安徽省皖豫名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期階段性測試二試題含解析

Page17皖豫名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期階段性測試（二）試題考生留意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿意，則z=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的四則混合運算即可得答案.【詳解】解：.故選：B.2.某中學(xué)三個年級一共1400人，現(xiàn)按年級人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽出56人組建國旗班.其中高二年級抽取了18人，則高二年級的學(xué)生人數(shù)為（）A.430 B.450 C.470 D.480【答案】B【解析】【分析】設(shè)高二年級共有學(xué)生x人，利用分層抽樣的比例關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)高二年級共有學(xué)生x人，由題意可知抽樣比例為，∴解得.故選：B.3.已知四棱錐P-ABCD的高為4，其底面ABCD水平放置時的斜二測畫法直觀圖如圖所示，已知，，則四棱錐P-ABCD的體積為（）A.16 B.18 C.20 D.24【答案】A【解析】【分析】由直觀圖可得究竟面ABCD為矩形，同時可求矩形面積，然后利用錐體體積公式計算可得答案.【詳解】由題意可知，四邊形ABCD為矩形，因為直觀圖中，，所以，，所以矩形ABCD的面積為，所以四棱錐P-ABCD的體積為.故選：A4.已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C所對的邊，，則C=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦定理可得，再依據(jù)余弦定理化簡求解即可【詳解】∵，∴由余弦定理知，整理得，故.故選：D5.如圖所示，點E為的邊AC的中點，F(xiàn)為線段BE上靠近點B的四等分點，則=（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)平面對量的線性運算結(jié)合圖像將用表示，即可得出答案.【詳解】解：.故選：C6.某小區(qū)抽取了200個用戶的月平均用電量（單位：千瓦時），繪制了頻率分布直方圖如圖所示（每組區(qū)間包含左端點，不包含右端點），則樣本中月平均用電量在[220，260)的用戶數(shù)為（）A.80 B.60 C.50 D.30【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直方圖可求，從而可求在上的用戶數(shù).【詳解】由，得，∴月平均用電量在的用戶數(shù)為.故選：A.7.已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將三棱錐放在長、寬、高分別為，，的長方體中，則三棱錐的外接球即為該長方本的外接球，長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，利用勾股定理求出外接球的直徑，最終由球的體積公式計算可得；【詳解】解：如圖所示，將三棱錐放在長、寬、高分別為，，的長方體中，則三棱錐的外接球即為該長方本的外接球，所以外接球的直徑，∴該球的體積為.故選：B8.科研人員在某試驗中采集了10個樣本數(shù)據(jù)，這10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差為3.后來又增加了一個數(shù)據(jù)6，則這11個數(shù)據(jù)組成的新樣本的方差為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平均數(shù)和方差公式干脆計算即可.【詳解】設(shè)，則，于是新樣本的平均數(shù)，新樣本的方差.故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)z滿意，則（）A.z虛部為-3 B.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于其次象限C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運算求解復(fù)數(shù)，依據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)推斷各項正誤.【詳解】解：由可得，故z的虛部為3，A錯誤；z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于其次象限，B正確；，C正確；，故D錯誤.故選：BC.10.已知a，b是兩條不相同的直線，α，β是兩個不重合的平面，則下列命題為真命題的是（）A.若，，則a與β相交 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)空間線線、線面、面面關(guān)系逐一推斷可得選項.【詳解】解：對于A，若，則a與可能相交，也可能平行，所以A是假命題；對于B，由定理“垂直于同始終線的兩個平面平行”得知，再結(jié)合，推出，故B是真命題；對于C，若，，，則b與還可能相交或，不肯定是，故C是假命題；對于D，由于，，所以，而，則，故D是真命題.故選：BD.11.已知，，為同一平面內(nèi)的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則（）A.與的夾角 B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】設(shè)，由可求出，由，所以，對其兩邊同時平方可求出的值，可推斷B；因為與的夾角為,為銳角，由，求出可推斷A；對平方代入可推斷C；對平方代入可推斷D.【詳解】因為，所以，設(shè)，因為由與的夾角為銳角，所以所以，所以，因為，，為同一平面內(nèi)的單位向量，所以，又，所以，所以，又，所以，即，解得：，所以，所以，因為與的夾角為,為銳角，則，所以，故A正確；由A知，，故B錯誤；，∴，故C錯誤；，∴，故D正確.故選：AD.12.已知正四棱錐的體積為，底面邊長為2，則（）A.該四棱錐的側(cè)面積為 B.棱與垂直C.平面與平面垂直 D.二面角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】由題意，求側(cè)棱長并由易知與垂直，且側(cè)面為等邊三角形，即可求側(cè)面積，可推斷A、B的正誤；依據(jù)二面角的定義，找到面與面、二面角的平面角，進而推斷C、D的正誤.【詳解】由題意，，即，可得，而且是中點，∴，故，即，1、側(cè)面為等邊三角形，故側(cè)面積為，A正確；2、棱與垂直，B正確；3、若是的中點，易知面，面，所以面面，面面，則為平面與平面所成二面角的平面角，而，，即不是直角，C錯誤；4、若是的中點，連接，由上易知：，而，所以面，即二面角的平面角為且，故，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在教室里與小明坐同一列的8名同學(xué)的體重（單位：kg）分別為54，67，56，62，59，61，65，52，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為______.【答案】60【解析】【分析】將所給的數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列，利用中位數(shù)計算公式求解即可得出結(jié)果.【詳解】將所給的數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列是52，54，56，59，61，62，65，67，所以這一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故答案為：60.14.已知向量與的夾角為，且，，______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算性質(zhì)求解.【詳解】∵，∴.故答案為：15.在正方體中，M，N分別為棱，的中點，則異面直線BN與AM所成角的余弦值為______.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)異面直線夾角得概念結(jié)合圖形分析可得或其補角為異面直線BN與AM所成的角，利用勾股定理可得，，結(jié)合余弦定理運算求解．【詳解】設(shè)正方體的棱長為a，如圖，連接，，易知，所以或其補角為異面直線BN與AM所成的角.則，，，所以.故答案為：．16.已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C所對的邊，，，，則______.【答案】【解析】【分析】化簡計算，可求解，再由余弦定理列式求解答案.【詳解】∵，∴，∴，即，∵，∴，即.∵，∴，又，，∴，整理可得，∴.故答案為：四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在某班的互幫互助學(xué)習(xí)活動中，數(shù)學(xué)課代表利用假期給班里5名數(shù)學(xué)成果不太好的同學(xué)補課.他們在補課前和補課后的考試中的數(shù)學(xué)成果統(tǒng)計如下表：補課前6365727476補課后6872768084將補課前和補課后這兩次考試中這5名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)分別記為和，極差分別記為各.（1）求，，，；（2）推斷數(shù)學(xué)課代表給他們補課是否有顯著效果（假如：，則認為補課有顯著效果，否則不認為有顯著效果）.【答案】（1），，，（2）有顯著效果【解析】【分析】（1）依據(jù)統(tǒng)計表計算可得答案；（2）計算出、，比較大小可得答案.【小問1詳解】，，，.【小問2詳解】，，∵，∴，所以數(shù)學(xué)課代表給他們補課有顯著效果.18.某圓臺的側(cè)面綻開圖為如圖所示的扇環(huán)（實線部分），已知該扇環(huán)的面積為π，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2.

