《船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)》全冊(cè)配套完整教學(xué)課件

《船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)》全冊(cè)配套完整教學(xué)課件船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)

船舶是復(fù)雜的水上工程建筑物，經(jīng)常在航行狀態(tài)下執(zhí)行任務(wù)，受到的外力也是非常復(fù)雜。這些外力包括：靜載荷（貨物、空船重量等）、水壓力、慣性力以及各種沖擊載荷等（動(dòng)載荷）。為了保證船舶在各種受力情況下都能正常的工作，船舶應(yīng)具有一定的強(qiáng)度——船體結(jié)構(gòu)在正常使用過(guò)程中和服役期限內(nèi)具有不破壞或不發(fā)生過(guò)大變形的能力。第一章緒論1.1船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)的內(nèi)容和任務(wù)

船體強(qiáng)度的內(nèi)容相當(dāng)廣泛：它包括船舶的總縱強(qiáng)度、局部強(qiáng)度、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度；船體的穩(wěn)定性：船體構(gòu)件或板架受壓過(guò)渡會(huì)喪失其穩(wěn)定性；船體的振動(dòng)；船體的低周疲勞問(wèn)題等

船舶總縱強(qiáng)度:人們通過(guò)分析船舶的受力和變形特征，認(rèn)識(shí)到可以將船舶看作是靜止于波浪上的一根空心薄壁梁，計(jì)算船體在沿縱向分布的重力和浮力作用下的彎曲變形和應(yīng)力。這種把船舶整體作為空心薄壁梁計(jì)算出來(lái)的強(qiáng)度就稱為船舶總縱強(qiáng)度。如下圖所示：中拱圖1.1波面圖1.1波面中垂

船舶局部強(qiáng)度:船舶橫向骨架（船體橫梁、肋骨、肋板）、船體局部構(gòu)件（船底板、底部縱桁）在局部載荷作用下（如水壓力作用下）的彎曲變形和應(yīng)力。圖1.2

船舶扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度:船舶在斜浪中航行，載荷沿船體左右舷非對(duì)稱分布，導(dǎo)致船體扭轉(zhuǎn)變形。主要是大開(kāi)口船（集裝箱船）

船體構(gòu)件穩(wěn)定性問(wèn)題:船舶受壓構(gòu)件，壓力達(dá)到或超過(guò)其臨界載荷而喪失穩(wěn)定性。圖1.2總之船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)的內(nèi)容和任務(wù)一.研究對(duì)象結(jié)構(gòu)分為:桿系結(jié)構(gòu),板架結(jié)構(gòu),剛架結(jié)構(gòu)三.內(nèi)容

結(jié)構(gòu)在外力作用下的響應(yīng)即強(qiáng)度和穩(wěn)定性問(wèn)題——內(nèi)力和變形以及許用應(yīng)力的確定。二.任務(wù)

闡明結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本原理與方法——經(jīng)典的力法、位移法和能量原理結(jié)構(gòu)：承受并傳遞荷載的船體骨架部分1.2船舶結(jié)構(gòu)的計(jì)算圖形

實(shí)際結(jié)構(gòu)都是非常復(fù)雜的，不管是船體結(jié)構(gòu)還是其他一些結(jié)構(gòu)，如廠房、劇院的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)等等。我們?cè)诜治鲇?jì)算之前，必須將實(shí)際結(jié)構(gòu)作一定的簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化后的結(jié)構(gòu)圖形就稱為實(shí)際結(jié)構(gòu)的理想化圖形或計(jì)算圖形（又稱計(jì)算模型或力學(xué)模型等）

結(jié)構(gòu)計(jì)算圖形是根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)的受力特征，構(gòu)件之間的相互影響。計(jì)算精度的要求以及所采用的計(jì)算方法等確定的。對(duì)于同一個(gè)實(shí)際結(jié)構(gòu)，基于不同的考慮就會(huì)得到不同的計(jì)算圖形。也就是說(shuō)，同一個(gè)實(shí)際結(jié)構(gòu)，計(jì)算圖形并不是唯一的，一成不變的。以下就是船體結(jié)構(gòu)中常見(jiàn)的、典型的計(jì)算圖形。圖1.3

（一）船體結(jié)構(gòu)中的板。船體結(jié)構(gòu)中的板是連續(xù)的，構(gòu)成了船體的外形，所以說(shuō)板是具有曲度的，受到縱桁骨架的支持。通常把四周由縱橫骨架支持的那一部分板作為對(duì)象分析計(jì)算。這樣船體中的外板就可簡(jiǎn)化為具有矩形周界的板格。板上的荷載分為兩類：一類是垂直于板面的荷載，如甲板貨物和水壓力。另一類是位于板平面的的荷載。如船體總縱彎曲時(shí)作用于船體板平面內(nèi)的應(yīng)力。船體結(jié)構(gòu)中的板圖1橫向載荷圖2面內(nèi)載荷

橫向載荷作用下板的強(qiáng)度計(jì)算的邊界條件：由于縱桁骨架的抗彎剛度比板的抗彎剛度大得多，故可以把骨架近似地作為板的剛性支撐。面內(nèi)載荷作用下板的穩(wěn)定性計(jì)算的邊界條件：四邊自由支持，兩對(duì)邊受到面內(nèi)載荷作用。（計(jì)算結(jié)果偏于安全）圖1.4

（二）船體結(jié)構(gòu)中的骨架。船體結(jié)構(gòu)中的骨架包括橫梁、肋骨、肋板、縱骨、縱桁等，他們大多是細(xì)長(zhǎng)的型鋼或組合型材。所以這種骨架被稱為“桿件”，簡(jiǎn)稱“桿”。而相互連接的骨架系統(tǒng)就稱為“桿件系統(tǒng)”。實(shí)踐證明，船體中的骨架受力變形時(shí)，和骨架相連的一部分板也會(huì)跟著變形，因此在研究骨架時(shí)就把與骨架相連的一部分板一起考慮。這時(shí)的板就稱為附連帶板。附連帶板鋼制船舶建造規(guī)范規(guī)定：骨架的帶板寬度取骨架的間距和骨架跨距的1/5兩者中的小者船體結(jié)構(gòu)中骨架船體結(jié)構(gòu)中骨架

船體的桿系是一個(gè)復(fù)雜的空間系統(tǒng)。實(shí)際計(jì)算時(shí)經(jīng)常把它劃分為一些形狀比較規(guī)則的、簡(jiǎn)單的計(jì)算圖形考慮。以圖1.3為例，看縱骨在橫向載荷下的彎曲應(yīng)力和變形。在上甲板骨架中，縱骨的尺寸最小，它穿過(guò)強(qiáng)橫梁并通過(guò)橫艙壁保持縱向連續(xù)。在計(jì)算縱骨時(shí)可以認(rèn)為強(qiáng)橫梁具有足夠的剛性支持縱骨，從而可以作為縱骨的剛性支座?？v骨在橫艙壁處責(zé)作為剛性固定端，這樣就得到圖1.6所示的計(jì)算圖形。圖1.6

其次看甲板縱桁與艙口端橫梁。在上甲板的骨架中，甲板縱桁和艙口端橫梁尺寸最大，在計(jì)算時(shí)常略去其他骨架對(duì)他們的影響，于是在研究甲板縱桁和艙口端橫梁時(shí)就得到一個(gè)“井”字型平面桿系，圖1.7所示。此種桿系在橫向載荷作用下發(fā)生彎曲，稱之為“交叉梁系（grillage）”或“板架”.船體結(jié)構(gòu)中的板架應(yīng)該是指由板與縱橫骨架組成的板、梁組合結(jié)構(gòu)。圖1.7

再看橫梁。由于船體橫剖面內(nèi)，橫梁、肋骨及船底肋板共同組成一個(gè)平面桿系，因此常把他們一起考慮作為船體橫向強(qiáng)度的研究對(duì)象。這種桿系的連接點(diǎn)是剛性的，并受到作用于桿系平面內(nèi)的載荷作用，故稱為“剛架”（RigidFrame）。圖1.8所示圖1.8

以上介紹的連續(xù)梁、剛架和板架就是船體結(jié)構(gòu)中三種典型的桿系。應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)中經(jīng)典理論和方法，人工計(jì)算就能得到比較滿意的結(jié)果，但是這些計(jì)算圖形具有一定的近似性。隨著電子計(jì)算機(jī)的普遍應(yīng)用，大型超大型商業(yè)有限元軟件的發(fā)展，整船有限元分析已經(jīng)成為現(xiàn)實(shí)。第二章單跨梁的彎曲理論Bending

TheoryofSingle-SpanBeam

幾何特性：受外荷作用而發(fā)生彎曲的桿件叫作梁，僅在梁的兩端有支座的梁叫單跨梁。懸臂梁是單跨梁的一種特殊情形。船體骨架是復(fù)雜的空間桿件系統(tǒng)，組成骨架的每一根桿件都可看作梁。以后在分析桿件系統(tǒng)時(shí)，總是根據(jù)一定的法則把他們拆開(kāi)為一根一根桿件進(jìn)行分析。每一根桿件都是單跨梁。學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的問(wèn)題：多思考,勤動(dòng)手。本章是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，十分重要，要熟練掌握！一般為斜直線水平線拋物線下凸有極值為零處有尖角(向下）有突變(突變值=

