高三數(shù)學(xué)教案：第10講參數(shù)取值問題的題型與方法

1、高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案第 10 講 參數(shù)取值問題的題型與方法（4 課時(shí)）求參數(shù)的取值范圍的問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)里比比皆是，這一講，我們分四個(gè)方面來探討。一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊， 則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。例 1已知當(dāng) x r 時(shí)，不等式a+cos2x54sinx+ 5a 4 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。分析： 在不等式中含有兩個(gè)變量a 及 x，其中 x 的范圍已知 （x r），另一變量 a 的范圍即為所求，故可考慮將 a 及 x 分離。解：原不等式即： 4sinx

2、+cos2x3 即5a4 a+2a205a40上式等價(jià)于5a4( a 2) 2或a2045a40 ，解得 5a8.說明： 注意到題目中出現(xiàn)了sinx 及 cos2x，而 cos2x=12sin2x,故若把 sinx 換元成 t, 則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t 的二次函數(shù)類型。另解： a+cos2x54sinx+5a4 即a+1 2sin2x0,( t 1,1) 恒成立。設(shè) f(t)= 2t24t+4a+5a4 則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=1,f(x)在 1，1內(nèi)單調(diào)遞減。只需 f(1)0,即5a4 a2.(下同 )例 2已知函數(shù) f(x)在定義域（，1上是減函數(shù)， 問是否存在實(shí)數(shù)k，使不等式 f(k

3、 sinx)f(k2 sin2x)對(duì)一切實(shí)數(shù) x 恒成立？并說明理由。分析：由單調(diào)性與定義域，原不等式等價(jià)于k sinx k2 sin2x 1對(duì)于任意 x r 恒成立，這又等價(jià)于第1頁共17頁k 21sin 2x(1)k 2k1(sin x1) 2( 2)42對(duì)于任意 x r恒成立。不等式（ 1）對(duì)任意 x r 恒成立的充要條件是k2 (1+sin2x)min=1, 即 1 k 1- (3)119不等式（ 2）對(duì)任意 x r 恒成立的充要條件是k2k+ 4 (sinx2 )2max= 4 ,即 k1 或 k 2,- (4)由（ 3）、（ 4）求交集，得 k=1,故存在 k=1 適合題設(shè)條件。說

4、明：抽象函數(shù)與不等式的綜合題常需要利用單調(diào)性脫掉函數(shù)記號(hào)。x 2y 21ap例 3設(shè)直線 l過點(diǎn) p（ 0， 3），和橢圓 94pb 的取值順次交于 a、 b 兩點(diǎn)，試求范圍 .apxa分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：pb =xb ，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.apxa思路 1:從第一條想法入手，pb =xb 已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量x a , xb ，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，

5、所以自然想到利用第3 個(gè)變量直線ab的斜率 k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將 xa , xb 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 k 的表達(dá)式， 到此為止， 將直線方程代入橢圓方程，消去 y 得出關(guān)于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程， 消去 y 得到關(guān)于 x 的一元二次方程求根公式xa= f（k）， xb = g（ k）ap/pb = （ xa / xb）得到所求量關(guān)于k 的函數(shù)關(guān)系式由判別式得出k 的取值范圍所求量的取值范圍ap1解 1：當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸時(shí)，可求得 pb5 ；第2頁共17頁當(dāng) l 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)a x1 , y1, b(x2， y

6、2 ) ，直線 l 的方程為：ykx3 ，代入橢圓方程，消去 y 得 9k 24 x 254kx450 ，x1, 227k69k 25解之得9k 24.因?yàn)闄E圓關(guān)于y 軸對(duì)稱，點(diǎn)p 在 y 軸上，所以只需考慮k0 的情形 .0 時(shí)， x127k69k 2527k69k 25當(dāng) k9k 24， x29k 24，apx19k29k 2518k11819295pbx2 = 9k2 9k225 =k2所以5 = 9k 2 9k.( 54k) 2180 9k 2k25由40 ,解得9 ，1118155所以929k2，1ap1綜上pb5 .思路 2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到： 判別式往往

7、是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k 的取值范圍， 于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k 聯(lián)系起來 .一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于apx1pbx2 不是關(guān)于 x1 , x2 的對(duì)稱關(guān)系式 . 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于x1 , x2 的對(duì)稱關(guān)系式 .把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程，消去 y 得到關(guān)于x 的一元二次方程韋達(dá)定理xa+ xb = （f k）， xa xb = g（ k）ap/pb = （ xa / xb）構(gòu)造所求量與k 的關(guān)系式第3頁共17頁由判別式得出k 的取值范圍關(guān)于

