第1章+平面向量及其應(yīng)用知識點(diǎn)清單 高一年級下冊數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第二冊

新教材湘教版2019版數(shù)學(xué)必修第二冊

第1章知識點(diǎn)清單

目錄

第1章平面向量及其應(yīng)用

1.1向量

1.2向量的加法

1.3向量的數(shù)乘

1.4向量的分解與坐標(biāo)表示

1.5向量的數(shù)量積

1.6解三角形

1.7平面向量的應(yīng)用舉例

第1章平面向量及其應(yīng)用

1.1向量

一、向量的物理背景

1.位移是物理學(xué)中的基本量之一，也是幾何研究的重要對象.研究物體運(yùn)動時，通常

把物體當(dāng)作一個質(zhì)點(diǎn)，用點(diǎn)來表示物體的位置.質(zhì)點(diǎn)從位置A運(yùn)動到位置B,位置的

改變稱為位移.

2.理解位移，要把握三個方面：

①位移由方向和大小唯一確定；

②位移只與質(zhì)點(diǎn)的起點(diǎn)、終點(diǎn)位置相關(guān)，而與實(shí)際運(yùn)動路線無關(guān)；

③兩個位移相等指的是方向相同而且大小相等.

3.物理學(xué)中許多需要考慮大小和方向的量，如速度、加速度、力等.

二、向量的基本要素及幾何表示

1-有向線段

像屬這樣具有方向的線段，稱為有向線段，有向線段跖的長度記作|屆

有向線段包含三個要素：起點(diǎn)、方向、長度,4

2.向量

像位移這樣既有大小又有方向的量，在數(shù)學(xué)中稱為向量.

向量的幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的方向和長度分別代表了向量

的方向和大小.

向量的字母表示向量用粗體字母（E[l刷）或在字母上方標(biāo)箭頭（書寫）來表示,如向量a,

b,F,a,b,F.

3.向量的模

向量a的大小，也就是向量a的長度，稱為a的模，記作|a|.

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三、向量的相等

1.相等向量：我們把方向相同、長度相等的向量稱為相等向量.

2.相反向量：我們把長度相等、方向相反的向量a,b稱為相反向量，記作b=-a.

如果b=-a,則同樣也有a=-b.

3.零向量：如果向量a的大小|a|二0,就稱a是零向量，記作0.

我們約定，所有的零向量相等，且零向量的方向是任意的.

四、向量相等及其應(yīng)用

1.向量相等具有傳遞性，即a=b,b二c,則a=c.

2.相等向量與向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)無關(guān)，只看長度和方向.

3.在幾何圖形中尋找相等向量的方法，先找出與表示已知向量的有向線段平行或在同

一直線上且長度與已知向量長度相等的線段，再構(gòu)造同向或反向的向量，注意不要漏

掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

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1.2向量的加法

一、向量的加法

1.三角形法則

已知兩個非零向量a,b,在平面上任取一點(diǎn)0,

向量的加法分別作示二

文字語言a,AB=b,

法則

則定義從0到B的向量而為a,b

的和，記作a+b.gpa+b=0A+AB=0B

向量的加法ba+以

圖形表示/?

法貝IJ

aaA

a「a

特殊情形(a與b的方b,b

向相同或相反)a,b，卜,、

1a+hZ”

向量的加法求向量和的運(yùn)算稱為向量的加法.兩個向量的和仍是一個向量

向量加法的將兩個向量表示為首尾相接的有向線段來求和的作圖法則叫作

三角形法則向量加法的三角形法則

2.平行四邊形法則

條件對于方向既不相同也不相反的非零向量a,b,可用平行四邊形法則求和

文字從同一點(diǎn)0出發(fā)作有向線段第二a,0B=b,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊

語言形OACB,則對角線瓦就是a與b的和，即沃二a+b

B

圖形ba+b

表示0a/

3,加法運(yùn)算律

(1)加法交換律：a+b=b+a對任意兩個向量a,b成立.

⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)對任意三個向量a,b,c成立.

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4.零向量的加法性質(zhì)

任意向量與零向量相加后保持不變，等于這個向量本身，即a+0=0+a=a.

如果兩個向量之和為。，即a+b=0,貝Ua與b大小相等，方向相反，即b是a的相反

向量，記作b=-a.當(dāng)然a也是b的相反向量，因此a=-b=-(-a).

5.n個向量相加

如圖所示，在n邊形AA…An中，AtA2+A2A3+--■+An_!An=AtAn,

則A]A?+A2A3HbAn-iAn+AnA]=0."A.

4

\\\4

二、向量的減法”

1.向量減法的定義44

已知兩個向量a,b,求x滿足a+x=b,這樣的運(yùn)算叫作向量的減法，記為x=b-a,

x稱為b與a之差.

2.向量的減法法則

減去一個向量a,等于加上它的相反向量-a,即b-a=b+(-a).

A

已知向量a與b,在平面上任取一點(diǎn)。作嬴=a,OB=b,則屈=b-a,

即b-a表示從向量a的終點(diǎn)指向向量b的終點(diǎn)的向量.

b

三、向量的加減法運(yùn)算及其應(yīng)用。/

1.利用已知向量表示其他向量的思路

解決這類問題時，要根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，正確運(yùn)用向量加、減法法則和相等向量的

定義，同時注意向量的方向及運(yùn)算式中向量之間的關(guān)系.當(dāng)運(yùn)用三角形法則時，要注

意兩個向量首尾順次相接，當(dāng)兩個向量共起點(diǎn)時，可以考慮用減法.

任意一個非零向量一定可以表示為兩個向量的和(差)，即跖=施+麗，AB=NB-NA

(M,N均是同一平面內(nèi)的任意點(diǎn)).

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四、向量形式的三角不等式

(1)當(dāng)向量a,b方向既不相同也不相反時，作市=a,AB=b,則a+b二麗，如圖1所

示.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有||aHb"<|a+b|<|a|+|b|.

(2)當(dāng)a與b方向相同或a,b中至少有一個為零向量時,如圖2所示,此時|a+b|二|a|+|b|.

⑶當(dāng)a與b方向相反或a,b中至少有一^為零向量時，不妨設(shè)|a|Z|b|,如圖3所示，

此時|a+b|=||a|-|b||.

故對于任意向量a,b,總有||a|-|b||w|a+b|w|a|+|b|①.

因?yàn)閨a-b|=|a+(-b)|,所以||a|-|-b||W|a-b|W|a|+|-b|,即||a|-|b||W|a-b|W|a|+|b|②.

將①②兩式結(jié)合,可得||a|-|b||W|a士b|W|a|+|b|,我們稱之為向量形式的三角不等式.

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1.3向量的數(shù)乘

一、向量的實(shí)數(shù)倍

1.向量的數(shù)乘

定義求向量的實(shí)數(shù)倍的運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘

長度|Aa|=|X||a|

當(dāng)人戶0且a聲0時，入a的方向

方向J當(dāng)入〉0時，與a同向.

1當(dāng)入<0時，與a反向

幾何意義把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小

特殊情況當(dāng)入=0或a=0時,入a=0a二?；蛉隺二入0二0

2.向量的線性運(yùn)算

我們把向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍

是—t"向量.

二、共線向量

1.共線向量的定義

當(dāng)非零向量a,b方向相同或相反時，我們既稱a,b共線，也稱a,b平行，并且用

符號來表示它們共線（或平行），記作a〃b.

規(guī)定：零向量與所有的向量平行.

2.由向量平行和向量數(shù)乘的定義可以推知：兩個向量平行=其中一個向量是另一個向

量的實(shí)數(shù)倍.

即@〃13=存在實(shí)數(shù)入，使得b二入a或a二入b.

