高中數學《橢圓及其標準方程》導學案

?產第二章圓錐曲線與方程

DIERZHANG2.1橢圓

2.1.1橢圓及其標準方程

卜課前自主預習

H基礎導學

1.橢圓的定義

（1）平面內與兩個定點B，F,的距離的和等于常數（現大于IQFR）的點的軌跡

叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的醺焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的幽能包

應用定義解題時，不要漏掉眼川+眼々|=2">/正2|這一個條件.

（2）集合的語言描述為P={MIMAI+\MFi\=2a,2a>\F]F2|}.

2.橢圓的標準方程

焦點在X軸上焦點在y軸上

2222

標準方程回次+'=\(a>b>0)園［+/=1(?>/?>0)

圖形

焦距|FIF2|=E_2C

焦點坐標回（土c,0）土c)

a,b,c的

酷=—+c2

關系

品知識拓展

1.對橢圓定義中限制條件“常數（大于甲聲2|）”的理解

⑴當動點M滿足|MF||十|MF2尸常數>百尸2|時，動點M的軌跡為橢圓;

(2)當動點M滿足|MF||十|MF2尸常數=尸內|時，動點M的軌跡為以長，尸2

為兩端點的線段；

(3)當動點M滿足眼向+配尸2|=常數<尸正2|時，動點M的軌跡不存在.

2.橢圓定義的雙向運用

一方面，符合定義中條件的動點的軌跡為橢圓；另一方面，橢圓上所有的點

一定滿足定義的條件(即到兩焦點的距離之和為常數).

3.橢圓的標準方程與焦點位置的關系

(1)橢圓的焦點在x軸上臺標準方程中含f項的分母較大.

(2)橢圓的焦點在y軸上臺標準方程中含J項的分母較大.

H自診小測

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“義”)

(1)橢圓的兩種標準方程中，雖然焦點位置不同，但都有。2=居+,2.()

(2)平面內到兩個定點分，尸2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓.()

(3)橢圓的兩種標準方程可以寫成統(tǒng)一形式：4?+3)，2=1(其中A>0,B>0,

AWB).()

答案(1)V(2)X(3)V

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

(l)a=5,c=3,焦點在x軸上的橢圓標準方程為.

22

(2)橢圓的方程為]+號=1,則。=,b=,c—.

(3)橢圓*+]=1上一點P到一個焦點的距離為4,則P到另一個焦點的距

離為.

(4)橢圓4/+/=4的焦點坐標為.

22

答案(磕+言=1(2)32.(3)6(4)(0,±73)

卜課堂互動探究

探究1橢圓的定義

22

例1如圖所示，已知丹，F2是橢圓通+為=1的兩個焦點.

(1)若橢圓上一點P到焦點F|的距離等于15,那么點P到另一個焦點F1的距

離是多少？

(2)過焦點Q作直線與橢圓交于A,8兩點，試求△ABB的周長.

［解］由橢圓的標準方程可知/=100,所以。=10.

⑴由橢圓的定義得|「分|+|「巳|=2。=20,

又|PFi|=15,所以『外|=20—15=5.

(2)A/4BF2的周長為|A8|+\AF2\+\BF2\=(|AQ|+|5^|)+\AF2\+\BF2\=(|AF||+

陽引)+(|防什|引引).

由橢圓的定義可知|AQ|十|A&|=2a,|BF||十|BF2|=2a,故HBl+IAFzI+^Fzl

=4。=40.

拓展提升

橢圓定義的應用技巧

(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|Mp|+|M&|=2a(2a>|QF2l),則點M的軌

跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必為2a.

(2)橢圓的定義能夠對一些距離進行相互轉化，簡化解題過程.因此，解題過

程中遇到涉及曲線上的點到焦點的距離問題時，應先考慮是否能夠利用橢圓的定

義求解.

【跟蹤訓練1】已知長為橢圓5f+9y2=45的左焦點，P為橢圓上半部分

上任意一點，A(l,l)為橢圓內一點，求|PQ|+附的最小值.

解由橢圓方程5/+9)2=45可知/=9,Z;2=5,C2=4,左焦點丹(-2,0),

右焦點?2(2,0),如圖所示.P為橢圓上半部分上一點，由橢圓定義有|PF||十|PBI

=6.

而|P『i|+1網=|PQ|+1例+|PFd-『F2I=6一(IPF2IT網).

