專題19 解三角形大題綜合（含解析）- 十年（2015-2024）高考真題數學分項匯編（全國用）

專題19解三角形大題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1求面積的值及范圍或最值（10年7考）2024·北京卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2022·浙江卷、2019·全國卷、2017·全國卷2016·全國卷、2015·浙江卷、2015·全國卷2015·山東卷掌握正弦定理、余弦定理及其相關變形應用，會用三角形的面積公式解決與面積有關的計算問題，會用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題，會利用基本不等式和相關函數性質解決三角形中的最值及范圍問題本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應用，同時也結合三角函數及三角恒等變換等知識點進行綜合考查，也常結合基本不等式和相關函數性質等知識點求解范圍及最值，需重點復習。考點2求邊長、周長的值及范圍或最值（10年8考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷、2022·北京卷、2022·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2018·全國卷、2017·全國卷、2017·山東卷2017·全國卷、2016·全國卷、2015·浙江卷2015·山東卷考點3求角和三角函數的值及范圍或最值（10年10考）2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2020·江蘇卷、2019·江蘇卷2019·北京卷、2019·全國卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2016·北京卷、2016·山東卷、2016·四川卷2016·江蘇卷、2015·江蘇卷、2015·天津卷2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷2015·全國卷考點4求三角形的高、中線、角平分線及其他線段長（10年幾考）2023·全國新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全國卷2015·安徽卷、2015·全國卷考點5三角形中的證明問題（10年4考）2022·全國乙卷、2021·全國新Ⅰ卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·山東卷、2016·四川卷2015·湖南卷考點01求面積的值及范圍或最值1．（2024·北京·高考真題）在中，內角的對邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．2．（2023·全國甲卷·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．3．（2023·全國乙卷·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.4．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．5．（2019·全國·高考真題）的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．6．（2017·全國·高考真題）的內角的對邊分別為已知.（1）求角和邊長；（2）設為邊上一點，且,求的面積.7．（2016·全國·高考真題）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.8．（2015·浙江·高考真題）在中，內角A，B，C所對的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.9．（2015·全國·高考真題）已知分別是內角的對邊，．（1）若，求（2）若，且求的面積．10．（2015·山東·高考真題）設.（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，角的對邊分別為,若,求面積的最大值.考點02求邊長、周長的值及范圍或最值1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）記的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．5．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．6．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．7．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．8．（2020·全國·高考真題）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求C.9．（2020·全國·高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.10．（2018·全國·高考真題）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.11．（2017·全國·高考真題）△ABC的內角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.12．（2017·山東·高考真題）在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.13．（2017·全國·高考真題）△ABC的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，△ABC的面積為2，求．14．（2016·全國·高考真題）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.15．（2015·浙江·高考真題）在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，=.（1）求的值；（2）若的面積為3，求的值.16．（2015·山東·高考真題）中，角所對的邊分別為.已知求和的值.考點03求角和三角函數的值及范圍或最值1．（2024·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．2．（2023·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．3．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.4．（2021·天津·高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.6．（2020·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．7．（2020·浙江·高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．8．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．9．（2019·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．10．（2019·北京·高考真題）在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．11．（2019·全國·高考真題）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設．（1）求A；（2）若，求sinC．12．（2018·天津·高考真題）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）設a=2，c=3，求b和的值.13．