必修第二冊教案第六章平面向量及其應(yīng)用

第六章平面向量及其應(yīng)用

課時6.2.3平面向量的運算(03)向量的數(shù)量積

本節(jié)目標

1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積.

2.通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念.

3.會用向量的數(shù)量積判定兩個平面向量的垂直關(guān)系，以及解決夾角、模等問題.

題型分組

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一向量的數(shù)量積

1.已知平面向量a,b的夾角為g,|a|=3,|b|=2,則(a+b>(a-2b)的值為()

A.-2B.1-3V3C.4D.3V3+1

2.若ei,e2是夾角為料單位向量，且a=2ei+e2,b=-3ei+2e2,則a-b=()

77

A.lB.-4C.--D.-

22

3.已知向量a,b,c和實數(shù)兒則下列各式一定正確的是.(填序號)

□a-b=b?a;□(Xa)-b=a,(Xb);□(a+b)?c=a?c+b?c;□(a,b)c=a(b-c).

4.如圖，在□ABC中，已知AB=2,AC=6,1BAC=60。,點D,E分別在邊AB,AC上，且方=2而，m=5標.

⑴若點F為DE的中點，用向量荏和照表示前；

(2)在(1)的條件下,求瓦??麗的值.

題組二向量的投影向量

5.已知|a|=6,|b|=3,a-b=-12,e是與b同向的單位向量,則向量a在向量b上的投影向量是()

A.-4eB.4eC.-2eD.2e

6.已知|a|=l,|b|=2,a與b的夾角為60注是與a同向的單位向量，則a+b在a上的投影向量為()

A.eB.2eC.—eD.—e

77

7.設(shè)ei,e2為單位向量，且ei,e2的夾角為:，若a=ei+3e2,b=2ei,e是與b同向的單位向量,則向量a在向量b

上的投影向量為.

題組三向量的模

8.已知向量a與b的夾角為60。,閭=2,向=2,則|a+b|等于（）

A.2V3B.2

C.2V2D.4

9.（已知向量a,b的夾角為60。,且同=1,3利=夜,則|劃=.

10.在DABC中,AB=1,AC=夜,口：6人?=45。,]\1為BC的中點.

⑴試用希，照表示詢；

（2）求前的長.

題組四向量的夾角

11.已知向量a,b滿足|a|=l,|b|=2,a?b=l,那么向量a,b的夾角為（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

12.已知向量a,b滿足a=5,b|=4,b-a=d^l,則a與b的夾角0=（)

A.150°B.120°C.60°D.30°

13.已知間=3,b|=4,向量a+^b與a-^b的夾角為

44()

A.0°B.90°C.30°D.180°

14.如圖，在平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=3,E為邊CD的中點，而=［兩，若族?麗=-3,則

cos□DAB=.

DEC

A;R

題組五向量的垂直

15.已知非零向量a,b互相垂直,則下列結(jié)論正確的是（）

A.|a|=|b|B.a+b=a-b

C.|a+b=|a-b|D.(a+b)(a-b)=0

16.已知四邊形ABCD滿足AB=OC,aC-BD=0,則四邊形ABCD為（）

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

17.已知DABC中，屈2=荏.北+瓦^近+褊.而，則DABC是（）

A.等邊三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

18.已知向量a,b的夾角為60。,間=1,也|=2,若（a+2b）口（xa-b）,則實數(shù)x的值為.

