專題14 函數(shù)模型及其應用-2025年高考數(shù)學一輪復習講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）解析版

2/2專題14函數(shù)模型及其應用（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 9【考點1】利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程 9【考點2】已知函數(shù)模型解決實際問題 15【考點3】構造函數(shù)模型解決實際問題 22【分層檢測】 27【基礎篇】 27【能力篇】 36【培優(yōu)篇】 40考試要求：1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術語的含義.2.通過收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際等數(shù)學模型，會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應用.知識梳理知識梳理1.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質比較函數(shù)性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵.3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學結果對實際問題的合理性.真題自測真題自測一、單選題1．（2020·全國·高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（

）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名2．（2020·山東·高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天二、多選題3．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．三、填空題4．（2019·北京·高考真題）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為．四、解答題5．（2019·江蘇·高考真題）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離．參考答案：1．B【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，，故至少需要志愿者名.故選：B【點晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應用，屬于基礎題.2．B【分析】根據(jù)題意可得，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，根據(jù)，解得即可得結果.【詳解】因為，，，所以，所以，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B.【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎題.3．ACD【分析】根據(jù)題意可知，結合對數(shù)運算逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：，對于選項A：可得，因為，則，即，所以且，可得，故A正確；對于選項B：可得，因為，則，即，所以且，可得，當且僅當時，等號成立，故B錯誤；對于選項C：因為，即，可得，即，故C正確；對于選項D：由選項A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.4．130.15.【分析】由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設顧客一次購買水果的促銷前總價為元,元時,李明得到的金額為,符合要求.元時,有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質?數(shù)學的應用意識?數(shù)學式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景，創(chuàng)設問題情境，考查學生身邊的數(shù)學，考查學生的數(shù)學建模素養(yǎng).5．（1）15（百米）；（2）見解析；（3）17+（百米）.【分析】解：解法一：（1）過A作，垂足為E.利用幾何關系即可求得道路PB的長；（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離．解法二：（1）建立空間直角坐標系，分別確定點P和點B的坐標，然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長；（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離．【詳解】解法一：（1）過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.因為PB⊥AB，所以.所以.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結AD，由（1）知，從而，所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設為l上一點，且，由（1）知，，此時；當∠OBP>90°時，在中，.由上可知，d≥15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，.此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當PB⊥AB，點Q位于點C右側，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.以O為坐標原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標系.因為BD=12，AC=6，所以OH=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱坐標分別為3，?3.因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.因為PB⊥AB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（?13，9），.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，取線段BD上一點E（?4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點M（3，），因為，所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設為l上一點，且，由（1）知，，此時；當∠OBP>90°時，在中，.由上可知，d≥15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，設Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當P（?13，9），Q（，9）時，d最小，此時P，Q兩點間的距離.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為（百米）.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的應用、解方程、直線與圓等基礎知識，考查直觀想象和數(shù)學建模及運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力.考點突破考點突破【考點1】利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程一、單選題1．（2024·內蒙古赤峰·一模）在下列四個圖形中，點P從點O出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O、P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數(shù)關系如圖，那么點P所走的圖形是（

）A． B．C． D．2．（2022·甘肅酒泉·模擬預測）如圖，在矩形中，，，是的中點，點沿著邊、與運動，記，將的面積表示為關于的函數(shù)，則（

）

A．當時，B．當時，C．當時，D．當時，二、多選題3．（2021·福建廈門·一模）某醫(yī)藥研究機構開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（

）A．B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克D．注射一次治療該病的有效時間長度為時4．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）設，當時，對這三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列結論中，錯誤的是（

