧長公式，知：，該弧所在弓形的面積.【課時作業(yè)】1．下列與角的終邊一定相同的角是（

）A． B．)C．) D．)【答案】C【分析】終邊相同角的表示【詳解】與角終邊相同角可以表示為對A，由找不到整數(shù)讓，所以A錯誤對B，表達有誤，角的表示不能同時在一個表達式中既有角度制又有弧度制，B錯誤，C項正確，對D項，當時，角為，當時，角為，得不到角，故D錯誤，故選：C.2．若={α|，B={第一或第四象限角}，則A、B關(guān)系為（

）A．A=B B．AB C．AB D．非A、B、C結(jié)論【答案】D【分析】在集合與中舉例說明即可判斷.【詳解】集合中，若，不屬于第一或第四象限角，即.集合中，若，是第一象限角，但.綜上，集合與沒有關(guān)系.故選：D3．終邊落在軸上的角的集合是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用象限角、周線角的定義依次判斷選項即可.【詳解】A表示的角的終邊在x軸非負半軸上；B表示的角的終邊x軸上；C表示的角的終邊在y軸上；D表示的角的終邊在y軸非負半軸上.故選：C4．將分針撥慢5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)任意角的概念計算可得.【詳解】解：將分針撥慢是逆時針旋轉(zhuǎn)，所以分針撥慢分鐘，轉(zhuǎn)過的角為．故選：C5．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由象限角的知識結(jié)合充分和必要條件的定義作出判斷.【詳解】當是第四象限角時，，則，即是第二或第四象限角.當為第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要條件．故選：A6．一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是3，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由扇形的弧長公式和面積公式列方程組求解．【詳解】設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑為r，則解得故選：C．7．某圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓錐的母線長和底面圓半徑，表示出底面圓的周長和面積，計算圓錐的側(cè)面積，由已知寫出等式，得到母線長與半徑的關(guān)系，用圓心角的公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面圓半徑為，則底面圓面積為，底面圓周長為；又圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其側(cè)面積為；由圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍得：，所以所以該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，故選：C.8．設(shè)圓的半徑為，點為圓周上給定一點，如圖，放置邊長為的正方形（實線所示，正方形的頂點與點重合，點在圓周上）.現(xiàn)將正方形沿圓周按順時針方向連續(xù)滾動，當點首次回到點的位置時，點所走過的路徑的長度為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出示意圖，分析可知當點首次回到點的位置時，正方形滾動了圈，共次，計算出點每次滾動時點所走過的路程，即可得解.【詳解】由圖可知，圓的半徑為，正方形的邊長為，以正方形的邊為弦所對的圓心角為，正方形在圓上滾動時點的順序依次為如圖所示，當點首次回到點的位置時，正方形滾動了圈，共次，設(shè)第次滾動時，點的路程為，則，，，，因此，點所走過的路程為.故選：B.9．（多選）下列結(jié)論中不正確的是（

）A．終邊經(jīng)過點的角的集合是B．將表的分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是C．若是第一象限角，則是第一象限角，為第一或第二象限角D．，，則【答案】BC【分析】根據(jù)角的終邊位置判斷A，根據(jù)角的定義判斷B，利用特殊值判斷C，根據(jù)集合間的包含關(guān)系判斷D．【詳解】對于選項A：終邊經(jīng)過點的角在第二和第四象限的角平分線上，故角的集合是，正確；對于選項B：將表的分針撥快10分鐘，按順時針方向旋轉(zhuǎn)圓周角的六分之一，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是，錯誤；對于選項C：若，不是第一象限角，錯誤；對于選項D：而表示的奇數(shù)倍，，而表示的整數(shù)倍，所以，正確．故選：BC10．（多選）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角或軸負半軸上【答案】BD【分析】因為是第二象限角，得到，結(jié)合選項和角的表示方法，逐項判定，即可求解.【詳解】因為是第二象限角，可得,對于A中，可得，此時位于第三象限，所以A錯誤；對于B中，可得，當為偶數(shù)時，位于第一象限；當為奇數(shù)時，位于第三象限，所以B正確；對于C中，可得，即，所以位于第一象限，所以C不正確；對于D中，可得，所以位于第三、第四象限角或軸負半軸，所以D正確.故選：BD11．如圖所示，終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是________________.【答案】{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}【分析】寫出終邊在陰影部分的邊緣的角即得解.【詳解】解：終邊落在陰影部分第二象限最左邊的角為,終邊落在陰影部分第四象限最左邊的角為.所以終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，