8、所求量的不等解 2：設(shè)直線 l 的方程為： ykx3 ，代入橢圓方程，消去y 得9k 24 x 254kx45 0（* ）x1x254k,9k24x1x1 x245.1324k29k2令 x2245k 2.則4，則，200,k 25在（ * ）中，由判別式可得9 ，4324k 23613645k2205 ，所以42從而有5，15111 得 5解得 5.結(jié)合 0.1ap1綜上，pb5 .說明：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法， 均值不等式法， 變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.二、直接根據(jù)圖像判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的

9、變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例 4（ 2003 年江蘇卷第11 題、天津卷第10 題）已知長方形四個(gè)頂點(diǎn)a（ 0，0），b（ 2，0），c（ 2，1）和 d（ 0，1） .一質(zhì)點(diǎn)從 ab 的中點(diǎn) p 沿與 ab 夾角為的方向射到bc 上的點(diǎn) p1后，依次反射到cd、da 和 ab 上的點(diǎn) p2、p3 和 p4（入射角等于反射角）.設(shè) p4 的坐標(biāo)為（x4，0）.若 1 x42，則 tan的取值范圍是（）(1,1)(1, 2)( 2, 1)( 2, 2)(a) 3(b) 33(c) 52(d)

10、53第4頁共17頁分析 : 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 提倡讓學(xué)生自主探索 , 動(dòng)手實(shí)踐 , 并主張?jiān)诟咧袑W(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”學(xué)習(xí)活動(dòng) , 03 年數(shù)學(xué)試題反映了這方面的學(xué)習(xí)要求，在高考命題中體現(xiàn)了高中課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念本題可以嘗試用特殊位置來解，不妨設(shè)p4 與ab 的中點(diǎn) p 重合（如圖1 所示），則p1、p2、 p3分別是y線p2c(2,1)段d(0,2)p3bc、p1cd、dax的a(0,0)pp4b(2,0)中圖 1點(diǎn) ，yp4p4 dp2cp2 p3 pp33p1a p pbphx44圖 2tan112 由于在四個(gè)選擇支中只有c 含有 2 ，故選 c所以當(dāng)然， 本題也可以利用對(duì)稱的方法將 “

11、折線” 問題轉(zhuǎn)化成 “直y1=(x-1)2線”問題來直接求解（如圖2 所示）y說明 由本題可見 , 0年試題強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)嘗試 , 探索猜想在y2=logax數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位這也是選擇題的應(yīng)有特點(diǎn)1例 5當(dāng) x(1,2)時(shí)，不等式 (x1)2logax 恒成立，求 a 的取ox值范圍。2分析：若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解。解：設(shè) y1=(x1)2,y2=logax,則 y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對(duì)一切x (1,2),y11,并且必須也只需當(dāng)x=2 時(shí) y2 的函數(shù)值大于等于y1 的函數(shù)值。故 loga21,a1

12、, 10，則根據(jù)函數(shù)的圖象 （直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于a 0a0f (m)0）f ( m)0 或）f (n)0 亦可合并定成f (n)0f ( m)0同理，若在 m,n 內(nèi)恒有 f(x)2p+x 恒成立的 x 的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x 及 p,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p 視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在 2， 2內(nèi)關(guān)于 p 的一次函數(shù)大于 0 恒成立的問題。略解：不等式即 (x1)p+x22x+10,設(shè) f(p)= (x 1)p+x2 2x+1,則 f(p)在 2,2 上恒大于 0，故有：f ( 2) 0x24x30x或x13f (2

13、)x210x或x1即解得：1x3.例 8.設(shè) f(x)=x22ax+2,當(dāng) x1,+)時(shí)，都有 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范圍。分析：題目中要證明f(x)a 恒成立，若把a(bǔ) 移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間 1,+)時(shí)恒大于0 的問題。解：設(shè) f(x)= f(x)a=x22ax+2a.)當(dāng)=4（ a1)(a+2)0 時(shí)，即2a0. 則原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0 有正根。0x1x2(4 a) 0(4 a) 216 0x1? x24 0即a4a0或a8y4xoa4解得 a8.解法 2（利用根與系數(shù)的分布知識(shí)） ：即要求 t2+(4+a)t=0 有正根。設(shè) f

14、(x)= t2+(4+a)t+4.y10. =0,即（ 4+a） 2 16=0, a=0 或 a= 8.a=0 時(shí)， f(x)=(t+2)2=0, 得 t= 20,符合題意。xa=8.o20.0,即 a0 時(shí)， f(0)=40, 故只需對(duì)稱軸 a 8綜合可得a8.4a02，即 a0,y0,x,y z）。計(jì)年利潤為 s，那么 s 3x+6y-2.4x-4y，即 s 0.6x+2y作出不等式表示的平面區(qū)域。問題轉(zhuǎn)化為求直線0.6x+2xs 0 截距的最大值。過點(diǎn)a 作0.6x+2y=0 的平行線即可求出s 的最大值。x y30聯(lián)立28x58y1200 得 a（18,12）。將 x 18， y12