）A．的增長速度最快，的增長速度最慢B．的增長速度最快，的增長速度最慢C．的增長速度最快，的增長速度最慢D．的增長速度最快，的增長速度最慢三、填空題5．（21-22高二下·江蘇南通·期中）根據(jù)疫情防控要求，學校教室內每日需要進行噴灑藥物消毒．若從噴灑藥物開始，教室內空氣中的藥物濃度（毫克/立方米）與時間（分鐘）的關系為：，根據(jù)相關部門規(guī)定該藥物濃度達到不超過毫克/立方米時，學生可以進入教室，則從開始消毒至少分鐘后，學生可進教室正常學習；研究表明當空氣中該藥物濃度超過毫克/立方米持續(xù)8分鐘以上時，才能起到消毒效果，則本次消毒效果（填：有或沒有）.6．（2020·江西南昌·三模）如圖，有一塊半徑為的半圓形廣場，為的中點．現(xiàn)要在該廣場內以為中軸線劃出一塊扇形區(qū)域，并在扇形區(qū)域內建兩個圓形花圃（圓和圓），使得圓內切于扇形，圓與扇形的兩條半徑相切，且與圓外切．記，則圓的半徑可表示成的函數(shù)式為，圓的半徑的最大值為．參考答案：1．D【分析】由點在第二條邊上運動時，的單調性可排除A，由圖象的對稱性可排除，由一開始與是線性的可排除C，對于D，當圖形是正方形時，可以驗證它滿足題意.【詳解】對于A，點在第一條邊上時，，但點在第二條邊上運動時，是隨的增大先減小（減到最小時即為三角形的第二條邊上的高的長度），然后再增大，對比圖象可知，A錯誤；對于B，y與x的函數(shù)圖形一定不是對稱的，B錯誤；對于C，一開始與的關系不是線性的，C錯誤；對于D，因為函數(shù)圖象對稱，所以D選項應為正方形，不妨設邊長為，點在第一條邊上時（即時），，點在第二條邊上運動時（即時），，依然單調遞增，點在第三條邊上運動時（即時），，單調遞減，點在第四條邊上運動時（即時），，單調遞減，且已知與的圖象關于（其中）對稱，D正確.故選：D.2．C【分析】分、、三種情況討論，求出的邊上的高，結合三角形的面積公式可得出的表達式.【詳解】，則，易得，，所以，，則.

當時，點在線段上（不包括點），則，此時，；

當時，點在線段上（不包括點），此時；

當時，點在線段上（不包括點），

此時，則，則.故選：C.3．AD【分析】利用圖象分別求出兩段函數(shù)解析式，再進行逐個分析，即可解決．【詳解】由函數(shù)圖象可知，當時，，即，解得，，故正確，藥物剛好起效的時間，當，即，藥物剛好失效的時間，解得，故藥物有效時長為小時，藥物的有效時間不到6個小時，故錯誤，正確；注射該藥物小時后每毫升血液含藥量為微克，故錯誤，故選：．4．ACD【分析】做出三個函數(shù)的圖象，結合圖象，即可求解【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，結合圖象，可得三個函數(shù)中，當時，函數(shù)增長速度最快，增長速度最慢.所以選項B正確；選項ACD不正確.故選：ACD.

5．30有【分析】由已知只需即可確定幾分鐘之后學生可進教室，計算出藥物濃度超過毫克/立方米的時間段，即可判斷是否有效果.【詳解】由題設，只需，即，可得分鐘，所以分鐘后藥物濃度不超過毫克/立方米，故30分鐘后學生可進教室正常學習，當，則，當，則，可得，即第5分鐘到第20分鐘之間藥物濃度超過毫克/立方米，故分鐘，所以本次消毒有效果.故答案為：30，有.6．【分析】設圓的半徑為，有幾何關系可得，消去即可得到圓的半徑與的函數(shù)關系；令，則，再由二次函數(shù)求出最大值，即可求出結果．【詳解】設圓的半徑為，過作，，垂足分別為、，如下圖所示：在中，可得，即；在中，可得，即；則，則，；令，則，當，即時，．故圓的半徑的最大值為．故答案為：；.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的應用，同時考查了利用換元法和二次函數(shù)求最值，是中檔題．反思提升：判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖象.(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.【考點2】已知函數(shù)模型解決實際問題一、單選題1．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間t（單位：月）的關系式為（，且），圖象如圖所示．則下列結論正確的個數(shù)為（

