浙江專用2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中挑戰(zhàn)滿分沖刺卷特訓(xùn)03期中選填題匯編第1-3章新人教A版選擇性必修第一冊

PAGE1特訓(xùn)03期中選填題匯編（第1-3章）基礎(chǔ)特訓(xùn)練基礎(chǔ)特訓(xùn)練特訓(xùn)第一階——基礎(chǔ)特訓(xùn)練一、單選題1．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，若，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】依題意可得兩平面的法向量共線，即可得到，從而得到方程組，解得即可；【解析】解：因為，所以，即，解得；故選：B．2．（2024·浙江·杭州四中高二期末）已知向量，，且與相互平行，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由空間向量共線的坐標(biāo)表示求解【解析】，，則，解得，故選：D3．（2024·浙江·高二期中）如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為M.設(shè)，則下列向量中與相等的向量是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)代入計算化簡即可.【解析】故選：B.4．（2024·浙江·金華市外國語學(xué)校高二開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點M是點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點M的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】點在平面內(nèi)的射影是坐標(biāo)不變，坐標(biāo)為0的點.【解析】點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為，故點M的坐標(biāo)是故選：C5．（2024·浙江·杭州四中高二期末）如圖所示，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，，.若E，F(xiàn)分別是棱，上的點，且，，則異面直線與AF所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為原點，為軸，在平面中過作的垂線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值．【解析】以為原點，為軸，在平面中過作的垂線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，，，，分別是棱，上的點，且，，，0，，，，，，0，，，0，，，，，，0，，設(shè)異面直線與所成角所成角為，則．異面直線與所成角的余弦值為．故選：．6．（2024·浙江省桐廬中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，M，N分別為，上的點，且，，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】以為基底表示，由此求得，進而求得.【解析】，所以.故選：B7．（2024·浙江·吳興高級中學(xué)高二階段練習(xí)），“直線和直線平行”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】求出兩直線平行時的值，再依據(jù)充分必要條件的定義推斷．【解析】由題意，則，，因此題中應(yīng)為充分必要條件．故選：C．8．（2024·浙江·杭州市富陽區(qū)場口中學(xué)高二期末）過點（7，-2）且與直線相切的半徑最小的圓方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合得到過點作直線的垂線，垂足為，則以為直徑的圓為直線相切的半徑最小的圓，利用點到直線距離求出直徑，設(shè)，列出方程組，求出圓心坐標(biāo)，得到圓的方程.【解析】過點作直線的垂線，垂足為，則以為直徑的圓為直線相切的半徑最小的圓，其中，設(shè)，則，解得：，故的中點，即圓心為，即，故該圓為故選：B9．（2024·浙江省諸暨市其次高級中學(xué)高二期中）已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實數(shù)（