（2017·天津·高考真題）在中，內角所對的邊分別為.已知，.（I）求的值；（II）求的值.14．（2017·天津·高考真題）在中，內角所對的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.15．（2016·四川·高考真題）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若，求tanB．16．（2016·浙江·高考真題）在ABC中，內角所對的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）證明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．17．（2016·浙江·高考真題）在中，內角所對的邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若的面積，求角的大?。?8．（2016·天津·高考真題）在中，內角所對的邊分別為a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.19．（2016·北京·高考真題）在△ABC中，(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．20．（2016·山東·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．21．（2016·四川·高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求.22．（2016·江蘇·高考真題）在中，AC=6，（1）求AB的長；（2）求的值.23．（2015·江蘇·高考真題）在中，已知.（1）求的長；（2）求的值.24．（2015·天津·高考真題）在中，內角所對的邊分別為，已知的面積為．(1)求和的值；(2)求的值．25．（2015·四川·高考真題）如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個內角.（1）證明：（2）若求的值.26．（2015·湖南·高考真題）設的內角的對邊分別為.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，且為鈍角，求.27．（2015·湖南·高考真題）設的內角，，的對邊分別為，，，，且為鈍角.（1）證明：；（2）求的取值范圍.28．（2015·全國·高考真題）△ABC中D是BC上的點,AD平分BAC,BD=2DC．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.考點04求三角形的高、中線、角平分線及其他線段長1．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設，求邊上的高．2．（2018·北京·高考真題）在中，．（1）求；（2）求邊上的高．3．（2018·全國·高考真題）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.4．（2015·安徽·高考真題）在中，,點D在邊上，，求的長.5．（2015·全國·高考真題）中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長．考點05三角形中的證明問題1．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：2．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.3．（2016·四川·高考真題）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若，求tanB．4．（2016·浙江·高考真題）在ABC中，內角所對的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）證明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．5．（2016·山東·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．6．（2016·四川·高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求.7．（2015·湖南·高考真題）設的內角的對邊分別為.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，且為鈍角，求.專題19解三角形大題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1求面積的值及范圍或最值（10年7考）2024·北京卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2022·浙江卷、2019·全國卷、2017·全國卷2016·全國卷、2015·浙江卷、2015·全國卷2015·山東卷掌握正弦定理、余弦定理及其相關變形應用，會用三角形的面積公式解決與面積有關的計算問題，會用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題，會利用基本不等式和相關函數性質解決三角形中的最值及范圍問題本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應用，同時也結合三角函數及三角恒等變換等知識點進行綜合考查，也常結合基本不等式和相關函數性質等知識點求解范圍及最值，需重點復習。考點2求邊長、周長的值及范圍或最值（10年8考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷、2022·北京卷、2022·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2018·全國卷、2017·全國卷、2017·山東卷2017·全國卷、2016·全國卷、2015·浙江卷2015·山東卷考點3求角和三角函數的值及范圍或最值（10年10考）2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2020·江蘇卷、2019·江蘇卷2019·北京卷、2019·全國卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2016·北京卷、2016·山東卷、2016·四川卷2016·江蘇卷、2015·江蘇卷、2015·天津卷2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷2015·全國卷考點4求三角形的高、中線、角平分線及其他線段長（10年幾考）2023·全國新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全國卷2015·安徽卷、2015·全國卷考點5三角形中的證明問題（10年4考）2022·全國乙卷、2021·全國新Ⅰ卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·山東卷、2016·四川卷2015·湖南卷考點01求面積的值及范圍或最值1．（2024·北京·高考真題）在中，內角的對邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)；(2)選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）選擇①，利用正弦定理得，結合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出，再代入式子得，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；【詳解】（1）由題意得，因為為鈍角，則，則，則，解得，因為為鈍角，則.（2）選擇①，則，因為，則為銳角，則，此時，不合題意，舍棄；選擇②，因為為三角形內角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，則由正弦定理得，即，解得，因為為三角形內角，則，則，則2．