）①浮萍每個月增長的面積都相等；②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；③浮萍面積每個月的增長率均為50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是，，，則．A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·河南·模擬預測）若物體原來的溫度為（單位:），環(huán)境溫度為（單位:），物體的溫度冷卻到，單位:）與需用時間（單位:分鐘）滿足為正常數(shù).現(xiàn)有一杯開水放在室溫為的房間里，根據(jù)函數(shù)關系研究這杯開水冷卻的情況（，則（

）A．當時，經(jīng)過10分鐘，這杯水的溫度大約為B．當時，這杯開水冷卻到大約需要14分鐘C．若，則D．這杯水從冷卻到所需時間比從冷卻到所需時間短4．（2024·重慶·模擬預測）放射性物質在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關注，已知放射性物質數(shù)量隨時間的衰變公式，表示物質的初始數(shù)量，是一個具有時間量綱的數(shù)，研究放射性物質常用到半衰期，半衰期指的是放射性物質數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時間，已知，右表給出了鈾的三種同位素τ的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為，，，則（

）物質τ的量綱單位τ的值鈾234萬年35.58鈾235億年10.2鈾238億年64.75A． B．與成正比例關系C． D．三、填空題5．（2023·上海長寧·一模）在有聲世界，聲強級是表示聲強度相對大小的指標.其值（單位：）定義為.其中為聲場中某點的聲強度，其單位為為基準值.若，則其相應的聲強級為.6．（2007·湖北·高考真題）為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關系式為（為常數(shù)）．根據(jù)圖所提供的信息，回答下列問題：

（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間的函數(shù)關系式為；（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室．參考答案：1．B【分析】由已知可得出，計算出萍蔓延1月至2月份增長的面積和2月至3月份增長的面積，可判斷①的正誤；計算出浮萍蔓延4個月后的面積，可判斷②的正誤；計算出浮萍蔓延每個月增長率，可判斷③的正誤；利用指數(shù)運算可判斷④的正誤.【詳解】由已知可得，則.對于①，浮萍蔓延1月至2月份增長的面積為（平方米），浮萍蔓延2月至3月份增長的面積為（平方米），①錯；對于②，浮萍蔓延4個月后的面積為（平方米），②對；對于③，浮萍蔓延第至個月的增長率為，所以，浮萍蔓延每個月增長率相同，都是，③錯；對于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是，，，則，，，所以，④錯.故選：B.2．B【分析】先根據(jù)題意解出長度，設，得到，再分析求值域，判斷取等條件即可求解.【詳解】設，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：，，所以，且，所以，又，所以，解得，即，設，，則，，所以在中，有，令，所以，所以，因為，所以，則要使最大，即要取得最小值，即取得最大值，即在取得最大值，令，，所以的對稱軸為：，所以在單調遞增，在單調遞減，所以當時，取得最大值，即最大，此時，即，所以，所以，即為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為：.故選：B.3．BCD【分析】根據(jù)解析式中各量的意義，代入求解即可.【詳解】為正常數(shù).對于A，，由，得，所以，解得，故錯誤；對于B，，，故B正確；對于C，由，得，即，則，故正確；對于D，設這杯水從冷卻到所需時間為分鐘，則，設這杯水從冷卻到所需時間為分鐘，則，因為，所以，故D正確.故選：BCD.4．BD【分析】A選項，根據(jù)半衰期的定義得到，從而得到方程，求出；B選項，由A選項得到結論；C選項，由B選項可得C錯誤；D選項，計算出，作商得到D正確.【詳解】A選項，由題意得，又，故，兩邊取對數(shù)得，，，A錯誤；B選項，由A可知，與成正比例關系，B正確；C選項，由B可知，與成正比例關系，由于鈾234的值小于鈾235的值，故，C錯誤；D選項，，，故，D正確.故選：BD5．130【分析】將題中數(shù)據(jù)直接代入公式，結合對數(shù)運算求解.【詳解】因為，，所以其相應的聲強級為.故答案為：130.6．/【分析】（1）當時，可設，把點代入直線方程求得，得到直線方程；當時，把點代入求得，曲線方程可得．最后綜合可得答案．（2）分析可知只有當藥物釋放完畢，室內藥量減少到毫克以下時學生方可進入教室，可出，解此不等式組即可得解.【詳解】解：（1）依題意，當時，設，則，解得，將代入可得，解得.綜上所述，.（2）由題意可得，因為藥物釋放過程中室內藥量一直在增加，即使藥量小于毫克，學生也不能進入教室，所以只有當藥物釋放完畢，室內藥量減少到毫克以下時學生方可進入教室，即，解得，由題意至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室．故答案為：（1）；（2）.反思提升：1.求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關注點.(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).2.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.【考點3】構造函數(shù)模型解決實際問題一、單選題1．（2024·北京朝陽·二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力滿足公式，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風面積，是該飛行器相對于空氣的速度，是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率.當不變，比原來提高時，下列說法正確的是（

