人教A版必修第二冊(cè)624向量的數(shù)量積學(xué)案

6.2.4向量的數(shù)量積

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

“功〃等實(shí)例，理解平面對(duì)量數(shù)量

本節(jié)重點(diǎn)是平面對(duì)量的數(shù)量積的

積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平

概念、向量的模及夾角的表示，難

面對(duì)量的數(shù)量積.

點(diǎn)是平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律的

2.通過(guò)幾何直觀了解平面對(duì)量投

理解及數(shù)量積的應(yīng)用.另外，向量

影的概念以及投影向量的意義.

的數(shù)量積與數(shù)的乘法既有區(qū)分又

3.會(huì)用數(shù)量積推斷兩個(gè)平面對(duì)量

有聯(lián)系，學(xué)習(xí)時(shí)留意比照.

的垂直關(guān)系.

課前篇?自主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學(xué)問(wèn)點(diǎn)向量的數(shù)量積

1.向量數(shù)量積的概念

—>

兩個(gè)非零向量”，仇如圖），。是平面上的任意一點(diǎn)，作

—>

OB=b,那么NAOB=6?（OWeW7i）叫做向量4與辦的夾角.

明顯，當(dāng)夕=0時(shí)，a與方同向；當(dāng)。=兀時(shí)，a與方反向.假如

TT

。與小的夾角是］,我們說(shuō)。與小垂直，記作a_LA.

兩個(gè)非零向量。與瓦它們的夾角為仇我們把數(shù)量1alMcos。叫

做向量a與辦的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作0。，即“Z=?1例cos仇可變

形為cos。=儒?

留意：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

2.投影向量

如圖，設(shè)。，辦是兩個(gè)非零向量，AB=a,CD=b,我們考慮如

下的變換：過(guò)A5的起點(diǎn)A和終點(diǎn)5分別作CO所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，

—?

垂足分別為4,Bi,得到AiS,我們稱(chēng)上述變換為向量。向向量方投

—?

影，AiS叫做向量。在向量方上的投影向量.

B

CAtBiD

3.向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)。，力是非零向量，它們的夾角是仇e是與人方向相同的單位

向量，那么

(l)℃=e,a=IMcos3.

(2)a±b^a-b=0.

(3)當(dāng)a與力同向時(shí)，a-b=\a\\b\；當(dāng)。與小反向時(shí)，a-b=—\a\\b\.

特殊地，"也=|4|2或⑷=g［.此外，由|cos還可以得到.

(4)|a同北同步|.

4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

對(duì)于向量a,b,c和實(shí)數(shù)九有

(l)crb=b,a；

(2)(2a)心=23切=0(徹;

(3)(a+Z>)-c=a-c+Z>-c.

［重點(diǎn)理解］

1.關(guān)于數(shù)量積的結(jié)果

(1)非零向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，

當(dāng)0°W9<90°時(shí)，ab>Q；

當(dāng)90。<。忘180。時(shí),ab<Q；

當(dāng)。=90。時(shí)，ab—0.

(2)特殊地，假如a或方等于零，那么0》=0.

2.關(guān)于投影向量

(1)向量。在方方向上的投影向量為IMcos%(其中e為與方同向的

單位向量)，它是一個(gè)向量，且與辦共線(xiàn)，其方向由向量”和小夾角。

的余弦值打算.

(2)向量”在方方向上的投影向量圈卷

(3)留意：a在辦方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不

同，即向量方在。上的投影向量可表示為網(wǎng)cos哈=需3

114-1IC<,IIC*'I

3.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

⑴向量的數(shù)量積不滿(mǎn)意消去律:假設(shè)a,b,c均為非零向量，且

ac=bc,但得不到a=b.

(2)OA>cWa?Oc),由于0。，萬(wàn)c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù),不是向量，

所以與向量c共線(xiàn)，<r("c)與向量a共線(xiàn)，因止匕3》>c=a0-c)

在一般狀況下不成立.

［自我排查］

1.|。|=2,出［=小,。與方的夾角為看，那么“必=,

答案：3

__-A/§

解析：a-b=\a\\b\cos^=2X\l3X?=3.

JT

2.\a\=l,\b\=2,a與力的夾角為那么人在。方向上的投影

向量為?

答案：a

解析：方在“方向上的投影向量為

|A|cos^|~^=2X=a.

3.向量a,b均為單位向量，ab=/那么。與方的夾角為

套u(yù)木案.-4

a?b

解析:設(shè)“與方的夾角為仇由題意知⑷=網(wǎng)=1,那么cos而

A/Q71

二看,又???owew兀，???夕=不

4.平面對(duì)量a,b滿(mǎn)意⑷=小，\b\=2,ab=~3,那么|a+2A|

答案：小

解析：依據(jù)題意，得［a+2bl=ya2+4(rb+4b2=巾.

5.下面給出的關(guān)系式中正確的序號(hào)是.

①0-a=0；@a-b—ba-,③層=|“|2；④⑤(。力>二層.".