又|PQ|一|孫KlAFd，當且僅當P,A,B三點共線時，IPF2IT網=依尸2|=啦.

所以當P,A,F2三點共線時，|PR|+|B4|有最小值為6—啦.

探究2橢圓的標準方程

例2求滿足下列條件的橢圓的標準方程.

(1)焦點坐標分別為(0,—2),(0,2),且經過點(4,3g)；

(2)。=8,c—6；

(3)經過兩點Pig,；),P2(0,—

［解］⑴由題意得，

2a川(4—0)2+(3啦+2)2+，(4-0)2+(3啦-2)2=12,得a=6.

又c=2,.,./?2=a2—C2=32.

22

所求的橢圓的方程為導咸=1.

(2)Va=8,c=6,：.b2=a2-c2=64~36=28.

22

當焦點在X軸上時，橢圓方程為言+去=1；

22

當焦點在y軸上時，橢圓的方程為點+去=1.

2222

故所求的橢圓方程為源+太=1或W+條=1.

04Zo04Zo

22

(3)①當橢圓的焦點在x軸上時，設橢圓的標準方程為a+*=1(4＞?！?),

"234

解得

X軸上的橢圓不存在.

②當橢圓的焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為

=l(a>b>0).

2

21

下十斤1,a=4>

由題意得5解得

故所求橢圓的標準方程為￥+千,2=1.

45

［解法探究］例2(1)(3)有沒有其他解法呢?

解(I)'..橢圓的焦點在y軸上，

22

設所求的橢圓方程為力+，=1(。》＞0).

由題意得產+m=i

ci~=36,

得

廿=32.

,?2—/?2=4,

22

二所求的橢圓方程為轟+a=1.

3ZJo

(3)設所求橢圓的方程為Ad+8y2=i(A〉o,B〉0,AWB).

4=5,

由題意得解得

出=4,

二所求的橢圓方程為5x2+4y2=l.

例3已知兩圓G：(x-4)2+y2=i69,圓Q：(x+4)2+y2=9,動圓在圓G

內部和圓G相內切，和圓G相外切，求動圓圓心的軌跡.

［解］如圖所示，由已知可得圓G與。2的圓心坐標分別為G(4,0),C2(-4,

0),其半徑分別為ri=13,「2=3.

設動圓的圓心為C,其坐標為(x,y),動圓的半徑為匚由于圓G與圓。相內

切，依據兩圓內切的充要條件，可得|CC=ri-r.①

由于圓。2與圓C相外切，依據兩圓外切的充要條件，可得|。2。=〃2+廠.②

由①+②可得|CGI+|CC2l=n+「2=13+3=16,即點C到兩定點G與。2的

距離之和為16,且。。2尸8,可知動點。的軌跡為橢圓，且以G與C2為焦點.

由題意,得c=4,a=8,b~—c^一＜?—64—16=48.

二橢圓的方程為，?看=1,

。44o

22

二動圓圓心的軌跡為焦點在X軸上的橢圓，其方程為愛+左=1.

044o

拓展提升

求橢圓標準方程的方法

(1)求關鍵量代入法：先確定橢圓的焦點位置明確其標準方程的形式，再利用

定義及d—。2=,2求出參數a,b,最后代入橢圓標準方程.

(2)待定系數法：構造a,b,C三者之間的關系，通過解方程組求出mb.但

是要注意先確定焦點所在的位置，其主要步驟可歸納為“先定位，后定量”.

當焦點位置不確定時，可設橢圓方程為〃比2+〃y2=]("?〉0,〃〉0,"?￡〃).因

為它包括焦點在x軸上(能＜〃)或焦點在y軸上("z＞")兩類情況，所以可以避免分類

討論，從而達到了簡化運算的目的.

(3)定義法：利用橢圓的定義求動點的軌跡方程，應先根據動點具有的條件，

驗證是否符合橢圓的定義，即動點到兩定點距離之和是否是一常數，且該常數(定

值)大于兩點的距離，若符合，則動點的軌跡為橢圓，然后由定義確定橢圓的基本

量a,b,C,這就是定義法求橢圓標準方程的方法，但注意檢驗.

【跟蹤訓練2](1)如圖，設P是圓/+/=25上的動點，點。是P在x

4

軸上的投影，M為尸。上一點，且|MD|=qPD|.當P在圓上運動時，求點M的軌

跡。的方程，并判斷此曲線的類型.