3.兩向量的夾角

如圖所示，設(shè)a,b是兩個非零向量，任選一點(diǎn)0,作正=a,0B=b,則射線0A,

OB所夾的最小非負(fù)角乙AOB二。稱為向量a,b的夾角，記作<a,b>,取值范圍規(guī)定

為[0,n],在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角被唯一確定了，并有<a,b>=<b,a>.

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A

bB

eb

當(dāng)6二0時，a,b方向相同；當(dāng)。二TT時，a,b方向相反.這兩種情形下a,b所在直

線重合，即a,b共線.當(dāng)0<e<Ti時，a,b所在直線相交于點(diǎn)。即a,b不共線,

特別地，當(dāng)時，a與b垂直，記作a，b.

規(guī)定：零向量與任一向量垂直.

三、共線向量的運(yùn)算

1.單位向量

我們把長度為1的向量稱為單位向量.它的長度等于單位長度.對于任一非零向量a,

都可得到與它方向相同的唯一單位向量e二^a.

2.共線向量的運(yùn)算

一般地，在一條直線上任取單位向量e,則直線上任何向量a都可寫成a二ae,其中實(shí)

數(shù)a的絕對值|a|代表向量a的模，a的正負(fù)代表a與e的方向相同或相反.反過來，

任意給定一個實(shí)數(shù)a,我們總能作一個向量a二ae,使它的長度等于這個實(shí)數(shù)a的絕對

值，方向與實(shí)數(shù)a的符號一致.

四、數(shù)乘運(yùn)算律

1.數(shù)乘運(yùn)算律

一般地，設(shè)a,b是任意向量，x,y是任意實(shí)數(shù)，則如下運(yùn)算律成立：

⑴對實(shí)數(shù)加法的分配律：(x+y)a=xa+ya.

⑵對實(shí)數(shù)乘法的結(jié)合律：x(ya)=(xy)a.

⑶對向量加法的分配律：x(a+b)=xa+xb.

2.幾個常用結(jié)論

⑴表示線段AB中點(diǎn)P位置的向量而等于表示線段兩個端點(diǎn)A,B位置的向量市，

麗的平均值((OA+OB)(O為線段AB外一點(diǎn)).

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⑵表示4ABC的重心G的位置的向量前等于表示三角形三個頂點(diǎn)A,B,C位置的向

量血，0B,玩的平均值:(OA+OB+OC)(O為△ABC外任一點(diǎn)).

五、向量的線性運(yùn)算

1.向量的線性運(yùn)算是向量的基本運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果還是向量.向量的線性運(yùn)算可以類

比實(shí)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.用已知向量表示未知向量時，通常要結(jié)合圖形的特點(diǎn)，把未知向

量放到三角形或平行四邊形中，適當(dāng)?shù)剡x擇向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算來求解，有

時還需借助共線向量來解決.

六、共線向量的理解及應(yīng)用

1.共線向量定理的理解

⑴由于任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量與共線向量是等

價的，要注意避免向量平行與平面幾何中的直線平行相混淆.平行直線不包括重合的

情況，而平行向量是可以重合的.

⑵向量的平行不具有傳遞性，若a〃b,b#c,未必有a〃c.因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我?/p>

向量，當(dāng)b=0時，a,c可以是任意向量，所以a與c不一定平行，但若b片0,則必

有@〃>b〃c=a〃c.因此，解答問題時要看清題目中是任意向量還是任意非零向量.

⑶共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量.

2.共線向量定理的應(yīng)用

⑴判定平面幾何中的共線或平行關(guān)系，可用向量的數(shù)乘運(yùn)算來描述，即對于線段AB

與CD,如果存在實(shí)數(shù)入，使得而二而則AB與CD共線或平行.

⑵一般地，要判斷A,B,C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)入，使得源二笳(或

氏二入跖等).

⑶平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)入，口，使得瓦二入市+口而，其中

入+產(chǎn)1,點(diǎn)O為平面內(nèi)一點(diǎn)

事實(shí)上，若三點(diǎn)A,B,C共線，則一定存在實(shí)數(shù)m使得配二m跖，即&-嬴=m(而-

OA),從而貢=(l-m)嬴+m而，令人=1-m,口=m,則入+口=(l-m)+m=1.

