高三數(shù)學(xué)教案函數(shù)的單調(diào)性3

1、課題：3 6 函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)目的：1.正確理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理；2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法教學(xué)重點： 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性教學(xué)難點： 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性授課類型： 新授課課時安排：1 課時教具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析 ：1， x2 i，且當(dāng)以前，我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性. 對于任意的兩個數(shù) xxx時，都有 f(x ) f(x )，那么函數(shù) f(x) 就是區(qū)間 i 上的增函數(shù) . 對于任意的兩1212個數(shù) x1212時，都有12，x i ，且當(dāng) x xf(x ) f(x )，那么函數(shù) f(x)就是區(qū)間 i 上的減函數(shù) .在函數(shù) y=f(x) 比較復(fù)雜的情況

2、下， 比較 f(x 12)與 f(x )的大小并不很容易 . 如果利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡單教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：c 0 ； ( x n )nx n 1 ； (sin x)cos x ； (cos x)sin x2.法則 1u( x)v(x) u ( x)v ( x) 法則 2u(x)v( x)u ( x)v(x) u( x)v (x) , cu (x) cu ( x)u v uv 法則 3u(v0)vv23.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 設(shè)函數(shù) u=(x)在點 x 處有導(dǎo)數(shù) u x= (x)，函數(shù) y=f(u)在點 x 的對應(yīng)點 u 處有導(dǎo)數(shù) y u=f (u)，

3、則復(fù)合函數(shù) y=f(x)在點 x 處也有導(dǎo)數(shù)，且 yxyu u x或 f x( x)= f(u) ( x)4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：分解求導(dǎo)相乘回代5. 對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (ln x)11x(log a x)log a ex6.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(ex )ex( ax )a x ln a第 1頁共 6頁二、講解新課：1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：我們已經(jīng)知道，曲線y=f(x) 的切線的斜率就是函數(shù)y=f(x) 的導(dǎo)數(shù) .從函數(shù)y x24x 3 的圖像y可以看到：y=f(x)=x2 4x+3切線的斜率f (x)f x = x2-4 x +3(2， +)增函數(shù)正0( ， 2)減函數(shù)負(fù)0在

4、區(qū)間（ 2，）內(nèi)，切線的斜率為正，函數(shù)by=f(x) 的值隨著 x 的增大而增大，即 y/ 0 時，o 123函數(shù) y=f(x)在區(qū)間（ 2，）內(nèi)為增函數(shù)；在a區(qū)間（，2）內(nèi)，切線的斜率為負(fù)， 函數(shù) y=f(x)x的值隨著 x 的增大而減小，即 y /0 時，函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間（， 2）內(nèi)為減函數(shù) .定義： 一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)y/0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)y /0，那么函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)2.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：求函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù) f (x).令 f (x) 0 解不等式，

5、得x 的范圍就是遞增區(qū)間.令 f (x) 0 解不等式，得x 的范圍，就是遞減區(qū)間.三、講解范例：例 1 確定函數(shù) f(x)=x2 2x+4 在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù) .解： f (x)=( x2 2x+4) =2x 2.令 2x 2 0，解得 x 1.當(dāng) x (1， + )時， f (x) 0，f(x)是增函數(shù) .令 2x 2 0，解得 x 1.當(dāng) x (， 1)時， f( x) 0，f(x)是減函數(shù) .例 2 確定函數(shù) f( x)=2 x3 6x2+7 在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù) .解： f (x)=(2 x3 6x2+7) =6 x2 12x令 6x2 12

6、x 0，解得 x 2 或 x 0當(dāng) x (， 0)時， f( x) 0，f(x)是增函數(shù) .當(dāng) x (2， + )時， f (x) 0， f(x)是增函數(shù) . 令 6x2 12x 0，解得 0 x 2.當(dāng) x (0， 2)時， f (x) 0， f(x)是減函數(shù) .y2f x =x2-2 x +4o1xyf x =2 x3-6 x2 +7o12x第 2頁共 6頁例 3證明函數(shù) f(x)=1 在 (0， + )上是減函數(shù) .x證法一： (用以前學(xué)的方法證)任取兩個數(shù) x1212，x (0， + )設(shè) x x .121 1 x2x1f(x) f(x )=x1x2x1x2 x1 0，x2 0， x1

