專題2.1 函數(shù)的概念【九大題型】-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【舉一反三】專練（新高考專用）含解析

專題2.1函數(shù)的概念【九大題型】-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【舉一反三】專練（新高考專用）專題2.1函數(shù)的概念【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)的概念】 2【題型2同一函數(shù)的判斷】 3【題型3具體函數(shù)的定義域的求解】 4【題型4抽象函數(shù)的定義域的求解】 4【題型5已知函數(shù)定義域求參數(shù)】 5【題型6已知函數(shù)類型求解析式】 5【題型7已知f(g(x))求解析式】 5【題型8函數(shù)值域的求解】 6【題型9分段函數(shù)及其應(yīng)用】 61、函數(shù)的概念考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解函數(shù)的含義，會求簡單函數(shù)的定義域和值域

(2)會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)

(3)了解簡單的分段函數(shù)，并會應(yīng)用2021年浙江卷：第12題，5分2022年浙江卷：第14題，5分2023年北京卷：第11題，5分函數(shù)的解析式與定義域、值域問題是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，高考對函數(shù)的概念考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大，函數(shù)的解析式在高考中較少單獨(dú)考查，多在解答題中出現(xiàn).高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及最值為主.【知識點(diǎn)1函數(shù)的定義域的求法】1．求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.2．求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a,b]上的值域.【知識點(diǎn)2函數(shù)解析式的四種求法】1．函數(shù)解析式的四種求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式.(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法來求解.(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與或f(-x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).【知識點(diǎn)3求函數(shù)值域的一般方法】1．求函數(shù)值域的一般方法(1)分離常數(shù)法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)單調(diào)性法；(6)換元法；(7)數(shù)形結(jié)合法；(8)導(dǎo)數(shù)法.【知識點(diǎn)4分段函數(shù)的應(yīng)用】1．分段函數(shù)的應(yīng)用分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．【題型1函數(shù)的概念】【例1】（2023·山東·模擬預(yù)測）下列圖象中，能表示函數(shù)y=fx圖象的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【變式1-1】（23-24高一上·廣東佛山·期末）給定數(shù)集A=R,B=(0,+∞),x,y滿足方程x2?y=0，下列對應(yīng)關(guān)系A(chǔ)．f:A→B,y=f(x) B．f:B→A,y=f(x)C．f:A→B,x=f(y) D．f:B→A,x=f(y)【變式1-2】（2024·江西·一模）設(shè)M={x|0≤x≤4}，N={y|?4≤y≤0}，函數(shù)fx的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镹，則fx的圖象可以是（A． B．C． D．【變式1-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列對應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A．A=N,B=NC．A=N,B=Q【題型2同一函數(shù)的判斷】【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A．f(x)=x,g(x)=x2xC．f(x)=x,g(x)=x,x≥0【變式2-1】（2024·山東·一模）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．fB．fxC．fD．f【變式2-2】（2024·重慶·二模）下列函數(shù)中，與y=x是相同的函數(shù)是A．y=x2 C．y=x2x【變式2-3】（23-24高二下·福建三明·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)相等的是（

）A．fx=x2，gxC．fx=1，gx=x【題型3具體函數(shù)的定義域的求解】【例3】（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）函數(shù)fx=3?xA．?∞,3 B．1,+∞ C．1,3【變式3-1】（2024·陜西·模擬預(yù)測）函數(shù)y=?x2A．?4,1 B．?4,0 C．0,1 D．?4,0【變式3-2】（2024吉林·一模）函數(shù)y=ln(x+1)?A．(?4,?1) B．(?4,1) C．(?1,1) D．(?1,?1]【變式3-3】（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù)fx=x2xA．?∞,1 B．?∞,?1C．?∞,?1∪?1,0 【題型4抽象函數(shù)的定義域的求解】【例4】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）若函數(shù)y=f2x的定義域?yàn)?2,4，則y=fx?fA．?2,2 B．?2,4C．?4,4 D．?8,8【變式4-1】（2024·陜西西安·一模）若函數(shù)fx的定義域是[0，4]，則函數(shù)gA．[0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]【變式4-2】（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?,4，則函數(shù)y=f(x+1)x?1A．1,5 B．1,2∪2,5 C．1,2∪【變式4-3】（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測）定義域是一個函數(shù)的三要素之一，已知函數(shù)Jzzx(x)定義域?yàn)閇211,985]，則函數(shù)s?uangyiliu(x)=Jzzx(2018x)+Jzzx(2021x)的定義域?yàn)椋?/p>