）A．1 B． C．或1 D．2或1【答案】D【分析】對a分類探討，由截距相等列方程解出的值.【解析】當(dāng)時，直線，此時不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)時，直線，在軸與軸上的截距均為0，符合題意；當(dāng)且，由直線可得：橫截距為，縱截距為.由，解得：.故的值是2或1.故選：D10．（2024·浙江·溫州中學(xué)高二期末）已知直線與圓有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線與圓的位置關(guān)系列出不等式求解即可得答案.【解析】解：因為直線與圓有兩個不同的交點，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：B.11．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知圓截直線所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題求出圓心和半徑，再依據(jù)幾何關(guān)系即求.【解析】由題知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心坐標(biāo)為，半徑，圓截直線所得弦的長度為4，，解得.故選：C.12．（2024·浙江麗水·高二開學(xué)考試）兩圓，的公切線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】依據(jù)給定條件推斷圓與的位置關(guān)系即可作答.【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，而，即圓與外切，它們有3條公切線，所以圓與的公切線有3條.故選：C13．（2024·浙江杭州·高二階段練習(xí)）拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C．x＝－1 D．y＝－1【答案】D【分析】先把其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出p即可得到其準(zhǔn)線方程．【解析】由題得：，所以，即所以故準(zhǔn)線方程為：．故選：D14．（2024·浙江·紹興一中模擬預(yù)料）已知雙曲線的兩條漸近線為，點為左右焦點，以原點為圓心且過兩焦點的圓與交于第一象限的點P，點Q為線段的中點，且直線，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可設(shè)，又，則，整理得到關(guān)于離心率的方程，求解即可.【解析】由題可設(shè)，則，又，則．故選擇：B．15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓以為左右焦點，點P、Q在橢圓上，且過右焦點，，若，則該橢圓離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)題意不妨設(shè)，則，依據(jù)橢圓的定義可求得，從而可求得，即可得解.【解析】解：依據(jù)題意可得如圖橢圓，是直角三角形，，不妨設(shè)，則，因為，所以，，所以離心率．故選：A．16．（2024·湖南永州·一模）已知橢圓分別為其左?右焦點，過作直線軸交橢圓于兩點，將橢圓所在的平面沿軸折成一個銳二面角，設(shè)其大小為，翻折后兩點的對應(yīng)點分別為，記.若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，且，在中分別運用余弦定理得到，利用題干條件化簡得到，求出，從而求出離心率.【解析】將代入中，解得：，所以，且，則在中分別由余弦定理得，，所以又由得：，所以，即，所以，即離心率為.故選：A.二、多選題17．（2024·浙江金華第一中學(xué)高二期中）給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若，則是鈍角B．若為直線的方向向量，則也是直線的方向向量C．若，則，，，肯定共面D．平面，的法向量分別是，，平面，的夾角為，則【答案】CD【分析】依據(jù)空間向量的學(xué)問和平面的法向量逐一推斷即可.【解析】若，則，故A錯誤；若為直線的方向向量，則當(dāng)時才有是直線的方向向量，故B錯誤；若，則所以，即，所以，，，共面，故C正確；平面，的法向量分別是，，平面，的夾角為，則，故D正確.故選：CD18．（2024·浙江·杭州市富陽區(qū)其次中學(xué)高二階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．已知和是兩個相互垂直的單位向量，，，且，則實數(shù)B．已知正四面體的棱長為1，則C．已知，，，則向量在上的投影向量的模長是D．已知，，（為空間向量的一個基底），則向量，，不行能共面【答案】ABC【分析】利用向量的基本概念及基本運算逐一進行推斷，即可得出結(jié)論．【解析】A.因為，，且，所以，解得，所以A正確.B.正四面體對棱相互垂直，所以與，與夾角為，所以，所以B正確.C.，，向量在上的投影向量的模長是，所以C正確.D.假設(shè)向量，，共面，則，所以，即，所以，解得，所以向量，，共面，所以D不正確.故選：ABC.19．（2024·浙江紹興·高二期末）下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角范圍是B．若直線與直線相互垂直，則C．過兩點，的直線方程為D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為【答案】AC【分析】依據(jù)直線斜率和傾斜角的關(guān)系，直線位置關(guān)系以及直線方程的應(yīng)用，對每個選項進行逐一分析，即可推斷和選擇.【解析】對A：直線，其斜率，設(shè)直線傾斜角為，故可得，則，故A正確；對B：直線與直線相互垂直，則，解得或，故錯誤；對：過兩點，的直線方程為，故C正確；對D：經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為和，故D錯誤；故選：AC.20．（2024·浙江·瑞安市第六中學(xué)高二開學(xué)考試）已知圓，直線．下列命題正確的有（

