4.5相似三角形判定定理的證明（提升版）（含答案）-北師大版數(shù)學九年級上冊

4.5相似三角形判定定理的證明（提升版）夯實基夯實基礎黑發(fā)不知勤學早，白首方悔讀書遲。一、選擇題1．凸透鏡成像的原理如圖所示，AD//l//BC.若物體到焦點的距離與焦點到凸透鏡中心線A．45 B．25 C．492．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD四條邊上的點，已知EF⊥GH，若AB=2，BC=3，則EF：A．3：2 B．2：3 C．3．如圖，線段AB，CD相交于點O，AC∥BD，若OA=6，OC=3，OD=2，則OB的長是（）A．3 B．4 C．5 D．64．如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE//BC，∠ABE=∠AED，且AB=6，AC=9，則A．9?36 B．4 C．5 D．5．如圖，在△ABC中，DE//BC，ADDB=1A．7 B．4 C．8 D．66．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DE∥BC，BE與CD相交于F，則下列結論一定正確的是（）A．ADBD=DEBC B．ADAB=7．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=8，OB=10，以O為圓心，4為半徑作圓O，交兩邊于點C，D，P為劣弧CD上一動點，則12A．13 B．226 C．26 D．8．如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AB分別交三條平行線于點A、E、B，直線CD分別交三條平行線于點C、F、D，直線AB、CD相交于點O，若AE：EO：OB=4：2：7，則下列式子①OFOC=13；②CFFDA．4個 B．3個 C．2個 D．1個9．如圖，在△ABC中，AB<AC，將△ABC以點A為旋轉中心逆時針旋轉得到△ADE，點D在BC邊上，DE交AC于點F，則下列結論中錯誤的是（）A．△AFE∽△DFC B．AD=AFC．DA平分∠BDE D．∠CDF=∠BAD10．如圖，在正方形網(wǎng)格中：△ABC、△EDF的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則∠ABC+∠ACB的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°鞏固積鞏固積厚寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。二、填空題11．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥BD，交BC于點E，若CO=3，CE=1，則BE的長為12．如圖，在矩形ABCD中，點E在AD上，連接CE，BD相交于點F，若BC=4，EFFC=14，則13．如圖，矩形CDEF中，CD=8cm，CF=6cm，點G在邊FE上從F向點E運動，速度為3cm/s，同時點H在邊DE上從E向點D運動，速度為4cm/s.連接CG、FH，設CG、FH交于點B，取EF的中點A，則AB的最小值為cm.14．如圖，小明借助太陽光線測量樹高.在早上8時小明測得樹的影長為2m，下午3時又測得該樹的影長為8m，且這兩次太陽光線剛好互相垂直，則樹高為m.15．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E為CD的中點，G為AE的中點，F(xiàn)為CB上的一個動點，當FG=12AE時，BF優(yōu)尖拔優(yōu)尖拔高書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟。三、解答題16．如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，ED∥CA.若BE=5，EC=6，AC=10，求AD的長.17．如圖，點O是菱形ABCD對角線BD上的一點，CD=6，OC=OD=4，求BD的長.18．如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，∠ADC=∠BAC，CD=1，BD=3，求AC的長．19．如圖，E為AD上一點，若∠DAC=∠B，CD=CE，求證：CD?BD=AD?AE．20．《九章算術》是中國古代第一部數(shù)學專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一種，成于公元一世紀左右，在其“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”意思是說：如圖，矩形城池ABCD．東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點E，南門點F分別是AB，AD的中點，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD．EG＝15里，HG經(jīng)過點A，則FH等于多少里？

