高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)下冊

高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)下冊

高一新生要依據(jù)自己的條件，以及高中階段學(xué)科學(xué)問交叉多、綜

合性強(qiáng)，以及考查的學(xué)問和思維觸點(diǎn)廣的特點(diǎn)，找尋一套行之有效的

（學(xué)習(xí)（方法））。下面給大家共享一些關(guān)于（高一數(shù)學(xué)）學(xué)問點(diǎn)（總

結(jié)）下冊，盼望對大家有所關(guān)心。

高一數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)1

集合的含義與表示

1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們

能意識到這些東西，并且能推斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)整體。

把討論對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為

集。

2、集合的中元素的三個(gè)特性：

⑴元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個(gè)集合是確定

的：屬于或不屬于。

（2）元素的互異性：一個(gè)給定集合中的元素是的，不行重復(fù)的。

⑶元素的無序性:集合中元素的位置是可以轉(zhuǎn)變的，并且轉(zhuǎn)變位

置不影響集合

3、集合的表不：{...}

⑴用大寫字母表示集合：A={我校的（籃球）隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

⑵集合的表示方法：列舉法與描述法。

a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……}

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b、描述法：

①區(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)

表示集合。

{x?R|x-32},{x|x-32}

②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

4、集合的分類：

⑴有限集：含有有限個(gè)元素的集合

⑵無限集：含有無限個(gè)元素的集合

⑶空集：不含任何元素的集合

5、元素與集合的關(guān)系：

⑴元素在集合里，則元素屬于集合，即：a?A

⑵元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：aCA

留意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N-或N+

整數(shù)集Z

有理數(shù)集Q

實(shí)數(shù)集R

6、集合間的基本關(guān)系

⑴?"包含"關(guān)系⑴一子集

定義：假如集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這

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兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。

二、函數(shù)的概念

函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，假如根據(jù)某個(gè)確定的對應(yīng)

關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有確定的數(shù)

f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記

作：y=f(x),x0A.

(1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；

(2)與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x回A}

叫做函數(shù)的值域.

函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則

函數(shù)的表示方法：⑴解析法：明確函數(shù)的定義域

⑵圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲

線、直線、折線、離散的點(diǎn)等等。

⑶列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應(yīng)定義域的特征。

4、函數(shù)圖象學(xué)問歸納

⑴定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x回A)中的x為橫坐

標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x(2A)

的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿意函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來，以滿

意y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y),均在C上.

⑵畫法

A、描點(diǎn)法：B、圖象變換法：平移變換;伸縮變換;對稱變換，即

平移。

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(3)函數(shù)圖像平移變換的特點(diǎn)：

1)加左減右----------只對x

2)上減下加----------只對y

3)函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對稱得函數(shù)y=-f(x)

4)函數(shù)y=f(x)關(guān)于Y軸對稱得函數(shù)y=f(-x)

5)函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱得函數(shù)y=-f(-x)

6)函數(shù)y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動(dòng)

得

函數(shù)y=|f(x)|

7)函數(shù)y=f(x)先作x>0的圖像，然后作關(guān)于y軸對稱的圖像得函

數(shù)f(|x|)

三、函數(shù)的基本性質(zhì)

1、函數(shù)解析式子的求法

(1、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的

函數(shù)關(guān)系時(shí)一，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定

義域.

(2、求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1)代入法：

2)待定系數(shù)法：

3)換元法：

4)拼湊法：

2.定義域:能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

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求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：

⑴分式的分母不等于零；

⑵偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

⑶對數(shù)式的真數(shù)必需大于零；

⑷指數(shù)、對數(shù)式的底必需大于零且不等于1.

⑸假如函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，

它的定義域是使各部分都有意義的X的值組成的集合.

⑹指數(shù)為零底不行以等于零，

(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證明際問題有意義.

3、相同函數(shù)的推斷方法：①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值

的字母無關(guān));②定義域全都(兩點(diǎn)必需同時(shí)具備)

4、區(qū)間的概念：

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示

5、值域(先考慮其定義域)

⑴觀看法：直接觀看函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域;

⑵反表示法：針對分式的類型，把Y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式化成X

關(guān)于Y的函數(shù)關(guān)系式，由X的范圍類似求Y的范圍。

⑶配方法：針對二次函數(shù)的類型，依據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來確

定函數(shù)的值域，留意定義域的范圍。

⑷代換法(換元法)：作變量代換，針對根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次

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函數(shù)的類型。

6.分段函數(shù)

⑴在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

（2）各部分的自變量的取值狀況.

⑶分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并

集.