FP)有極值變號(hào)無(wú)變化

有突變（突變值=M）剪力圖彎矩圖梁上情況無(wú)外力均布力作用

(q向下)集中力作用處(FP向下)集中力偶M作用處鉸處無(wú)影響為零斜直線

剪力圖與彎矩圖之間的關(guān)系§2-1梁的彎曲微分方程式及其通解1.梁的彎曲微分方程式

梁的彎曲理論的基本內(nèi)容在材料力學(xué)中已經(jīng)闡明，本節(jié)在此基礎(chǔ)上作一些補(bǔ)充，以滿足船舶結(jié)構(gòu)計(jì)算的需要?，F(xiàn)考慮一單跨直梁規(guī)定梁向下?lián)隙葹檎?，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)角為正圖2.1

從梁中取出微段dx，將其放大后如下圖所示。在圖示坐標(biāo)系下，規(guī)定左截面上的彎距逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，右截面上的彎距順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?；左截面上剪力向下為正，右截面上剪力向上為正。載荷向下為正。圖2.2

梁本身處于平衡狀態(tài)，所以取出的微段也應(yīng)處于平衡狀態(tài)。根據(jù)微段的平衡條件得到：

對(duì)于梁的純彎曲，有下式：（2－1）（2－4）（2－3）（2－2）

利用式（2－1）～（2－4），就可得到梁的彎曲微分方程式：（2－5）（2－6）（2－7）

式（2－7）就是等截面直梁的彎曲微分方程式。2.梁的彎曲微分方程式的通解，初參數(shù)法

式（2－7）是簡(jiǎn)單的常微分方程，逐次積分可得到：（a）（b）（c）（d）

我們把梁的彎矩、剪力、橫截面轉(zhuǎn)角及撓度稱為梁的彎曲要素。梁左端的彎曲要素稱為初始彎曲要素，或簡(jiǎn)稱為初參數(shù)。當(dāng)時(shí)，由式(a)、(b)、(c)、(d)可得出：式中是積分常數(shù)，式（d）就是微分方程式（2－7）的通解可見(jiàn)，積分常數(shù)就是梁的初參數(shù)。于是通解式（d）可用梁的初參數(shù)表示為：（e）

(1)等號(hào)右邊的四項(xiàng)表示由初參數(shù)引起的撓度，最后一項(xiàng)表示由分布載荷引起的撓度。(2)如果沒(méi)有分布載荷項(xiàng)，上式變?yōu)椋海?-8）這說(shuō)明，梁的撓度取決于梁端四個(gè)初參數(shù)。

討論：（1）集中力作用下的梁。pblxyx

將梁分成兩段：為第一段，為第二段，并把集中力看作是作用在第二段的初始點(diǎn)。于是對(duì)于第一段，梁的撓曲線可寫(xiě)為：第二段相對(duì)與第一段來(lái)說(shuō)，它在端點(diǎn)多了一個(gè)集中力，這個(gè)集中力相當(dāng)于第二段的一個(gè)初始剪力，且為正。所以梁的撓度在第一段過(guò)渡到第二段時(shí)僅增加一項(xiàng)與P有關(guān)的項(xiàng)：此處為自第二段開(kāi)始算起的坐標(biāo)再在加符號(hào)，表示此項(xiàng)在時(shí)才起作用，于是得到梁的撓曲線為:

同理：（2）在集中彎距作用下的梁。blxyxm圖2.3（2-9）（2-10）

同理：（3）在任意分布載荷作用下的梁。blxyxq(x)圖2.4（2-11）

綜上所述，在任意載荷作用下梁的撓曲線方方程為：blxyxq(x)caPm圖2.5（2-12）（2-12）式為等截面直梁的撓曲線通用方程式。以上尋求梁撓曲線通用方程式的方法稱為初參數(shù)法。§2-2梁的支座和邊界條件1.梁的支座及相應(yīng)的邊界條件

（1）自由支持在剛性支座上邊界條件為:圖2.6活動(dòng)鉸支座固定鉸支座

（2）剛性固定在剛性支座上，剛固端邊界條件為:

（3）彈性支座vvEIxyP圖2.7圖2.8

所謂彈性支座，在受到作用載荷P后將產(chǎn)生一個(gè)正比于力P的撓度v，存在如下關(guān)系式中A是彈性支座的柔性系數(shù)；K是彈性支座的剛性系數(shù)。A與K互為倒數(shù)。

梁兩端所受到的支座反力（剪力）R都是向上的，根據(jù)上一節(jié)剪力符號(hào)的規(guī)定，梁右端的剪力為正，左端剪力為負(fù)。由剪力與撓度的關(guān)系式，代入上式得到：

由此，得到自由支持在彈性支座上梁端的邊界條件為:

討論：剛性系數(shù)為0時(shí)，和柔性系數(shù)為0時(shí)各代表哪種邊界條件？

（4）彈性固定端

所謂彈性固定端。在受梁端力矩M作用后產(chǎn)生一個(gè)正比于力矩M的轉(zhuǎn)角

，即存在如下關(guān)系：式中A

是彈性固定端的柔性系數(shù)；K

是彈性固定端的剛性系數(shù)，顯然A

與K

互為倒數(shù)。

xyA

A

EIMM圖2.9

梁兩端受到的支座反力矩即梁端彎距，根據(jù)上節(jié)彎距正負(fù)號(hào)的規(guī)定，他們均為正。由轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定，左端為正，右端為負(fù)。由彎距與撓度之間的微分關(guān)系：＝EIv’’,將其代入式（2-14）得

這就是彈性固定端得邊界條件。由此可得彈性固定在剛性支座上梁端的邊界條件：

討論：剛性系數(shù)為0時(shí)，和柔性系數(shù)為0時(shí)各代表哪種邊界條件？

xyAAEIy圖2.10圖2.112.撓曲線通用方程式的應(yīng)用例1:求圖2.12所示的撓曲線方程及左右端處的轉(zhuǎn)角。xyAEIm圖2.12l

當(dāng)梁端有集中力或彎距作用時(shí)，梁端的邊界條件都應(yīng)當(dāng)把他們考慮在內(nèi)。對(duì)于給定已知撓度或轉(zhuǎn)角，在寫(xiě)邊界條件時(shí)，也應(yīng)把他們考慮在內(nèi)。有了邊界條件，就可以應(yīng)用撓曲線通用方程式確定單跨梁的撓曲線方程和其它彎曲要素。

解：從圖中可以看出，除了在梁的右端有一集中彎距外，梁上沒(méi)有任何載荷。由式（2-8）得：

根據(jù)梁右端的邊界條件：

將兩端的邊界條件代入到上式得：

4個(gè)未知數(shù)，要列4個(gè)平衡方程：

根據(jù)梁左端的邊界條件：（a）

從而解得：

將其帶入到通用撓曲線方程式（a）從而得到梁的撓曲線方程，繼而可以得到梁的轉(zhuǎn)角方程。從而可以計(jì)算梁左端和右端的轉(zhuǎn)角。

梁的撓曲線方程為：

梁的轉(zhuǎn)角方程為：

梁的左端轉(zhuǎn)角為：

梁的右端轉(zhuǎn)角為：

當(dāng)A＝時(shí)，實(shí)際上就是固定鉸支座mx圖2.13myEIl當(dāng)A＝0時(shí)，就是固定端。mxyEI圖2.14l例2:求圖2.15所示的梁的撓曲線方程xy

解：從圖中可以看出，本梁只受到均布載荷q的作用。由式（2-11）得：圖2.15

4個(gè)未知數(shù)，要列4個(gè)平衡方程：

根據(jù)梁右端的邊界條件：

將兩端的邊界條件代入到上式得：

根據(jù)梁左端的邊界條件：

又：

從而解得：例3:求圖2.16所示的梁的撓曲線方程xyA

EIm圖2.16l/2l/2P

左端彈性固定端柔性系數(shù)，右端彈性支座柔性系數(shù)

解：從圖中可以看出，本梁只受到集中載荷P的作用。由式（2-9）得：

4個(gè)未知數(shù)，要列4個(gè)平衡方程：

根據(jù)梁右端的邊界條件：

根據(jù)梁左端的邊界條件：

解得：§2-3梁的彎曲要素表及其應(yīng)用

從上節(jié)看出，利用梁的撓曲線通用方程式及邊界條件可以確定各種單跨梁的撓曲線方程，從而進(jìn)一步確定梁的彎曲要素。在教材附錄A中給出了各種邊界條件下梁的彎曲要素表。目前我們考慮的彎曲公式是在小變形及材料符合虎克定律的前提下推導(dǎo)的，所以梁的彎曲要素與梁上的外力成線性關(guān)系，從而可以采用疊加原理計(jì)算單跨梁上同時(shí)受到幾種不同外載荷作用下的彎曲要素。

