高中數(shù)學第二章解三角形3解三角形的實際應用舉例基礎訓練（含解析）北師大版必修

解三角形的實際應用舉例基礎過關練題組一測量距離問題1.如圖,設A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A同側的河岸邊選定一點C,測出A、C間的距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,則A,B兩點間的距離為()3m2m2mD.25222.(2020河北邢臺高一下期中)輪船甲和輪船乙在上午11時同時離開海港C,兩船航行方向的夾角為135°,兩船的航行速度分別為25千米/時、202千米/時,則當天下午1時兩船之間的距離為 ()95千米97千米千米101千米3.如圖,某海上緝私小分隊駕駛緝私艇以40km/h的速度由A處出發(fā),沿北偏東60°方向進行海面巡邏,當航行半小時到達B處時,發(fā)現(xiàn)北偏西45°方向有一艘船C,若船C位于A的北偏東30°方向上,則緝私艇所在的B處與船C的距離是()A.5(6+2)kmB.5(6-2)kmC.10(6-2)kmD.10(6+2)km4.(2019廣東東莞高二期末)如圖所示,為了測量A,B兩處島嶼間的距離,小明在D處觀測,A,B分別在D處的北偏西15°,北偏東45°方向,再往正東方向行駛20千米至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則A,B兩處島嶼間的距離為 ()6千米6千米C.10(1+3)千米千米5.如圖,某河段的兩岸可視為平行的,為了測量該河段的寬度,在河岸的一邊選取兩點A,B,觀察對岸的點C,測得∠CAB=75°,∠CBA=45°,且AB=100m,則該河段的寬度為m.

6.湖中有一小島C,沿湖有一條南北方向的公路,在這條公路上的一輛汽車行駛到A處時,測得小島在南偏西15°方向,汽車向南行駛1km后到達B處,又測得小島在南偏西75°方向,求小島到公路的距離.題組二測量高度問題7.如圖,D,C,B三點在地面同一直線上,從地面上C,D兩點望山頂A,測得它們的仰角分別為45°和30°,已知CD=200米,點C位于BD上,則山高AB等于 ()2米B.50(3+1)米C.100(3+1)米米8.(2021河南鄭州高三段考)“欲窮千里目,更上一層樓”出自唐朝詩人王之渙的《登鸛雀樓》,鸛雀樓位于今山西省永濟市,該樓共三層,前對中條山,下臨黃河,傳說常有鸛雀在此停留,故有此名.下面是復建的鸛雀樓的示意圖,某位游客(身高忽略不計)從地面D點看樓頂點A的仰角為30°,沿直線前進79米到達E點,此時看點C的仰角為45°,若BC=2AC,則樓高AB約為(結果保留整數(shù)) (深度解析)米米米米9.如圖所示,在山底A處測得山頂B的仰角∠CAB=45°,沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000m到達S點,若測得山頂仰角∠DSB=75°,則山高BC為 ()2mm0002m000m10.如圖,無人機在離地面高200m的A處,觀測到山頂M處的仰角為15°、山腳C處的俯角為45°,已知∠MCN=60°,則山的高度MN為 ()m3m3mm題組三測量角度問題11.有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形,它的上底長為6m,下底長為10m,高為23m,那么此攔水壩斜坡的坡度和坡角分別為 ()A.33,60°B.3,60C.3,30°D.33,3012.(2020天津靜海第一中學高一下調研)若點A在點C的北偏東60°方向上,點B在點C的南偏東30°方向上,且AC=BC,則點A在點B的 ()A.北偏東15°方向上B.北偏西15°方向上C.北偏東10°方向上D.北偏西10°方向上13.如圖所示,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的視角∠CAD= ()°°°°14.甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在其北偏東60°方向上的B處,乙船正在以akm/h的速度向北行駛.已知甲船的速度是3akm/h,則甲船應沿著哪個方向前進,才能最快與乙船相遇?能力提升練一、選擇題1.(2019寧夏銀川一中高三月考,)某船開始看見燈塔在南偏東30°方向,后來船沿南偏東60°的方向航行15km后,看見燈塔在正西方向,則這時船與燈塔的距離是()km2km3kmkm2.(2019陜西西安一中高二月考,)一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120°角的方向航行,已知水流速度為2km/h,則經過3h該船的實際航程為 ()3kmkmkm3km3.()某同學家住8樓,距地面高約20m,在該樓前的建筑工地上有一座塔吊,該同學在家測得塔吊頂?shù)难鼋菫?0°,塔吊底的俯角為45°,那么該塔吊的高度是 ()1+33mB.20(1+C.10(2+6)mD.20(2+6)m4.(2020福建莆田一中高一下期末,)如圖所示,隔河可以看到對岸兩目標A,B,但不能到達,現(xiàn)在岸邊取相距4km的C,D兩點,測得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面內),則兩目標A,B之間的距離為 ()A.853kmB.4C.2153km5二、填空題5.()一艘海警船從港口A出發(fā),以每小時40千米的速度沿南偏東40°方向直線航行,30分鐘后達到B處,這時候接到從C處發(fā)出的求救信號,已知C在B的北偏東65°,港口A的南偏東70°處,那么B,C兩點的距離是千米.