）A．直線l與圓C可能相切B．y軸被圓C截得的弦長為C．直線l被圓C截得的最短弦長為D．直線l被圓C截得弦長最短時，直線l的方程為【答案】BD【分析】求出l經(jīng)過的定點，推斷定點與圓C的位置關(guān)系即可推斷l(xiāng)與圓的位置關(guān)系.當(dāng)l截圓的弦長最小時，，依據(jù)幾何關(guān)系即可求此時弦長和直線l的方程.【解析】將的方程整理為，由，且，解得，，則無論為何值，直線過定點．因為，則點在圓的內(nèi)部，直線與圓相交，故A錯誤；令，則，解得：，故圓被軸截得的弦長為，故B正確；圓心，半徑為5，，當(dāng)截得的弦長最小時，，最短弦長為，故C錯誤；此時由于，則的斜率為2，l的方程為：，即，故D正確.故選：BD.21．（2024·浙江·瑞安市第六中學(xué)高二階段練習(xí)）古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷．他發(fā)覺平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，．點滿意，設(shè)點所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的圓心坐標(biāo)為B．C．曲線的周長為D．曲線上的點到直線的最小距離為【答案】ABD【分析】設(shè)，利用兩點間的距離公式求出點所構(gòu)成的曲線方程，然后逐一推斷即可.【解析】設(shè)，由可得，整理可得，化為，所以曲線的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故A正確；圓心到點的距離為，所以，即，故B正確；圓的周長為，故C錯誤；圓心到直線的距離為，所以曲線上的點到直線的最小距離為.故選：ABD22．（2024·浙江·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點，，為垂足.若直線的斜率，則下列結(jié)論正確的是（

）A．準(zhǔn)線方程為 B．焦點坐標(biāo)C．點的坐標(biāo)為 D．的長為3【答案】BC【分析】由拋物線方程推斷AB，先求出A點坐標(biāo)再求P點坐標(biāo)，從而求出的長，進而可推斷CD.【解析】由拋物線方程為，焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，A錯B對；直線的斜率為，直線的方程為，當(dāng)時，，，，為垂足，點的縱坐標(biāo)為，可得點的坐標(biāo)為，C對；依據(jù)拋物線的定義可知，D錯.故選:BC.23．（2024·浙江嘉興·高二期末）已知平面內(nèi)兩個定點，直線相交于點，且它們的斜率之積為常數(shù)，設(shè)點的軌跡為.下列說法中正確的有（

）A．存在常數(shù)，使上全部的點到兩點的距離之和為定值B．存在常數(shù)，使上全部的點到兩點的距離之差的肯定值為定值C．存在常數(shù)，使上全部的點到兩點的距離之和為定值D．存在常數(shù)，使上全部的點到兩點的距離之差的肯定值為定值【答案】BC【分析】干脆法求出曲線方程，依據(jù)選項結(jié)合橢圓與雙曲線中a、b、c的關(guān)系干脆計算可得.【解析】設(shè)M坐標(biāo)為，則，化簡得的軌跡方程為：由得，此時表示焦點為的雙曲線，故B正確，A錯誤.由得，此時表示焦點為的橢圓，故C正確，明顯不管為何值都不行能是焦點在y軸的雙曲線，故D錯誤.故選：BC.24．（2024·浙江·麗水外國語試驗學(xué)校高二階段練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于兩點，則（

）A．為定值B．的周長的取值范圍是C．當(dāng)時，為直角三角形D．當(dāng)時，的面積為【答案】ACD【分析】對選項進行逐一推斷.由橢圓的定義推斷A；由為定值以及的范圍推斷B；求出坐標(biāo)，由數(shù)量積公式得出，得出為直角三角形推斷C；求出坐標(biāo)，由面積公式得出的面積推斷D.【解析】設(shè)橢圓的左焦點為，則所以為定值，A正確；的周長為，因為為定值6，所以的范圍是，所以的周長的范圍是，B錯誤；將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，又因為，∴所以為直角三角形，C正確；將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，所以，D正確.故選：ACD三、填空題25．（2024·浙江·臺州市書生中學(xué)高二開學(xué)考試）已知是空間兩個向量，若，則cos〈〉＝________．【答案】【分析】依據(jù)向量幾何法的模長公式，可得向量數(shù)量積的值，依據(jù)向量夾角余弦值的公式，可得答案.