由附錄A可見(jiàn)，各種彎曲要素表的詳細(xì)程度不相同，其中兩端自由支持梁的彎曲要素表最詳細(xì)。此外，各種彎曲要素表中的載荷種類也不盡相同。因此，當(dāng)利用這些彎曲要素表及疊加原理來(lái)確定某一特定單跨梁的彎曲要素時(shí)，還存在一些技巧。下面舉例進(jìn)行說(shuō)明。例1:求圖2.17所示的梁的中點(diǎn)撓度，右端轉(zhuǎn)角，并作出梁的剪力圖和彎距圖。圖2.17

解：使用疊加法，將受到分布載荷和集中載荷的單跨梁AB，拆開(kāi)為單獨(dú)受到均布載荷和集中載荷的兩根單跨梁，如圖（a）和（b）所示：圖2.17a圖2.17b

(1)計(jì)算中點(diǎn)撓度。從附錄表A－3中的1和2很容易計(jì)算得到每根梁中點(diǎn)的撓度得：

從附錄表A-3中，利用疊加原理可以得到右支座反力和固定端彎距的大小。(2)計(jì)算右端轉(zhuǎn)角。附錄表A-3中并沒(méi)有給出右端轉(zhuǎn)角。但是附錄表A-2給出了兩端自由支持梁在各種載荷下的彎曲要素。這樣，我們就可以將圖2-17等效為兩端自由支持梁分別受到集中力、分布載荷和集中力矩來(lái)處理。MRb=5P/16+3ql/8=23ql/48Ma=ql2/8+3pl/16=ql2/8+ql2/16=3ql2/16圖2.17cMM圖2.17d圖2.17e圖2.17f

查附錄表A-2，應(yīng)用疊加原理很容易就算得到梁右端的轉(zhuǎn)角為；

(3)畫(huà)彎距圖和剪力圖。有兩種途徑，一種是根據(jù)附錄表A-3中的彎距圖和剪力圖直接疊加；另外一種是根據(jù)圖2-17d、2-17e、2-17f采用附錄表A-2中的彎距剪力圖疊加得到。﹢﹣﹢﹣﹢﹣﹣﹢

剪力和彎距為0時(shí)的x坐標(biāo)值一定要計(jì)算準(zhǔn)確；﹢﹣﹢﹣﹢﹣﹣﹢注意:是豎標(biāo)相加,不是圖形的簡(jiǎn)單拼合.例2:計(jì)算下圖所示的兩端剛性固定梁的彎曲要素xy

l/2l/2Pyl/2l/2mx例3:計(jì)算下圖所示的一端彈性固定，另一端彈性支座梁的中點(diǎn)撓度、端點(diǎn)轉(zhuǎn)角并畫(huà)彎矩圖和剪力圖.α=l/3EI,β=l3/48EI,βxyl/2l/2mm1m2xyl/2l/2Pβ§2-4梁的復(fù)雜彎曲

作用在梁上的外力除了橫向力外，還有軸向拉力（壓力），如圖2-18所示。如果梁的抗彎剛度EI不大或者軸向力很大，那么軸向力所引起的彎曲要素就不能忽略。我們把同時(shí)考慮橫向和軸向這兩種載荷作用梁的彎曲稱為梁的復(fù)雜彎曲。xyTT圖2-181.梁的復(fù)雜彎曲微分方程推導(dǎo)

對(duì)于圖2-18所示的復(fù)雜彎曲梁，由截面法知道，在梁的任一截面上除了有彎距、剪力外還有軸向力。軸向力的存在一方面使得梁斷面的正應(yīng)力增加了一項(xiàng)沿?cái)嗝婢鶆蚍植嫉牧縏/A（A為梁的橫截面面積），同時(shí)對(duì)梁的彎曲要素也有一定的影響。梁在復(fù)雜彎曲時(shí)，我們?nèi)哉J(rèn)為梁截面符合材料力學(xué)中的平斷面假定，材料仍然服從虎克定律，因此基本關(guān)系式不變。為了進(jìn)一步導(dǎo)出彎曲微分方程式。仍在梁中取出一段長(zhǎng)度為dx的微段，這時(shí)為了反映軸向力的影響，所以畫(huà)出了微段在變形后的情況。MTqM+dMNN+dNTdxdv圖2-19

列出微段的平衡方程式：yx

略去高階微量后，得：(2-13)

將式（2-13）再微分一次，并將關(guān)系式帶入后，得到：（和普通梁的結(jié)果一樣）（和普通梁的結(jié)果不一樣）

對(duì)于等截面和軸向力沿梁長(zhǎng)不變的情況，得：(2-15)(2-14)

這就是梁在復(fù)雜彎曲（軸向力為拉力）時(shí)的彎曲微分方程式。

如果軸向力為壓力，只要在上式中用（-T）代替（T）即可。為了表達(dá)清晰起見(jiàn)，令軸向壓力的絕對(duì)值為T﹡，這樣用（-T﹡）代替上式中的T，便可得到梁在復(fù)雜彎曲（軸向力為壓力）時(shí)的彎曲微分方程式：(2-16)2.微分方程式的解，初參數(shù)法

微分方程式（2-15）的解分為相應(yīng)的齊次方程式的通解和非齊次方程式的特解兩部分。先考慮軸向拉力的情況，即方程式（2-15），其齊次方程式為：

此式可改寫(xiě)為：

式中：(2-17)(2-18)

于是，可將方程式（2-18）的解寫(xiě)作：(2-19)

將式（2-19）代入到（2-18）中得特征方程為：(2-20)

此特征方程有4個(gè)根，分別為：

所以方程式（2-18）的解為：

式中為積分常數(shù)

仿照§2-1中的方法，直接將此解推廣到梁上受任意橫向載荷的情況而無(wú)須求其特解，為此將上式逐次積分：(2-21)并利用式（2-13），有：設(shè)為x＝0時(shí)梁的四個(gè)初始彎曲要素

從而解得：

代入式（2-21）得：

仿照（2-12）式，就可以將（2-21）推廣到梁上受任意橫向載荷得一般情形：(2-22)bdTyxq(x)caPmxT(2-23)圖2-20

當(dāng)x>d時(shí)，積分上限為d。

如果是軸向壓力，只要將軸向拉力公是中得T用（-T＊）代替，或k用（ik＊）代替即可，其中：(2-24)

當(dāng)x>d時(shí)，積分上限為d。

利用撓曲線通用方程式（2-24）及梁端的邊界條件，就可以確定相應(yīng)梁復(fù)雜彎曲時(shí)的撓曲線方程，從而由彎距與撓度的關(guān)系式確定彎距方程。進(jìn)一步可以確定梁在復(fù)雜彎曲時(shí)任一橫截面上的剪力。

（1）軸向力為拉力時(shí)

（2）軸向力為壓力時(shí)(2-26)(2-25)由式（2-25）和（2-26）可見(jiàn)，梁復(fù)雜彎曲時(shí)剪力與撓度的微分關(guān)系式和梁在橫力彎曲時(shí)并不相同。當(dāng)求得梁復(fù)雜彎曲時(shí)的撓曲線方程后，應(yīng)由式（2-25）和（2-26）確定剪力方程。在寫(xiě)梁端邊界條件時(shí)也應(yīng)注意式（2-25）和（2-26），及對(duì)于復(fù)雜彎曲,從而彈性支座的邊界條件就與橫力彎曲時(shí)的不同，對(duì)于軸向力為拉力或壓力的梁，其彈性支座的邊界條件為：式中，符號(hào)的取法：左端取(-)，右端取(+)復(fù)雜彎曲時(shí)的彈性固定在彈性支座上的邊界條件也與橫力彎曲時(shí)不同。寫(xiě)為：軸向拉力軸向壓力式中，符號(hào)的取法：上面的符號(hào)適用于左端，下面的符號(hào)適用于右端邊界條件為：yTT圖2-21邊界條件為：yTT圖2-21例1:如圖2-22所示，受均布載荷q，兩端自由支持并受軸向拉力的T作用的梁，計(jì)算其彎曲要素。3.例題圖2-22TxyTqEIl解：先應(yīng)用式(2-23)計(jì)算梁的撓曲線方程式。梁左端的邊界條件：(a)將邊界條件代入到(a)式得：

為了算出上式中的積分，利用變量代換方法。

積分上下限為0和x。(b)將積分結(jié)果代入到(b)式得：梁右端的邊界條件：代入到(c)式得：(c)(d)將(d)式代入到(c)式整理后得：式中

有了撓曲線方程后，我們就不難求得梁的彎曲要素?，F(xiàn)將通常所需的梁的中點(diǎn)撓度、端點(diǎn)轉(zhuǎn)角及中點(diǎn)彎距的公式寫(xiě)出如下：(e)(f)式中(g)(g)稱為復(fù)雜彎曲的輔助函數(shù)，他們的數(shù)值取決于，即取決于軸向力T，梁的抗彎剛度EI和梁長(zhǎng)l。復(fù)雜彎曲梁的輔助函數(shù)和彎曲要素表見(jiàn)附錄B。