能力提升練

題組一向量的投影向量

1.已知a,b是單位向量，且|a+b|=&|a-b|,向量e是與a+b同向的單位向量,則向量a在a+b上的投影向量

為()

2.已知向量a,b滿足|a|=l,aDb,向量e是與聯(lián)同向的單位向量,則向量a-2b在向量a上的投影向量為

()

AV7cC2近

A.eB.—eC.-eD.——e

77

3.已知a,b滿足|a|=2/b|=W,ei,e2分別是與a,b同向的單位向量，且a在b上的投影向量的模與b在a上

的投影向量的模相等，則|a-b|=()

A.lB.2C.V7D.7

題組二向量的夾角和模長

4.已知向量彳瓦而，而滿足前=屈+而,0面=2」而|=1,E,F分別是線段BC,CD的中點，若赤?酢=[,則向

4

量而與詬的夾角為()

A,-B.-C.—D.—

6336

5.已知向量a,b滿足冏=同=1,且其夾角為0,則是“0□&寸的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.侈選)若a,b,c均為單位向量，且a-b=O,(a-c>(b-c)WO,則|a+b-c|的值可能為()

A.V2-1B.lC.V2D.2

7.已知DABC中，同口近話-亞|=2,點M是線段BC（含端點）上一點，且俞?（荏+尼尸1,則|的取值

范圍是（）

A.(O,1]D.61]

題組三向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用

8.已知O為平面上的定點,A,B,C是平面上不共線的三點，若（赤-反）?（布+而尸0,則UABC是

（）

A.以AB為底邊的等腰三角形

B.以BC為底邊的等腰三角形

C.以AB為斜邊的直角三角形

D.以BC為斜邊的直角三角形

9.若a,b是非零向量，且adbja用b1,則函數(shù)f（x）=（xa+b）-（xb-a）是（）

A.一次函數(shù)且是奇函數(shù)B.一次函數(shù)但不是奇函數(shù)

C.二次函數(shù)且是偶函數(shù)D.二次函數(shù)但不是偶函數(shù)

10.在四邊形ABCD中,AD[]BC,AB=2,AD=5,BC=3,I2]A=6O。,點E在線段CB的延長線上，且AE=BE,點

M在邊CD所在直線上，則獺?荻的最大值為（）

B.-24D.-30

11.已知O是DABC所在平面上的一個定點，動點P滿足而卓生+乂溫%+焉力何。，+8），則動

點P的軌跡一定通過DABC的（）

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

12.如圖,DABC的邊BC的垂直平分線交AC于點P,交BC于點Q,若|荏|=3,|而|=5,則（而+而）-（荏-正）

的值為.

13.如圖，在口ABC中,CA=1,CB=2,口ACB=60。.

⑴求麗;

（2）已知點D是AB上一點，滿足標=示，點E是邊CB上一點，滿足露=而？.

□當九=|吐求獲?麗；

口是否存在非零實數(shù)尢使得荏口而?若存在，求出X的值;若不存在,請說明理由.

c

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

l.Ca-b=|a|-|b|cos^=3x2x1)=_3,□(a+b),(a-2b)=a2-a-b-2b2=32-(-3)-2><22=4,C.

_TT17

2.C由已知，得eie=|ei||e21cosj,□a?b=(2ei+e2>(-3ei+2e2尸-6|ei|2+2|e2F+eie=-5,故選C.

3.答案□□□

解析由平面向量的交換律可知□正確;由平面向量的運算律知□正確;由平面向量的分配律可知□正

確;令m=a?b,n=b,c,貝!J(a,b)c=mc,a(b?c)=na,a,c均為任意向量，所以(a?b)c=a(b?c)不一定成立，故□錯誤.

4.解析⑴麗=麗+而=,彳里歷

=-|IB+|(XE-XD)

嚀網(wǎng)(匹萍)

—>1—>1—>—>

⑵EF=|E*曲砌,

DAB=2ADAC=5AE,

UEF^-AB--AC.

410

^AB^AB-AC

112

=__X4+_X2X6XCOS60r

5.A設(shè)向量a與b的夾角為仇則cos貝品二懸二|，則向量a在b上的投影向量為|a|cos0

e=6x（-|）e=-4e.

6.B由題意，得（a+b>a=a2+b，a=l+2xlx1=2.設(shè)向量a+b與向量a的夾角為則向量a+b在向量a上的

投影向量為|a+b|cos9e-（°；；）"e=2e,故選B.