）A．2112018,985C．2112018,985【題型5已知函數(shù)定義域求參數(shù)】【例5】（23-24高一上·陜西西安·期中）已知函數(shù)fx=mA．[1,9] B．(1,9)C．(?∞,1]∪[9,+∞【變式5-1】（23-24高一上·遼寧鞍山·期中）已知函數(shù)f(x)=a2?1x2+(a+1)x+1的定義域?yàn)锳．?1,53 C．53,+∞【變式5-2】（22-23高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）若函數(shù)f(x)=1kA．(0,4) B．[0,4) C．[0,4] D．(0,4]【變式5-3】（23-24高一上·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域x∣a2?4a<x<a2?8是關(guān)于xA．2+6,+∞C．2,2+6 D．【題型6已知函數(shù)類型求解析式】【例6】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)f(x)=?x2?2x+3，則【變式6-1】（2024·廣東東莞·二模）已知函數(shù)f(x)=ax?b(a>0)，f(f(x))=4x?3，則f(2)=．【變式6-2】（2023·江西九江·模擬預(yù)測）若三角形的面積為S（cm2），底邊長為10cm，底上的高為h（cm），則h關(guān)于S的函數(shù)關(guān)系式是【變式6-3】（2024·山東濟(jì)南·一模）已知集合A=uxux=ax2?a+bx+b,a,b∈R，函數(shù)fx【題型7已知f(g(x))求解析式】【例7】（2023·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f1?x=1?x2A．1x?12?1x≠0C．4x?12?1【變式7-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f1?x=1?x2A．1x?12?1C．4x?12?1【變式7-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函數(shù)fx滿足：fx?1x=A．fx=xC．fx=x【變式7-3】（23-24高一上·湖南衡陽·期中）函數(shù)fx滿足若fgx=9x+3，A．fx=3x C．fx=27x+10 【題型8函數(shù)值域的求解】【例8】（2024·湖南懷化·三模）已知函數(shù)f(x)=1x(1≤x≤2),則函數(shù)g(x)=2f(x)+f(A．[3,2+22] B．[54,3] 【變式8-1】（2024·湖北·三模）函數(shù)y=x?4x?x2A．2?22,4 B．0,4 C．0,2+22【變式8-2】（2008·江西·高考真題）若函數(shù)y=f(x)的值域是[12,3]A．[12,3] B．[2,103]【變式8-3】（2024·浙江寧波·三模）若函數(shù)fx滿足a≤fx≤ba<b，定義b?a的最小值為fxA．fx=cosC．fx=x【題型9分段函數(shù)及其應(yīng)用】【例9】（2024·吉林長春·三模）已知函數(shù)f(x)=2x,x>0f(x+2),x≤0，則A．1 B．2 C．4 D．8【變式9-1】（2024·廣東佛山·二模）如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t（0≤t≤2）左側(cè)的圖形的面積為ft．則函數(shù)y=ft的大致圖象是（

A．

B．

C．

D．

【變式9-2】（2024·江西南昌·一模）設(shè)函數(shù)f(x)={2|x?a|,x≤1x+1,x>1，若f(1)是f(x)的最小值，則實(shí)數(shù)A．[?1,2) B．[?1,0] C．[1,2] D．[1,+∞)【變式9-3】（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+1=12fx，且當(dāng)x∈0,1時，fxA．278 B．298 C．134一、單選題1．（23-24高一上·上海奉賢·期末）以下圖形中，不是函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．2．（2023·江西九江·模擬預(yù)測）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．f(x)=x(x2+1)x2+1C．f(x)=1，g(x)=x° D．f(x)=x3．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）函數(shù)y=x+1?xA．0,1 B．0,1 C．0,+∞ D．4．（2024·江蘇南通·二模）已知fx對于任意x,y∈R，都有fx+y=fx?fy，且A．4 B．8 C．64 D．2565．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=4x22xA．0,2 B．0,2 C．0,2 D．0,26．（2023·江西九江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?1,5，則函數(shù)y=f2xA．0,3 B．?3.3 C．[?3,37．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知fx=2x?1,x<1,x2A．1 B．4 C．1或4 D．28．（2024·山東·二模）如圖所示，動點(diǎn)P在邊長為1的正方形ABCD的邊上沿A→B→C→D運(yùn)動，x表示動點(diǎn)P由A點(diǎn)出發(fā)所經(jīng)過的路程，y表示△APD的面積，則函數(shù)y=fx的大致圖像是（