（2023·全國甲卷·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因為，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．3．（2023·全國乙卷·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數基本關系可得；(2)由題意可得，則，據此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.4．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關系求出，再根據正弦定理即可解出；（2）根據余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【詳解】（1）由于，，則．因為，由正弦定理知，則．（2）因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．5．（2019·全國·高考真題）的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1);(2).【分析】(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關于B的三角方程，最后根據A,B,C均為三角形內角解得.(2)根據三角形面積公式，又根據正弦定理和得到關于的函數，由于是銳角三角形，所以利用三個內角都小于來計算的定義域，最后求解的值域.【詳解】(1)[方法一]【最優(yōu)解：利用三角形內角和為結合正弦定理求角度】由三角形的內角和定理得，此時就變?yōu)椋烧T導公式得，所以．在中，由正弦定理知，此時就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得，兩邊平方得，即．又，即，所以，進一步整理得，解得，因此．[方法三]【利用正弦定理結合三角形內角和為求得的比例關系】根據題意，由正弦定理得，因為，故，消去得．，，因為故或者，而根據題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面積函數求面積的取值范圍】因為是銳角三角形，又，所以，則．因為，所以，則，從而，故面積的取值范圍是．[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結合面積公式求面積的取值范圍】由題設及（1）知的面積．因為為銳角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面積的取值范圍是．[方法三]【數形結合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】如圖，在中，過點A作，垂足為，作與交于點．由題設及（1）知的面積，因為為銳角三角形，且，所以點C位于在線段上且不含端點，從而，即，即，所以，故面積的取值范圍是．

【整體點評】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，與三角形內角和相結合是常用的方法；方法二：方程思想是解題的關鍵，解三角形的問題可以利用余弦值確定角度值；方法三：由正弦定理結合角度關系可得內角的比例關系，從而確定角的大小.(2)方法一：由題意結合角度的范圍求解面積的范圍是常規(guī)的做法；方法二：將面積問題轉化為邊長的問題，然后求解邊長的范圍可得面積的范圍；方法三：極限思想和數形結合體現了思維的靈活性，要求學生對幾何有深刻的認識和靈活的應用.6．（2017·全國·高考真題）的內角的對邊分別為已知.（1）求角和邊長；（2）設為邊上一點，且,求的面積.【答案】（1），；（2）.【詳解】試題分析：（1）先根據同角的三角函數的關系求出從而可得的值，再根據余弦定理列方程即可求出邊長的值；（2）先根據余弦定理求出，求出的長，可得，從而得到，進而可得結果.試題解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.(2)，，，，，.7．（2016·全國·高考真題）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）根據正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為考點：正余弦定理解三角形.8．（2015·浙江·高考真題）在中，內角A，B，C所對的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）利用兩角和與差的正切公式，得到，利用同角三角函數基本函數關系式得到結論；（2）利用正弦定理得到邊的值，根據三角形，兩邊一夾角的面積公式計算得到三角形的面積.試題解析：（1）由，得，所以.（2）由可得，.，由正弦定理知：.又，所以.考點：1.同角三角函數基本關系式；2.正弦定理；3.三角形面積公式.9．（2015·全國·高考真題）已知分別是內角的對邊，．（1）若，求（2）若，且求的面積．【答案】（1）；（2）1【詳解】試題分析：（1）由，結合正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出（2）利用（1）及勾股定理可得c，再利用三角形面積計算公式即可得出試題解析：（1）由題設及正弦定理可得又，可得由余弦定理可得（2）由（1）知因為，由勾股定理得故，得所以的面積為1考點：正弦定理，余弦定理解三角形10．（2015·山東·高考真題）設.（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，角的對邊分別為,若,求面積的最大值.【答案】（Ⅰ）單調遞增區(qū)間是；單調遞減區(qū)間是（Ⅱ）面積的最大值為【詳解】試題分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化簡函數的解析式，再利用正弦函數的單調性求其單調區(qū)間；（Ⅱ）首先由結合（Ⅰ）的結果，確定角A的值，然后結合余弦定理求出三角形面積的最大值.試題解析：解：（Ⅰ）由題意知由可得由可得所以函數的單調遞增區(qū)間是；單調遞減區(qū)間是（Ⅱ）由得由題意知為銳角，所以由余弦定理：可得：即：當且僅當時等號成立.因此所以面積的最大值為考點：1、誘導公式；2、三角函數的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.考點02求邊長、周長的值及范圍或最值1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據輔助角公式對條件進行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數的關系解方程組，亦可利用導數，向量數量積公式，萬能公式解決；（2）先根據正弦定理邊角互化算出，然后根據正弦定理算出即可得出周長.【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數的基本關系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點求解設，則，顯然時，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點，即，即，又，故方法四：利用向量數量積公式（柯西不等式）設，由題意，，根據向量的數量積公式，，則，此時，即同向共線，根據向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設，根據萬能公式，，整理可得，，解得，根據二倍角公式，，又，故（2）由題設條件和正弦定理，又，則，進而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）記的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理、平方關系依次求出，最后結合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結合三角形面積公式即可列方程求解.