（1）求扇環(huán)的圓心角的大?。唬?）求圓臺的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)扇環(huán)面積等于大扇形的面積減去小扇形的面積，結(jié)合扇形的面積公式，即可得出答案；（2）分別求出圓臺的上底面半徑r和下底面半徑R，及高h，再依據(jù)圓臺的體積公式即可得出答案.【小問1詳解】解：由題意知扇環(huán)的面積，得；【小問2詳解】解：設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，由，可得，由，得，又∵圓臺的母線長為1，∴，∴圓臺的體積為.19.“無故障里程”是指汽車從出廠到首次出現(xiàn)故障時共行駛的里程，某市場探討機構(gòu)從某品牌出現(xiàn)過故障的汽車中隨機抽取了100輛，調(diào)查這些汽車的無故障里程（單位：百公里），將調(diào)查數(shù)據(jù)依據(jù)［85，95），［95，105），...，［135，145]分成6組，得到下面的頻率分布直方圖.

（1）將頻率分布直方圖補充完整；（2）求該品牌汽車無故障里程的平均數(shù)的估計值；（每組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值為代表）（3）該品牌汽車的廣告宣稱：該品牌汽車無故障里程不低于100百公里的汽車至少占全部汽車的85%.請你依據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷：該廣告內(nèi)容是否屬實？【答案】（1）直方圖見解析（2）（3）不屬實【解析】【分析】（1）由頻率和為1列式求解第三組的小長方形的高，補充完整直方圖；（2）由頻率分布直方圖平均數(shù)的計算公式計算；（3）先求解無故障里程低于100百公里的頻率，從而可得無故障里程不低于100百公里的頻率，即可推斷.【小問1詳解】設(shè)第三組的小長方形的高為a，則，得.頻率分布直方圖補充完整如下：【小問2詳解】該品牌汽車無故障里程的平均數(shù)的估計值為.【小問3詳解】樣本中無故障里程低于100百公里的頻率約為，所以無故障里程不低于100百公里的頻率約為，所以該廣告內(nèi)容不屬實.20.已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C所對的邊，且.（1）求角C；（2）若，且AB邊上的高為3，求邊c.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，結(jié)合利用兩角和的正弦公式化簡整理；（2）依據(jù)題意利用等面積可得，再結(jié)合余弦定理運算求解．【小問1詳解】由可得，由正弦定理得，∵，則，∵，∴，而，∴.【小問2詳解】∵AB邊上的高為3，∴的面積，∴，由余弦定理可得，∴，即，∴.21.如圖，在直三棱柱中，，且，，D是棱的中點，E是棱上靠近的四等分點.

（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知和勾股定理可得、，再由線面垂直的推斷定理可得答案；（2）取的中點M，由勾股定理得，再由面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得平面，可得即為直線AE與平面所成的角，在計算可得答案.【小問1詳解】∵，，∴，∴，，∴，同理，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，又，∴平面【小問2詳解】如圖，取的中點M，連接AM，EM，∵，∴，由（1）知平面，∴平面平面，交線為，∴平面，∴即為直線AE與平面所成角，∵，，∴，即直線AE與平面所成角的正弦值為.22.如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，點E，F(xiàn)，G分別在線段CD，BD，PC上，且滿.（1）證明：平面PAD；（2）若平面ABCD，，且，，，求四棱錐G-BCEF的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面平行的判定證明平面平面PAD即可；（2）