現(xiàn)討論的取值對(duì)復(fù)雜彎曲梁彎曲要素的影響：(2)>0，即T>0，(g)式中的函數(shù)隨著的增加而減少，說(shuō)明軸向拉力使得梁的彎曲要素減少。(1)=0，即T=0，(g)式中的函數(shù)均為1，這時(shí)所得到的公式就是以前推導(dǎo)的僅受橫向荷重時(shí)的公式

如果所討論的梁受到的是軸向壓力T＊，則在以上公式中將(-T＊)代T，ik＊代k,i＊代。此處：

即可得到相應(yīng)的公式如下：

及：

式中：(h)(i)(j)同樣為復(fù)雜彎曲的輔助函數(shù)。

現(xiàn)討論＊的取值對(duì)復(fù)雜彎曲梁彎曲要素的影響：(2)＊>0，(h)式中的函數(shù)隨著＊的增加而增大，說(shuō)明軸向拉力使得梁的彎曲要素增大。當(dāng)＊=/2，即(1)＊=0，即T＊=0，(g)式中的函數(shù)均為1，這時(shí)所得到的公式就是以前推導(dǎo)的僅受橫向荷重時(shí)的公式時(shí)，，這說(shuō)明當(dāng)軸向壓力即使梁受到非常微小的載荷，梁都會(huì)喪失其穩(wěn)定性。因而也可以把復(fù)雜彎曲中使彎曲變形趨向無(wú)窮大的軸向壓力定義為臨界壓力。我們?cè)诓牧狭W(xué)壓桿的穩(wěn)定性一章中，兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉臨界載荷也是

綜上，我們可以指出：當(dāng)梁受任何橫向荷重及軸向拉力或軸向壓力作用而發(fā)生復(fù)雜彎曲時(shí)，不論兩端固定情況如何，總歸是軸向拉力使得梁的彎曲要素減?。惠S向壓力使得梁的彎曲要素增大。使得彎曲變形趨向無(wú)窮大的軸向壓力就是壓桿的臨界壓力。4.復(fù)雜彎曲梁的彎曲要素及疊加原理

對(duì)于受其他荷重作用和其他支撐情況的單跨復(fù)雜彎曲梁，用同樣的方法可以求出其撓曲線方程式和彎曲要素，其結(jié)果列在附錄B中：這就是復(fù)雜彎曲梁的彎曲要素表。由復(fù)雜彎曲梁的通用撓曲線方程式(2-23)和(2-24)知，撓度v與參數(shù)k或k＊不成線性關(guān)系，但是當(dāng)k或k＊為常數(shù)時(shí)，即軸向拉力T或壓力T＊保持不變，撓度v與橫向載荷之間成線性關(guān)系。

故梁在一定的軸向力作用下，梁上受到不同橫向載荷時(shí)的彎曲要素仍可用疊加原理求解，即可分別求得在該軸向力作用下的各個(gè)橫向載荷作用時(shí)的彎曲要素，然后疊加。例1:如圖2-23所示的梁，兩端受到集中力矩的作用，求梁兩端面的轉(zhuǎn)角。圖2.23xyEIl解：根據(jù)附錄表B-2m1m2xyEIlm1xyEIlm2＋疊加后得到梁兩端的轉(zhuǎn)角分別為：函數(shù)值見(jiàn)附表B-3和B-4例2:求如圖2-24所示的梁固定端彎距xyEITTxyEITTM解：附錄表B-2并沒(méi)有提供這種支座形式，我們將其等效為圖2-25形式的梁。圖2-24圖2-25利用附錄表B-2提供的均布載荷下梁左端的轉(zhuǎn)角和集中力矩作用下梁左端的轉(zhuǎn)角，利用疊加原理。再根據(jù)固定端處，轉(zhuǎn)角為零的邊界條件，就可以求得端面彎距。疊加后利用梁左端轉(zhuǎn)角為零，得到端面彎距為：5.軸向力對(duì)梁彎曲要素的影響

由附錄表B提供復(fù)雜彎曲的彎曲要素表可見(jiàn)，軸向力對(duì)彎曲要素的影響取決于輔助函數(shù)，而輔助函數(shù)值的大小又由參數(shù)和（＊）決定。因所以，軸向力對(duì)彎曲要素的影響程度取決于軸向力與梁抗彎因子4EI/l2之比值。而不僅僅取決于軸向力的大小。由附錄表B可見(jiàn)當(dāng)或（＊）≦0.5時(shí)，各輔助函數(shù)的值接近于1，說(shuō)明在此范圍內(nèi)，軸向力對(duì)彎曲要素的影響很小，可以忽略

在船體骨架的強(qiáng)度計(jì)算中，一般來(lái)說(shuō)參數(shù)或（＊）之值不大，因而習(xí)慣上都不考慮軸向力對(duì)彎曲要素的影響。于是在計(jì)算受橫向載荷和軸向力同時(shí)作用的骨架橫截面上的正應(yīng)力時(shí)，可以簡(jiǎn)單地使用材料力學(xué)中給出的公式。式中，M—由橫向載荷引起的梁橫截面上的彎距；I、A—橫截面的慣性距和橫截面面積。但是，對(duì)船體結(jié)構(gòu)中的板來(lái)說(shuō)，情況就不同了，由于板的抗彎能力遠(yuǎn)比骨架小，故必須考慮板中面力對(duì)板彎曲應(yīng)力的影響。§2-5彈性基礎(chǔ)梁的彎曲

支撐于彈性基礎(chǔ)上的梁叫彈性基礎(chǔ)梁。彈性基礎(chǔ)梁在受到橫向載荷而發(fā)生撓度時(shí)，彈性基礎(chǔ)會(huì)給梁一個(gè)正比于撓度的反力。設(shè)梁的撓度為v，則彈性基礎(chǔ)給梁的單位長(zhǎng)度上的反力為Kv，其中K是比例系數(shù)，簡(jiǎn)稱為彈性基礎(chǔ)的剛性系數(shù)。在對(duì)某些工程結(jié)構(gòu)物進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，有時(shí)可將其簡(jiǎn)化為彈性基礎(chǔ)梁的彎曲計(jì)算。例如鐵軌和枕木的計(jì)算，房屋建筑中的鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)的計(jì)算。船體結(jié)構(gòu)中板架縱桁的計(jì)算以及潛艇耐壓殼體強(qiáng)度計(jì)算都可以歸結(jié)為彈性基礎(chǔ)梁的彎曲計(jì)算。

對(duì)于有橫向分布載荷q作用的彈性基礎(chǔ)梁，若把彈性基礎(chǔ)給梁的單位長(zhǎng)度上的反力Kv看作是分布載荷（-Kv），則將（q-Kv）代替普通梁的彎曲微分方程式中的q：1.等截面彈性基礎(chǔ)梁的彎曲微分方程式及其解(2-27)

式中彈性基礎(chǔ)的剛性系數(shù)K不隨坐標(biāo)x變化，即再整個(gè)梁長(zhǎng)范圍內(nèi)K是常數(shù)彈性基礎(chǔ)梁的截面轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力與撓度的微分關(guān)系仍和普通梁一樣，即：

對(duì)于微分方程式（2-27），可用初參數(shù)法求解。即先求出（2-27）的齊次方程的通解，然后推廣到受任意載荷作用時(shí)彈性基礎(chǔ)梁的解。將式（2-27）的齊次方程式改寫(xiě)為：(2-28)(2-29)

式中

對(duì)于齊次微分方程式（2-29）的解，根據(jù)高等數(shù)學(xué)微分方程的解法，其通解為：(2-30)

式中C1～C4為積分常數(shù)。需要找出這4個(gè)積分常數(shù)與梁端截面的彎曲要素之間的關(guān)系，為此，將式（2-30）逐次微分，得：

由式（2-30）及上面三式，當(dāng)x=0時(shí)，根據(jù)式（2-28），可得：(2-31)

將他們代入通解式（2-30）得：(2-32)

式中v0、

0、M0、N0——梁截面的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力。由上式可解得：

稱為普日列夫斯基函數(shù)。于是式(2-32)就可寫(xiě)成：(2-33)

令函數(shù)：(2-34)

普日列夫斯基函數(shù)之間有下面的循環(huán)微分關(guān)系和一些特殊數(shù)值：(2-35)(2-36)

現(xiàn)將式（2-34）推廣到受任意載荷作用的彈性基礎(chǔ)梁（圖2-26）。由§2-1所述初參數(shù)法，仿照式（2-8），由式（2-34）可寫(xiě)出yxmPqabcdK圖2-26(2-37)

現(xiàn)將式（2-38）稱為彈性基礎(chǔ)梁的撓曲線通用方程式。有了該方程式和邊界條件就能求出相應(yīng)的彈性基礎(chǔ)梁的撓曲線方程，繼而根據(jù)（2-28）可以求出其他彎曲要素。例3:對(duì)于受均布載荷q作用的兩端剛性固定的彈性基礎(chǔ)梁（圖2-27），求梁的撓曲線方程、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。xqKyl/2l/2解：由于梁的結(jié)構(gòu)和載荷都對(duì)稱于跨中，故取跨度中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，在x=0處，0=0，N0=0。由式（2-37）可知，梁的撓曲線方程為：上式等號(hào)右邊最后項(xiàng)的積分，利用函數(shù)V3與V0之間的微分關(guān)系（式2-35），可以得到：從而梁的撓曲線方程式可以寫(xiě)成：由式（2-50）可知4α4EI=K,再將上式中的同類項(xiàng)合并，得到：上式的積分常數(shù)D0和D1根據(jù)邊界條件確定：(2-38)式中,求解上述方程組得到：