【詳解】（1）由余弦定理有，對比已知，可得，因為，所以，從而，又因為，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運算律建立關系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【詳解】（1）方法1：在中，因為為中點，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結合余弦定理及平方關系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.5．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據（1）的結論結合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【詳解】（1）證明：因為，所以，所以，即，所以；（2）解：因為，由（1）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.6．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得的值，結合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.【詳解】（1）解：因為，則，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.7．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因為，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．8．（2020·全國·高考真題）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求C.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）已知角和邊，結合關系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面積公式，即可得出結論；（2）方法一：將代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡得出有關角的三角函數值，結合的范圍，即可求解.【詳解】（1）由余弦定理可得，的面積；（2）[方法一]：多角換一角，，，.[方法二]：正弦角化邊由正弦定理及得．故．由，得．又由余弦定理得，所以，解得．所以．【整體點評】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關鍵，考查計算求解能力，屬于基礎題.其中第二問法一主要考查三角恒等變換解三角形，法二則是通過余弦定理找到三邊的關系，進而求角.9．（2020·全國·高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進而得到結果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（當且僅當時取等號），，解得：（當且僅當時取等號），周長，周長的最大值為.[方法二]：正弦化角（通性通法）設，則，根據正弦定理可知，所以，當且僅當，即時，等號成立．此時周長的最大值為．[方法三]：余弦與三角換元結合在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當時，，所以周長的最大值為．【整體點評】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理角化邊的應用、余弦定理的應用、三角形周長最大值的求解問題；方法一：求解周長最大值的關鍵是能夠在余弦定理構造的等式中，結合基本不等式構造不等關系求得最值.方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍進行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.方法三巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦函數求最值問題.10．（2018·全國·高考真題）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：根據正弦定理得到，求得，結合角的范圍，利用同角三角函數關系式，求得；（2）方法一：根據第一問的結論可以求得，在中，根據余弦定理即可求出．【詳解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方關系在中，由正弦定理得，代入數值并解得．又因為，所以，即為銳角，所以．［方法2］：余弦定理在中，，即，解得：，所以，．［方法3］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識如圖，過B點作，垂足為E，，垂足為F．在中，因為，，所以．在中，因為，則．所以．［方法4］：坐標法以D為坐標原點，為x軸，為y軸正方向，建立平面直角坐標系（圖略）．設，則．因為，所以．從而，又是銳角，所以，．（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在，由（1）得，，，所以．［方法2］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識作，垂足為F，易求，，，由勾股定理得．【整體點評】（1）方法一：根據題目條件已知兩邊和一邊對角，利用正弦定理和平方關系解三角形，屬于通性通法；方法二：根據題目條件已知兩邊和一邊對角，利用余弦定理解三角形，也屬于通性通法；方法三：根據題意利用幾何知識，解直角三角形，簡單易算．方法四：建立坐標系，通過兩點間的距離公式，將幾何問題轉化為代數問題，這是解析思想的體現．（2）方法一：已知兩邊及夾角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用幾何知識，解直角三角形，簡單易算．11．（2017·全國·高考真題）△ABC的內角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.【答案】(1)(2).【詳解】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據題設和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設及（1）得，即.所以，故.由題設得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關系轉化為角的關系，有時需將角的關系轉化為邊的關系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉化為角的關系，建立函數關系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.12．（2017·山東·高考真題）在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.【答案】，【詳解】試題分析：先由數量積公式及三角形面積公式得,由此求A,再利用余弦定理求a.試題解析：因為，所以，又，所以，因此，又，所以，又，所以.由余弦定理，得，所以.【考點】解三角形【名師點睛】正、余弦定理是應用極為廣泛的兩個定理,它將三角形的邊和角有機地聯系起來,從而使三角與幾何產生聯系,為求與三角形有關的量(如面積、外接圓、內切圓半徑和面積等)提供了理論依據,也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關等式的重要依據．其主要方法有：化角法,化邊法,面積法,運用初等幾何法．注意體會其中蘊涵的函數與方程思想、等價轉化思想及分類討論思想．13．（2017·全國·高考真題）△ABC的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，△ABC的面積為2，求．【答案】（1）；（2）2．