解設M點的坐標為(x,y),P點的坐標為(XP,yP),

xP=x,

5

)yp=4y-

?.?尸在圓上，.?/2+?），）=25,

22

即軌跡。的方程為宏+看=1.該曲線表示橢圓.

22

（2）求過點（一3,2）且與與+5=1有相同焦點的橢圓的方程.

解Vc2=9—4=5,焦點在x軸上，

22

...設橢圓的方程為5+孚￡=L

aa—5

,點（-3,2）在橢圓上,

.,.巨+「u=L.?.a2=15.

aa—5

22

二所求橢圓方程為第十存=1.

探究3橢圓標準方程的應用

22

例4若方程尋一+-?匕=1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數機的取值

\6—mm+9,

范圍是（）

c，c7

A.-9<m<16B.—9<m<2

77

C16D.m>2

16-m>0,

m+9>Q,

{機+9>16—機,

7

解得/＜加＜16.

［答案］c

［結論探究］如果把例4的問題改為“求該橢圓的焦距的取值范圍”，怎樣

解答呢？

解由題意得。2=("?+9)—(16—m)—2m—7,

所以c=y/2m—7,又］<機<16,

所以0<2〃L7<25,ce(0,5),

所以焦距2ce(0,10).

拓展提升

Im>0

229

方程5+5=1表示橢圓的條件是J心°，表示焦點在X軸上的橢圓的條件

〔機

">0,fm>0,

是《">0,表示焦點在y軸上的橢圓的條件是<〃>0,

Vm<n.

22

【跟蹤訓練3]⑴“3<旭<7”是“方程六+E=1表示橢圓”的（）

/7-mm一3

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

答案B

7—7?z>0,

{m-3>0,解

得3<m<l且mW5,

所以3Vm<7且m#5=>3<加<7,

而3<m<7推不出3<m<7且mW5.

x2y2

所以，“3。<7”是“方程六+—=1表示橢圓”的必要不充分條件.

/—tnm~3

22

（2）已知橢圓的標準方程為言+6=1（〃[〉0）,并且焦距為6,求實數〃?的值.

解,：2c=6,.'.c=3.

當橢圓的焦點在x軸上時，由橢圓的標準方程知廿=25,b2=n-r,a1=b1+

c2,得25=〃/+9,/.z?j2=16,又m>0,故機=4.

2222

當橢圓的焦點在y軸上時，由橢圓的標準方程知/=機2,b=25,a=h+c,

得〃/=25+9=34,又加>0,故機=病.

綜上，實數加的值為4或用.

探究4橢圓的焦點三角形問題

22

例5已知橢圓3+號=1中，點P是橢圓上一點，吊，F2是橢圓的焦點，且

ZPFIF2=120°,求APFIF2的面積.

［解］由^'+］=1可知a=2,b=5,所以。=1。2一"=］,從而［F］F2|=2C

=2.

在△PF1F2中，由余弦定理得|P&|2=|PQ|2+歷尸2『一2|PQ||F|F2|cosNPQB，

22

gP|PF2|=|PF1|+4+2|PF1|.?

由橢圓定義得|PFi|+|PF2l=2a=4.②

由①②聯立可得IP昌尸?

所以SAPF］々=引0尸|ll^iFzlsinNPF\F2=/XqX2X-

［條件探究］例5中“NPQF2=120?！备臑椤癗QPB=60。"，其他條件不

變，應該怎樣解答？

解由已知a=2,b=-\［3,

得c=7a2—b'q4-3=1.

：.\FIF2\=2C=2,在△PQB中，

222

IF,F^=\PFi|+|PF2|-2|PFI||PF2|-COS60°,即4=(|PQ|+|PF2|)-2|PF,||PF2|

,O

-2|PF1H/F2|COS60.

.*.4=16-3|PFI||PF2|.

二|嗎|「匕|=4,

0

?.SdPF'F?=%PF1||PF2|-Sin60=1x4X坐=小.

拓展提升

1.橢圓中焦點三角形的解題策略

在解焦點三角形的相關問題時，一般利用兩個關系式：

(1)由橢圓的定義可得|PQ|,|PB|的一個關系式|PFi|+|PF2l=2a.

(2)利用正、余弦定理可得|PF||,|PBI的一個關系式.

這樣我們便可求解出|PPI,|PF2|.