【解析】由，可知，則，，，則.故答案為：.26．（2024·浙江寧波·高二期中）已知，，．若、、三向量共面，則實數(shù)______．【答案】【分析】由題意可得，存在實數(shù)x，y，使，列出方程組，即可求得答案.【解析】因為不平行，且、、三向量共面，所以存在實數(shù)x，y，使，所以，解得，故答案為：27．（2024·浙江金華·高二期末）已知正方形的邊長為2，對部分以為軸進行翻折，翻折到，使二面角的平面角為直二面角，則___________.【答案】-2【分析】依據(jù)，則，依據(jù)條件求得向量夾角即可求得結(jié)果.【解析】由題知，，取的中點O，連接，如圖所示，則，又二面角的平面角為直二面角，則，又，則，為等邊三角形，從而，則，故答案為：-228．（2024·浙江·臺州市路橋區(qū)東方志向?qū)W校高二階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，全部棱長均為，且底面，則點到平面的距離為______.【答案】【分析】以C為原點，分別為y、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.【解析】以C為原點，分別為y、z軸正方向，建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系，則,則,.設(shè)平面ABC1的一個法向量為,則有，不妨設(shè)z=1，解得,則所求距離為故答案為：.29．（2024·浙江·杭州四中高二期末）直線的傾斜角為______.【答案】##【分析】由直線方程及特別角函數(shù)值得斜率，依據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系求傾斜角大小.【解析】由題設(shè)，直線斜率，若傾斜角為，則，故.故答案為：30．（2024·浙江·吳興高級中學(xué)高二階段練習(xí)）直線與平行，則它們的距離是_____【答案】【分析】依據(jù)兩個平行線之間的距離計算公式，計算得答案.【解析】直線可化為直線，又，且，所以它們的距離.故答案為：.31．（2024·浙江·高二期中）若直線與曲線有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是___________．【答案】【分析】依據(jù)題意可得直線過定點，作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想可得直線斜率的最大、最小值.【解析】由題意得，直線過定點，畫出的圖象，如圖，結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線與圓相切于點時，斜率取得最小值，此時；當(dāng)直線與圓相交于點時，斜率最大，此時，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：32．（2024·浙江臺州·高二期中）已知直線與圓交于兩點P，Q，則弦長的取值范圍是______.【答案】【分析】求得圓的圓心和半徑，以及直線恒過的定點，推斷在圓內(nèi)，可得的最大值和最小值，即可得到所求范圍．【解析】解：圓的圓心，半徑，直線，即，令，解得，即直線過定點，且，即點在圓內(nèi)，最長為直徑，即，當(dāng)最短時，點為弦的中點，即時，所以，但此時直線斜率不存在，取不到6，即的范圍是．故答案為：．33．（2024·浙江·臺州市書生中學(xué)高二開學(xué)考試）已知雙曲線：的離心率，則虛軸長為_____________.【答案】【分析】結(jié)合離心率求得，由此求得虛軸長.【解析】依題意，所以虛軸長.故答案為：34．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是________．【答案】【分析】依據(jù)已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【解析】因為方程表示雙曲線，則，解得或.故答案為：.35．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過F與C交于A、B兩點，若|AF|＝|BF|，則y軸被以線段AB為直徑的圓截得的弦長為__.【答案】【分析】由|AF|＝|BF|，可得l⊥x軸，從而可確定圓的圓心和半徑，這樣就可以求弦長了.【解析】解：由于|AF|＝|BF|，所以l⊥x軸，所以圓心坐標(biāo)為F（1，0），半徑為r＝2，弦長為，故答案為：2.36．（2024·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)料）已知點F為雙曲線的左焦點，A為直線在第一象限內(nèi)的點，過原點O作的垂線交于點B，且B恰為線段的中點，若的內(nèi)切圓半徑為，則該雙曲線的離心率大小為_________．【答案】【分析】設(shè)，依據(jù)點在漸近線上，點在直線上，求得的坐標(biāo)，結(jié)合為線段的中點，求得，利用內(nèi)切圓半徑的計算公式，求得，求得，依據(jù)離心率為，即可求解.【解析】如圖所示，設(shè)，由題意知，點在漸近線上，點在直線上，可得，因為為線段的中點，且，所以，解得，所以，則，因為的內(nèi)切圓半徑為，所以，即，化簡得，即，所以離心率為.