）A．若不變，則比原來提高不超過B．若不變，則比原來提高超過C．為使不變，則比原來降低不超過D．為使不變，則比原來降低超過2．（23-24高三上·江蘇南通·期末）某中學開展勞動實習，學生制作一個矩形框架的工藝品．要求將一個邊長分別為10cm和20cm的矩形零件的四個頂點分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為．由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度（單位：）與排氣時間（單位：分鐘）之間滿足函數(shù)關系（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（

）A．B．C．排氣12分鐘后濃度為D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫4．（2023·全國·模擬預測）第31屆世界大學生夏季運動會在四川成都舉行，大運會吉祥物“蓉寶”備受人們歡迎．某大型超市舉行抽獎活動，推出“單次消費滿1000元可參加抽獎”的活動，獎品為若干個大運會吉祥物“蓉寶”．抽獎結果分為五個等級，等級與獲得“蓉寶”的個數(shù)的關系式為，已知三等獎比四等獎獲得的“蓉寶”多2個，比五等獎獲得的“蓉寶”多3個，且三等獎獲得的“蓉寶”數(shù)是五等獎的2倍，則（

）A． B．C． D．二等獎獲得的“蓉寶”數(shù)為10三、填空題5．（2024·河南洛陽·模擬預測）在高度為的豎直墻壁面上有一電子眼，已知到天花板的距離為，電子眼的最大可視半徑為．某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個長度為0.2m的木棒（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過的時間為s．（注意：位移與時間的函數(shù)關系為，重力加速度取）6．（2024·上海長寧·二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關數(shù)據(jù)如下表：甲乙丙接單量t（單）783182258338油費s（元）107150110264110376平均每單里程k（公里）151515平均每公里油費a（元）0.70.70.7出租車空駛率；依據(jù)以述數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為，則（精確到0.01）參考答案：1．C【分析】由題意可得，，結合選項，依次判斷即可.【詳解】由題意，，所以，，A：當，不變，比原來提高時，則，所以比原來提高超過，故A錯誤；B：由選項A的分析知，，所以比原來提高不超過，故B錯誤；C：當，不變，比原來提高時，，所以比原來降低不超過，故C正確；D：由選項C的分析知，比原來降低不超過，故D錯誤.故選：C2．D【分析】由已知作圖如圖所示，設，利用三角函數(shù)表示各邊長，借助三角函數(shù)性質計算可得結果.【詳解】如圖所示，，令，則，則，，則周長，故選：D．【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用三角函數(shù)的定義表示出所求周長，再利用三角恒等變換即可得解.3．ACD【分析】由題意列式，求出，即可判斷A，B；可得函數(shù)解析式，將代入，即可判斷C；結合解析式列出不等關系，求出人可以安全進入車庫的排氣時間，判斷D.【詳解】設，代入，得,解得，A正確，B錯誤．此時，所以，C正確．當時，即，得，所以，所以排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫，D正確．故選:ACD．4．ABD【分析】依題意，得出關于的方程組，解方程組得的值，從而得到關于的方程組，解方程組得的值，即可判斷選項A，B，C是否正確，由的值推出的解析式，求出的值，即可判斷選項D是否正確．【詳解】依題意，得，解得即：對于選項A，由可得：，（依題意知，，故）得，所以，故A項正確；對于選項B，因可得：，由選項A結論可知，所以，所以，解得，故B項正確；對于選項C，因可得：，由選項B結論，有，解得，故C項錯誤；對于選項D，由選項A，B，C可得，即，所以，即二等獎獲得的“蓉寶”數(shù)為10，故D項正確．故選：ABD.5．【分析】由題意中的函數(shù)關系建立方程組，解之即可求解.【詳解】由已知得，木棒做自由落體運動，設從開始下落到木棒的下端開始進入電子眼的視線和木棒的上端開始離開電子眼的視線所需要的時間分別為，位移分別為，所以，則，所以電子眼A記錄到木棒通過的時間為．故答案為：6．