將積分常數(shù)D0和D1的表達(dá)式代入到（2-38），得到梁的撓曲線方程為(2-39)

根據(jù)式（2-28）及（2-35），可求出梁的轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的表達(dá)式：(2-40)(2-41)(2-42)(2-43)

由式（2-40）～（2-43），可算出梁中點(diǎn)(x=0)的撓度、彎矩及梁端點(diǎn)(x=l/2)的彎矩、剪力：(2-44)(2-45)(2-46)(2-47)

式中稱為彈性基礎(chǔ)梁的輔助函數(shù)。(2-48)

彈性基礎(chǔ)梁的輔助函數(shù)反映了彈性基礎(chǔ)對(duì)梁彎曲要素的影響。當(dāng)u=0（即K=0）時(shí)，表示不存在彈性基礎(chǔ)，此時(shí)，上述輔助函數(shù)值均為1；當(dāng)u>0(即k>0)時(shí)，輔助函數(shù)值隨u的增大而減小，這說(shuō)明彈性基礎(chǔ)的剛性系數(shù)增大，梁的彎曲要素將減小。

由式（2-37）及以上分析可知，當(dāng)彈性基礎(chǔ)的剛性系數(shù)K一定即參數(shù)u一定時(shí)，梁的彎曲要素與外載荷之間成線性關(guān)系，因此，當(dāng)彈性基礎(chǔ)梁受到幾種不同外載荷作用時(shí)，仍可采用疊加法，分別求出各個(gè)外載荷單獨(dú)作用下時(shí)的彎曲要素，然后疊加，求得幾種不同外載荷同時(shí)作用下的彎曲要素。

舷側(cè)結(jié)構(gòu)的計(jì)算圖形如圖2-27所示。2.由一根舷側(cè)縱桁和多根肋骨組成的舷側(cè)結(jié)構(gòu)的計(jì)算LaxRxxyq(x)Rx

舷側(cè)肋骨受到垂直于板面的分布載荷。這些載荷將由板傳給肋骨。所以計(jì)算時(shí)可以認(rèn)為外載荷全部由肋骨承受。另假定：所有肋骨尺寸相同，且為等截面、等間距布置；各肋骨上外載荷的分布規(guī)律相同，端點(diǎn)固定情況也相同。將肋骨與舷側(cè)縱桁在相交點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）處拆開(kāi)，加上相互作用力R(X)(圖2-28)。對(duì)于坐標(biāo)為x處的一根肋骨，在外載荷q(x)和相互作用力R(x)共同作用下，肋骨與縱桁交點(diǎn)處的撓度：

式中，β、

——影響系數(shù)，它們與肋骨上的外載荷及肋骨兩端的固定情況有關(guān)，也與節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)，可由單跨梁的彎曲要素表求出。由于假定各肋骨的固定情況相同及外載荷的分布規(guī)律相同，故β、

為常數(shù)，即對(duì)于所有的β、

值都是一樣的。

由上式可寫(xiě)出相互作用力R(x)的表達(dá)式，即(2-49)(2-50)

舷側(cè)縱桁受到一系列集中力R(X)的作用。根據(jù)假定肋骨是等間距設(shè)置的，故這些集中力的間距為a。計(jì)算表明，當(dāng)集中力的數(shù)目大于5時(shí)集中力共用分布力R(x)/a代替，梁彎曲要素的誤差將在5%之內(nèi)。現(xiàn)用R(x)/a代替R(X)，舷側(cè)縱桁彎曲微分方程式為：(2-51)

將式(2-50）代入到上式得：(2-52)Kq

得：

式（2-53）就是彈性基礎(chǔ)梁的彎曲微分方程式。此式表明舷側(cè)縱桁相當(dāng)于一根受外載荷q作用，具有剛性系數(shù)為K的彈性基礎(chǔ)梁。利用撓曲線通用方程式及舷側(cè)縱桁兩端的邊界條件（撓度、轉(zhuǎn)角均為零），即可求出舷側(cè)縱桁的撓曲線v(x)，繼而求出其他彎曲要素，再根據(jù)式（2-49）確定R(X)，最后求出每一根肋骨再外載荷q(x)和R(X)共同作用下的彎曲要素作業(yè)：第一次：2.22.32.4第二次：2.62.7

回顧:(1)船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)

(2)梁的撓曲線微分方程通解的積分常數(shù)是梁的初參數(shù)嗎？

(3)如果梁兩端是自由支持的，那么兩端支座是剛性支座與兩端支座是彈性支座時(shí)。梁斷面的彎矩和剪力a.都相同b.都不相同c.彎矩相同、剪力不同d.剪力相同、彎矩不同第三章超靜定結(jié)構(gòu)的解法—力法MethodsofAnalysisofStaticallyIndeterminateStructures－Mechanics§

3-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成與超靜定次數(shù)的確定靜力特征:僅由靜力平衡方程不能求出所有內(nèi)力和反力.超靜定問(wèn)題的求解要同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的“變形、本構(gòu)、平衡”.幾何特征:有多余約束的幾何不變體系。

超靜定結(jié)構(gòu)是相對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)而言的。靜定結(jié)構(gòu)是幾何不變而又沒(méi)有多余約束的體系，其反力和內(nèi)力只需靜力平衡方程即可求得。所謂幾何不變體系是指如果不考慮材料應(yīng)變所產(chǎn)生的變形，體系在受到任何載荷作用后能夠保持其固有的幾何形狀和位置的體系。超靜定結(jié)構(gòu)有以下幾個(gè)特征：概述

拱

組合結(jié)構(gòu)

1）超靜定結(jié)構(gòu)的類型

桁架

超靜定梁

剛架

§

3-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成與超靜定次數(shù)的確定

桁架（1）超靜定次數(shù)——結(jié)構(gòu)多余約束或多余未知力的數(shù)目，即為超靜定次數(shù)。（2）確定超靜定次數(shù)的方法——通過(guò)去掉多余約束來(lái)確定。（去掉n個(gè)多余約束，即為n次超靜定）。（3）去掉（解除）多余約束的方式2）超靜定次數(shù)確定a、撤去一個(gè)活動(dòng)鉸支座、去掉或切斷一根鏈桿——去掉1個(gè)約束（聯(lián)系）；X1§

3-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成與超靜定次數(shù)的確定b、去掉一個(gè)單鉸或一個(gè)固定鉸支座——

去掉2個(gè)約束；c、切斷剛性聯(lián)系（梁式桿）或去掉一個(gè)固定端——去掉3個(gè)約束；X1X2X1X2X3X1X2X3§

3-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成與超靜定次數(shù)的確定d、將剛性連接改為單鉸——去掉1個(gè)約束。注意事項(xiàng)（1）對(duì)于同一超靜定結(jié)構(gòu)，可以采取不同方式去掉多余約束，而得到不同形式的靜定結(jié)構(gòu)，但去掉多余約束的總個(gè)數(shù)應(yīng)相同。（2）去掉多余約束后的體系，必須是幾何不變的體系，因此，某些約束是不能去掉的。X1§

3-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成與超靜定次數(shù)的確定幾何可變體系不能作為基本體系§

3-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成與超靜定次數(shù)的確定舉例：X1X2X1X2X1X3X2§

3-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成與超靜定次數(shù)的確定X4X3X1X2X1X2舉例：§

3-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成與超靜定次數(shù)的確定X1X1X2X2X3X3X1X2X3平衡方程個(gè)數(shù)：2×8＝16

未知數(shù)個(gè)數(shù)：16+3=19多余約束力：19-16＝3§

3-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成與超靜定次數(shù)的確定計(jì)算桁架超靜定次數(shù)的簡(jiǎn)單公式(m+r)-2j=16+3-2×8=3m（桿個(gè)數(shù)）；r（支反力數(shù)目）；j（節(jié)點(diǎn)數(shù)）X1X2X3X1X2X3每個(gè)無(wú)鉸封閉框超三次靜定超靜定次數(shù)3×封閉框數(shù)=3×5=15超靜定次數(shù)3×封閉框數(shù)－單鉸數(shù)目=3×5－3=12舉例：§

3-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成與超靜定次數(shù)的確定一個(gè)無(wú)鉸封閉框有三個(gè)多余約束.§

3-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成與超靜定次數(shù)的確定3×封閉框數(shù)－單鉸數(shù)目=3×3－4=53×封閉框數(shù)－單鉸數(shù)目=3×3－3=6此兩鏈桿任一根都不能去掉此鏈桿不能去掉

力法的基本思想:1.找出未知問(wèn)題不能求解的原因,2.將其化成能求解的問(wèn)題,3.找出改造后的問(wèn)題與原問(wèn)題的差別,4.消除差別后,改造后的問(wèn)題的解即為原問(wèn)題的解§