故答案為：.培優(yōu)特訓(xùn)練培優(yōu)特訓(xùn)練特訓(xùn)其次階——拓展培優(yōu)練一、單選題1．（2024·浙江·慈溪市三山高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）在三棱錐中，全部棱的長均為，點在棱上，滿意，點在棱上運動，設(shè)直線與平面所成角為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取中點，在底面的射影為，則以為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，可得，利用線面角的向量求法，結(jié)合函數(shù)值域的求解方法可求得的取值范圍，進而得到的最小值.【解析】取中點，連接；三棱錐各棱長均為，在底面內(nèi)的投影為的中心，；以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，作的平行線作為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，；軸平面，平面的一個法向量；設(shè)，，，，即，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，；設(shè)，則；當(dāng)時，，，；綜上所述：的最小值為.故選：A.2．（2024·浙江金華·模擬預(yù)料）實數(shù)a，b滿意，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】可化簡為，須要表示出對應(yīng)的曲線，用幾何意義求解即可.【解析】由題知，即，即，則表示在，的坐標(biāo)系下，圓心坐標(biāo)為，半徑為的圓的一部分，表示的幾何意義為圓上一點到原點的距離的平方，所以，同理.故選：B.3．（2024·浙江嘉興·高二期末）已知圓，有下列四個命題：①肯定存在與全部圓都相切的直線；②有多數(shù)條直線與全部的圓都相交；③存在與全部圓都沒有公共點的直線；④全部的圓都不過原點.其中正確的命題個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①可先設(shè)出切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑建立等式求解.②③依據(jù)直線與兩條切線的相對位置，可找出與圓相交和相離的直線④假設(shè)過原點，有解【解析】由圓知圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心在直線上，①假設(shè)存在直線與全部圓均相切，設(shè)為則到的距離為可得直線與全部圓均相切，故切線應(yīng)與無關(guān)，可取，有解得.即所以，存在與全部圓均相切的直線，故①正確；過點介于兩相切直線之間的直線，均與全部圓相交，故②正確；過點在兩相切直線之外部區(qū)域的直線，與全部圓均沒有交點，故③正確；假設(shè)過原點，則，得或，故④錯誤.故選：C【點睛】處理直線與圓的位置關(guān)系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數(shù)法．4．（2024·浙江·高三開學(xué)考試）已知分別為橢圓的左?右焦點，過的直線與交于兩點，若，則的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，畫出圖像，依據(jù)，可令，然后表示出，，然后利用橢圓定義找到與之間的關(guān)系，然后用分別表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出與之間的關(guān)系，從而求解離心率.【解析】由已知，可依據(jù)條件做出下圖：因為，令，所以，，由橢圓的定義可知，所以，所以，，，，由橢圓的定義可知，在中，，所以,在中，，所以所以.所以的離心率是.故選：D.5．（2024·浙江·模擬預(yù)料）如圖，四邊形中，．現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角處于過程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)向量與所成角為，二面角的平面角大小為，由平方后求得，取中點E，連接，則，中應(yīng)用余弦定理求得，兩者結(jié)合和是與的關(guān)系，從而求得結(jié)論．【解析】設(shè)向量與所成角為，二面角的平面角大小為，因為，所以，又，所以，,，則，所以，取中點E，連接，則，，,,在中，，即，所以，即，又因為，所以，因為直線夾角范圍為，所以直線與所成角的余弦值范圍是．故選：D．6．（2024·浙江湖州·模擬預(yù)料）已知雙曲線的左、右焦點分別是、，點是雙曲線右支上一點，滿意，若以點為圓心，為半徑的圓與圓內(nèi)切，與圓外切，其中，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圓與圓相切以及雙曲線的定義可求得、，利用余弦定理可得出關(guān)于、的齊次等式，即可求得該雙曲線的離心率的值.