專題30 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）原卷版

2/2專題30平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】數(shù)量積的計(jì)算 4【考點(diǎn)2】數(shù)量積的應(yīng)用 5【考點(diǎn)3】平面向量的綜合應(yīng)用 6【分層檢測(cè)】 7【基礎(chǔ)篇】 7【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的長(zhǎng)度的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos__θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(3)投影向量如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq\o(OM1,\s\up6(→))與e，a，θ之間的關(guān)系為eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面幾何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.1.兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線.2.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個(gè)向量.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．65．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2二、填空題6．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量，滿足，，則．7．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．8．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，，，．9．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則．10．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量．若，則．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】數(shù)量積的計(jì)算一、單選題1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C．1 D．132．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）直線與圓交于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C．1 D．2二、多選題3．（2024·廣東廣州·二模）在梯形中，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩個(gè)單位向量，若，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．C． D．三、填空題5．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則的取值范圍為．6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，，，反思提升：平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題；(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.【考點(diǎn)2】數(shù)量積的應(yīng)用一、單選題1．（2024·四川眉山·三模）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知向量的夾角為，且，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在邊長(zhǎng)為正六邊形中，是線段上一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則B．若向量在向量上的投影向量是，則C．若為正六邊形內(nèi)一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的取值范圍是D．若，則的值為4．（2023·河北唐山·二模）已知向量，，，下列命題成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．設(shè)，，當(dāng)取得最大值時(shí)，三、填空題5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，則實(shí)數(shù)的值為．6．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）平面向量，滿足，，且，則的值為．反思提升：(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若a，b為非零向量，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(夾角公式)，a⊥b?a·b＝0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度、垂直問題.(2)計(jì)算向量的模：①當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；②利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；③幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【考點(diǎn)3】平面向量的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，的平分線的長(zhǎng)為，則邊上的中線的長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東廣州·二模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，點(diǎn)是的右支上一點(diǎn)，則（

）A．的最小值為8B．若直線與交于另一點(diǎn)，則的最小值為6C．為定值D．若為的內(nèi)心，則為定值4．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個(gè)相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．B．C．若P為EF的中點(diǎn)，則在上的投影向量為D．的最大值為三、填空題5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等邊的外接圓的面積為，動(dòng)點(diǎn)在圓上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．6．（2024·河北秦皇島·二模）已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且，，則C的離心率為.反思提升：向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解.(3)利用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知向量中，是單位向量，與的夾角為，則（

）A．2 B． C． D．-12．（2024·浙江·三模）已知單位向量滿足，則（

）A．0 B． C． D．13．（2023·山東青島·二模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，，分別表示向量，，，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北武漢·二模）已知，向量，且，則在上的投影向量為（

）A． B．5 C． D．二、多選題5．（23-24高三下·山東菏澤·開學(xué)考試）已知單位向量，的夾角為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．在方向上的投影向量為C．若，則D．若，則6．（2023·山東·二模）下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．非零向量和，滿足且和同向，則C．非零向量和滿足，則D．已知，，則在的投影向量的坐標(biāo)為7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為三、填空題8．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知平面內(nèi)非零向量在向量上的投影向量為，且，則與夾角的余弦值為．9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則.10．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則實(shí)數(shù).四、解答題11．（23-24高三上·北京·階段練習(xí)）在中，．(1)求C；(2)若，求的最小值．12．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，且函數(shù)在上的最大值為．(1)求常數(shù)的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【能力篇】一、單選題1．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．的最大值為6D．若，則三、填空題3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形的邊長(zhǎng)為，兩個(gè)點(diǎn)，（兩點(diǎn)不重合）都在直線的同側(cè)（但，與在直線的異側(cè)），，關(guān)于直線對(duì)稱，若，則面積的取值范圍是.四、解答題4．（2024·廣東惠州·一模）在中，已知，，分別為角，，的對(duì)邊．若向量，向量，且．(1)