6.(2020廣東佛山一中高一下期中,)某校在百年校慶活動上要舉行升旗儀式,旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方,從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°,測得第一排和最后一排的距離為86米(如圖所示),旗桿底部與第一排在同一個水平面上,則旗桿的高度為米.

三、解答題7.()如圖,有一段河流,河的一側是圓心為O,半徑為103米的扇形區(qū)域OCD,河的另一側是一段筆直的河岸l,岸邊有一煙囪AB(不計B離河岸的距離),且OB的連線恰好與河岸l垂直,設OB與CD的交點為E.經測量,扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面,在點C,點O和點E處測得煙囪AB的仰角分別為45°,30°和60°.(1)求煙囪AB的高度;(2)如果要在C、E間修一條直路,求CE的長.8.()如圖1,在路邊豎直安裝路燈,路寬為OD,燈柱OB長為h米,燈桿AB長為1米,且燈桿與燈柱成120°角,路燈采用圓錐形燈罩,其軸截面的頂角為2θ,燈罩軸線AC與燈桿AB垂直.(1)設燈罩軸線與路面的交點為C,若OC=53米,求燈柱OB的長;(2)設h=10米,若燈罩截面的兩條母線所在直線中的一條恰好經過點O,另一條與地面的交點為E,如圖2,求cosθ的值及該路燈照在路面上的寬度OE的長.答案全解全析§3解三角形的實際應用舉例基礎過關練1.B∵在△ABC中,∠ACB=45°,∠CAB=105°,∴∠B=30°.由正弦定理,得ABsin∠ACB=∴AB=AC·sin∠ACBsinB=2.B設輪船甲、乙在下午1時所處的位置分別為A和B,由題可知CA=50千米,CB=402千米,∠ACB=135°,則AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos∠ACB=502+(402)2-2×50×402×-22=9700,故AB=10973.C由題意,得∠BAC=60°-30°=30°,∠ABC=30°+45°=75°,∠ACB=180°-75°-30°=75°,∴AC=AB=40×12=20(km).由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC=202+202-2×20×20×cos30°=800-4003=400(2-3∴BC=400(2-3)=200(3-1)4.B由題意可知CD=20千米,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,∴∠CAD=45°,∠ADB=60°.在△ACD中,由正弦定理得ADsin30°=20sin45°,∴AD在Rt△BCD中,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∴BD=2CD=202(千米).在△ABD中,由余弦定理得AB=200+800=106(千米).故選B.5.答案50解析∵∠CAB=75°,∠CBA=45°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°.由正弦定理得ABsin∠ACB=∴BC=ABsin75如圖,過點B作BD垂直于河岸,垂足為D,則BD的長就是該河段的寬度.在Rt△BDC中,∵∠BCD=∠CBA=45°,sin∠BCD=BDBC∴BD=BCsin45°=ABsin75°sin60°·sin45°=100×6+24326.解析如圖,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°,∠ACB=180°-105°-15°=60°,AB=1km.由正弦定理得BCsin∠CAB=ABsin∠ACB,所以BC=sin15°sin60°=6-223(km).設C到直線AB的距離為d,則d=BCsin75°=7.C設AB=h米,在Rt△ACB中,∠ACB=45°,所以BC=AB=h米.在Rt△ABD中,∠D=30°,所以BD=3h米.又BD-BC=CD,即3h-h=200,解得h=2003-1=100(8.答案B信息提取①∠ADB=30°,∠CEB=45°,DE=79米;②BC=2AC;③求AB的長.數(shù)學建模以測量樓高為背景,構建解三角形模型,借助圖形求出相應的邊與角,再利用解直角三角形知識求解.設AC的高度為x米,在直角三角形中分別用x表示出BE,BD,由DE=79米可列出關于x的方程,求出x即得樓高.