15、代入 s 0.6x+2y 求得 smax 34.8。設(shè)經(jīng)過 n 年可收回投資，則 11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得 n 33.5。學(xué)校規(guī)模初中18 個(gè)班級(jí)，高中12 個(gè)班級(jí)，第一年初中招生6 個(gè)班 300 人，高中招生4 個(gè)班 160 人。從第三年開始年利潤34.8 萬元，大約經(jīng)過36 年可以收回全部投資。說明： 本題的背景材料是投資辦教育，擬定一份計(jì)劃書，本題是計(jì)劃書中的部分內(nèi)容。要求運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想， 解析幾何知識(shí)和數(shù)據(jù)處理的綜合能力。通過計(jì)算可知， 投資教育主要是社會(huì)效益，提高整個(gè)民族的素質(zhì)，經(jīng)濟(jì)效益不明顯。五、強(qiáng)化訓(xùn)練1（南京市 2003 年高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)試

16、題）若對(duì) n 個(gè)向量 a1 , a2 ,an 存在 n 個(gè)不全為零的實(shí)數(shù) k1 , k 2 , kn ，使得 k1 a1k2 a2kn an0 成立，則稱向量 a1 ,a2 ,an為“線性相關(guān)” 依此規(guī)定，能說明 a1(1,0) ， a2(1,1)， a3(2,2) “線性相關(guān)”的實(shí)數(shù) k1 , k2 ,k3 依次可以?。▽懗鲆唤M數(shù)值即可，不必考慮所有情況）c : y 2x21a 2,0，斜率為 k ，當(dāng) 0k 1時(shí)，雙曲線2已知雙曲線22，直線 l 過點(diǎn)的上支上有且僅有一點(diǎn)b 到直線 l 的距離為2 ，試求 k 的值及此時(shí)點(diǎn) b 的坐標(biāo)。3設(shè)函數(shù) f(x)=2x-12-x-1,xr,若當(dāng) 0

17、2 時(shí)，f(cos2 +2msin )+f( 2m 2)0 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。第 12頁共 17頁2lg(8x 6a3)=0 有唯一解，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。4已知關(guān)于 x 的方程 lg(x +20x)5試就 k 的不同取值，討論方程(k 2) x2(6 k ) y2(6 k)( k2) 所表示的曲線形狀，并指出其焦點(diǎn)坐標(biāo)。6某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能型洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況（如資金、勞動(dòng)力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量， 以使得總利潤達(dá)到最大。 已知對(duì)這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力，通過調(diào)查，得到關(guān)

18、于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：資金單位產(chǎn)品所需資金（百元）空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)月資金供應(yīng)量（百元）成本3020300勞動(dòng)力 510110（工資）單位利潤68試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達(dá)到最大，最大利潤是多少？7某?；锸抽L期以面粉和大米為主食，而面食每100 克含蛋白質(zhì)6 個(gè)單位， 含淀粉 4 個(gè)單位，售價(jià)0.5 元，米食每 100克含蛋白質(zhì)3 個(gè)單位，含淀粉7 個(gè)單位，售價(jià)0.4 元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒飯至少有8 個(gè)單位的蛋白質(zhì)和 10個(gè)單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少？8發(fā)電廠主控室的表盤，高m 米，表盤底邊距地面n 米。問值班人員坐在什么位置上，看得最

19、清楚？（值班人員坐在椅子上眼睛距地面的高度一般為1.2 米）9. 某養(yǎng)雞廠想筑一個(gè)面積為144 平方米的長方形圍欄。圍欄一邊靠墻，現(xiàn)有50 米鐵絲網(wǎng)，筑成這樣的圍欄最少要用多少米鐵絲網(wǎng)？已有的墻最多利用多長？最少利用多長？六、參考答案1分析： 本題將高等代數(shù)中n 維向量空間的線形相關(guān)的定義，移植到平面向量中， 定義了 n個(gè)平面向量線性相關(guān)在解題過程中，首先應(yīng)該依據(jù)定義，得到k1 a1k2 a2k3 a30，即k1k2 2k30,k1 (1,0)k2(1, 1)k3 (2,2)0 ，于是 (k1 k2 2k3 ,k2 2k3 )0 ，所以k22k30.即k14k3,k2 2k3 .則 k1: k2 : k3k ,k, k3 的值依次可取4c,2 c,c （ c 是不等于零4: 2:1 所以， 1 2的任意