【分析】根據(jù)題意得到出租車空駛率的模型，檢驗甲、乙兩輛出租車的空駛率，滿足題意，從而利用該模型求得丙的空駛率，從而得解.【詳解】依題意，因為出租車行駛的總里程為，出租車有載客時行駛的里程為，所以出租車空駛率，對于甲，，滿足題意；對于乙，，滿足題意；所以上述模型滿足要求，則丙的空駛率為，即.故答案為：.反思提升：(1)在應用函數(shù)解決實際問題時需注意以下四個步驟：①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇函數(shù)模型.②建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的函數(shù)模型.③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學結論.④還原：將數(shù)學結論還原為實際意義的問題.(2)通過對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題，用數(shù)學知識和方法構建函數(shù)模型解決問題，提升數(shù)學建模核心素養(yǎng).分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2023·云南·二模）下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價格：一次購買件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件價格37元32元30元27元25元張師傅準備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件2．（2024高三下·全國·專題練習）小微企業(yè)是推進創(chuàng)業(yè)富民、恢復市場活力、引領科技創(chuàng)新的主力軍，一直以來，融資難、融資貴制約著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實際還款比例與小微企業(yè)的年收入（單位：萬元）的關系為.已知小微企業(yè)的年收入為80萬元時，其實際還款比例為，若銀行希望實際還款比例為，則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù)：，1）（

）A．46.49萬元 B．53.56萬元 C．64.43萬元 D．71.12萬元3．（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，經(jīng)驗表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開始，經(jīng)過tmin后的溫度為，可選擇函數(shù)來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．6min D．4．（22-23高三下·云南·階段練習）近年來，天然氣表觀消費量從2006年的不到m3激增到2021年的m3.從2000年開始統(tǒng)計，記k表示從2000年開始的第幾年，，.經(jīng)計算機擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消費量隨時間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費量，是2000年的天然氣消費量，是過去20年的年復合增長率.已知2009年的天然氣消費量為m3，2018年的天然氣消費量為m3，根據(jù)擬合的模型，可以預測2024年的天然氣消費量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，A．m3 B．m3C．m3 D．m3二、多選題5．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習）已知大氣壓強隨高度的變化滿足關系式是海平面大氣壓強，.我國陸地地勢可劃分為三級階梯，其平均海拔如下表：平均海拔第一級階梯第二級階梯第三級階梯若用平均海拔的范圍直接代表各級階梯海拔的范圍，設在第一、二、三級階梯某處的壓強分別為，則（

）A． B．C． D．6．（22-23高一上·河南新鄉(xiāng)·期末）壓縮袋（真空壓縮袋）也叫PE拉鏈復合袋．在我們的日常生活中，各類大小的壓縮袋不但能把衣柜解放出來，而且可以達到防潮、防蟲咬、清潔保存的效果．其中抽氣式壓縮袋是通過外接抽氣用具如抽氣泵或吸塵器，來進行排氣的．現(xiàn)選用某種抽氣泵對裝有棉被的壓縮袋進行排氣，已知該型號的抽氣泵每次可以抽出壓縮袋內氣體的，則（