答案：①②③

解析：①②③正確,④⑤錯(cuò)誤,\a-b\=\a\-\b\\cos3\^a-b,(a-Z>)2=

(|a||Z||cosO')2=?2-^2cos20#a2b2.

課堂篇?重點(diǎn)難點(diǎn)研習(xí)突破

研習(xí)1向量數(shù)量積的運(yùn)算

［典例1］\a\=3,步|=4,當(dāng)a,b滿(mǎn)意:

⑴a〃b；(2)a_Lb；(3/與，的夾角為120。時(shí),計(jì)算。力的值.

［思路點(diǎn)撥］⑷與網(wǎng)，利用數(shù)量積的運(yùn)算公式，只需再有向量a

與方的夾角即可求值.

［解］(1)當(dāng)a與方同向時(shí)，a-b=\a\\b\cos0°=12；當(dāng)a與方反向

時(shí)，a-b=\a\\b\cos180°=-12.

⑵a，b,夾角為90。，止匕時(shí)“仍=⑷網(wǎng)cos90o=0.

(3)當(dāng)a與力的夾角為120。時(shí)，“協(xié)=|a|網(wǎng)cos120°=3X4X=

-6.

［巧歸納］

(1)確定向量a與辦的夾角。及模長(zhǎng);

(2)套用公式a-b=\a\\b\cos。進(jìn)行計(jì)算.

2.常見(jiàn)模型為：

(1)非零向量共線(xiàn)的充要條件是”山=±⑷叫，因此，當(dāng)。加時(shí)，

有0。或180。兩種可能；

(2)非零向量“工力臺(tái)”山=0；

(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積a-b=\a\\b\cos6,數(shù)量積的符號(hào)與它們的夾

角有關(guān),夾角范圍是［0。，180。］.

［練習(xí)1］⑷=10,網(wǎng)=12,。與「的夾角為120。,求:

(1"(2)(3分南；(3)(3(—2力(力+1).

解：(l)a-b=|a||ft|cos6=10X12Xcos120°=-60.

(2)(3a>gd=］X(—60)=—36.

(3)(3方一2a)-(4“+A)=12。?“+3"—8層一2ab

=10“=+3網(wǎng)2—8團(tuán)2

=10X(-60)+3X122-8X102=-968.

研習(xí)2向量夾角及垂直問(wèn)題

［典例2］非零向量方滿(mǎn)意a+3。與7a—55相互垂直，a—4b

與7G—2力相互垂直，求a與力的夾角.

［思路點(diǎn)撥］利用條件中的兩組垂直關(guān)系可建立出關(guān)于ab及⑷

與舊的關(guān)系式，再利用夕=而而求解.

cos|UI|PI

(a+38>(7a—58)=0,

解由條件,得,

(a—48>(7a—28)=0,

7a2+16ab~15。2=0①,

即<

、7”2—30。必+8辦2=。②.

②一①，得23b2—46am=0,

A2a-b=b2,代入①，得/=辦2,.\\a\=\b\,

?好9=2」

..COS”一⑷網(wǎng)一網(wǎng)2—7

71

V^e[O,7i],

［巧歸納］I.求向量夾角需敏捷應(yīng)用向量數(shù)量積的變形公式cose

=儡，故應(yīng)求兩個(gè)整體“仍與⑷瓦此題為求兩者的關(guān)系，轉(zhuǎn)化條件

解方程組，特殊要留意向量夾角的范圍.

2.解決兩向量垂直問(wèn)題常用向量數(shù)量積的性質(zhì)a_Lb0ab=0來(lái)

解決，但應(yīng)留意“HO,bWO.

［練習(xí)2kb,其中|“|=/，網(wǎng)=2,且(a—A)_Lm那么向量a

與小的夾角是()

答案：B

解析：由題意，知(a—b'ya=a2—a，b=2—(rb=0,所以a山=2.

設(shè)a與方的夾角為6,

那么cos。=儒等,

JT

由于。￡[0,7i],所以8=4.應(yīng)選B.

2.(2020?全國(guó)卷III)向量m:滿(mǎn)意|a|=5,網(wǎng)=6,ab=~6,那

么cos(a,a-\~b)=()

31-19

A--35B--35

C12D電

—35u-35

答案：D

解析：此題考查平面對(duì)量的數(shù)量積及其夾角.?.?|a|=5,\b\=6,

ab=~6,a(a+A)=|a|2+ab=19.又|a+例=^/a2+2a-Z>+^2=

、25—12+36=7,

./,,x0（a+。）1919廣*n

..cos〈a,a+方〉一⑷m+"-5X7—35.應(yīng)「D.

研習(xí)3與向量模有關(guān)的問(wèn)題

［典例3］向量a與方的夾角為120。，且⑷=4,\b\=2,

求|3g一4Al.

［思路點(diǎn)撥］利用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式先求出“力的值，再結(jié)

合"2=|q|2,辦2=|例2求值.

［解］由0》=|M|A|cos9=4X2Xcos120°=—4,a2=|a|2=16,b2

=|例2=4.