A． B．C． D．二、多選題9．（23-24高一上·安徽六安·期中）下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)fxB．若a>b>0,m>0，則bC．函數(shù)fx=D．函數(shù)fx=x?110．（2024·全國·一模）設(shè)a為常數(shù)，f(0)=12,f(x+y)=f(x)f(a?y)+f(y)f(a?x)A．f(a)=B．f(x)=1C．f(x+y)=2f(x)f(y)D．滿足條件的f(x)不止一個11．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）下列命題中，正確的是（

）A．函數(shù)vx=xB．函數(shù)vx=xC．函數(shù)y=fx的圖象與直線x=2024D．函數(shù)fx=x?1三、填空題12．（2024·四川南充·三模）函數(shù)fx=16?13．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知fx=x3+2,x≥0?3x,x<014．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?∞,+∞．對任意的x,y∈R恒有fx+yfx?y=四、解答題15．（2023·江西九江·模擬預(yù)測）若f(x)的定義域?yàn)閇?4,4]，求g(x)=f(2x+1)+f(x16．（23-24高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知fx=3x(1)求f1，g(2)求fg1，(3)求fx，g17．（23-24高一下·青海西寧·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=ax?1,x≥0(1)求ff(2)若fm=m，求實(shí)數(shù)18．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(1)若f(2)=2，求實(shí)數(shù)m及ff(2)若m=10，求fx(3)若fx的定義域?yàn)?,+∞，求實(shí)數(shù)19．（23-24高一上·安徽·期中）已知一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))=x+3.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=xf(x)?1專題2.1函數(shù)的概念【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)的概念】 2【題型2同一函數(shù)的判斷】 4【題型3具體函數(shù)的定義域的求解】 6【題型4抽象函數(shù)的定義域的求解】 7【題型5已知函數(shù)定義域求參數(shù)】 8【題型6已知函數(shù)類型求解析式】 10【題型7已知f(g(x))求解析式】 11【題型8函數(shù)值域的求解】 12【題型9分段函數(shù)及其應(yīng)用】 141、函數(shù)的概念考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解函數(shù)的含義，會求簡單函數(shù)的定義域和值域

(2)會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)

(3)了解簡單的分段函數(shù)，并會應(yīng)用2021年浙江卷：第12題，5分2022年浙江卷：第14題，5分2023年北京卷：第11題，5分函數(shù)的解析式與定義域、值域問題是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，高考對函數(shù)的概念考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大，函數(shù)的解析式在高考中較少單獨(dú)考查，多在解答題中出現(xiàn).高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及最值為主.【知識點(diǎn)1函數(shù)的定義域的求法】1．求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.2．求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a,b]上的值域.【知識點(diǎn)2函數(shù)解析式的四種求法】1．函數(shù)解析式的四種求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式.(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法來求解.(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與或f(-x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).【知識點(diǎn)3求函數(shù)值域的一般方法】1．求函數(shù)值域的一般方法(1)分離常數(shù)法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)單調(diào)性法；(6)換元法；(7)數(shù)形結(jié)合法；(8)導(dǎo)數(shù)法.【知識點(diǎn)4分段函數(shù)的應(yīng)用】1．分段函數(shù)的應(yīng)用分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．【題型1函數(shù)的概念】【例1】（2023·山東·模擬預(yù)測）下列圖象中，能表示函數(shù)y=fx圖象的是（