【詳解】試題分析：（1）利用三角形的內角和定理可知，再利用誘導公式化簡，利用降冪公式化簡，結合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理即可求出.試題解析：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．14．（2016·全國·高考真題）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）根據正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為考點：正余弦定理解三角形.15．（2015·浙江·高考真題）在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，=.（1）求的值；（2）若的面積為3，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）根據正弦定理可將條件中的邊之間的關系轉化為角之間滿足的關系，再將式子作三角恒等變形即可求解；（2）根據條件首先求得的值，再結合正弦定理以及三角形面積的計算公式即可求解.試題解析：（1）由及正弦定理得，∴，又由，即，得，解得；（2）由，得，，又∵，∴，由正弦定理得，又∵，，∴，故.考點：1.三角恒等變形；2.正弦定理.16．（2015·山東·高考真題）中，角所對的邊分別為.已知求和的值.【答案】【分析】由條件先求得，再由正弦定理即可求解.【詳解】在中，由，得.因為，所以，因為，所以，為銳角，，因此.由，可得，又，所以.考點03求角和三角函數的值及范圍或最值1．（2024·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，則得到；（3）法一：根據大邊對大角確定為銳角，則得到，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.【詳解】（1）設，，則根據余弦定理得，即，解得（負舍）；則.（2）法一：因為為三角形內角，所以，再根據正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因為，則（3）法一：因為，且，所以，由（2）法一知，因為，則，所以，則，.法二：，則，因為為三角形內角，所以，所以2．（2023·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據正弦定理即可解出；（2）根據余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．3．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據正弦定理即可解出；（3）先根據二倍角公式求出，再根據兩角差的正弦公式即可求出．【詳解】（1）因為，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因為，所以，故，又，所以，，而，所以，故．4．（2021·天津·高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（I）因為，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據正弦定理的邊角關系有，結合已知即可證結論.（2）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊與的關系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當時，（舍去）．當時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構造輔助線利用相似的性質如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設，則．⑤由知，，即．⑥聯立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點評】(2)方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.6．（2020·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┣蟮闹?；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理運算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先計算出進一步求出，再利用兩角和的正弦公式計算即可.【詳解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因為，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角為銳角，由，可得，進而，所以.【點晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應用，考查學生的數學運算能力，是一道容易題.7．（2020·浙江·高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大??；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【答案】（I）；（II）【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結合特殊角的三角函數值即可確定角B的大?。唬↖I）方法二：結合(Ⅰ)的結論將含有三個角的三角函數式化簡為只含有角A的三角函數式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結合三角函數的性質即可求得的取值范圍.【詳解】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即.結合余弦定，∴，即，即，即，即，∵為銳角三角形，∴，∴，所以，又B為的一個內角，故.[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角由，結合正弦定理可得：為銳角三角形，故.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因為，并利用余弦定理整理得，即.結合，得.由臨界狀態(tài)（不妨?。┛芍?而為銳角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化簡得故的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數性質結合(1)的結論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.【整體點評】（I）的方法一，根據已知條件，利用余弦定理經過較復雜的代數恒等變形求得，運算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運算簡潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復雜的余弦定理代入化簡，運算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡潔明快，確定為最優(yōu)解.8．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）方法一：根據的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進而求得的值.【詳解】（1）[方法一]：正余弦定理綜合法由余弦定理得，所以.由正弦定理得.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法過點A作，垂足為E．在中，由，可得，又，所以．在中，，因此．（2）[方法一]：兩角和的正弦公式法由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法