解析設AC的高度為x米,則由已知可得AB=3x米,BC=BE=2x米,則在Rt△ABD中,BD=ABtan∠ADB=33x所以DE=BD-BE=33x-2x=79(米),解得x=7933-2,所以樓高AB=3×793方法技巧在解三角形問題中,要重視方程思想的運用.將某邊或某角設為未知數(shù),利用正弦、余弦定理將其他的邊或角用未知數(shù)表示,尋找等量關系列方程,通過解方程求出相應的邊或角,這是解三角形問題中常用的解題策略.9.D由題圖可知,∠BSA=360°-75°-150°=135°,又∠SAB=45°-30°=15°,∴∠ABS=30°.在△ABS中,ASsin30°=∴AB=AS·sin135=10002(m),∴BC=AB·sin∠BAC=10002·sin45°=1000(m).10.A∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=45°,∴AC=2AB=2002m,又∠MCA=180°-60°-45°=75°,∠MAC=15°+45°=60°,∴∠AMC=45°,在△AMC中,MCsin∠MAC=∴MC=2002sin60°∴MN=MCsin∠MCN=2003×sin60°=300(m).11.B如圖所示,橫斷面是等腰梯形ABCD,AB=10m,CD=6m,高DE=23m,∴AE=AB-CD2=2(m),∴tan∠DAE=DEAE=232=12.A由題意,作圖如下:則∠CBE=30°,∠ABC=45°,所以∠ABE=15°,故點A在點B的北偏東15°方向上.13.B依題意可得AD=202+602=2010(m),AC又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理的推論得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=(305)2+(2010)2-50214.解析如圖所示,設經過th兩船在C點相遇.在△ABC中,BC=atkm,AC=3atkm,B=180°-60°=120°.由BCsin∠CAB=得sin∠CAB=BCsinBAC=at∵0°<∠CAB<60°,∴∠CAB=30°,∴∠DAC=60°-30°=30°,即甲船應沿北偏東30°的方向前進,才能最快與乙船相遇.能力提升練一、選擇題1.C如圖所示,在△ABC中,AC=15km,∠BAC=60°-30°=30°,∠BCA=90°-60°=30°,所以AB=BC.在△ABC中,由余弦定理的推論得cos∠BCA=BC2+AC2-AB22BC·AC,即32=12.C如圖,設水流速度與船速度的合速度為v,在△OAB中,A=60°,OA=2km,AB=4km,由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos60°=22+42-2×2×4×12∴OB=23km,∴v=23km/h,即船的實際速度為23km/h,則經過3h該船的實際航程為23×3=6(km).3.B如圖所示,∠ADE=60°,∠BDE=45°,DE⊥AB,BE=CD=20.在△BDE中,DE=BE=20,在△AED中,AE=DEtan∠ADE=203,則AB=AE+EB=20(3+1).故所求塔吊的高度為20(3+1)m.4.B由已知,得∠CAD=30°,∠ACD=120°,由正弦定理,得CDsin∠CAD=所以AD=CD·sin∠ACDsin∠CAD=4·sin120°sin30°=43由正弦定理,得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD,所以BD=CD·在△ABD中,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=803,所以AB=4153所以A與B之間的距離為4153二、填空題5.答案102解析如圖所示,由已知可得∠BAC=70°-40°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,所以∠ACB=45°,AB=40×0.5=20(千米),所以BC=ABsin45°×sin30°=102(千米6.答案24解析如圖,由題意得BC=86米,∠ABC=180°-60°-15°=105°,∠ACB=30°+15°=45°,所以∠BAC=180°-105°-45°=30°,由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC=86sin30°=166,所以AB=166sin∠ACB=166在Rt△ABD中,AD=AB·sin60°=163×32=24(米)故旗桿的高度為24米.三、解答題7.解析(1)設AB的高度為h米,在Rt△CAB中,因為∠ACB=45°,所以CB=h米.在