:|3a—4例2=（3。一4辦）2=9“2—24。0+16b2

=9X16-24X（-4）+16X4=304,

：.\3a-4b\=4y［19.

［巧歸納］熟記。也=/=|“|2或此性質(zhì)常用來(lái)解決與向

量模有關(guān)的題型，在求模問(wèn)題中，一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，常與向量

的數(shù)量積聯(lián)系在一起，但在求出結(jié)論后不要忽視開(kāi)方.

［練習(xí)3］”，方的夾角為120。，\a\=\b\=l,c與a+b共線(xiàn),那么|。

+c|的最小值為（）

1

A.1B.2

C.|D.半

答案：D

解析：?.,|“|=|例=1,c與。+辦共線(xiàn)，

與c的夾角。為60?；?20°.

當(dāng)9=60。時(shí)，

I0+c|=^/a2+2a-c+c2=A/1+|C|+|C|2=

寸（|3+；）+*.,.|a+c|min=l,

當(dāng)0=120。時(shí)，|G+C|=N1一|C|+|C|2=

Imin一

2.（多項(xiàng)選擇）4與方均為單位向量，其夾角為仇有以下四個(gè)命

題，其中真命題是（）

A.|?+Z>|>1O0G0,-yl

,但71一

B.|a+^|>lO0e|^—,7i

71）

C.|?-￡>|>1O0G0,wj

（71'

D.|a-Z?|>lO9elyn

答案：AD

解析：?「IM=I例=1,且0￡[0,兀],假設(shè)|a+臼>1,那么層+2。功

十加〉1,即“.》〉一；，

0,yL故A對(duì),B錯(cuò);

假設(shè)|q一例>1,同理求得。方<5,

71,故D對(duì)，C錯(cuò).

應(yīng)選AD.

課后篇?根底達(dá)標(biāo)延長(zhǎng)閱讀

1.假設(shè)非零向量。，?滿(mǎn)意⑷=|例,（2a+b）-b=0,那么。與方

的夾角為（）

A.30°B60°C120°

D.150°

答案：C

解析：設(shè)a與b的夾角為0,那么0=(2。+。)必=20。+。2=

2|a||Z||cos0+|Z>|2,

V\a\=\b\^Q,

/.2cos0+1=0,cos0=—.,.0=120°.

2.(多項(xiàng)選擇)設(shè)mb,c是三個(gè)向量，有以下命題，正確的選項(xiàng)

是()

A.假設(shè)且“W0,那么方=c

B.假設(shè)“力=0,那么a=0或辦=0

C.設(shè)a,A都是非零向量,a,?反向臺(tái)。功=一|。|網(wǎng)

D.(3a+2力-(3a—25)=9⑷2—4|例2

答案：CD

解析：A中，“必一c)=0,又aWO,那么方=?；?_1_(5

—c),故A不正確；B中，“?》=()0a_L辦或a=0或8=0,故B不正

確；C中，a,方是非零向量，a,b反向,即a,b夾角為180°,那么

a-b=—\a\\b\,假設(shè)a，=一|“仙|,那么a,夾角為180。,a,反向,

故命題C是真命題；D中，左邊=9層一6ab-]-6ba—4Z>2=9|a|2—4步產(chǎn)

=右邊，故D正確.

3.向量a,b夾角為45°,且⑷=1,|2?-Z>|=V10,那么血=

答案：3碑

解析：|2a-Z>|=VToO(2a-ft)2=1004+|Z>|2-4|Z?|cos45°=10,

解得網(wǎng)=3地.

4.⑷=5,由=4,a與方的夾角為60。，試問(wèn)：當(dāng)k為何值時(shí)，

向量ka~b與a-\-2b垂直？

解：V(ka-ft)±(a+2Z>),

：.(ka-by(a+2b)=0,

即ka2+(2k—V)a-b—2b2—0,

即kX52+(2k-l)X5X4Xcos600-2X42=0,

1414.

.,.k=F，.,.當(dāng)k=百時(shí)，向量k“一方與a+2A垂直.

課后自讀方案

［誤區(qū)警示一］混淆向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)的運(yùn)算致誤［例如1］

\a\=2,步|=4,。與2的夾角為120。,求|。+例及|。一臼的值.

［錯(cuò)解］由|肝=層=4,|例2="=］6,a-b=\a\\b\cos120°=—4,

|。+〃2=。2+2”.方+力2=12,

A\a-^-b\=±2y［3.

?:|a——8|2=42-2”0+方2=28,

A\a~b\=±2yp.

\a-\-b\\a-b\\a2~b2\商

［或——一正p一±2刊

［錯(cuò)因分析］本例中的錯(cuò)解為很多同學(xué)在初學(xué)模的計(jì)算時(shí)常消

失的一種錯(cuò)解，錯(cuò)誤的類(lèi)比應(yīng)用了實(shí)數(shù)中的運(yùn)算法那么，而忽視了向

量的運(yùn)算性質(zhì)