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義判斷可得出結(jié)論.【解答過程】解：∵一個x只能對應(yīng)一個y，∴①③符合題意，對于②中，當(dāng)x>0時，一個x對應(yīng)兩個y，不符合函數(shù)的定義；對于④中，當(dāng)x=0時，一個x對應(yīng)兩個y，不符合函數(shù)的定義.故選：D．【變式1-1】（23-24高一上·廣東佛山·期末）給定數(shù)集A=R,B=(0,+∞),x,y滿足方程x2?y=0，下列對應(yīng)關(guān)系A(chǔ)．f:A→B,y=f(x) B．f:B→A,y=f(x)C．f:A→B,x=f(y) D．f:B→A,x=f(y)【解題思路】ACD選項(xiàng)，可舉出反例；B選項(xiàng)，利用函數(shù)的定義作出判斷.【解答過程】A選項(xiàng)，?x∈R，當(dāng)x=0時，y=x2=0B選項(xiàng)，?x∈0,+∞，存在唯一確定的y∈R，使得CD選項(xiàng)，對于?y∈0,+∞，不妨設(shè)y=1，此時x2故不滿足唯一確定的x與其對應(yīng)，不滿足要求，CD錯誤.故選：B.【變式1-2】（2024·江西·一模）設(shè)M={x|0≤x≤4}，N={y|?4≤y≤0}，函數(shù)fx的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镹，則fx的圖象可以是（A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得解.【解答過程】因?yàn)槎x域?yàn)閧x|0≤x≤4}，所以舍去A;因?yàn)橹涤驗(yàn)閧y|?4≤y≤0}，所以舍去D;因?yàn)閷τ诙x域內(nèi)每一個x有且只有一個y值，所以去掉C；故選B.【變式1-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列對應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A．A=N,B=NC．A=N,B=Q【解題思路】由函數(shù)的定義對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【解答過程】對于A選項(xiàng)，對集合A中的任意一個數(shù)x，集合B中都有唯一的數(shù)y與之對應(yīng)，是函數(shù)；對于B選項(xiàng)，x=4時，y=±2，有兩個y與之對應(yīng)，不是函數(shù)；對于C選項(xiàng)，當(dāng)x=1時，y不存在，不是函數(shù)；對于D選項(xiàng)，集合A中的元素0在集合B中沒有對應(yīng)元素，不是函數(shù).故選：A.【題型2同一函數(shù)的判斷】【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A．f(x)=x,g(x)=x2xC．f(x)=x,g(x)=x,x≥0【解題思路】分別求得函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則，結(jié)合同一函數(shù)的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答過程】對于A中，函數(shù)f(x)=x的定義域?yàn)镽，函數(shù)g(x)=x2x兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B中，函數(shù)f(x)=x(x∈R)和g(x)=x(x∈Z)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于C中，函數(shù)f(x)=x=x,x≥0對于D中，函數(shù)f(x)=x的定義域?yàn)镽，g(x)=(x)故選：C.【變式2-1】（2024·山東·一模）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．fB．fxC．fD．f【解題思路】根據(jù)同一函數(shù)的定義對四個選項(xiàng)中的兩個函數(shù)進(jìn)行比較即可.【解答過程】選項(xiàng)A:函數(shù)fx的定義域是x>0，函數(shù)g選項(xiàng)B:函數(shù)fx的定義域是x≠?2，函數(shù)g選項(xiàng)C:函數(shù)fx的定義域是x≠kπ+π2選項(xiàng)D:函數(shù)fx和gx的定義域都是全體實(shí)數(shù)，且gx【變式2-2】（2024·重慶·二模）下列函數(shù)中，與y=x是相同的函數(shù)是A．y=x2 C．y=x2x【解題思路】求出各選項(xiàng)函數(shù)的定義域，并對解析式進(jìn)行化簡，要求所選函數(shù)的定義域和解析式都與函數(shù)y=x的定義域和解析式一致，可得出正確的選項(xiàng).【解答過程】對于A選項(xiàng)，函數(shù)y=x2=x定義域?yàn)閷τ贐選項(xiàng)，函數(shù)y=lg10x=x的定義域?yàn)閷τ贑選項(xiàng)，函數(shù)y=x2x的定義域?yàn)閤對于D選項(xiàng)，y=x?12+1=x?1+1故選B.【變式2-3】（23-24高二下·福建三明·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)相等的是（