7.答案je

解析依題意得同|=咫|=1,且ere2=|ei||e2|cos轉(zhuǎn)，所以a?b=（ei+3e2>2ei=21+6ei，e2=5,所以向量a在向

量b上的投影向量為間cos〈a,b>e=需e=|e.

8.A由題意，得a-b=|a|-|b|cos600=2x2x,=2,貝！J|a+b|=Va2+2。力+b?=74+4+4=2百.故選A.

9.答案3

解析口向量a,b的夾角為60°,|a|=l,|2a-b|=V7,

□(2a-b)2=4a2-4a-b+b2=4xl2-4x1x|b|xcos60°+|b|2=4-2|b|+|b|2=7,

BP|b|2-2|b|-3=0,

解得回=3或|b|=-l(不合題意，舍去),

□|b|=3.

10.解析（1）」M為BC的中點,

DBM=-~BC.

2

---->--->---->--->1--->

DAM=AB+BM=AB+-BC

2

=AB+^(AC^AB)

=|(71B+XC).

⑵由(1)得前|2=；(荏+照)2

4

=^(AB2+AC2+2AB-AC)

=J[l2+(V2)2+2x1xV2xcos45°]

5

q

口麗=今

11.B設(shè)向量a,b的夾角為。,

由間=l/b|=2,a-b=l,

又0”旺180°,

所以9=60。.故選B.

12.B由,悶=竭,得b2-2a-b+a2=16-2a-b+25=61,所以a-b=-10,所以cos。=7^=4=』,所以。=120°,故

5x42

選B.

13.B(a+於)(*於)=間2*b|2=32*x42=0,

所以向量a+-b與a--b垂直，即其夾角為90。,故選B.

44

14.答案

O

解析□方=1襦，□/=1而，

□'BF=BA+AF=^AB+-AD.

3

□AE=AD+DE=AD+-AB,

QAE~BF=(AD++|AD)

=^AD2--ABAD--AB2

332

27i

=-x32—x4x3xcosQDAB—x42

332

=3

□cos□DAB

8

15.C對于A選項,|a|=|b|,與a,b互相垂直無關(guān),A錯誤；

對于B選項,a+b=a-b1Zb=0,與b為非零向量矛盾,B錯誤；

對于C選項,|a+b|=|a-b|D(a+b)2=(a-b)2|Zla，b=0Ela[Zb,C正確；

對于D選項,(a+b>(a-b)=0da2=b2□間=|b|口/aDb,D錯誤.

16.C□荏=尻,口|荏|=|反且屈口反，□四邊形ABCD是平行四邊形.

口箱麗=0,口前□麗，即ACDBD,

□平行四邊形的對角線互相垂直，

□四邊形ABCD為菱形.故選C.

17.C由橋-荏?！?=瓦??玩+Z%函

得荏(AB^AC)=BC?(瓦5-刀)，

即荏?瓜前?畫

UABBC+BCBC=O,

□前?港+而)=0,

□□ABC是直角三角形，故選C.

18.答案3

解析由題意可得a-b=l><2xcos60°=l,a2=l,b2=4,

所以(a+2b)?(xa-b尸xa2+(2x-l)a?b-2b2=0,即x+(2x-l)-8=0,解得x=3.

能力提升練

1.C□|a+b|=V2|a-b|,

□(a+b)2=2(a-b)2,

□6a-b=a2+b2=|a|2+|b|2=2,

□a-b=i,

3，

□la+bl^Ca+b)2=Va2+2a-b+b2

=/1+2xi+1=—.

\33

設(shè)a與a+b的夾角為0,

則a在a+b上的投影向量為|a|cos0e=

1*1」\(a二+b\\a+b\M3

3

2.A設(shè)。為向量a-2b與向量a的夾角，則向量a-2b在向量a上的投影向量為|a-2b|cos9e.

cos

又A，\a-言2b\-\a：\-\1a"-2b\-\a\1\a:-2b\故|a-2bleos0e=|a-2b|-\-a^-2—b\e=e.

