高考數一輪復習 7.5 直線、平面垂直的判定與性質限時集訓 理

限時集訓(四十三)直線、平面垂直的判定與性質(限時：50分鐘滿分：106分)一、選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分)1．若直線a與平面α內無數條直線垂直，則直線a與平面α的位置關系是()A．垂直 B．平行C．相交 D．不能確定2．(·深圳模擬)已知直線m、n與平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，則應增加的條件是()A．m∥n B．n⊥mC．n∥α D．n⊥α3．已知a、b為直線，α、β為平面．在下列四個命題中：①若a⊥α，b⊥α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a⊥α，a⊥β，則α∥β；④若b∥α，b∥β，則α∥β.正確命題的個數是()A．1 B．3C．2 D．04．(·浙江高考)設l是直線，α，β是兩個不同的平面()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β5．如圖所示，b，c在平面α內，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在線段AB上(C，D，E均異于A，B)，則△ACD是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形6．(·鞍山模擬)已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，給出下列命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α⊥β，其中正確的是()A．①②③ B．②③④C．②④ D．①③7．在一個45°的二面角的一個面內有一條直線與二面角的棱成45°，則此直線與二面角的另一個面所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°8．給出命題：(1)在空間里，垂直于同一平面的兩個平面平行；(2)設l，m是不同的直線，α是一個平面，若l⊥α，l∥m，則m⊥α；(3)已知α，β表示兩個不同平面，m為平面α內的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的充要條件；(4)a，b是兩條異面直線，P為空間一點，過P總可以作一個平面與a，b之一垂直，與另一個平行．則其中正確命題的個數是 ()A．0 B．1C．2 D．3二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)9．如圖，空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是________．10．設l，m，n為三條不同的直線，α為一個平面，給出下列命題①若l⊥α，則l與α相交②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n其中正確命題的序號為________．11．已知α，β，γ是三個不同的平面，命題“α∥β且α⊥γ?β⊥γ”是真命題，如果把α，β，γ中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有________個．12．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)13．如圖，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結論：eq\a\vs4\al(①AE)⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的序號是________．14．如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M、N分別是AD、BE的中點，將三角形ADE沿AE折起．下列說法正確的是________．(填上所有正確的序號)①不論D折至何位置(不在平面ABC內)都有MN∥平面DEC；②不論D折至何位置都有MN⊥AE；③不論D折至何位置(不在平面ABC內)都有MN∥AB.三、解答題(本大題共3個小題，每小題14分，共42分)15．(·山東高考)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求證：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值．16.(·鄭州模擬)如圖，直角三角形BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面，其中DC⊥CB，PA⊥平面ABC，DC＝BC＝2PA，E、F分別為DB、CB的中點．(1)證明：AE⊥BC；(2)求直線PF與平面BCD所成的角．17．如圖①，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝eq\f(π,2)，點M、N分別在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，現將梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直(如圖②)．(1)求證：AB∥平面DNC；(2)當DN＝eq\f(3,2)時，求二面角D－BC－N的大?。鸢竅限時集訓(四十三)]1．D2.B3.C4.B5.B6.D7.A8.B9．解析：過A作AO⊥BD于O點，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD.則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.答案：45°10．解析：①顯然正確；對②，只有當m，n相交時，才能l⊥α，故②錯誤；對③，由l∥m，m∥n?l∥n，由l⊥α得n⊥α，故③正確；對④，由l∥m，m⊥α?l⊥α，再由n⊥α?l∥n.故④正確．答案：①③④11．解析：①將α，β換作直線a，b，命題為“a∥b且a⊥γ?b⊥γ”，顯然這是一個真命題；②將α，γ換作直線a，c，命題為“a∥β，且a⊥c?c⊥β”，這是一個假命題；③將β，γ換成直線b，c，命題為“α∥b，且α⊥c?b⊥c”，這是一個真命題，故填2.答案：212．解析：DM⊥PC(或BM⊥PC等)由定理可知，BD⊥PC.∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)13．解析：①AE?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正確；②AE⊥PB，AF⊥PB?EF⊥PB，故②正確；③若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，則AF∥AE與已知矛盾，故③錯誤；由①可知④正確．答案：①②④14.解析：將△ADE沿AE折起后所得圖形如圖，取DE中點P，EC中點Q，連PM、PQ、QN.則PM綊eq\f(1,2)AE，NQ綊eq\f(1,2)BC，∴PM綊NQ，∴四邊形PMNQ為平行四邊形，∴MN∥PQ，又MN?平面DEC，PQ平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正確．又AE⊥ED，AE⊥EC，DE∩CE＝E，∴AE⊥平面DEC，∴AE⊥PQ，∴AE⊥MN，故②正確．由MN∥PQ，PQ與EC相交知MN與EC不平行，從而MN與AB不會平行．答案：①②15．解：(1)證明：因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，AD⊥BD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED.(2)取BD的中點G，連接CG，FG，由于CB＝CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以FC⊥BD.由于FC∩CG＝C，FC，CG?平面FCG，所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，所以∠FGC為二面角F－BD－C的平面角．在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，因此CG＝eq\f(1,2)CB，又CB＝CF，所以GF＝eq\r(CG2＋CF2)＝eq\r(5)CG，故cos∠FGC＝eq\f(\r(5),5)，因此二面角F－BD－C的余弦值為eq\f(\r(5),5).16．解：(1)證明：連接EF，AF.因為E、F分別是BD、BC的中點，所以EF∥DC.又DC⊥BC，所以EF⊥BC.因為△ABC為等邊三角形，所以BC⊥AF.EF∩AF＝F所以BC⊥平面AEF，又AE?平面AEF，故BC⊥AE.(2)連接PE.因為平面BCD⊥平面ABC，DC⊥BC，AF⊥BC，所以DC⊥平面ABC，AF⊥平面BCD.因為PA⊥平面ABC，PA＝eq\f(1,2)DC，所以PA綊eq\f(1,2)DC.又因為EF綊eq\f(1,2)DC，所以EF綊PA，故四邊形APEF為矩形．所以PE綊AF.所以PE⊥平面BCD.則∠PFE即為直線PF與平面BCD所成的角．在Rt△PEF中，因為PE＝AF＝eq\f(\r(3),2)BC，EF＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(1,2)BC，所以tan∠PFE＝eq\f(PE,EF)＝eq\r(3)，故∠PFE＝60°，即直線PF與平面BCD所成的角為60°.17．解：(1)證明：MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，∴MB∥平面DNC.同理MA∥平面DNC，又MA∩MB＝M，且MA、MB?平面MAB.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∴平面MAB∥平面NCD,AB?平面MAB))?AB∥平面DNC.(2)過N作