【解析】由已知可得，所以，由余弦定理可得，可得，，因此，.故選：C．7．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知點F為拋物線的焦點，，點M為拋物線上一動點，當(dāng)最小時，點M恰好在以A，F(xiàn)為焦點的雙曲線C上，則雙曲線C的漸近線斜率的平方是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可知與拋物線相切時，取得最小值，求出點的坐標(biāo)，利用雙曲線定義求出2a，結(jié)合，可求得，再利用求得結(jié)果.【解析】由拋物線的對稱性，不妨設(shè)為拋物線第一象限內(nèi)點，如圖所示：故點作垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點B，由拋物線的定義知，易知軸，可得當(dāng)取得最大值時，取得最小值，此時與拋物線相切，設(shè)直線方程為：，聯(lián)立，整理得，其中，解得：，由為拋物線第一象限內(nèi)點，則，則，解得：，此時，即或所以點的坐標(biāo)且由題意知，雙曲線的左焦點為，右焦點為設(shè)雙曲線的實軸長為2a，則，，又，則，故漸近線斜率的平方為故選：B二、多選題8．（2024·浙江·諸暨市教化探討中心高二學(xué)業(yè)考試）已知正方體的棱長為2，點O為的中點，若以O(shè)為球心，為半徑的球面與正方體的棱有四個交點E，F(xiàn)，G，H，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．與EH所成的角的大小為45°C．平面D．平面與平面OEF所成角夾角的余弦值為【答案】ABD【分析】首先依據(jù)球的性質(zhì)、勾股定理說明E，F(xiàn)，G，H分別是正方體棱的中點，再依據(jù)線面平行的判定定理、異面直線所成角的求法、線面垂直的性質(zhì)以及二面角的定義、等腰三角形進行推斷.【解析】在正方體中，平面，又平面，所以，在中，，又正方體的棱長為2，點O為的中點，所以，又，設(shè)，所以，即H是正方體棱的中點，同理可證，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點.對于選項A，因為G，H分別是棱、的中點，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于選項B，因為，所以與EH所成的角即為，因為E，H分別是棱、的中點，大小為45°，故B正確；對于選項C，因為E，H分別是棱、的中點，所以，因為G，H分別是棱、的中點，所以面，所以，又，所以平面，又，所以不垂直于平面，故C錯誤；對于選項D，取EF、GH的中點I、Q，連接OI、QI、QO，因為OF=OE，所以，同理可證，所以即為平面與平面OEF所成角的平面角，依據(jù)勾股定理有：，，，所以在等腰中有：.所以平面與平面OEF所成角夾角的余弦值為，故D正確.故選：ABD.9．（2024·浙江舟山·高二期末）如圖，棱長為1的正方體中，為線段上的動點（不含端點），下列結(jié)論中正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．平面與平面所成銳二面角為，則C．直線與所成的角可能是D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】AC【分析】對于A選項，利用等體積法求解即可推斷；對于B選項，建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)二面角的余弦值公式及正方體的對稱性求解；對于C選項，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量線線角余弦公式求解；對于D選項，分別探討所成的截面圖形即可推斷.【解析】對于A選項，三棱雉的體積，是定值，故A選項正確；對于B選項，如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，當(dāng)P為的中點時，，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，，同理可得平面的法向量，，當(dāng)P為重合時，，同理當(dāng)P為重合時，，由對稱性知，故B選項錯誤；對于C選項，，所以，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，由于，，所以，即直線與所成的角滿意，又因為，故，故直線與所成的角可能是，故C選項正確；對于D選項，設(shè)的中點為，當(dāng)點在線段（不包含端點）上時，此時平面截正方體所得的截面為梯形，如圖2；當(dāng)點在點時，此時平面截正方體所得的截面正三角形；當(dāng)點在線段（不包含端點）上時，此時平面截正方體所得的截面為等腰三角形，該三角形不行能為直角三角形，故D選項錯誤；故選：AC.10．（2024·浙江·高二期中）過點作圓的切線，是圓上的動點，則下列說法中正確的是（