3.C設(shè)a與b的夾角為仇由題意可得,||a|cos0e2|=||b|cos0e”,即2|cos0|=V3|cos0|,Ccos。=0,又

en［o,7i］,

口8=^即aDb,D|a-b|=^22+(遍)2=夕.故選C.

4.B設(shè)向量荏與標的夾角為e.依題意知,四邊形ABCD為平行四邊形，所以同=反，而=就，所以

BF=BC+CF=AD--AB,DE=DC+CE=AB--AD,因此

22

前.屁=(而弓荏)?(而J而)=，屈.而彳荏2_|而2=］荏.而qx22-1xl2=|荏.歷一|=1,所以

荏?前=1,又荏?麗=|福?麗|cos0=2cos0=1,因此cos0=1，又?？冢?,兀］，所以0q.故選B.

5.C若貝！J|a-bF=（a-b）2=a2-2a?b+b2=2-2cos0>l,Dcos9<1,

又□()或兀，嗎〈把兀，即又出葉

若9□管;n],則-iScos0<1,

□|a-b|2=(a-b)2=a2-2a-b+b2=2-2cos仇口1〈|2上已4,即l<|a-b|<2,

□|a-b|>l.

故是“0口尊寸的充要條件?故選C

6.AB因為a,b,c均為單位向量，且ab=0,(a-c)-(b-c)<0,

所以ab-c(a+b)+c2<0,

所以c(a+b)>l,

所以|a+b-c|=7(a+b-c)2

=Va2+h2+c2+2a-b-2a-c-2b-c

=y/3—2c-(a+6)<A/3—2=1,

結(jié)合選項可知,A、B正確.

7.D如圖，□布□照,|四-而|=2,口四邊形ABDC是矩形，其中通=同+彳?.□前?(荏+就)=1,□根據(jù)平

面向量數(shù)量積的幾何意義，知點M在AD上的投影為點N,且AN=|.因為矩形ABDC的對角線長恒為

2,點N也恒定，所以變化的是對角線BC與AD的夾角，因此，點M在C到CO的中點之間運動(其中O

為兩對角線的交點)，此時AM的長從1(此時點M與點C重合)變化到?此時點M趨向于CO的中點),

但3取不到，而1能取到，故|前|口(|,1|.

8.BJOB-OC=CB^OB+OC-2OA=（OB-OA）+（OC-OA）=AB+AC,

□（OB-OC）-（0B+0C-20A）=CB-（AB+AC）=（AB-AC）-（AB+AC）=0,即同2一前2=。,口存日前卜又ABC三

點不共線,DDABC是以BC為底邊的等腰三角形.故選B.

9.Af(x)=(xa+b>(xb-a尸(a，b)x2+(|bFTa|2)x-a-b,由a口b,得a-b=O,所以f(x)=(|b聞aF)x.由于|a國b|,所以

向2-間2知,即f(x)=(|b|2-|a|2)x是一次函數(shù)，顯然也是奇函數(shù).

10.A□□A=60o,AD[lBC,點E在線段CB的延長線上，

□DABE=60°,XAE=BE,

□DABE為邊長為2的等邊三角形，

□□EAD=120°,CE=5,CE□AD,

□四邊形AECD為平行四邊形，口比=族.

設(shè)麗=1比4口氏

則俞=而+麗=詬+沆=>+1福

M￡=AE-AM=AE-AD-tAE=(1-t)AE-AD,

□AMMF=(AD+tAE)-[(l-t)X￡-AD]

=-AD2+(t-t2)AE2+(1-2t)AD-AE

=-25+4(t-t2)+(l-2t)x5x2xcos120°

=-4t2+i4t-30

\474

□當tM時，前?砒有最大值，最大值為二.

44

11.C設(shè)BC的中點為D,則絲產(chǎn)