）（參考數(shù)據(jù)：?。〢．要使壓縮袋內剩余的氣體少于原來的，至少要抽5次B．要使壓縮袋內剩余的氣體少于原來的，至少要抽9次C．抽氣泵第4次抽出了最初壓縮袋內氣體的D．抽3次可以使壓縮袋內剩余的氣體少于原來的7．（2022·江蘇鹽城·模擬預測）泊松分布適合于描述單位時間（或空間）內隨機事件發(fā)生的次數(shù)．如某一服務設施在一定時間內到達的人數(shù)，顯微鏡下單位分區(qū)內的細菌分布數(shù)等等．其概率函數(shù)為，參數(shù)是單位時間（或單位面積）內隨機事件的平均發(fā)生次數(shù)．現(xiàn)采用某種紫外線照射大腸桿菌，大腸桿菌的基因組平均產(chǎn)生3個嘧啶二體．設大腸桿菌的基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個數(shù)為Y，表示經(jīng)該種紫外線照射后產(chǎn)生k個嘧啶二體的概率．已知Y服從泊松分布，記為，當產(chǎn)生的嘧啶二體個數(shù)不小于1時，大腸桿菌就會死亡，下列說法正確的有（

）（參考數(shù)據(jù)：，恒等式）A．大腸桿菌a經(jīng)該種紫外線照射后，存活的概率約為5%B．設，則C．如果，那么，X的標準差D．大腸桿菌a經(jīng)該種紫外線照射后，其基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個數(shù)的數(shù)學期望為3三、填空題8．（2023·全國·模擬預測）對某種藥劑進行稀釋，初始時藥劑有，濃度為100%，加入水后，藥劑濃度被稀釋為60%，若每次稀釋都向上一次所得稀釋液中加入水，則要使稀釋液中藥劑濃度低于初始濃度的10%，則要加水次．9．（22-23高二上·廣東深圳·期末）我們可以用下面的方法在線段上構造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為.（參考數(shù)據(jù)：）10．（2024·全國·模擬預測）藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低到一半所需時間．在特定劑量范圍內，（單位，h）內藥物在血液中濃度由（單位，）降低到（單位，），則藥物的半衰期．已知某時刻測得藥物甲、乙在血液中濃度分別為和，經(jīng)過一段時間后再次測得兩種藥物在血液中濃度都為，設藥物甲、乙的半衰期分別為，，則．四、解答題11．（2024·全國·模擬預測）某種漢堡是某西餐店火爆的快餐品種之一，該店該種漢堡的成本為每個10元，售價為每個15元，若當天沒有售出，則全部銷毀．

(1)若該西餐店某天制作該種漢堡（）個，求該西餐店當天該種漢堡的利潤（單位：元）關于當天需求量（單位：個，）的函數(shù)解析式；(2)該西餐店某月（按30天算）每天制作該種漢堡90個，并對該月該種漢堡的日需求量（單位：個）進行統(tǒng)計，對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行分析制成條形圖如圖所示，求該西餐店該月這種漢堡的平均日利潤．12．（2000·廣東·高考真題）某蔬菜基地種黃瓜，從歷年市場行情可知，從二月一日起的天內，黃瓜市場售價（單位：元/千克）與上市時間（第天）的關系可用如圖所示的一條折線表示，黃瓜的種植成本（單位：元/千克）與上市時間的關系可用如圖所示的拋物線表示．