3-2力法的基本原理及典型方程

解除多余約束，轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)。將多余約束以多余未知力代替。這種把多余約束力作為基本量的計(jì)算方法——力法?！?/p>

3-2力法的基本原理及典型方程看下面簡(jiǎn)單的例子：llq123

如圖3-6所示的雙跨梁，它是二次超靜定結(jié)構(gòu)。在用力法計(jì)算時(shí)，可將其兩個(gè)多余聯(lián)系去掉。llR1R2qllM1M2M2(2)122圖3-6a圖3-6c圖3-6b§

3-2力法的基本原理及典型方程

為了求出基本結(jié)構(gòu)中多余的約束力，必須考慮原結(jié)構(gòu)在多余聯(lián)系處的已知變形條件。下面以求M1和M2（圖3-6b）為例來(lái)說(shuō)明。原結(jié)構(gòu)（圖3-6a）在均布載荷q作用下在固定端處的轉(zhuǎn)角為零，在中間支座處轉(zhuǎn)角連續(xù)。為使基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)完全一致，就應(yīng)使基本結(jié)構(gòu)在多余約束力M1

、M2

載荷q作用下在支座1處的轉(zhuǎn)角為零，在支座2處的轉(zhuǎn)角連續(xù)，即：支座1處的轉(zhuǎn)角支座2處的轉(zhuǎn)角§

3-2力法的基本原理及典型方程

上式即為變形協(xié)調(diào)條件。利用兩端自由支持單跨梁的彎曲要素表，可以得到轉(zhuǎn)角與彎矩和外載荷之間的關(guān)系式，并將他們代入到上式，得到：根據(jù)變形條件求解：§

3-2力法的基本原理及典型方程

求出基本未知量M1和M2后，就可分別對(duì)兩個(gè)靜定單跨梁進(jìn)行計(jì)算，并用疊加法畫(huà)出梁1-2和2-3的彎矩圖和剪力圖，此即原雙跨梁的彎矩圖和剪力圖。0.071ql2

0.107ql2-0.125ql2-0.125ql2

0.5ql-0.5ql0.036ql0.036ql-0.5ql0.5ql

-0.107ql-0.107ql0.393ql0.464ql

0.607ql0.536ql0.713ql2

0.107ql2

第二種等效方法固定端支反力在均布載荷q作用下:變形條件求解：

0.464ql0.536ql0.607ql0.393ql0.713ql20.107ql2§

3-2力法的基本原理及典型方程在集中載荷R1作用下:在集中載荷R2作用下:

力法基本原理：把去掉原結(jié)構(gòu)上的多余聯(lián)系后所得的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，以多余約束力作為基本未知量，根據(jù)原結(jié)構(gòu)在多余聯(lián)系處的變形條件列力法方程，解之即得多余約束力；而以后的計(jì)算與靜定結(jié)構(gòu)相同。必須指出，基本結(jié)構(gòu)的選取雖然可以不同，但它必須是幾何不變的。否則不能用作計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算圖形。上述基本原理可以用于分析任何類型的超靜定結(jié)構(gòu)，例如連續(xù)梁，剛架和桁架等?！?/p>

3-2力法的基本原理及典型方程

如果把圖3-6b中的M1稱為第一個(gè)多余約束力，記做X1；M2稱為第二個(gè)多余約束力，記做X2。并且把力法方程組改寫(xiě)成：

式中：(a)§

3-2力法的基本原理及典型方程

與圖3-6b對(duì)照，可以看出：力法方程組(c)中的系數(shù)

11就是當(dāng)X1=1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，在X1作用點(diǎn)沿X1方向的轉(zhuǎn)角（廣義位移），而

21就是在X2作用點(diǎn)沿X2方向的轉(zhuǎn)角；

22就是當(dāng)X2=1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，在X2作用點(diǎn)沿X2方向的轉(zhuǎn)角（注意基本結(jié)構(gòu)有一對(duì)X2），而

12在X1作用點(diǎn)沿X1方向的轉(zhuǎn)角；

1p就是當(dāng)外載荷單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)在X1作用點(diǎn)沿X1方向的轉(zhuǎn)角；而2p就是當(dāng)外載荷單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)在X2作用點(diǎn)沿X2方向的轉(zhuǎn)角§

3-2力法的基本原理及典型方程

對(duì)于n次超靜定結(jié)構(gòu)，其力法方程組可寫(xiě)為。（3-1）

注：對(duì)于有支座沉降的情況，右邊相應(yīng)的項(xiàng)就等于已知位移（沉降量），而不等于零?！?/p>

3-2力法的基本原理及典型方程（1）系數(shù)（柔度系數(shù)）、自由項(xiàng)

主系數(shù)δii(i＝1,2,…n)——單位多余未知力單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，所引起的沿其本身方向上的位移，恒為正；Xi＝1

副系數(shù)δ

i

j(

i≠j)——單位多余未知力單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，所引起的沿Xi方向的位移，可為正、負(fù)或零，且由位移互等定理：δi

j=δj

iX

j＝1

自由項(xiàng)ΔiP

——荷載FP單獨(dú)作用于基本體系時(shí)，所引起Xi方向的位移，可正、可負(fù)或?yàn)榱恪?/p>

ii和ΔiP的計(jì)算，一般可用材料力學(xué)中的位移計(jì)算方法，如單位力法§

3-2力法的基本原理及典型方程（3）最后彎矩（2）典型方程的矩陣表示§

3-2力法的基本原理及典型方程力法基本思路小結(jié)

解除多余約束，轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)。多余約束代以多余未知力——基本未知力。

分析基本結(jié)構(gòu)在單位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移協(xié)調(diào)條件——力法方程。

從力法方程解得基本未知力，由疊加原理獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)力。超靜定結(jié)構(gòu)分析通過(guò)轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)獲得了解決?！?/p>

3-2力法的基本原理及典型方程§

3-3剛性支座上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算§

3-3剛性支座上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算1）剛性支座上連續(xù)梁與三彎距方程

1i-12I1l1n-1ii+1nIi-1IiIn-1li-1liln-1qi-1qiM1l1M2I1Mi-1li-1MiIi-1qi-1Mi+1MiliIiqiMn-1ln-1MnIn-1圖3-1(a)圖3-1(b)

圖(3.1a)所示的為n-1跨的剛性支座上的連續(xù)梁，其兩端剛性固定。首先判斷它是一個(gè)n次超靜定梁（無(wú)軸向載荷，故無(wú)軸向約束反力），將連續(xù)梁兩端的剛性固定端改為固定鉸支座，并以相應(yīng)的多余約束力（端面彎距）代替，在每個(gè)中間支座處將梁切斷，并以相應(yīng)的約束反力（梁截面上的彎距）代替。得到如圖（3.1b）所示的基本結(jié)構(gòu)—單跨梁。它會(huì)使得力法方程簡(jiǎn)化?！?/p>

3-3剛性支座上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算

根據(jù)原結(jié)構(gòu)在剛性固定端轉(zhuǎn)角為零和在支座處轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件，列出方程：（3-2a）i=2,3,…,n-1§

3-3剛性支座上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算

將上式整理后得到：（3-2b）§

3-3剛性支座上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算

式中，i＝2,3,…,n-1；

i(qi-1)——第i-1跨梁上所有外荷引起得在支座i處的梁右端的轉(zhuǎn)角；

i(qi)表示第i跨梁上所有外荷引起的在支座i處梁左端的轉(zhuǎn)角；1(q1)、n(qn-1)同理，并規(guī)定沿順時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)角為正，反之為負(fù)。由式（3-2）可見(jiàn)，每個(gè)方程中最多含三個(gè)未知彎距，故式（3-2）稱為三彎距方程，改寫(xiě)為矩陣形式為：§

3-3剛性支座上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算（3-3）§

3-3剛性支座上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算式中系數(shù)矩陣是對(duì)稱矩陣，

ij=ji,且（3-4）§

3-3剛性支座上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算

式中，i＝2,3,…,n-1。（3-5）

式中，i＝2,3,…,n-1。

式（3-3）在數(shù)學(xué)上稱為三對(duì)角方程。當(dāng)連續(xù)梁上支座數(shù)目較多時(shí)，可以采用追趕法在計(jì)算機(jī)上求解。§

3-3剛性支座上連續(xù)梁與不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算

例題1：計(jì)算圖3.2所示的等截面三跨連續(xù)梁。已知l＝8m，P=ql/2=40kN,q=10kN/m

解：取其基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在支座1處的轉(zhuǎn)角為零，在中間支座處轉(zhuǎn)角連續(xù)的條件，列出三個(gè)力法方程。M3M1M2M2M3q(b)l/2l/2llPq1234圖3-2(a)