在（1）的方法二的圖中，由，可得，從而．又由（1）可得，所以．[方法三]：幾何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得．在中，，所以．在中，由正弦定理可得，由此可得．[方法四]：構造直角三角形法

如圖，作，垂足為E，作，垂足為點G．在（1）的方法二中可得．由，可得．在中，．由（1）知，所以在中，，從而．在中，．所以．【整體點評】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特點，作出輔助線，利用幾何方法簡單計算即得答案，運算尤其簡潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用兩角和的正弦公式求得的正弦值，進而求解；方法二：適當作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解，運算更為簡潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎上，使用正弦定理求得的正弦值，進而得解；方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有的直角三角形，進而求解，也是很優(yōu)美的方法.9．（2019·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由題意結合余弦定理得到關于c的方程，解方程可得邊長c的值；(2)由題意結合正弦定理和同角三角函數基本關系首先求得的值，然后由誘導公式可得的值.【詳解】（1）因為，由余弦定理，得，即.所以.（2）因為，由正弦定理，得，所以.從而，即，故.因為，所以，從而.因此.【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系、誘導公式等基礎知識，考查運算求解能力.10．（2019·北京·高考真題）在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由題意列出關于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值；(Ⅱ)由題意結合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)由題意可得：，解得：.(Ⅱ)由同角三角函數基本關系可得：，結合正弦定理可得：，很明顯角C為銳角，故，故.【點睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應用，兩角和差正余弦公式的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.11．（2019·全國·高考真題）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理化簡已知邊角關系式可得：，從而可整理出，根據可求得結果；（2）[方法一]由題意利用正弦定理邊化角，然后結合三角形內角和可得，然后結合輔助角公式可得，據此由兩角和差正余弦公式可得．【詳解】（1），即：，由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]正弦定理+兩角和差正余弦由（1）知，，所以由，得，整理得，即．又，所以，即，則．[方法二]正弦定理+方程思想由，得，代入，得，整理得，則．由，得，所以．[方法三]余弦定理令．由，得．將代入中，可得，即，解得或（舍去）．所以，從而．[方法四]攝影定理因為，所以，由射影定理得，所以．【整體點評】方法一：首先由正弦定理邊化角，然后由兩角和差正余弦公式求解的值；方法二：首先由正弦定理邊化角，然后結合題意列方程，求解方程可得的值；方法三：利用余弦定理求得的值，然后結合正弦定理可得的值；方法四：利用攝影定理求得的值，然后由兩角和差正余弦公式求解的值；【點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數關系的應用，解題關鍵是能夠利用正弦定理對邊角關系式進行化簡，得到余弦定理的形式或角之間的關系.12．（2018·天津·高考真題）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大?。唬?）設a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【詳解】分析：（Ⅰ）由題意結合正弦定理邊化角結合同角三角函數基本關系可得，則B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．結合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得詳解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因為，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因為a<c，故．因此，所以，點睛：在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．題中若出現邊的一次式一般采用到正弦定理，出現邊的二次式一般采用到余弦定理．應用正、余弦定理時，注意公式變式的應用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．13．（2017·天津·高考真題）在中，內角所對的邊分別為.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】試題分析：利用正弦定理“角轉邊”得出邊的關系，再根據余弦定理求出，進而得到，由轉化為，求出，進而求出，從而求出的三角函數值，利用兩角差的正弦公式求出結果.試題解析：（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A為鈍角，所以.于是，，故.考點：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點睛】利用正弦定理進行“邊轉角”尋求角的關系，利用“角轉邊”尋求邊的關系，利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經常利用三角形內角和定理，三角形面積公式，結合正、余弦定理解題.14．（2017·天津·高考真題）在中，內角所對的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【詳解】試題分析：利用正弦定理“角轉邊”得出邊的關系，再根據余弦定理求出，進而得到，由轉化為，求出，進而求出，從而求出的三角函數值，利用兩角差的正弦公式求出結果.試題解析：（Ⅰ）解：在中，因為，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，.故.考點：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點睛】利用正弦定理進行“邊轉角”尋求角的關系，利用“角轉邊”尋求邊的關系，利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經常利用三角形內角和定理，三角形面積公式，結合正、余弦定理解題.15．（2016·四川·高考真題）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若，求tanB．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）4.【詳解】試題分析：本題考查正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查學生的分析問題的能力和計算能力.第（Ⅰ）問，利用正弦定理，將邊角進行轉化，結合誘導公式進行證明；第（Ⅱ）問，利用余弦定理解出cosA=，再根據平方關系解出sinA，結合（Ⅰ）可解出tanB的值.試題解析：（Ⅰ）根據正弦定理，可設，則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC.代入中，有，變形可得sinAsinB="sin"AcosB+cosAsinB="sin"（A+B）.在ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）="sin"（π–C）="sin"C，所以sinAsinB="sin"C.