(1)寫出圖表示的市場售價與上市時間的函數(shù)關系式及圖表示的種植成本與上市時間的函數(shù)關系式；(2)若認定市場售價減去種植成本為純收益，則何時上市能使黃瓜純收益最大？參考答案：1．C【分析】根據(jù)題意，設購買的件數(shù)為，花費為元，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)列出滿足的函數(shù)關系式，當時，求出的最大值即可.【詳解】設購買的件數(shù)為，花費為元，則，當時，，當時，，所以最多可購買這種產(chǎn)品件，故選：C.2．A【分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計算函數(shù)中參數(shù)的值，然后計算還款比例為時的值即可.【詳解】由題意知，化簡得，故，得.則當時，，化簡得，兩邊同時取對數(shù)，得，得，故當實際還款比例為時，小微企業(yè)的年收入約為46.49萬元.故選：A3．B【分析】令，則，兩邊同時取對將代入即可得出答案.【詳解】由題可知，函數(shù)，令，則，兩邊同時取對可得：，即，即.故選：B.4．B【分析】由題意，，，由已知數(shù)據(jù)解出，再由，代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)計算即可.【詳解】據(jù)題意，，兩式相除可得，又因為，故選：B．5．ACD【分析】根據(jù)題意，列出不等式，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質解對數(shù)不等式即可求解.【詳解】設在第一級階梯某處的海拔為，則，即.因為，所以，解得A正確；由，得.當時，，即，所以，B錯誤；設在第二級階梯某處的海拔為，在第三級階梯某處的海拔為，則兩式相減可得.因為，所以，則，即，故均正確.故選:ACD.6．ACD【分析】根據(jù)題意建立函數(shù)模型，利用指對函數(shù)的性質一一計算即可判定選項.【詳解】設抽氣泵抽了次，若要使壓縮袋內的氣體少于原來的，則，即，則．因為，所以至少要抽5次，A正確，B錯誤．抽氣泵第4次抽出了最初壓縮袋內氣體的，C正確．，D正確．故選：ACD7．AD【分析】根據(jù)珀松分布的性質即可逐一求解.【詳解】對于A;當時，大腸桿菌就會死亡，當時，大腸桿菌能存活，由知，當時，，故A對，對于B;,,，因為，的正負無法確定，故的大小無法確定，故B錯誤.對于C；根據(jù)珀松分布的方差可知,但,故C錯誤；對于D;由珀松分布可知，而，故，故D正確.故選：AD8．14（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意利用函數(shù)模型列出不等式即可求得結果.【詳解】設要加水次，，根據(jù)題意可得，解得，所以要至少加水14次可以使稀釋液中藥劑濃度低于初始濃度的10%．故答案為：14（答案不唯一）9．12【分析】設每次操作留下的長度為，得到為等比數(shù)列，公比為，首項為，求出，從而得到去掉的所有線段長度總和為，列出不等式，求出答案.【詳解】設每次操作留下的長度為，則，，且每次操作留下的長度均為上一次操作留下長度的，所以為等比數(shù)列，公比為，首項為，故，所以經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段長度總和為，故，即，兩邊取對數(shù)得：，因為，所以，則n的最小值為12.故答案為：1210．2【分析】根據(jù)題意代入即可求解.【詳解】由題意得，．故答案為：211．(1)（）(2)（元）【分析】（1）分別寫出和時的利潤，表示為分段函數(shù)的形式；（2）由（1）求出的解析式求出利潤，再求平均利潤即可.【詳解】（1）當時，日利潤，當時，日利潤，，關于的函數(shù)解析式為（）.（2）由題及（1）知，日利潤為180元的天數(shù)為1，日利潤為240元的天數(shù)為3，日利潤為300元的天數(shù)為4，日利潤為360元的天數(shù)為5，日利潤為420元的天數(shù)為6，日利潤為450元的天數(shù)為11，該月的平均日利潤為（元）.故該西餐店該月這種漢堡的平均日利潤為（元）.12．(1)，(2)從二月一日開始的第天上市，能使黃瓜純收益最大【分析】（1）采用待定系數(shù)法假設一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，代入已知點即可求得結果；（2）收益為，結合二次函數(shù)最值可求得結果.【詳解】（1）當時，設，則，解得：，；當時，設，則，解得：，；綜上所述：；設，，解得：，.（2）設從二月一日起的第天的純收益為，由題意知：，即當時，，當時，在區(qū)間上取得最大值；當時，，當時，在區(qū)間上取得最大值；綜上可知：當時，取得最大值，最大值為，即從二月一日開始的第天上市，能使黃瓜純收益最大．【能力篇】一、單選題1．（23-24高三上·福建泉州·期末）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（