）A．fx=x2，gxC．fx=1，gx=x【解題思路】分別求每個選項(xiàng)中兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系，即可判斷是否為相同函數(shù)，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【解答過程】對于A中，函數(shù)fx=x2的定義域?yàn)镽，所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故A錯誤；對于B中，函數(shù)fx=x?1的定義域?yàn)镽，gx所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故B錯誤；對于C中，函數(shù)fx=1的定義域?yàn)镽，與gx所以定義域不同，所以不是相同的函數(shù),故C錯誤；對于D中，函數(shù)fx=x=x,x≥0可知兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，所以是相同的函數(shù),故D正確；故選：D.【題型3具體函數(shù)的定義域的求解】【例3】（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）函數(shù)fx=3?xA．?∞,3 B．1,+∞ C．1,3【解題思路】由函數(shù)形式得到不等式組，解出即可.【解答過程】由題意得3?xx?1≥0x?1≠0，解得1<x≤3故選：C.【變式3-1】（2024·陜西·模擬預(yù)測）函數(shù)y=?x2A．?4,1 B．?4,0 C．0,1 D．?4,0【解題思路】根據(jù)具體函數(shù)定義域的求法求解即可.【解答過程】因?yàn)閥=?所以?x2?3x+4≥0x≠0，解得故y=?x2故選：D.【變式3-2】（2024吉林·一模）函數(shù)y=ln(x+1)?A．(?4,?1) B．(?4,1) C．(?1,1) D．(?1,?1]【解題思路】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0，分母不為0，偶次方根被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可列出不等式，進(jìn)而可求出答案.【解答過程】由題意，可得x+1>0?x2故選：C.【變式3-3】（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù)fx=x2xA．?∞,1 B．?∞,?1C．?∞,?1∪?1,0 【解題思路】先求得函數(shù)fx【解答過程】因?yàn)閒x=x2x?4x，所以所以函數(shù)fx?1x+1需滿足x?1<0且x+1≠0，解得故選：D.【題型4抽象函數(shù)的定義域的求解】【例4】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）若函數(shù)y=f2x的定義域?yàn)?2,4，則y=fx?fA．?2,2 B．?2,4C．?4,4 D．?8,8【解題思路】利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可求出函數(shù)fx的定義域，對于函數(shù)y=fx?f?x，可列出關(guān)于【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=f2x的定義域?yàn)?2,4，則?2≤x≤4，可得?4≤2x≤8所以，函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?4,8對于函數(shù)y=fx?f?x，則有?4≤x≤8因此，函數(shù)y=fx?f?x故選：C.【變式4-1】（2024·陜西西安·一模）若函數(shù)fx的定義域是[0，4]，則函數(shù)gA．[0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]【解題思路】根據(jù)分式與fx【解答過程】要使函數(shù)有意義，依題意需有x≠00≤2x≤4解得，0<x≤2故選：D．【變式4-2】（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?,4，則函數(shù)y=f(x+1)x?1A．1,5 B．1,2∪2,5 C．1,2∪【解題思路】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)有意義并結(jié)合復(fù)合函數(shù)的意義列出不等式組，求解不等式組作答.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=fx的定義域?yàn)?,4，又函數(shù)y=則有0≤x+1≤4x?1>0x?2≠0，解得1<x<2或所以函數(shù)y=f(x+1)x?1+故選：C.【變式4-3】（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測）定義域是一個函數(shù)的三要素之一，已知函數(shù)Jzzx(x)定義域?yàn)閇211,985]，則函數(shù)s?uangyiliu(x)=Jzzx(2018x)+Jzzx(2021x)的定義域?yàn)椋?/p>