⑷常用的分段函數(shù)有取整函數(shù)、符號函數(shù)、含肯定值的函數(shù)

7.映射

一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，假如按某一個(gè)確定的對應(yīng)

法則f,使對于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有確定的

元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A—B為從集合A到集合B的一個(gè)

映射。記作“f（對應(yīng)關(guān)系）:A（原象）一B（象）”

對于映射f：A玲B來說，則應(yīng)滿意：

（1）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是的；

⑵集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè)；

⑶不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

留意：映射是針對自然界中的全部事物而言的，而函數(shù)僅僅是針

對數(shù)字來說的。所以函數(shù)是映射，而映射不肯定的函數(shù)

8、函數(shù)的單調(diào)性（局部性質(zhì)）及最值

（1、增減函數(shù)

（1）設(shè)函數(shù)y=Wx）的定義域?yàn)镮,假如對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D

內(nèi)的任意兩個(gè)自變量xl,x2,當(dāng)xl

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(2)假如對于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值xl,x2,當(dāng)xl

留意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)

不增，和單調(diào)不減兩種

(2、圖象的特點(diǎn)

假如函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)

在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左

到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A)定義法:

任取xl,x2回D,且xl

作差f(xl)-f(x2);

變形(通常是因式分解和配方)；

定號(即推斷差f(xl)-f(x2)的正負(fù))；

下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)：假如y=f(u)(u回M),u=g(x)(xt3A),則y=f[g(x)]=F(x)(xOA)稱為

f、g的復(fù)合函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性

親密相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減〃

留意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性

相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

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9：函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

(1、偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有fbx)=f(x),

那么f(x)就叫做偶函數(shù).

(2、奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有f(-x)=—f(x),

那么f(x)就叫做奇函數(shù).

(3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

利用定義推斷函數(shù)奇偶性的步驟：

a、首先確定函數(shù)的定義域，并推斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱;若是不

對稱，則是非奇非偶的函數(shù);若對稱，則進(jìn)行下面推斷；

b、確定f(-x)與f(x)的關(guān)系；

c、作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=O,則f(x)是偶函數(shù);

若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=O,則f(x)是奇函數(shù).

(4)利用奇偶函數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的奇偶性

a、在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；

奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；

奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；

偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；

一奇一偶的乘積是奇函數(shù)；

a>復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇。

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留意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.

首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶

函數(shù).若對稱，

(1)再依據(jù)定義判定；

(2)由f(-x)±f(x)=O或f(x)/f(-x)=±l來判定；

(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.

10、函數(shù)最值及性質(zhì)的應(yīng)用

(1、函數(shù)的最值

a利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的(小)值

b利用圖象求函數(shù)的(小)值

c利用函數(shù)單調(diào)性的推斷函數(shù)的(小)值：

假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞

減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有值f(b);

假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞

增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

(2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。

(3、推斷模糊單調(diào)性時(shí)也可以用作商法，過程與作差法類似，區(qū)

分在于作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。

⑷肯定值函數(shù)求最值，先分段，再通過各段的單調(diào)性，或圖像求

最值。

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⑸在推斷函數(shù)的奇偶性時(shí)候，若已知是奇函數(shù)可以直接用f(0)=0,

但是f(0)=0并不肯定可以推斷函數(shù)為奇函數(shù)。(高一階段可以利用奇

函數(shù)f(0)=0)。

高一數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)2

定義域

(高中函數(shù)定義)設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集，假如按某個(gè)確定的

對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)X,在集合B中都有確定

的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A-B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，

記作y=f(x),x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫

作函數(shù)的定義域；

值域

名稱定義

函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域函數(shù)的值域，在

數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量全部值的集合

常用的求值域的方法

(1)化歸法;(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合);(3)函數(shù)單調(diào)性法;(4)配方法;(5)換

元法;⑹反函數(shù)法(逆求法);⑺判別式法;⑻復(fù)合函數(shù)法;⑼三角代換

法;(10)基本不等式法等

關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)

定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個(gè)基本"元件"。平常數(shù)

學(xué)中，實(shí)行"定義域優(yōu)先〃的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，

在強(qiáng)化定義域問題的同時(shí)一，往往就減弱或談化了，對值域問題的探究,

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造成了一手“硬〃一手"軟〃，使同學(xué)對函數(shù)的把握時(shí)好時(shí)壞，事實(shí)上,

定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)?，絕不能厚此薄皮，何況它們二者

隨時(shí)處于相互轉(zhuǎn)化之中（典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相

互轉(zhuǎn)化）。假如函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是簡

單的，反靠不等式的運(yùn)算性質(zhì)有時(shí)并不能奏效，還必需聯(lián)系函數(shù)的奇

偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值狀況。才能獲得正

確答案，從這個(gè)角度來講，求值域的問題有時(shí)比求定義域問題難，實(shí)

踐證明，假如加強(qiáng)了對值域求法的討論和爭論，有利于對定義域內(nèi)函

的理解，從而深化對函數(shù)本質(zhì)的熟悉。

“范圍"與"值域"相同嗎?

