初高中數(shù)學(xué)銜接知識練習(xí)

初高中數(shù)學(xué)知識銜接(一)

一元二次不等式(一)

【知識要點】

1.二次函數(shù)y=ax：+bx+c(aWO)對稱軸為；頂點坐標(biāo)為；

開口方向.

你能作二次函數(shù)的圖象嗎？作二次函數(shù)圖象的關(guān)鍵是什么？(能畫出草圖即可)

2.一元二次不等式：含有一個末知數(shù)且末知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不

等式，其一般形式是：ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0(a^O).

3.用區(qū)間表示不等式

【典型例題】

1.已知二次函數(shù)y=x2-x-6,根據(jù)其圖象解答下列問題:

(1)寫出對應(yīng)拋物線的對稱軸方程和頂點坐標(biāo)；

(2)當(dāng)x取何值時，y=0；

(3)當(dāng)x取何值時，y>0；

(4)當(dāng)x取何值時，y<0；

(5)就函數(shù)y=4x?+4x+l再回答上述問題.

2.試根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象，討論下列不等式的解集(用區(qū)間表示):

(1)ax2+bx+c>0(a>0)；(2)ax2+bx+c<0(a>0).

【鞏固練習(xí)】

1.試用區(qū)間表示下列實數(shù)x的集合：

(1)0〈xWl表示為；(2)x《l表示為

(3)x>a表示為.

2.把下列二次式寫成a(x-h)2+k的形式：

(1)2X2-3X+1=；(2)1-X_3X2=；

(3)ax?+bx+c(aWO)=.

3.二次函數(shù)y=x2+4x-l的定義或為；值域為

(用區(qū)間表示)

4.寫出下列不等式(組)的解集：(用區(qū)間表示)

5x+6>4x

(1)x(x-l)》(x-2)(x+3):

15-9x<10-4x

x-3(x-2)<4

(3)\l+2x,.

------->x-1----------------------

3

5.已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aWO),當(dāng)x分別取0和1時對應(yīng)的函數(shù)值y均為4,又函數(shù)

9

有最大值+求這二次函數(shù)的表達式.

6.試作出二次函數(shù)丫-2*2+5乂+3的圖象，并回答下列問題

(1)寫出對應(yīng)拋物線的對稱軸方程和頂點坐標(biāo)；

(2)當(dāng)x取何值時，y=O；

(3)當(dāng)x取何值時，y>0；

(4)當(dāng)x取何值時，y<0.

§2.一元二次不等式(二)

【知識要點】

1.一元二次不等式：含有一個末知數(shù)且末知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不

等式，其一般形式是：ax2+bx+c>0,或ax24-bx+c<0(a7t0).

2.一次分式不等式：——->0或——-<0(aWb).

x+bx+b

【典型例題】

1.解下列不等式：

(1)2X2-3X-2>0(2)-3x2+6x22(3)4x2-4x+l>0(4)

-X2+2X-3>0

v—33—2x

2.你能解不等式：普皿中外嗎?

3.若a￡R且a<0,解關(guān)于x的不等式：x2+(a+l)x+a>0；若a>0,你還會解這個不等式嗎？

4.(1)求滿足不等式(X2-2X+3)(X2-2X-3)<0的整數(shù)解.

(2)若關(guān)于x的不等式(aT)x2+(aT)x+l>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

(3)若關(guān)于x的不等式(aT)x2+(aT)x+l<0恒成立，你能求實數(shù)a的取值范圍嗎？

【鞏固練習(xí)】

1.寫出下列不等式的解集：

(1)3X2-7X+2<0______________；(2)-6X2-X+2W0

____________________,

(2)4X2-12X+9W0(4)X2-3X+5>0

—_______?

____________________?

2.寫出下列不等式的解：

2x-l八3x4-1c

⑴-->0(2)-——>0

x+21-X

3.要使J12-有意義,則實數(shù)x的取值范圍為.

4.關(guān)于x的一元二次方程mx2+(m-l)x+m=0有實根，則實數(shù)m的取值范圍是.

5.解不等式：0vx'x-2v4.

6.若關(guān)于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

§3.二次函數(shù)的最值(一)

【知識要點】

b^cic—I)?

二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a>0)在x=----時，有最小值y=----------

la4a

b4/zc—力2

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<O)^Ex=----時，有最大值y=---------.

2a4a

二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要解決的一個重點問題。

【典型例題】

1.二次函數(shù)/?(*)=，-2*-3在下列區(qū)間上何時取到最小值？最小值為多少？

(l)(-co,+co);(2)[0,2];(3)(2,5];

(4)[-3,0|;(5)(-1,4]；(6)(-oo,3b

最大值呢？并說出此函數(shù)在區(qū)間(2)、(5)、(6)上的值域.

2.設(shè)a、夕是方程4，一4帆x+/〃+2=0(xeR)的兩實根，當(dāng)m為何值時，a?+/2

有最小值？求出這個最小值.

3.已知函數(shù)/(X)=X2-2X+3在定義域上的值域為[2,3]，求正數(shù)m的取值范圍.

【思考】已知函數(shù)/(x)=l-2a-2ax+2x2在定義域|一1,1|上的最小值為m(a),求m(a)

的表達式。

【鞏固練習(xí)】

1.求下列函數(shù)的值域：

(1)y=2x2+3x-7(-1<x<1).

23

(2)j=x-x+4(—<x<2).

(3)j=-x2-2x4-3(-5<x<0).

(4)j=x-yx2(-3<x<4).

2.已知2x—3x<0,貝U函婁［f(x)=x?+x+1----------------------------------()

33

(A)有最小值二，但無最大值；(B)有最小值:，有最大值1;

44

19

(C)有最小值1,有最大值一；(D)無最小值，也無最大值.