（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根據余弦定理，有.所以sinA=.由（Ⅰ），sinAsinB="sin"AcosB+cosAsinB，所以sinB=cosB+sinB，故tanB==4.【考點】正弦定理、余弦定理、誘導公式、同角三角函數的基本關系【名師點睛】本題考查正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查學生的分析問題的能力和計算能力.在解三角形時，凡是遇到等式中有邊又有角，可用正弦定理進行邊角互化，一種是化為三角函數問題，一種是化為代數式的變形問題．在角的變化過程中注意三角形的內角和為這個定理，否則難以得出結論．16．（2016·浙江·高考真題）在ABC中，內角所對的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）證明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）用正弦定理將邊轉化為角，進而用兩角和的正弦公式轉化為含有，的式子，根據角的范圍可證；（Ⅱ）先用同角三角函數的基本關系及二倍角公式可得，進而可得和，再用兩角和的余弦公式可得．【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得，故，于是，又，故，所以或，因此（舍去）或，所以，.（Ⅱ）由，得，，故，，.17．（2016·浙江·高考真題）在中，內角所對的邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若的面積，求角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）或.【詳解】試題分析：（1）由正弦定理得，進而得，根據三角形內角和定理即可得結論；（2）由得，再根據正弦定理得及正弦的二倍角公式得，進而得討論得結果.試題解析：（1）由正弦定理得，故，于是．又，故，所以或，因此（舍去）或，所以．（2）由得，故有，因，得．又，所以．當時，；當時，．綜上，或．考點：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形內角和定理及三角形內角和定理.18．（2016·天津·高考真題）在中，內角所對的邊分別為a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理，將邊化為角：,再根據三角形內角范圍化簡得，；（Ⅱ）已知兩角，求第三角，利用三角形內角和為，將所求角化為兩已知角的和，再根據兩角和的正弦公式求解.試題解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得；（Ⅱ）解：由，可得，則.【考點】同角三角函數的基本關系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理【名師點睛】三角函數是以角為自變量的函數，因此解三角函數題，首先從角進行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導公式、同角三角函數基本關系、兩角和與差的公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當的公式是解決三角問題的關鍵，明確角的范圍，對開方時正負取舍是解題正確的保證.19．（2016·北京·高考真題）在△ABC中，(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．【答案】（1）（2）1【詳解】試題分析：（1）由余弦定理及題設得；（2）由（1）知當時，取得最大值．試題解析：（1）由余弦定理及題設得，又∵，∴；（2）由（1）知，，因為，所以當時，取得最大值．考點：1、解三角形；2、函數的最值.20．（2016·山東·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．【答案】（1）見解析；（2）．【詳解】試題分析：（1）根據三角函數的基本關系式，可化簡得，再根據，即可得到，利用正弦定理，可作出證明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.試題解析：（1）由題意知，，化簡得：即，因為，所以，從而，由正弦定理得.（2）由（1）知，，所以，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.考點：三角恒等變換的應用；正弦定理；余弦定理.【方法點晴】本題主要考查了三角恒等變換的應用、正弦定理與余弦定理的應用，涉及到三角函數的基本關系式和三角形中的性質和基本不等式的應用，著重考查了轉化與化歸思想和學生的推理與運算能力，以及知識間的融合，屬于中檔試題，解答中熟記三角函數恒等變換的公式是解答問題的關鍵.21．（2016·四川·高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求.【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）4.【詳解】試題分析：（Ⅰ）將已知等式通分后利用兩角和的正弦函數公式整理，利用正弦定理，即可證明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函數值，利用（Ⅰ）的條件，求解B的正切函數值即可試題解析：（1）根據正弦定理，設===k（k>0）．則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC．代入+=中，有+=，變形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）．在△ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）=sin（π–C）="sin"C，所以sinAsinB=sinC．（2）由已知，b2+c2–a2=bc，根據余弦定理，有cosA==．所以sinA==．由（Ⅰ），sinAsinB="sin"AcosB+cosAsinB，所以sinB=cosB+sinB，故tanB==4．考點：余弦定理的應用；正弦定理；余弦定理22．（2016·江蘇·高考真題）在中，AC=6，（1）求AB的長；（2）求的值.【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）利用同角三角函數的基本關系求再利用正弦定理求AB的長；（2）利用誘導公式及兩角和與差正余弦公式分別求，然后求試題解析：解（1）因為，，所以由正弦定理知，所以（2）在中，，所以，于是又故因為，所以因此【考點】同角三角函數的基本關系、正余弦定理、兩角和與差的正余弦公式【名師點睛】三角函數是以角為自變量的函數，因此解三角函數題，首先應從角進行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導公式、同角三角函數的基本關系、兩角和與差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當的公式是解決三角問題的關鍵，同時應明確角的范圍、開方時正負的取舍等.23．（2015·江蘇·高考真題）在中，已知.（1）求的長；（2）求的值.【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）已知兩邊及夾角求第三邊，應用余弦定理，可得的長，（2）利用（1）的結果，則由余弦定理先求出角C的余弦值，再根據平方關系及三角形角的范圍求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出的值.試題解析：（1）由余弦定理知，，所以．（2）由正弦定理知，，所以．因為，所以為銳角，則．因此．考點：余弦定理，二倍角公式24．（2015·天津·高考真題）在中，內角所對的邊分別為，已知的面積為．(1)求和的值；(2)求的值．【答案】（1），（2）【分析】（1）由面積公式可得結合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展開求值.