）A．2112018,985C．2112018,985【解題思路】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法，列出方程組211≤2018x≤985211≤2021x≤985，解得211【解答過程】由抽象函數(shù)的定義域可知，211≤2018x≤985211≤2021x≤985，解得211所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?112018故選A.【題型5已知函數(shù)定義域求參數(shù)】【例5】（23-24高一上·陜西西安·期中）已知函數(shù)fx=mA．[1,9] B．(1,9)C．(?∞,1]∪[9,+∞【解題思路】利用題給條件列出關(guān)于m的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答過程】由題意得mx2+(m?3)x+1≥0當(dāng)m=0時，不等式可化為?3x+1≥0，其解集不是R，不符合題意；當(dāng)m≠0時，由該不等式恒成立可得m>0m?32?4m≤0綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是1≤m≤9故選：A.【變式5-1】（23-24高一上·遼寧鞍山·期中）已知函數(shù)f(x)=a2?1x2+(a+1)x+1的定義域?yàn)锳．?1,53 C．53,+∞【解題思路】分a=1、a=?1、a≠±1三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答過程】當(dāng)a=1時，f(x)=2x+1，則2x+1≥0，得x≥?12當(dāng)a=?1時，f(x)=1，定義域?yàn)镽，符合題意；當(dāng)a≠±1時，由題意得關(guān)于x的不等式a2故a2?1>0Δ=(a+1)綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?∞故選：D.【變式5-2】（22-23高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）若函數(shù)f(x)=1kA．(0,4) B．[0,4) C．[0,4] D．(0,4]【解題思路】由題意可知kx2+kx+1>0【解答過程】函數(shù)f(x)=若k=0，則不等式為1>0若k≠0，則k>0Δ=綜上可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0≤k故選：B．【變式5-3】（23-24高一上·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域x∣a2?4a<x<a2?8是關(guān)于xA．2+6,+∞C．2,2+6 D．【解題思路】依題意解不等式即可.【解答過程】函數(shù)fx定義域非空集，則a2－4a＜記gx因?yàn)?2?a<?2?2=?4，所以gx>0的解集為依題意有a2?8≤?a?2或a2?4a≥2，所以又a>2，a2+a>4+2=6，所以故選：A.【題型6已知函數(shù)類型求解析式】【例6】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)f(x)=?x2?2x+3，則f(x+1)=【解題思路】代入函數(shù)解析式計算即可.【解答過程】解：因?yàn)閒(x)=?x2?2x+3f(x+1)=?x故答案為：?x【變式6-1】（2024·廣東東莞·二模）已知函數(shù)f(x)=ax?b(a>0)，f(f(x))=4x?3，則f(2)=3．【解題思路】利用直接代入法結(jié)合對應(yīng)系數(shù)相等可得a,b的值，將2代入可得結(jié)果.【解答過程】由題意，得f(f(x))=f(ax?b)=a?(ax?b)?b=a即a2=4ab+b=3a>0，解得a=2b=1故答案為3.【變式6-2】（2023·江西九江·模擬預(yù)測）若三角形的面積為S（cm2），底邊長為10cm，底上的高為h（cm），則h關(guān)于S的函數(shù)關(guān)系式是?=S5【解題思路】根據(jù)三角形面積公式得到S=5?，從而得到h關(guān)于S的函數(shù)關(guān)系式.【解答過程】因?yàn)镾=12×10?=5?，所以?=故答案為：?=S5【變式6-3】（2024·山東濟(jì)南·一模）已知集合A=uxux=ax2?a+bx+b,a,b∈R，函數(shù)fx=x【解題思路】根據(jù)u1=0，求得g1【解答過程】ux=axu1=a?a+bux=λfx所以g1=0，則gx經(jīng)檢驗(yàn)，gx故答案為：gx【題型7已知f(g(x))求解析式】【例7】（2023·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f1?x=1?x2A．1x?12?1x≠0C．4x?12?1【解題思路】利用換元法令t=1?x，運(yùn)算求解即可.【解答過程】令t=1?x，則x=1?t，且x≠0，則t≠1，可得ft所以fx故選：B.【變式7-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f1?x=1?x2A．1x?12?1C．4x?12?1【解題思路】利用換元法令t=1?x，代入運(yùn)算求解即可.【解答過程】令t=1?x，則x=1?t，由于x≠0，則t≠1，可得ft所以fx故選：B.【變式7-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函數(shù)fx滿足：fx?1x=A．fx=xC．fx=x【解題思路】通過化簡即可得出函數(shù)的解析式.【解答過程】因?yàn)閒x?∴fx故選：A.【變式7-3】（23-24高一上·湖南衡陽·期中）函數(shù)fx滿足若fgx=9x+3，A．fx=3x C．fx=27x+10 【解題思路】對fgx的式子適當(dāng)變形，即可直接求出【解答過程】因?yàn)閒g所以f3x+1=9x+3=33x+1故選：A.【題型8函數(shù)值域的求解】【例8】（2024·湖南懷化·三模）已知函數(shù)f(x)=1x(1≤x≤2),則函數(shù)g(x)=2f(x)+f(A．[3,2+22] B．[54,3] 【解題思路】由已知求得函數(shù)g(x)的定義域，換元后利用配方法求函數(shù)的值域．【解答過程】∵f(x)=1由1≤x≤21≤x2∴g(x)=2f(x)+f(x令t=1∴函數(shù)y=t當(dāng)t=22時，當(dāng)t=1時，ymax∴函數(shù)g(x)=2f(x)+f(x2)故選：D.【變式8-1】（2024·湖北·三模）函數(shù)y=x?4x?x2A．2?22,4 B．0,4 C．0,2+22【解題思路】由4x?x2?0，解得0?x?4．可得函數(shù)f(x)=y=x?4x?x【解答過程】解：因?yàn)閥=x?由4x?x2?0可得函數(shù)y=f(x)=x?4x?x2又f′(x)=1?2?x令gx=4x?x2?(2?x)，則令4x?x2?(2?x)=0即f(x)在0,2?2上單調(diào)遞減，在2?所以x=2?2又f(2?2)=2?22，f(0)=0∴函數(shù)y=x?4x?x2故選：A．【變式8-2】（2008·江西·高考真題）若函數(shù)y=f(x)的值域是[12,3]A．[12,3] B．[2,103]【解題思路】根據(jù)題意，可得：F(x)的值域就是函數(shù)y=t+1t【解答過程】設(shè)f(x)=t,則t∈1從而F(x)的值域就是函數(shù)y=t+1由“對勾函數(shù)”的圖象可知，2≤F(x)≤10故選B．【變式8-3】（2024·浙江寧波·三模）若函數(shù)fx滿足a≤fx≤ba<b，定義b?a的最小值為fxA．fx=cosC．fx=x【解題思路】由余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷A；利用配方法求解函數(shù)值域判斷B；將函數(shù)寫為分段函數(shù)的形式，求得值域判斷C；采用分離常數(shù)法求得函數(shù)值域判斷D.【解答過程】∵?1≤cos2x≤1，∴即函數(shù)fx=cos∵?x∴fx=2x+1?x2∵f(x)=x∴函數(shù)fx=x∵f(x)=3故選：B.【題型9分段函數(shù)及其應(yīng)用】【例9】（2024·吉林長春·三模）已知函數(shù)f(x)=2x,x>0f(x+2),x≤0，則A．1 B．2 C．4 D．8【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入求值即可.【解答過程】由函數(shù)可得，f(?3)=f(?1)=f(1)=2故選：B.【變式9-1】（2024·廣東佛山·二模）如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t（0≤t≤2）左側(cè)的圖形的面積為ft．則函數(shù)y=ft的大致圖象是（