將以上三個(gè)方程兩邊同乘以6EI/l，整理得：

解得：

得到固定端和各截面的彎距后，就可以采用疊加法繪制剪力圖和彎距圖。

對(duì)于僅受到均布載荷的等截面、等跨度的連續(xù)梁，則連續(xù)梁每一跨度的變形均相同，中間支座處的轉(zhuǎn)角為零。這種連續(xù)梁可作簡(jiǎn)化計(jì)算，只需取出一跨，將其作為兩端剛性固定的單跨梁計(jì)算，無(wú)需對(duì)整個(gè)連續(xù)梁進(jìn)行計(jì)算。目前，船體結(jié)構(gòu)中的甲板縱骨及船體縱骨大都滿足以上條件，所以都可以作為兩端剛性固定的單跨梁處理。

回顧：超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)多余聯(lián)系多余約束力力法方程連續(xù)性條件力法

船體結(jié)構(gòu)中的甲板縱骨、舷側(cè)縱骨和船底縱骨這些縱向構(gòu)件（超靜定結(jié)構(gòu)）可以采用三彎矩方程得以解決。對(duì)于由橫梁、肋骨和肋板組成的橫向框架結(jié)構(gòu)？2）不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架計(jì)算

船體結(jié)構(gòu)中的剛架大都是由橫梁、肋骨和肋板組成的橫向框架結(jié)構(gòu)。剛架中桿件的相交點(diǎn)叫作剛架的節(jié)點(diǎn)。多個(gè)桿件（多余兩根）匯交于一個(gè)節(jié)點(diǎn)復(fù)雜剛架兩根桿件匯交于一個(gè)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單剛架圖3.3

實(shí)際結(jié)構(gòu)中，大多數(shù)剛架受力變形后節(jié)點(diǎn)位移可以不計(jì)，于是計(jì)算強(qiáng)度時(shí)在節(jié)點(diǎn)處加上固定鉸支座，稱為不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)剛架。少數(shù)情況，對(duì)于大開(kāi)口船舶，艙口端橫梁在載荷作用下會(huì)有較大線位移，因此在計(jì)算強(qiáng)度時(shí)只能加彈性支座或給定一個(gè)已知線位移，這種剛架稱為可動(dòng)節(jié)點(diǎn)剛架?？蓜?dòng)節(jié)點(diǎn)剛架

例題2：計(jì)算圖3.3所示的單甲板船在艙口部位的肋骨剛架l1l2l3q1q1q2q2q3I1I1I2I2I3q1q1q2q2q3M2M2M3M3M4M2M4M5M5圖3.4a圖3.4b

解：對(duì)圖3.4a所示的剛架，可將其作為剛性支座上連續(xù)梁“折合”的結(jié)果,可以按照連續(xù)梁的方法求解。取其基本結(jié)構(gòu)形式如圖3.4b所示，另由于此剛架結(jié)構(gòu)為左右載荷對(duì)稱、結(jié)構(gòu)形式對(duì)稱結(jié)構(gòu)，所以M2=M5、M3=M4,這樣就可以根據(jù)原結(jié)構(gòu)在剛性支座處轉(zhuǎn)角的連續(xù)性條件，列出兩個(gè)力法方程：

求出節(jié)點(diǎn)彎距后，就可以繪制剛架的彎距圖。由上式可見(jiàn)，剛架的內(nèi)力與各桿的截面慣性距的比值有關(guān)，因而并不需要給出各桿件的慣性距，只要給出各桿件之間慣性距的比值即可。此外，當(dāng)肋板的剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于肋骨的剛度時(shí)，即I3>>I2時(shí)，

2→0，故可得：l1l3q1q2I1I2

這說(shuō)明肋板可以作為肋骨的剛性支撐，肋骨相當(dāng)于剛性固定在肋板上，這也就是如圖3.5所示的肋骨剛架的計(jì)算結(jié)果。圖3.5

例題3：計(jì)算圖3.6所示的剛架，畫(huà)出彎距圖，不計(jì)各桿的拉壓變形。已知P=16kN，l=1m,I2/I1=61243l/2l/2lI1I2I2I1PP圖3.6a圖3.6b1443I1I2PI112I22P3M1M2M2M3M3M4M1M4

解：圖3.6a所示的剛架，自身處于平衡狀態(tài)，在不計(jì)剛架各桿件拉壓變形的情況下，節(jié)點(diǎn)1、2、3、4處的線位移為零。因此，剛架屬于不可動(dòng)節(jié)點(diǎn)剛架，取其基本結(jié)構(gòu)如圖3.6b所示。由于剛架為幾何對(duì)稱結(jié)構(gòu)，載荷也完全對(duì)稱，所以由M1=M2=M3=M4。因此未知彎距只有一個(gè)，只需根據(jù)一個(gè)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件，列出一個(gè)力法方程即可。2.2861.7141.7142.286彎距圖§

3-4彈性支座與彈性固定端的實(shí)際概念1）彈性支座

上一章我們?cè)?jīng)對(duì)彈性支座和彈性固定端下了定義，那么彈性支座和彈性固定端的實(shí)際概念是從何而來(lái)的呢？

我們看一下這個(gè)結(jié)構(gòu)。12345II1圖3.7a圖3.7bRl1/2l1/2Rl/2l/2l/2l/2A2圖3.7c

我們采用力法對(duì)其進(jìn)行求解，取原結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)如圖3.7b所示。根據(jù)在節(jié)點(diǎn)2處的位移連續(xù)條件，建立立法方程：

上式與圖3.7c所示的梁節(jié)點(diǎn)2的撓度算式：完全相同。這說(shuō)明原結(jié)構(gòu)中的梁1-3相當(dāng)于梁4-5的彈性支座，其柔性系數(shù)A=l31/(48EI1)：柔性系數(shù)A僅與梁的尺寸和兩端支座形式有關(guān)。當(dāng)梁1-3為剛性固定時(shí)，A=l31/(192EI1)。注意：梁1-3之所以可以作為梁4-5的彈性支座，是因?yàn)榱?-3僅受到兩梁之間的相互作用力，而且，此力的方向與梁撓度的方向相同，力的大小與撓度的大小成正比，即v∝R。這也與上一章講到的彈性支座定義相同。顯然如果梁上還有其他載荷，那么撓度就不單僅取決于R了。因此一根梁之所以能作為其他梁的彈性支座的條件是，此梁沒(méi)有外荷重復(fù)作用。

在計(jì)算彈性支座的柔性系數(shù)時(shí)，只需把受外載荷的梁和不受外荷的梁在相交點(diǎn)處拆開(kāi)，并在拆開(kāi)處加上相互作用力R，計(jì)算無(wú)外荷重作用的梁在R作用處沿R方向的撓度v，v與R的比值就是柔性系數(shù)A。事實(shí)上，由于v∝R，所以，只需假定R=1，求出撓度v，求出撓度v該撓度就是柔性系數(shù)A。

例：如圖3.8所示一空間剛架結(jié)構(gòu)，試求桿1-2剛性固定端處的彎距。已知各桿截面慣性矩均相同。圖3.8al/2l/2lq123456lR34562l/2l/2lq12l圖3.8b圖3.8c解：因桿5-3、3-4、4-6組成的平面剛架上無(wú)外荷重作用，故它可作為桿1-2的一個(gè)彈性支座，于是桿1-2就變成一端剛性固定一端自由支持在彈性支座上的單跨梁3.7b。彈性支座的柔性系數(shù)A，可通過(guò)計(jì)算圖3.7c所示剛架求得。534634R

利用上一節(jié)的方法可以計(jì)算得到節(jié)點(diǎn)3和4的彎距M3=M4=Rl/2,再由兩端自由支持單跨梁彎曲要素表，求出在M3、M4和R共同作用下桿3-4中點(diǎn)的撓度：v=Rl3/96EI,即A=l3/96EI。

既而利用第二章介紹的初參數(shù)法求出梁在剛性固定端處的彎距?？梢杂?jì)算得到節(jié)點(diǎn)3和4的彎距M1=3ql3/22,2）彈性固定端

如圖3.8所示的剛架結(jié)構(gòu)（船舶上，雙甲板船結(jié)構(gòu)，上甲板橫梁與甲板間肋骨組成的剛架），選取其基本結(jié)構(gòu)如圖3.8b。根據(jù)原結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)2處相鄰兩桿轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件，列出力法方程。3l1I1M12圖3.8Alq1l1I1I12alq1Ilq1I23bcM

圖c所示的彈性固定端表達(dá)式為：

這兩個(gè)式子完全相同。由此可見(jiàn)，原結(jié)構(gòu)中甲板間肋骨（桿1-2）相當(dāng)于橫梁（桿2-3）的彈性固定端。彈性固定端的柔性系數(shù)A

=l1/3EI1,：A

僅與桿1-2尺寸及其支座形式有關(guān)。若桿1-2下端為剛性固定，則A

=l1/4EI1。注意幾點(diǎn)：（1）甲板間肋骨（1-2桿）能夠作為橫梁（桿2-3）的彈性固定端是因?yàn)閷⑺鼈儾痖_(kāi)后，1-2桿的1端僅受未知彎距M作用，且此彎距與該端的轉(zhuǎn)角始終同方向成正比，即有∝M。這也與上一章講到的彈性固定端定義相同。顯然如果梁上還有其他載荷，那么轉(zhuǎn)角就不單僅取決于M了。由此可知，實(shí)際結(jié)構(gòu)中桿件的彈性固定端是與其相鄰的不受外載荷的桿件作用的結(jié)果；換言之，受載桿件與不受載桿件相連時(shí)，不受載桿件是受載桿件的彈性固定端。