【詳解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.（2）,【點睛】本題主要考查三角變換及正弦定理、余弦定理等基礎知識,考查基本運算求解能力.25．（2015·四川·高考真題）如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個內角.（1）證明：（2）若求的值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【詳解】（1）.（2）由，得.由（1），有連結BD，在中，有，在中，有，所以，則，于是.連結AC，同理可得，于是.所以.考點：本題考查二倍角公式、誘導公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程、化歸與轉化等數學思想.26．（2015·湖南·高考真題）設的內角的對邊分別為.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，且為鈍角，求.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【詳解】試題分析：（Ⅰ）由題根據正弦定理結合所給已知條件可得，所以；（Ⅱ）根據兩角和公式化簡所給條件可得，可得，結合所給角B的范圍可得角B,進而可得角A,由三角形內角和可得角C.試題解析：（Ⅰ）由及正弦定理，得，所以．（Ⅱ）因為有（Ⅰ）知，因此，又Ｂ為鈍角，所以，故，由知，從而，綜上所述，考點：正弦定理及其運用【名師點睛】解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．27．（2015·湖南·高考真題）設的內角，，的對邊分別為，，，，且為鈍角.（1）證明：；（2）求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【詳解】試題分析：(Ⅰ)運用正弦定理將化簡變形,再解三角方程即可獲解；(Ⅱ)將角用表示,換元法求函數的值域即可.試題解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，∴，即，又為鈍角，因此，故，即；(Ⅱ)由（1）知，，∴，于是，∵，∴，因此，由此可知的取值范圍是．考點：正弦定理、三角變換，二次函數的有關知識和公式的應用.28．（2015·全國·高考真題）△ABC中D是BC上的點,AD平分BAC,BD=2DC．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理轉化得：（Ⅱ）由誘導公式可得由（Ⅰ）知,所以試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得因為AD平分BAC,BD=2DC,所以.（Ⅱ）因為所以由（I）知,所以考點：本題主要考查正弦定理及誘導公式的應用,意在考查考生的三角變換能力及運算能力.考點04求三角形的高、中線、角平分線及其他線段長1．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數基本關系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.2．（2018·北京·高考真題）在中，．（1）求；（2）求邊上的高．【答案】（1）∠A=；（2）AC邊上的高為．【分析】（1）方法一：先根據平方關系求,再根據正弦定理求，即得；（2）方法一：利用誘導公式以及兩角和正弦公式求，即可解得邊上的高．【詳解】（1）［方法一］：平方關系＋正弦定理在中,∵.由正弦定理得

［方法二］：余弦定理的應用由余弦定理知．因為，代入上式可得或（舍）．所以，又，所以．（2）［方法一］：兩角和的正弦公式＋銳角三角函數的定義在△ABC中，∵=．如圖所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC邊上的高為．［方法二］：解直角三角形＋銳角三角函數的定義如圖1，由（1）得，則．作，垂足為E，則，故邊上的高為．［方法三］:等面積法由（1）得，易求．如圖1，作，易得，即．所以根據等積法有，即，所以邊上的高為．【整體點評】（1）方法一：已知兩邊及一邊對角，利用正弦定理求出；方法二：已知兩邊及一邊對角，先利用余弦定理求出第三邊，再根據余弦定理求出角；（2）方法一：利用兩角和的正弦公式求出第三個角，再根據銳角三角函數的定義求出；方法二：利用初中平面幾何知識，通過銳角三角函數定義解直角三角形求出；方法三：利用初中平面幾何知識，通過等面積法求出．3．（2018·全國·高考真題）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：根據正弦定理得到，求得，結合角的范圍，利用同角三角函數關系式，求得；（2）方法一：根據第一問的結論可以求得，在中，根據余弦定理即可求出．【詳解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方關系在中，由正弦定理得，代入數值并解得．又因為，所以，即為銳角，所以．［方法2］：余弦定理在中，，即，解得：，所以，．［方法3］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識如圖，過B點作，垂足為E，，垂足為F．在中，因為，，所以．在中，因為，則．所以．［方法4］：坐標法以D為坐標原點，為x軸，為y軸正方向，建立平面直角坐標系（圖略）．設，則．因為，所以．從而，又是銳角，所以，．（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在，由（1）得，，，所以．［方法2］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識作，垂足為F，易求，，，由勾股定理得．【整體點評】（1）方法一：根據題目條件已知兩邊和一邊對角，利用正弦定理和平方關系解三角形，屬于通性通法；方法二：根據題目條件已知兩邊和一邊對角，利用余弦定理解三角形，也屬于通性通法；方法三：根據題意利用幾何知識，解直角三角形，簡單易算．方法四：建立坐標系，通過兩點間的距離公式，將幾何問題轉化為代數問題，這是解析思想的體現．（2）方法一：已知兩邊及夾角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用幾何知識，解直角三角形，簡單易算．4．（2015·安徽·高考真題）在中，,點D在邊上，，求的長.【答案】【詳解】試題分析：根據題意，設出的內角所對邊的長分別是，由余弦定理求出的長度，再由正弦定理求出角的大小，在中.利用正弦定理即可求出的長度.試題解析：如圖，設的內角所對邊的長分別是，由余弦定理得，所以.又由正弦定理得.由題設知，所以.在中，由正弦定理得.考點：1.正弦定理、余弦定理的應用.5．（2015·全國·高考真題）中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長．【答案】（1）；（2）,1【詳解】試題分析：（1）借助題設條件運用三角形的面積公式求解；（2）借助題設余弦定理立方程組求解.試題解析：（1），，∵，，∴．由正弦定理可知.（2）∵，，∴．設，則，在△與△中，由余弦定理可知，，，∵，∴，∴，解得，即．考點：三角形的面積公式正弦定理余弦定理等有關知識的綜合運用．考點05三角形中的證明問題1．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）根據題意可得，，再結合三角形內角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據正弦定理，余弦定理化簡即可證出．【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．2．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據正弦定理的邊角關系有，結合已知即可證結論.（2）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊與的關系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又