A．

B．

C．

D．

【解題思路】結(jié)合圖形，分類討論0<t≤1與1<t≤2，求得f(t)的解析式，從而得解.【解答過程】依題意，當(dāng)0<t≤1時，可得直角三角形的兩條直角邊分別為t,3從而可以求得f(t)=1當(dāng)1<t≤2時，陰影部分可以看做大三角形減去一個小三角形，可求得f(t)=3所以f(t)=3從而可知選項(xiàng)A的圖象滿足題意.故選：A.【變式9-2】（2024·江西南昌·一模）設(shè)函數(shù)f(x)={2|x?a|,x≤1x+1,x>1，若f(1)是f(x)的最小值，則實(shí)數(shù)A．[?1,2) B．[?1,0] C．[1,2] D．[1,+∞)【解題思路】由x>1，求得f(x)的范圍；再求得f(x)=2|x?a|的單調(diào)性，討論a<1，a?1時函數(shù)f(x)在【解答過程】解：函數(shù)f(x)=2若x>1，可得f(x)=x+1>2，由f1是f(x)由于f(x)=可得在x>a單調(diào)遞增，在x<a單調(diào)遞減，若a<1，x?1，則f(x)在x=a處取得最小值，不符題意；若a?1，x?1，則f(x)在x=1處取得最小值，且2a?1?2，解得綜上可得a的范圍是[1，2]．故選：C．【變式9-3】（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+1=12fx，且當(dāng)x∈0,1時，fxA．278 B．298 C．134【解題思路】根據(jù)已知計算出fx=12n1?2x?【解答過程】由題意得，當(dāng)x∈1,2時，故f當(dāng)x∈2,3時，故f可得在區(qū)間n,n+1n∈Z上，所以當(dāng)n≥4時，fx≤3