）A．切線的方程為B．圓與圓的公共弦所在直線方程為C．點到直線的距離的最小值為D．點為坐標(biāo)原點，則的最大值為【答案】ABD【分析】A.由，得到，再利用點斜式寫出切線方程；B.由和兩式相減求解推斷；C.先求得點到直線的距離，再減去半徑即可；D.設(shè)，得到，然后利用直線與圓相切求解推斷.【解析】A.因為，所以，則過點的切線為，即，故正確；B.由和兩式相減得，故正確；C.點到直線的距離，所以點到直線的距離的最小值為，故錯誤；D.設(shè)，則，所以，即，點到直線的距離等于半徑得：，解得或，則的最大值為，故正確；故選：ABD11．（2024·浙江·模擬預(yù)料）三角形的外心、重心、垂心所在的直線稱為歐拉線．已知圓的圓心在的歐拉線上，為坐標(biāo)原點，點與點在圓上，且滿意，則下列說法正確的是（

）A．圓的方程為B．的方程為C．圓上的點到的最大距離為D．若點在圓上，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】分析可知的歐拉線即為的中垂線，求出線段的中垂線方程，可推斷B選項；依據(jù)題意可設(shè)，求出的值，可得出圓的方程，可推斷A選項；求出圓上的點到的最大距離，可推斷C選項；利用點到直線的距離公式可推斷D選項.【解析】對于B選項，由題意可知，故的歐拉線即為線段的中垂線，線段的中點為，直線的斜率為，所以，線段的垂直平分線方程為，即，B對；對于A選項，因為圓的圓心在的歐拉線上，因為，，，所以，設(shè)圓心為，則圓的方程為，將代入圓的方程可得，解得或，所以，圓的方程為或，A錯；對于C選項，因為過圓心，所以圓上的點到的最大距離為圓的半徑，C對；對于D選項，因為點在圓上，設(shè)，圓心在上，半徑為，則，D對．故選：BCD.12．（2024·浙江·臺州市書生中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點為橢圓（）的左焦點，過原點的直線交橢圓于，兩點，點是橢圓上異于，的一點，直線，分別為，，橢圓的離心率為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】設(shè)出右焦點，依據(jù)橢圓定義結(jié)合對稱性以及余弦定理可求得的關(guān)系，則離心率可求；設(shè)出的坐標(biāo)，依據(jù)對稱性寫出的坐標(biāo)，利用點差法可求得的表示，結(jié)合的關(guān)系可求解出的值.【解析】設(shè)橢圓的右焦點，連接，，依據(jù)橢圓對稱性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得，所以，則，．由余弦定理可得，所以，所以橢圓的離心率．設(shè)，，則，，，所以，又，，相減可得．因為，所以，所以．故選：AC．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于合理運用焦點三角形的學(xué)問以及點差法設(shè)而不求的思想去計算；橢圓是一個對稱圖形，任何過原點的直線（不與焦點所在軸重合）與橢圓相交于兩點，這兩點與橢圓的焦點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形.13．（2024·浙江·寧波市北侖中學(xué)高二期中）已知點為雙曲線右支上一點，，為雙曲線的兩條漸近線，點，在上，點，在上，且，，，，為坐標(biāo)原點，記，的面積分別為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】依據(jù)，，則四點在以O(shè)P為直徑的圓上，從而有；依據(jù)雙曲線方程寫出漸近線方程，求得傾斜角，用PA，PB表示出PM，PN，從而求得面積關(guān)系；設(shè)，由點到直線距離求得PA，PB，從而驗證的值；從而求得的值，在三角形中，由余弦定理表示出MN，從而求得范圍.【解析】由，，四點在以O(shè)P為直徑的圓上，則，故B正確；由雙曲線方程設(shè)，，則，由，，則則，，則，，則，故C錯誤；設(shè)，滿意，則，則由點到直線距離知，同理有，則，故A正確；故，在三角形中，由余弦定理知，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：依據(jù)條件寫出漸近線方程，本題屬于特別角的相關(guān)計算，可以表示出詳細的線段和三角形面積，驗證是否滿意選項答案即可.在求解范圍問題時，首先須要求得線段的表達式，然后借助函數(shù)或基本不等式求得范圍或最值.三、填空題14．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，E，F(xiàn)，O分別為棱，，的中點，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是______.【答案】【分析】易證得，引入?yún)f(xié)助角變量，設(shè)，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得線面角的正弦值，從而可推斷所求角的范圍.【解析】解：因為，，所以，所以，又因為為的中點，所以，又，所以平面，設(shè)，如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則平面與平面重合，不妨設(shè)，則，則，，則，因為平面，所以即為平面的一條法向量，因為直線與平面所成角為，，