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1.4向量的分解與坐標(biāo)表示

一、平面向量基本定理

1.設(shè)e］，e2是平面上兩個不共線向量，則

⑴平面上每個向量v都可以分解為e和e2的實(shí)數(shù)倍之和，即v=xei+ye2,其中x,y是

實(shí)數(shù).

⑵實(shí)數(shù)x,y由v=xe】+ye2唯一決定.也就是：如果v=xei+ye?=x'ei+y0,則x=x',y=y'.

2.我們稱不共線向量e】，e?組成平面上的一組基｛e］，e2｝,分解式v=xa+ye?中的系數(shù)

x,y組成的有序數(shù)組(x,y),稱為v在這組基下的坐標(biāo).

取定了平面上一組基e2｝之后，可以將平面上每個向量v用它在這組基下的坐標(biāo)來

表示，記為v=(x,y).

二、平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示

1.正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫作把向量正交分解.

2.標(biāo)準(zhǔn)正交基：平面上相互垂直的單位向量組成的基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基，記作｛i,j｝.

顯然i=(i,0),j=(o,1).外

3.平面向量與有序數(shù)對的對應(yīng)關(guān)系Vi7T4

a；

(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作嬴=a,___L_J______>

0ix'X

則點(diǎn)A的位置由向量a唯一確定.

設(shè)鼐=x1i+y'j,則向量布的坐標(biāo)(x1,y’)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，終點(diǎn)A的坐標(biāo)

(X1,y’)也就是向量鼐的坐標(biāo).

因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一個有序數(shù)對唯一表示.

(2)設(shè)單位向量e和e2的夾角<ei,e2>=90°,非零向量v的模|v|=r,且<e&v>=a,則

v=(rcosa,rsina).

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三、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

⑴兩個向量a=(xi,yi),b=(x2,丫2)的和(或差)的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(或

差)，即a±b=(xi,yi)±(x2,y2)=(xi±x2,yi±y2).

⑵一個實(shí)數(shù)入與向量a=(x,y)的積的坐標(biāo)等于這個數(shù)乘以向量相應(yīng)的坐標(biāo)，

即入a二入(x,y)二(入x,入y).

⑶在平面直角坐標(biāo)系中，向量風(fēng)的坐標(biāo)等于終點(diǎn)Q的坐標(biāo)區(qū),丫力減去起點(diǎn)P的坐

標(biāo)(Xi,yi),即PQ=(X2-Xi,y2-yi).

2.向量平行的坐標(biāo)表示

向量屈二%,yi),CD=(X2,丫2)平行(也就是共線)，可以直接用的,也)〃%2,丫2)來表示

這意味著其中一個坐標(biāo)是另一個坐標(biāo)的實(shí)數(shù)倍，因此X"二y的成立.

即(xi,yi)/7%,y2)=Xiy2-yiX2=0.

3.常用結(jié)論

⑴中點(diǎn)向量坐標(biāo)：若A%,yjB(X2,y2),P為AB的中點(diǎn)，則而二色嗎停手，左產(chǎn))

(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(2)三角形的重心向量坐標(biāo)：在AABC中,A(X1,y)B(x2,y2),C(x3,y3),若AABC的

重心為G,則第二出嚕丑二(文詈，紅箏區(qū))(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

四、平面向量基本定理的應(yīng)用

1.平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用

設(shè)a,b是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，Xi,x2,yi,y2ER,若Xia+yib=X2a+y2b,則

，X]=X2，這個方法應(yīng)用廣泛，常用待定系數(shù)法確定向量.

M=丫2?

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2.用向量求解平面幾何問題的步驟

（1）選取適當(dāng)?shù)膬蓚€向量作為一組基；

⑵將相關(guān)向量用基表示；

⑶通過向量運(yùn)算得到新的向量關(guān)系式；

⑷將新的向量關(guān)系式“翻譯”成幾何關(guān)系.