但是通常情況下我們是把|Pp|十|P&|,IPQHPF2I看成一個整體進行轉化求

解，而不是具體求出IPQI與IP產￥的值，所以在解題時注意橢圓定義及正、余弦定

理的靈活運用.

2.焦點三角形的常用公式

(1)焦點三角形的周長L=2a+2c.

(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|BF2『=|MQF+|MF2|2-2|MQ||MF2|COSN

F\MF2.

JNFiMF)

(3)焦點三角形的面積5行叱2=2^MFI1眼尸2卜SinZF1MF2=層tan~—.

22

【跟蹤訓練4]橢圓，+]=1的焦點為Fi，尸2，點P在橢圓上，若IPAI

=4,則/F1PF2的大小為.

答案120°

解析V|PFi|=4,：.\PF2\=2a-4=6-4=2.

；|FIF2|=2C=2巾，...在△*2三中，利用余弦定理可得，

cosZFPF=iW+mM^p=_i

cosNQPB—2\PF}\\PF2\—2'

的大小為120°.

f----------------------------------1嬴譽斷?-----------------------

1.橢圓定義的應用

(1)橢圓的定義式：|PFl|+|PF2|=2a(2a>|FiF2|).在解題過程中將IPF1I+IPF2I

看成一個整體，可簡化運算.

(2)橢圓的定義中要求一動點到兩定點的距離和為常數，因而在解決問題時，

若出現“兩定點”“距離之和”這樣的條件或內容，應考慮是否可以利用橢圓的

定義來解決.

2.橢圓標準方程的兩種應用

由橢圓的標準方程可以確定焦點坐標，或求參數的值(或取值范圍).

(1)求橢圓的焦點坐標時，若方程不為標準方程，應先將其化為標準方程，確

定從的值和焦點所在的坐標軸，再利用關系式/=從+。2求出c,即可寫出

焦點坐標.

22

(2)已知方程求參數的值(或取值范圍)時，需注意：對于方程5+5=1，當

m>n>0時,方程表示焦點在x軸上的橢圓；當n>m>0時，方程表示焦點在y軸上

的橢圓.特別地，當"=〃?>0時，方程表示圓心在原點的圓.若已知方程的形式

不是標準方程，需先進行轉化.

3.求橢圓標準方程的常用方法

(1)求關鍵量代入法；

(2)待定系數法；

⑶定義法；

(4)相關點法.

4.橢圓的焦點三角形問題

解答此類問題可結合橢圓的定義列出|PFil+|PF2l=2a,利用這個關系式便可

求出結果，因此回歸定義是求解橢圓焦點三角形問題的常用方法.在求解過程中

要靈活運用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.

I隨堂達標自測

1.若平面內點M到定點Q(0,—1)、尸2(。,1)的距離之和為2,則點M的軌

跡為()

A.橢圓

B.直線/正2

C.線段尸正2

D.直線口正2的垂直平分線

答案C

解析|MR|+|MF2l=2=|F|F2|,所以點M的軌跡為線段QF2.

2

2.方程\+y2=i表示焦點在％軸上的橢圓，則機的取值范圍為()

A.(1,+8)B.g+8)

C.[1,+0°)D.(-8,1)

答案A

2

解析因為方程]+/=：!表示焦點在工軸上的橢圓，所以〃?〉L

3.橢圓25*+16y2=1的焦點坐標為()

A.(±3,0)B.(±g,0)

C-(±20,0)D(0，殳)

答案D

丫22iiQ

解析橢圓的標準方程為十++=1,知焦點在y軸上，。2=h一生=五，

2516

故焦點坐標為(。，±&.

4.已知尸1，尸2是橢圓。=1(。>。>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一

—>—>

點，且PFi_LPB，若△PQF2的面積為9,則匕=.

答案3

解析設|PQ|=n,m=r2,

"r\+r2=2a,①

則由題意得＜|nr2=9,②

*+4=(2C)2,③

由①得一+2「正2+4=4。2,

由②得「1廠2=18,所以3+4+36=442,④

④一③得36=4a2—4c\即4Z?2=36,

所以匕2=9,b=3.

5.求滿足下列條件的橢圓的標準方程：

(1)兩個焦點的坐標分別為(一4,0)和(4,0),且橢圓經過點(5,0)；

(2)焦點在y軸上，且經過兩個點(0,2)和(1,0).

解(1)由題意知橢圓的焦點在x軸上，

22

...設橢圓的標準方程為5+3=13＞。＞0).