答案與解析答案與解析1．答案:A解析：解：∵l//BC，CG⊥l，∴四邊形OBCG為矩形，∴OB=CG，∵AH⊥HO，BO⊥HO，∴△AHF∴AHBO∴AHCG=∴物體被縮小到原來的45故答案為：A.分析：由題意可得：四邊形OBCG為矩形，則OB=CG，證明△AHF1∽△BOF1，然后根據(jù)相似三角形的性質進行解答.2．答案:B解析：解：過點H作HM⊥AB，垂足為M，過點F作FN⊥AD，垂足為N，設HM，F(xiàn)E∴∠ENF=∠GMH=90°，∵EF⊥GH，∴∠GHM+∠HOE=∠EFN+∠FOM=90°，又∵∠HOE=∠FOM，∴∠GHM=∠EFN，∴△MHG∽△NFE，∴EF：故答案為：B.分析：過點H作HM⊥AB，垂足為M，過點F作FN⊥AD，垂足為N，設HM、FE交于點O，則NF=AB，MH=BC，由對頂角的性質可得∠HOE=∠FOM，根據(jù)等角的余角相等可得∠GHM=∠EFN，證明△MHG∽△NFE，然后根據(jù)相似三角形的性質進行解答.3．答案:B解析：解：∵AC//∴△AOC∽△BOD，∴AOBO∵OA=6，OC=3，OD=2，∴6BO解得：BO=4，故答案為：B.分析：易證△AOC∽△BOD，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例進行計算.4．答案:C解析：解：∵DE//∴∠AED=∠C，∵∠ABE=∠AED，∴∠ABE=∠C，∵∠A=∠A，∴△ABE∽△ACB，∴ABAC∵AB=6，AC=9，∴69=AE∴CE=AC?AE=5.故答案為：C.分析：由平行線的性質可得∠AED=∠C，結合∠ABE=∠AED可得∠ABE=∠C，證明△ABE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質可求出AE的值，然后根據(jù)CE=AC-AE進行計算.5．答案:C解析：解：∵DE//∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△ABC，∴S==1∵S△ABC∴S△ADE∴S四邊形BCED故答案為：C.分析：根據(jù)平行線的性質可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得S△ADE的值，然后根據(jù)S四邊形BCED=S△ABC-S△ADE進行計算.6．答案:B解析：解：∵DE//∴∠ADE=∠ABC，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AD∵DE//∴AD∵DE//∴∠EDF=∠BCF，∵∠DFE=∠CFB，∴△DEF∽△CBF，∴DF由△ADE∽△ABC知AEAC∴DF由△DEF∽△CBF知DFCF故答案為：B.分析：由平行線的性質可得∠ADE=∠ABC，證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質可判斷A；根據(jù)平行線分線段成比例的性質可判斷B；由平行線的性質可得∠EDF=∠BCF，證明△DEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形的性質可判斷C、D.7．答案:B解析：解：連接OP，取OC的中點E，∵OEOP=OP∴△EOP∽△POA，∴PEAP∴PE=1∴12當E、P、B在一條直線時值最小，BE=E∴12PA+PB最小值為故答案為：B.分析：連接OP，取OC的中點E，易證△EOP∽△POA，根據(jù)相似三角形的性質可得PE=12AP，則18．答案:B解析：解：∵AE：EO=4：2，

∴OEAO=26=13，

∵l1∥l2，

∴OFOC=OEOA=13，故①正確；

∵AE：EO：OB=4：2：7，

∴AEEB=49，

∵l1∥l2∥l3，

∴CFFD=AEEB=49，故②正確；

∵l1∥l2∥l3，

9．答案:B解析：解：∵將△ABC以點A為旋轉中心逆時針旋轉得到△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，

∴∠B＝∠ADB，

∴∠ADB＝∠ADE，

∴DA平分∠BDE，故C選項正確；

∵∠AFE＝∠CFD，∠E＝∠C，

∴△AFE∽△DFC，故A選項正確；

∴∠CDF＝∠CAE，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴∠CDF＝∠BAD，故D選項正確；

沒有條件證明∠ADF＝∠AFD，即不能判斷AD＝AF，故B選項錯誤．

故答案為：B.