五、利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（代數(shù)）解決有關(guān)幾何問題

1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算一般是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩

端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，另外，在解題的過

程中要注意方程思想的運(yùn)用.

2.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要根據(jù)相等向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程（組）

進(jìn)行求解.

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1.5向量的數(shù)量積

1.5.1數(shù)量積的定義及計(jì)算

一、平面向量的數(shù)量積

1.設(shè)a,b是任意兩個向量，＜a,b＞是它們的夾角，則定義a*b二|a||b|cos＜a,b＞為a

與b的數(shù)量積.由平面向量夾角的定義可知，＜a,b＞=a的取值范圍為[0,n].

二、投影向量

1.如圖，作向量加二a,OB=b,兩個向量的夾角為a,過點(diǎn)B作BB」OA于點(diǎn)瓦

則加二函+瓦氏其中國與市共線.

我們把而稱為施在方向上的投影向量，投影向量的長度|函月函|cosa稱為投影長.

|OB|cosa刻畫了投影向量的大小和方向，稱為而在正方向上的投影.

2.數(shù)量積的幾何意義

一般地，a與b的數(shù)量積等于a的長度間與b在a方向上的投影|b|cosa的乘積，或

b的長度|b|與a在b方向上的投影|a|cosa的乘積.

由此得到利用數(shù)量積計(jì)算b在a方向上的投影|b|cosa的公式：|b|cosc(二胃.

三、數(shù)量積的性質(zhì)

1.設(shè)a,b是非零向量，它們的夾角是6,e是與b方向相同的單位向量，則

(l)a-e=e-a=|a|cos0.

(2)a_Lb=a,b=0.

(3)當(dāng)a與b同向時,a,b二|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a-b二-|a||b|.

特別地，a?a=|af或間二?a.

(4)|a-b|<|a||b|.

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2.性質(zhì)拓展

(l)(a+b)-(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2；

(2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a-b+|b|2=a2±2a-b+b2；

(3)cos0=^-.

|a||b|

四、數(shù)量積的運(yùn)算律

1.設(shè)a,b,c是任意向量，入是任意實(shí)數(shù)，則如下運(yùn)算律成立：

⑴交換律:ab=ba；

(2)與數(shù)乘的結(jié)合律:a,(入b)二人(a,b)；

⑶分配律：a-(b+c)=a-b+a-c.

五、向量數(shù)量積的運(yùn)算

1.求向量的數(shù)量積時，需明確兩個關(guān)鍵點(diǎn)：模和夾角.若相關(guān)向量是兩個或兩個以上

向量的線性運(yùn)算，則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行化簡.

2.解決幾何圖形中向量數(shù)量積的運(yùn)算問題，要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊向量,

這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知模的向量.

六、向量數(shù)量積的應(yīng)用

1.根據(jù)公式cose二技計(jì)算非零向量a,b的夾角.

2.對于非零向量a,b,alb^>a-b=0,可以用來解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直的問題.

3.a*a=a2二|a「和|a|二VG是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).

4.對于平面向量a,b,可以利用公式a*b4[(a+b)2-(a-b)[將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為這

兩個向量的“和向量”和“差向量”，再進(jìn)行計(jì)算求解.

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1.5.2數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計(jì)算

一、數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計(jì)算

L數(shù)量積的坐標(biāo)表示：若a=(xi,yi),b=(X2,y2),則a,b=的,yi)-(x2,y2)=XiX2+yiy2.

2.向量的長度的計(jì)算公式

若a二(x,y),則向量a的模(即長度)的公式為|a|二Va,a二Jx?十/

3.夾角余弦值的計(jì)算公式

已知兩個非零向量a：%,yi),b=(x2,y2),則兩向量夾角余弦值的公式為

a-b_X]X2+yiy2

cos<a,b>

|a||b|J(x：+y])(x什y1)

4.垂直條件

已知向量a：%,yi),b=(x2,y2),貝Ua，b=a-b=0=XiX2+yiy2=0.