“范圍〃與“值域〃是我們在學(xué)習(xí)中常常遇到的兩個(gè)概念，很多同學(xué)

經(jīng)常將它們混為一談，實(shí)際上這是兩個(gè)不同的概念?！爸涤颉ㄊ侨亢?/p>

數(shù)值的集合（即集合中每一個(gè)元素都是這個(gè)函數(shù)的取值），而"范圍”則

只是滿意某個(gè)條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不肯定都滿

意這個(gè)條件）。也就是說：“值域〃是一個(gè)"范圍〃，而“范圍”卻不肯定是

“值域"。

高一數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)3

1.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘了全集和空集的特別狀

況，不要遺忘了借助數(shù)軸和文氏圖進(jìn)行求解.

2.在應(yīng)用條件時(shí)，易A忽視是空集的狀況

3.你會(huì)用補(bǔ)集的思想解決有關(guān)問題嗎？

4.簡潔命題與復(fù)合命題有什么區(qū)分？四種命題之間的相互關(guān)系是

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什么？如何推斷充分與必要條件？

5.你知道"否命題"與"命題的否定形式”的區(qū)分.

6.求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽視定義域優(yōu)先的原則.

7.推斷函數(shù)奇偶性時(shí)一，易忽視檢驗(yàn)函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.

8.求一個(gè)函數(shù)的解析式和一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽視標(biāo)注該函

數(shù)的定義域.

9.原函數(shù)在區(qū)間卜a,a］上單調(diào)遞增，則肯定存在反函數(shù)，且反函數(shù)

也單調(diào)遞增;但一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不肯定單調(diào).例如：.

10.你嫻熟地把握了函數(shù)單調(diào)性的證明方法嗎?定義法（取值，作差,

判正負(fù)）和導(dǎo)數(shù)法

11.求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，易錯(cuò)誤地在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號“國〃

和“或〃；單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表示.

12.求函數(shù)的值域必需先求函數(shù)的定義域。

13.如何應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解題？①比較函數(shù)值的大

小;②解抽象函數(shù)不等式;③求參數(shù)的范圍（恒成立問題）.這幾種基本

應(yīng)用你把握了嗎？

14.解對數(shù)函數(shù)問題時(shí)，你留意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？

（真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1）字母底數(shù)還需爭論

15.三個(gè)二次（哪三個(gè)二次?）的關(guān)系及應(yīng)用把握了嗎？如何利用二

次函數(shù)求最值？

16.用換元法解題時(shí)易忽視換元前后的等價(jià)性，易忽視參數(shù)的范

圍。

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"."實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)數(shù)解〃轉(zhuǎn)化時(shí)一，你是否留意到：當(dāng)時(shí),

“方程有解〃不能轉(zhuǎn)化為。若原題中沒有指出是二次方程，二次函數(shù)或

二次不等式，你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為的零的情形？

18.利用均值不等式求最值時(shí)，你是否留意到："一正;二定;三等〃.

19.肯定值不等式的解法及其幾何意義是什么？

20.解分式不等式應(yīng)留意什么問題?用“根軸法〃解整式（分式）不等

式的留意事項(xiàng)是什么？

21.解含參數(shù)不等式的通法是"定義域?yàn)榍疤?，函?shù)的單調(diào)性為基

礎(chǔ)，分類爭論是關(guān)鍵〃，留意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解

集是……〃.

22.在求不等式的解集、定義域及值域時(shí)，其結(jié)果肯定要用集合

或區(qū)間表示;不能用不等式表示.

23.兩個(gè)不等式相乘時(shí)，必需留意同向同正時(shí)才能相乘，即同向同

正可乘;同時(shí)要留意"同號可倒"即abO,a0.

24.解決一些等比數(shù)列的前項(xiàng)和問題，你留意到要對公比及兩種

狀況進(jìn)行爭論了嗎？

25在"已知，求〃的問題中，你在利用公式時(shí)留意到了嗎?（時(shí),應(yīng)有）

需要驗(yàn)證，有些題目通項(xiàng)是分段函數(shù)。

26.你知道存在的條件嗎?（你理解數(shù)列、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列的概

念嗎?你知道無窮數(shù)列的前項(xiàng)和與全部項(xiàng)的和的不同嗎？什么樣的無

窮等比數(shù)列的全部項(xiàng)的和必定存在？

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特別函數(shù)，但其定義域中的值