當(dāng)x∈72,4時，由f所以m的最小值為29故選：B.一、單選題1．（23-24高一上·上海奉賢·期末）以下圖形中，不是函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．【解題思路】利用函數(shù)定義逐一判斷選項(xiàng)中自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系即可得出結(jié)論.【解答過程】根據(jù)函數(shù)定義，對于每一個自變量都有唯一確定的函數(shù)值與之對應(yīng)，A選項(xiàng)中存在一個自變量對應(yīng)兩個函數(shù)值，所以A不是函數(shù)圖象.故選：A.2．（2023·江西九江·模擬預(yù)測）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．f(x)=x(x2+1)x2+1C．f(x)=1，g(x)=x° D．f(x)=x【解題思路】根據(jù)同一函數(shù)的定義，逐項(xiàng)驗(yàn)證定義域和對應(yīng)法則是否相同，即得．【解答過程】對于A中，函數(shù)f(x)=x(x2+1)x2+1對于B中，函數(shù)f(x)=x和g(x)=x2=|x|={對于C中，函數(shù)f(x)=1的定義域?yàn)镽，函數(shù)g(x)=x°的定義域?yàn)閷τ贒中，函數(shù)f(x)=x的定義域?yàn)镽，g(x)=x2x故選：A．3．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）函數(shù)y=x+1?xA．0,1 B．0,1 C．0,+∞ D．【解題思路】根據(jù)開偶數(shù)次方根號里的數(shù)大于等于零即可得解.【解答過程】由y=x得x≥01?x≥0，解得0≤x≤1所以函數(shù)y=x+1?x故選：B.4．（2024·江蘇南通·二模）已知fx對于任意x,y∈R，都有fx+y=fx?fy，且A．4 B．8 C．64 D．256【解題思路】由題意有f2x=f【解答過程】由fx+y=fx?fy由f12=2故選：D.5．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=4x22xA．0,2 B．0,2 C．0,2 D．0,2【解題思路】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)求出函數(shù)值域得解.【解答過程】依題意，fx顯然2x2+1≥1，則0<所以函數(shù)fx的值域是0,2故選：C.6．（2023·江西九江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?1,5，則函數(shù)y=f2xA．0,3 B．?3.3 C．[?3,3【解題思路】由題可知解?1≤2x【解答過程】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=fx的定義域?yàn)?1,5所以，?1≤2x2?1≤5，即0≤所以，函數(shù)y=f2x故選：C.7．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知fx=2x?1,x<1,x2A．1 B．4 C．1或4 D．2【解題思路】分a<1和a≥1，求解fa【解答過程】當(dāng)a<1時，fa=2a?1=1當(dāng)a≥1時，fa=a2=1故選：B.8．（2024·山東·二模）如圖所示，動點(diǎn)P在邊長為1的正方形ABCD的邊上沿A→B→C→D運(yùn)動，x表示動點(diǎn)P由A點(diǎn)出發(fā)所經(jīng)過的路程，y表示△APD的面積，則函數(shù)y=fx的大致圖像是（

A． B．C． D．【解題思路】分x∈0,1，x∈1,2，【解答過程】當(dāng)x∈0,1時，y=當(dāng)x∈1,2時，y=12當(dāng)x∈2,3時，y=故選：A．二、多選題9．（23-24高一上·安徽六安·期中）下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)fxB．若a>b>0,m>0，則bC．函數(shù)fx=D．函數(shù)fx=x?1【解題思路】根據(jù)基本不等式、比較法，結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì)、同一函數(shù)的定義逐一判斷即可.【解答過程】A：fx若x2故x2所以fx因此fxB：因?yàn)閍>b>0,m>0，所以b+ma+m即b+ma+mC：因?yàn)閒x所以fx≠2，因此函數(shù)fxD：由fx=x?1?x+1可知：x?1≥0由函數(shù)gx=x2?1所以函數(shù)gx=x2?1因?yàn)閮蓚€函數(shù)的定義域不同，所以兩個函數(shù)不是同一函數(shù)，因此本選項(xiàng)不正確，故選：BC.10．（2024·全國·一模）設(shè)a為常數(shù)，f(0)=12,f(x+y)=f(x)f(a?y)+f(y)f(a?x)A．f(a)=B．f(x)=1C．f(x+y)=2f(x)f(y)D．滿足條件的f(x)不止一個【解題思路】對已知條件進(jìn)行多次賦值，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，再對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【解答過程】f(0)=對A：對原式令x=y=0，則12=1對B：對原式令y=0，則fx=fx對原式令x=y，則f2x=fx對原式令y=a?x，則fa=f又f(x)非負(fù)，故可得fx對C：由B分析可得：fx+y對D：由B分析可得：滿足條件的f(x)只有一個，故D錯誤.故選：ABC.11．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）下列命題中，正確的是（

）A．函數(shù)vx=xB．函數(shù)vx=xC．函數(shù)y=fx的圖象與直線x=2024D．函數(shù)fx=x?1【解題思路】根據(jù)相等函數(shù)的定義判斷A、B，根據(jù)函數(shù)的定義判斷C，由函數(shù)解析式求出函數(shù)值，即可判斷D.【解答過程】對于A：vx對于B：函數(shù)vx=x對于C：根據(jù)函數(shù)的定義可知，函數(shù)y=fx的圖象與直線x=2024對于D：因?yàn)閒x=x?1則ff故選：BC.三、填空題12．（2