）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A．B．C．D．二、多選題2．（2024·遼寧·二模）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開始，晶體管數(shù)量隨時間變化的函數(shù)，若，則下面選項中，符合摩爾定律公式的是（

）A．若是以月為單位，則B．若是以年為單位，則C．若是以月為單位，則D．若是以年為單位，則三、填空題3．（2022·河南安陽·二模）某景區(qū)套票原價300元/人，如果多名游客組團購買套票，則有如下兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10，則票價打9折；若人數(shù)不低于50，則票價打8折；若人數(shù)不低于100，則票價打7折.不重復打折.方案二：按原價計算，總金額每滿5000元減1000元.已知一個旅游團有47名游客，若可以兩種方案搭配使用，則這個旅游團購票總費用的最小值為元.四、解答題4．（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型號芯片的各項指標經(jīng)過全面檢測后，分為Ⅰ級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項指標的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標制定一個標準，需要確定臨界值K，按規(guī)定須將該指標大于K的產(chǎn)品應用于A型手機，小于或等于K的產(chǎn)品應用于B型手機．若將Ⅰ級品中該指標小于或等于臨界值K的芯片錯誤應用于A型手機會導致芯片生產(chǎn)商每部手機損失800元；若將Ⅱ級品中該指標大于臨界值K的芯片錯誤應用于B型手機會導致芯片生產(chǎn)商每部手機損失400元；假設數(shù)據(jù)在組內均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．(1)設臨界值時，將2個不作該指標檢測的Ⅰ級品芯片直接應用于A型手機，求芯片生產(chǎn)商的損失（單位：元）的分布列及期望；(2)設且，現(xiàn)有足夠多的芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品，分別應用于A型手機、B型手機各1萬部的生產(chǎn)：方案一：將芯片不作該指標檢測，Ⅰ級品直接應用于A型手機，Ⅱ級品直接應用于B型手機；方案二：重新檢測該芯片Ⅰ級品，Ⅱ級品的該項指標，并按規(guī)定正確應用于手機型號，會避免方案一的損失費用，但檢測費用共需要130萬元；請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費用的估計值（單位：萬元）的表達式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．參考答案：1．A【分析】由函數(shù)的數(shù)據(jù)即可得出答案.【詳解】由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)，偶函數(shù)滿足此性質，可排除B，D；當時，由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)增長越來越快，可排除C.故選：A.2．BC【分析】對AC，計算，滿足，，，可確定，對CD，計算，滿足，，，可確定．【詳解】選項A，，，A不符合；選項B，，，，，符合；選項C，，則，，，，，符合，選項D，，，，，不符合．故選：BC．3．11710【分析】由題意分析方案一和方案二的單人票價，可得用方案二先購買34張票，剩余13張用方案一，費用最小，從而可求出其最小值【詳解】方案一：滿10人可打9折，則單人票價為270元，方案二：滿5000元減1000元，按原價計算，則滿5000元至少湊齊17人，，則單人票價為，滿10000元時，，則需34人，單人票價為241元，滿15000元時，，人數(shù)不足，因為，所以用方案二先購買34張票，剩余13不滿足方案二，但滿足方案一，所以總費用為（元），故答案為：117104．(1)分布列見解析，(2)，，方案二【分析】（1）首先求出Ⅰ級品中該指標小于或等于的頻率，依題意的可能取值為，，，求出所對應的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望；（2）首先求出Ⅰ級品該指標小于或等于臨界值的頻率，Ⅱ級品中該指標大于或等于臨界值K的頻率，即可求出損失費用的估計值的解析式，再求出值域，即可判斷.【詳解】（1）