5.共線條件

已知向量a：%,yj,b=(x2,y2),貝Ua〃b=Xiy2-X2yi=0.

二、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

1.進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時，通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，然后直

接進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；二是直接依據(jù)已知條件計(jì)算.

2.對于以平面圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握圖形的特征，并寫出相

應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.

3.與向量有關(guān)的最值問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決，特別是二次函數(shù)與三角函

數(shù)，借助向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

三、平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用

1.利用向量可以解決與長度、角度、垂直、平行等有關(guān)的幾何問題，其解題關(guān)鍵在于

把其他語言轉(zhuǎn)化為向量語言，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)

化為向量問題.

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2.解決投影向量問題的方法

已知非零向量：則在方向上的投影向量為

a%,yi),b=(x2,y2),ab

a-bb（xiX2+yiy2>y2'

-外遇2，丫?尸

|b||b|xx2+y2x升4

1.6解三角形

一、余弦定理

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方

文字語言

和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

符號語言a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC

222222222

Ab+c-aca+c-b巾a+b-c

其他形式cosA二,,cosB二,cosC二,

2bc2ac2ab

二、正弦定理及常見變形

文字語言在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等

符號語言%:廣2R(R為AABC外接圓的半徑)

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

常見sinA二靠sinB*,sincj,

變形a：b：c=sinA：sinB：sinC,

SEA黑Ln『2R（R為AABC外接圓的半徑）

三、三角形解的個數(shù)的確定

1.在AABC中，已知a,b和A,以點(diǎn)C為圓心，邊長a為半徑畫弧，則此弧與除去

頂點(diǎn)A的射線AB的公共點(diǎn)個數(shù)即為三角形解的個數(shù).

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圖形關(guān)系式解的情況

/c

ba

ya/(l)a=bsinA

一解

Ali、、一(2)aNb

(1)(2)

A為C

/0,

銳角bsinA<a<b兩解

AB'J—'B?

c

a<bsinA無解

A~R

c

\a(

a

；ba>b一解

為

AAA4

鈍角

或直

c,c；a：

角一1b/

?/aWb無解

ABAR

四、三角形的面積公式

△ABC的面積S=-absinC=-bcsinA=-acsinB.

五、解三角形實(shí)際問題的一般步驟

實(shí)同問題分析轉(zhuǎn)化?數(shù)學(xué)問題（畫出圖形）

檢

驗(yàn)

數(shù)學(xué)結(jié)論解三角形問題

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六、利用正、余弦定理解三角形

1.三角形共有六個元素，當(dāng)已知條件較復(fù)雜時，需要我們辨別條件，恰當(dāng)?shù)剡x擇定理

來求解

2.常見情況

⑴當(dāng)已知條件以邊與正弦值之比的關(guān)系出現(xiàn)時，選擇正弦定理；

⑵當(dāng)已知條件涉及正弦或外接圓半（直）徑時，選擇擴(kuò)充的正弦定理；

⑶當(dāng)已知條件涉及邊的平方或者兩邊的積時，選擇余弦定理；

⑷如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的

正弦或邊的一次式，要考慮用正弦定理.

以上特征都不明顯時，兩個定理都有可能用到.

七、利用正、余弦定理解決實(shí)際問題

1.用正、余弦定理解決實(shí)際問題的幾點(diǎn)概括

⑴不能到達(dá)的同一水平面上兩點(diǎn)的距離問題；

⑵不能到達(dá)底部的高度問題；

⑶在運(yùn)動變化過程中蘊(yùn)含的解三角形的問題.

在解決這些問題時，要認(rèn)真領(lǐng)悟相關(guān)術(shù)語，根據(jù)問題中的文字語言，自行畫出圖形或

將題中條件與所給圖形中的幾何量相對應(yīng)，然后利用余弦定理和正弦定理計(jì)算.培養(yǎng)

學(xué)生文字語言、圖形語言和符號語言相互轉(zhuǎn)譯的能力以及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).