由已知條件易知C=4,a=5,

/?2=a2—c2=25—16=9.

所求橢圓的標準方程為美+《=1.

ND7

(2):.橢圓的焦點在y軸上，

22

二設橢圓的標準方程為力+3=1伍＞/?〉0).

橢圓經過點(0,2)和(1,0),結合圖象易知a=2,b=\,

2

.?.所求橢圓的標準方程為%/=].

卜課后課時精練

A級：基礎鞏固練

一、選擇題

22

1.已知點A(—3,0),8(0,2)在橢圓5+方=1上，則橢圓的標準方程為()

A-f+f=lB.^+^l

22

C.xy+y2、=1D.?y+^v;=1

答案B

加,*

解析由題意得4解得加2=9,,』，所以橢圓的標準方程為丁+

2.如圖所示，一圓形紙片的圓心為。，尸是圓內一定點，M是圓周上一動點,

把紙片折疊使M與尸重合，然后抹平紙片，折痕為8,設。。與0M交于點P,

則點尸的軌跡是（）

A.橢圓B.直線

C.射線D.圓

答案A

解析根據題意知，CO是線段MF的垂直平分線，所以|MP|=|Pf],所以|P用

十|PO|=|PM+|PO|=|M。（定值），又因為叫01〉甲根據橢圓的定義可判斷出點

P的軌跡是以尺。兩點為焦點的橢圓.

3.方程叱》一2）2+；/+叱龍+2）2+丫2=10化簡的結果是（）

x2V2X2y2

A-25+16=1B-25+21=1

層+￥=1誼=1

答案B

解析由方程左邊的幾何意義及橢圓定義可知，方程表示的曲線為焦點在龍

r2v2

軸上的橢圓，且c=2,a=5,所以"2="—c?=21,故化簡結果為芯+去=1.

v22

4.橢圓天+v7=1上一點M到焦點為的距離為2,N是M/7]的中點，則|0N|

等于（）

3

A.2B.4C.6D，2

答案B

22

解析設橢圓的另一個焦點為國,因為橢圓會+《=1上一點M到焦點Fi

NDy

的距離為2即|MQ|=2,又|MFi|+|M&|=2a=10,所以|M&|=8.因為N是

的中點，。是FiB的中點，所以|CW|=TlMF2l=4.

22

5.命題p：方程六;十沿7=1表示焦點在y軸上的橢圓，則使命題p成立

的充分不必要條件是（）

A.3<m<5B.4<m<5C.l<m<5D.m>l

答案B

22

解析若方程x上+—v%=1表示焦點在y軸上的橢圓，則機一1>5>0,

5~mm—1

解得3</n<5.所以p成立的充要條件是3<機<5.結合四個選項可知,p成立的充分不

必要條件是4（機<5.

2222

6.我們把由半橢圓:+齊=1（》20）與半橢圓分+%=l（x<0）合成的曲線稱作

“果圓”（其中/=/+c2,a>果c>0）.如圖所示,設點Fo,Flf尸2是相應橢圓的

焦點，4,4和田，&是“果圓”與X軸和〉軸的交點，若△R）F|F2是邊長為1

的等邊三角形，則。，匕的值分別為（）

A.乎，1B，V3,1C.5,3D.5,4

答案A

22222

解析由題意知，/—廿=（乎）=,,^—C=^=1,.\tZ—C=l.

又°2=/+,2,.?./=],b=l.

二'填空題

7.已知橢圓57+62=5的一個焦點坐標是（o,2）,那么Z的值為

答案1

解析原方程可化簡為f+?=l,SC2=1-1=4,得女=1.

8.在平面直角坐標系xOy中，己知△A3C的頂點4-4,0)和。(4,0),頂點8

qM—fy2,sinA+sinC

在橢圓行+亂=1上t?則sinB=---------

答案!

22

解析由橢圓方程總+]=1知，a=5,Z?=3,...c=4,即點A(—4,0)和C(4,0)

是橢圓的焦點.

又點8在橢圓上，：.\BA\+\BC\=2a=W,且|AC|=8.

于是，在△ABC中，由正弦定理，得

sinA+sinC|BC|+|B4|5

~sinB~\AC\~=4'

22

9.M是橢圓1上的任意一點，為,尸2是橢圓的左、右焦點，則MH卜\MF2\

的最大值是.