7、x2 0 x1221x2x1 0 x， x x 0， x1 x2 f(x1) f(x2) 0，即 f(x1 ) f(x2) f(x)=1 在 (0， + )上是減函數(shù) .x證法二： (用導(dǎo)數(shù)方法證 ) f (x)=(1) =( 1) x2 =1 ， x 0，xx21 x2 0， x2 0. f (x) 0， f(x)=1在 (0， + )上是減函數(shù) .x2點評：比較一下兩種方法，用求導(dǎo)證明是不是更簡捷一些.如果是更復(fù)雜一些的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的符號判別函數(shù)的增減性更能顯示出它的優(yōu)越性.例 4 求函數(shù) y=x2(1 x)3 的單調(diào)區(qū)間 .解： y = x2(1 x)3 =2x(1 x)3+x2 3(1

8、 x)2 ( 1)=x(1 x)2 2(1 x) 3x=x(1 x)2 (2 5x)令 x(1 x)2(2 5x) 0，解得 0x2. y=x2(1 x)3 的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)55令 x(1 x) 2(2 5x) 0，解得 x 0 或 x2且 x1.5 x1 為拐點，第 3頁共 6頁 y=x2(1 x)3 的單調(diào)減區(qū)間是(， 0)， ( 2 ，+ )5yf x = x 2 1-x 3o21x5例 5 當(dāng) x 0 時，證明不等式：1+2x e2x.分析：假設(shè)令 f(x)=e2 x 12x. f(0)= e0 10=0,如果能夠證明f(x)在 (0，+ )上是增函數(shù)，那么 f(x) 0，則不

9、等式就可以證明 .證明：令 f(x)=e2x1 2x. f (x)=2e2x2=2(e2 x 1) x 0， e2x e0=1， 2(e2x 1) 0, 即 f (x) 0 f(x)=e2 x 1 2x 在 (0， + )上是增函數(shù) . f(0)= e01 0=0.當(dāng) x 0 時， f(x) f(0)=0 ，即 e2x 12x 0. 1+2x e2x點評：所以以后要證明不等式時，可以利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，把特殊點找出來使函數(shù)的值為 0.例 6 已知函數(shù) y=x+1 ，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 .x1解： y =(x+ )xy1f x= x+ x2=1 1 x 2x21=2x令 ( x 1)

10、( x1) 0.x21 y=x+的單調(diào)增區(qū)間是(x 1)( x 1)-1o1xx2-2解得 x 1 或 x 1.(， 1)和 (1， +).x第 4頁共 6頁令 ( x 1)( x1) 0，解得 1 x0 或 0x 1.x2 y=x+ 1 的單調(diào)減區(qū)間是 ( 1，0) 和(0， 1)x四、課堂練習(xí)：1確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)y=x3 9x2+24x(2)y=x x3(1)解： y =(x3 9x2+24x)=3x2 18x+24=3( x2)( x 4)令 3(x 2)(x 4) 0，解得 x4 或 x 2. y=x3 9x2+24x 的單調(diào)增區(qū)間是 (4，+ )和 (， 2)令 3(x

11、2)(x 4) 0，解得 2 x 4.y=x3 9x2+24x 的單調(diào)減區(qū)間是 (2， 4)(2)解： y =(x x3) =1 3x2= 3(x2 1)= 3(x+3)( x3)333令 3(x+ 3)(x3) 0，解得3 x3.3333 y=x x3 的單調(diào)增區(qū)間是 ( 3 ，3).33令 3(x+ 3)(x3) 0，解得 x3333或 x3.3 y=x x3 的單調(diào)減區(qū)間是 (，3)和 (3 ， +)332.討論二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a 0)的單調(diào)區(qū)間 .b解： y =(ax2+bx+c) =2 ax+b, 令 2ax+b 0，解得 x2a y=ax2+bx+c(a 0)的單調(diào)增

12、區(qū)間是 ( b ，+ )2a令 2ax+b 0，解得 x b .2a第 5頁共 6頁 y=ax2+bx+c(a 0)的單調(diào)減區(qū)間是 (，b)2a3.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間x2(2) y=x(3)y=x +x(1) y=xx29(1)解： y =(x 2x x22) =x2x2x2當(dāng) x 0 時， x2 0， y 0. y= x2 的單調(diào)減區(qū)間是 (， 0) 與(0， + )x(2)解： y =(xx29 x 2xx29x29)(x29)( x29) 2(x29) 2x2 92x29當(dāng) x 3 時，0， y 0.( x29) 2 y=x的單調(diào)減區(qū)間是 (， 3)， ( 3， 3)與 (3，+ ).9x21(3)解： y =(x