4

3.函數(shù)y=%?-4OX+2Q+6(〃￡K),其值域為［0,+8),則a=.

4.已知函數(shù)/(x)=-%2+2x+〃2-5a+l(xN2)有最大值一5,則a=.

6,設(shè)/(x)=〃/+〃x+c(a>0),已知一<----<3,則f(x)在［-2,3］上有一()

22a

(A)最大值f(—2),最小值f(―--)；(B)最大值f(---),最小值/(—2)；

2a2a

(C)最大值f(3),最小值/(—二)；(D)最大值/(一二)，最小值/(3).

2a2a

7.求函數(shù)/(x)=ax2-ax+b(a<0)在區(qū)間［1,2］上的最值.

8.已知x、ywR且3》2+2y2=9x,分別求x與x?+y：的取值范圍.

【思考】

設(shè)二次函數(shù)/(x)=-/+垢+1一。在區(qū)間［0,1］上的最大值為2,求實數(shù)a的值。

§4.二次函數(shù)的最值(二)

【知識要點】

二次函數(shù)/(x)=a(x-/〃)2+〃(a工0)，其中xw［c,d］,貝(J

f(m),c<m<df(m),c<m<d

當(dāng)a>0時fmin=?f(c),tn<c:當(dāng)a<0時/max=?f(c),tn<c

f(d),m>d/(d),m>d

當(dāng)a>0時，函數(shù)/(x)的最大值又如何呢？分幾種情況加以討論？

【典型例題例題】

1.設(shè)函數(shù)/(X)=X2+|X-2|-1,xeR.求函數(shù)f(x)的最小值.

2.已知f(x)=-X②+(4a-2)x-32+鉆，且xe[0,2],試討論f(x)的最值情況.

3.是否存在正實數(shù)a、b,使當(dāng)時，函數(shù)/(x)=的值域是［2-兒2-回,

若存在，求a、b的值；若不存在，請說明理由。

【鞏固練習(xí)】

1.下列函數(shù)中，與函數(shù)了=2*2-4*-1有相同值域的是----------------------()

(A)y=3x-9(x<2)；(B)y--x2+l(x>2)；

3

(C)y=-(-1<x<0)；(D)y=3x2-6x(x>0).

x

2.已知二次函數(shù)y=2*2-1在區(qū)間［q,切上有最小值一i,則下面關(guān)系式一定成立的是

()

(A)a<0<〃或a<0<；(B)a<0<b；

(C)a<b<0或a<0<Z>；(D)0<fl<〃或a<<0.

3,已知函數(shù)+》x+c(a<0)的對稱軸方程為x=3,試寫出f(-l),f(l)、f(4)的

大小關(guān)系.

4.函數(shù)y=—x2_2?x(04x41)的最大值是/,那么實數(shù)a取值范圍

是.

5.如果函數(shù)了=*2+2*-3-。2,對于xe［1,3］上的圖像都在x軸的下方，則a的取值

范圍是.

6.設(shè)函數(shù)'在［-1,1］上的最大值是3,求a的值.

22

7.f(x)=x2+4x+3,teR,函數(shù)g(t)表示函數(shù)f(x)在區(qū)間+上的最小值，求g(t)

的表達式.

8.已知若函數(shù)/(x)=or?-2x+1在［1,3］上最大值為M(a),最小值為m(a),

令g(a尸M(a)—m(a),求g(a)的函數(shù)表達式.

§5.二次方程根的討論

【典型例題】

1.關(guān)于x的方程為x2+(m+1)x4-1=0

(1)若方程的兩實根都在(0,+8)上，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)若方程的兩實根都在(，，+8)上，求實數(shù)m的取值范圍；

2

(3)若方程的兩實根都在(0,2)±,求實數(shù)m的取值范圍；

(4)請歸納：一元二次方程ax2+bx+c=0(a>O)的兩實根都在同一區(qū)間［m,n］上的等價條件，并

解答：

關(guān)于x的方程2x2-3x+2m=0的兩根都在卜1,1］上，求實數(shù)m的取值范圍.

2.已知關(guān)于x的方程為7x2-(a+13)x+a2-a-2=0的兩個實根為a,6.

(1)若一根小于0,另一根大于0,求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若一根小于0,另一根大于2,求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若0<a<lvp<2,求實數(shù)a的取值范圍；

(4)請歸納：一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的兩實根都在不同區(qū)間內(nèi)的等價條件.

3.關(guān)于x的方程4、+(a+4)2x+l=0有解，求實數(shù)a的取值范圍.

【鞏固練習(xí)】

1.若關(guān)于x的二次方程2(k+l)x2+4kx+3k-2=0的兩根同號，則實數(shù)k的取值范圍為——

()

(A)(-2,1)(B)[-2,-l)Y(pl]

22

(C)(-a)-l)Y(-,-Ko)(D)(-2-l)Y(-,l)

2.已知關(guān)于x的方程(m+3)x2-4mx+2mT=0的兩根異號，且負根的絕對值大于正根，則實

?,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,

()

(A)(-3,0)(B)(0,3)

(C)(-8,-3)u(0,+8)(D)(-8,o)(j(3,+8)

3.求實數(shù)m的取值范圍，使關(guān)于x的方程x2+2(m-l)x+2m+6=0

(1)有兩個實根，且都大于1;

(2)有兩個實根，且一根小于2,另一根大于2；

(3)有兩個實根a,B,且0<a<l<6<4.

4.已知關(guān)于x的方程為x2+(p+2)x+l=0.

(1)若方程無正根，求實數(shù)p的取值范圍；

(2)若方程在(-8,0)上有解，求實數(shù)p的取值范圍.