分析：根據(jù)旋轉得到∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E=∠C，推出∠B＝∠ADB，即可判斷C；利用兩個角對應相等的兩個三角形相似判斷A；利用相似三角形的對應角相等判斷D；沒有條件證得B正確，即可得到答案．10．答案:B解析：解：∵AB=1DE=1∵52∴ABDE∴△ABC∽△EDF，∴∠BAC=∠DEF=135°，∴∠ABC+∠ACB=180°?135°=45°，故答案為：B.分析：利用勾股定理可得AB、AC、BC、DE、EF、DF的值，則ABDE11．答案:2解析：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB=OC=OD=3∴AC=23，∠EBO=∠ACB∵OE⊥BD，∴∠BOE=∠CBA=90°，∴△BOE∽△CBA，∴OBBC=BE解得BE=2或BE=?3（舍去），故答案為2.分析：根據(jù)矩形的性質可得OA=OC=OB=OD=3，∠ABC=90°，則AC=23，由等腰三角形的性質可得∠EBO=∠ACB，證明△BOE∽△CBA，然后根據(jù)相似三角形的性質進行計算.12．答案:3解析：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴ED∥BC，∴△EFD∽△CFB，∴EFFC∵BC=4，EFFC∴ED=1，∴AE=AD?ED=4?1=3，故答案為：3.分析：根據(jù)矩形的性質可得AD∥BC，AD=BC，證明△EFD∽△CFB，根據(jù)相似三角形的性質可得ED的值，然后根據(jù)AE=AD-ED進行計算.13．答案:2解析：解：設點G運動t秒時，線段AB有最小值，即當BA⊥EF時，線段AB最小，∴FG=3t，EH=4t，如圖所示，∵矩形CDEF中，CD=8cm，CF=6cm，BA⊥EF，點A是EF的中點，∴∠BAF=∠E=90°，∠AFB=∠EFH，AF=EF=1∴△ABF∽△EHF，∴ABAF=EHEF，即∵BA⊥EF，∴AB∥CF，∴GAGF=AB∴|3t?4|3t當G在AF之間，即GA=4?3t時，4?3t3t=2t6，解方程得，當G與點A重合，即3t=4時，無解；當3t在點A右邊，即GA>4時，無解；∴當t=1時，AB=2t=2×1=2，∴AB的最小值為：2，故答案為：2.分析：設點G運動t秒時，線段AB有最小值，即當BA⊥EF時，線段AB最小，F(xiàn)G=3t，EH=4t，易證△ABF∽△EHF，根據(jù)相似三角形的性質可得AB=2t，由平行線分線段成比例的性質可得GAGF=AB14．答案:4解析：解：根據(jù)題意作圖，BD=2m，CD=8m，∠BAC=90°，AD⊥BC，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，∵∠ADB=∠CDA=90°，∴△ADB～△CDA，∴BD∴ADAD=4m故答案為：4.分析：根據(jù)同角的余角相等得∠CAD=∠B，結合∠ADB=∠CDA=90°，判斷出△ADB∽△CDA，根據(jù)相似三角形對應邊成比例建立方程可求出AD的長.15．答案:2或4解析：解：連接AF，EF∵G為AE的中點，F(xiàn)G=∴FG=AG=GE=∴∠GAF=∠GFA∴∠AFE=90°∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAF+∠AFB=90°，∵∠AFE=90°，∴∠EFC+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠CFE，∴△ABF∽△FCE，∴AB設BF=x則CF=6?x∵E為CD的中點∴CE=∴4解得：x故答案為：2或4.分析：連接AF、EF，由中點的概念結合FG=12AE可得FG=AG=GE=12AE，由等腰三角形的性質可得∠GAF=∠GFA，∠GEF=∠GFE，則∠AFE=90°，由矩形的性質可得∠B=∠C=90°，由同角的余角相等可得∠BAF=∠CFE，證明△ABF∽△FCE，設BF=x，則CF=6-x，由中點的概念可得CE=16．答案:解：∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAE=∠EAC.∵ED∥CA，∴∠DEA=∠EAC∴∠DAE=∠DEA∴ED=AD∵ED//∴△BED∽△BCA∴BEBC∵BE=5，EC=6，AC=10，∴55+6∴ED=∴AD=50解析：根據(jù)角平分線的概念可得∠DAE=∠EAC，由平行線的性質可得∠DEA=∠EAC，則∠DAE=∠DEA，推出ED=AD，易證△BED∽△BCA，然后根據(jù)相似三角形的性質進行計算.17．答案:解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD.∴∠BDC=∠CBD.∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠OCD=∠DBC.∴△CDO∽△BDC.∴CDBD∵CD=6，OC=OD=4.∴6BD∴BD=9.解析：根據(jù)菱形的性質可得BC=CD，由等腰三角形的性質可得∠BDC=∠CBD，∠ODC=∠OCD，則∠OCD=∠DBC，證明△CDO∽△BDC，然后根據(jù)相似三角形的性質進行計算.18．答案:解：∵CD=1，BD=3，∴BC=BD+CD=4，∵∠ADC=∠BAC，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴CDAC即AC∴AC=2（負值舍去）．解析：先證明△ADC∽△BAC，可得CDAC19．答案:證明：∵∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA∴△ADC∽△BAC∴AD∴ACAB∵CD=CE∴∠CDA=∠CED∴∠B+∠BAD=∠CAE+∠ACE∴∠BAD=∠ACE又∵∠DAC=∠B∴△ABD∽△CAE∴AB∴AC∴CD∴CD?BD=AD?AE解析：先證明△ADC∽△BAC，