（2）為了計(jì)算彈性固定端的柔性系數(shù)A

，我們只需把受外載荷桿與不受外載荷桿在他們相連處切開(kāi)并加上相互作用的未知彎距M，計(jì)算無(wú)外載桿在彎距M作用處的轉(zhuǎn)角，與M的比值就是柔性系數(shù)A

。由于在計(jì)算柔性系數(shù)時(shí)M的大小不需知道，所以只需假定M＝1，求出轉(zhuǎn)角，該轉(zhuǎn)角就是柔性系數(shù)A

的值。（3）柔性系數(shù)的數(shù)值主要取決于無(wú)載桿件的長(zhǎng)度與斷面慣性距，而與無(wú)載桿件端點(diǎn)的固定情況關(guān)系不大。

（4）在實(shí)際船體結(jié)構(gòu)中，甲板間肋骨的下端還與下甲板橫梁及主肋骨相連接，如圖3.9所示。它們將影響甲板間肋骨下端的固定程度。實(shí)際上甲板間肋骨下端的固定是介于自由支持和剛性固定之間的某種情況。數(shù)值介于l1/3EI1,

和l1/4EI1之間。數(shù)值范圍不大，在近似計(jì)算時(shí)，可不必考慮下甲板橫梁及主肋骨對(duì)上甲板橫梁的影響。

結(jié)論：在桿系結(jié)構(gòu)計(jì)算中，如果要計(jì)算受外載荷的桿件，則可以只考慮與它直接相連的不受外載荷的桿件對(duì)它的影響，無(wú)須考慮不與它直接相連的不受外載荷的桿件對(duì)它的影響。圖3.9l1l2l1l212345II1I2I3q例：將圖3-10所示的剛架中桿1-2化為單跨梁來(lái)計(jì)算，試確定其彈性固定端的柔性系數(shù)A

。1234ll2l1II2I1lIqq234l2l1M＝1234l2l1M1M2（a）（b）圖3.10解：由前所述，將原結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)2處拆開(kāi)為桿1-2（受外載荷桿）和桿3-2-4（不受外載桿），并假定拆開(kāi)處的彎距M=1（圖(b)所示）。在將桿3-2-4從節(jié)點(diǎn)2處拆開(kāi)為兩根單跨梁，在拆開(kāi)處分別加上未知彎距M1和M2（圖(c)所示）?，F(xiàn)以圖b、c為研究對(duì)象，節(jié)點(diǎn)2處有彎距M=1的作用，依據(jù)節(jié)點(diǎn)2處彎距平衡條件，得：根據(jù)節(jié)點(diǎn)2處轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件，列力法方程：（一端簡(jiǎn)支時(shí)2處轉(zhuǎn)角和一端固支時(shí)2處轉(zhuǎn)角）節(jié)點(diǎn)2處的平衡條件代入：這說(shuō)明彈性固定端的剛性系數(shù)等于桿3-2單獨(dú)作用時(shí)的剛性系數(shù)和桿2-4單獨(dú)作用時(shí)的剛性系數(shù)之和3）彈性固定端的固定系數(shù)

由上面的分析可知，如果桿系結(jié)構(gòu)所有的桿件上都有外載荷作用，那么其中任一根桿件都不能作為其他桿件的彈性固定端。因?yàn)槿嵝韵禂?shù)無(wú)法求出。這時(shí)為了實(shí)際結(jié)構(gòu)的分析需要，人們又引入了一個(gè)關(guān)于彈性固定端固定程度的新定義，叫“固定系數(shù)”，它是彈性固定端斷面的彎距與假想為剛性固定時(shí)的斷面彎距之比，常用表示：（3-6）3）彈性固定端的固定系數(shù)

根據(jù)此定義

＝0，即Melastic＝0；表示自由支持端，若

＝1，即

Melastic

＝Mrigid；表示剛性固定端。因此在0到1變化。

雖然和A

都用來(lái)表示彈性固定端的系數(shù)，但是在定義時(shí)，并沒(méi)有要求固定端的轉(zhuǎn)角一定與其彎距成正比。因此用定義的彈性固定端固定系數(shù)和用A

定義的彈性固定端的意義并不相同。換言之，如果一根梁的固定端的轉(zhuǎn)角與彎距不成正比，則A

無(wú)意義，但存在。§

3-5彈性支座上連續(xù)梁計(jì)算

上一節(jié)應(yīng)用彈性支座的概念可將某些板架結(jié)構(gòu)化為具有彈性支座的連續(xù)梁。在船體結(jié)構(gòu)計(jì)算中，還會(huì)遇到彈性支座上連續(xù)梁的的計(jì)算問(wèn)題。比如，船舶在建造過(guò)程中，將船體擱置在船塢內(nèi)的墩木上，圖3-11a所示，墩木對(duì)船體的支持就相當(dāng)于彈性支座。由于墩木的柔性系數(shù)可能不相同，船體橫截面的慣性距沿船長(zhǎng)又是變化的，因此船體擱置在墩木上就可近似地化為圖3-11b所示的彈性支座上的連續(xù)梁?！?/p>

3-5彈性支座上連續(xù)梁計(jì)算a1a2P1P2(a)M1=P1a1M2=P2a2I1A1I2A2I3A3I4A4I5A5I6A6I7A7I8A8I9A9(b)(圖3-11)

一般起見(jiàn)，我們討論如圖3-12a所示的彈性支座梁，它是n次超靜定結(jié)構(gòu)。A1I1A1i-1A2Ii-1Ai-1IiAii+1Ai+1In-1An-1InAnq1q1q1q1l112in-1nli-1liln-1An(圖3-12a)

選取用力法計(jì)算的基本結(jié)構(gòu)如圖3-12b所示，它與彈性支座上連續(xù)梁的基本結(jié)構(gòu)不同之處在于各支座處還存在撓度v1、v2，···vn。故在建立支座處轉(zhuǎn)角連續(xù)方程時(shí)，應(yīng)考慮因相鄰支座處的撓度不同而引起的轉(zhuǎn)角。1A1A

1M1q1v1v2A22A33i-1Ai-1vi－1qi-1viqii+1Ai+1Aiivi+1vn-1vnAn-1n-1InAn1AnA

n(圖3-12b)

由各支座處轉(zhuǎn)角連續(xù)性，列力法方程：

支座1(3-8)

中間支座：

式中i=2,3,…,n-1：

支座n(3-8)(3-8)

式中在紅框內(nèi)的為撓度引起的轉(zhuǎn)角項(xiàng)。其他各項(xiàng)與剛性支座上連續(xù)梁相同：

由以上n個(gè)方程并不能求解未知彎距M1，M2,…,Mn，因?yàn)榉匠讨懈髦ё帗隙葀1、v2，···vn也是未知的。但是我們可以通過(guò)支座的柔性系數(shù)和支反力來(lái)求解。支座反力與支座處梁的剪力有關(guān)，而剪力又與梁上的載荷和未知彎距有關(guān)。下面就來(lái)尋求這些關(guān)系。

將單跨梁取出，去掉支座以截面處剪力代之如圖3-13所示，根據(jù)靜力平衡條件，列靜力平衡方程。M1M2q1N1,1N2,1l1Mi-1Miqi-1Ni-1,i-1Ni,i-1l-1qi+1MiMi+1Ni,iNi＋1,iliMn-1Mnqn-1Nn-1,n-1Nn-1,nln-1(圖3-13)左端面上剪力右端面上剪力(3-9)

Ni(qi)表示第i跨梁上所有外載荷引起的梁左端截面上的剪力(向下為正)；

Ni(qi-1)表示第i-1跨梁上所有外載荷引起的梁右端截面上的剪力(向上為正)；

彈性支座上連續(xù)梁的支反力（向上為正）與該支座處梁截面上剪力的關(guān)系為：(3-10)

根據(jù)彈性支座的定義可知：(3-11)

將式(3-9)代入到式(3-10),在代入到(3-11)，得：(3-12)

式(3-8)和(3-12)共有2n個(gè)方程，可解出2n個(gè)未知量M1，M2，…,M3。和v1,v2,…,vn

利用式(3-12)消去式(3-8)中所有的撓度，便可得到用矩陣表示的方程：(3-13)式中系數(shù)矩陣是對(duì)稱矩陣，

ij=ji,每個(gè)

ji和

ip（j,i=1,2,..,n）的具體表達(dá)式見(jiàn)課本P47和P47頁(yè)。式（3-13）從第三式起至倒數(shù)第三式止，每一式中僅包含五個(gè)未知彎距，故稱為五彎距方程。數(shù)學(xué)上也稱為五對(duì)角方程。在連續(xù)梁的彈性支座很多時(shí)，計(jì)算一般采用電子計(jì)算機(jī)編程計(jì)算。例1：求圖3-14所示的階梯變截面梁中點(diǎn)撓度v2。123llI2I123llI2IA=

(圖3-14)IRRM113v22M2M2R1R2(a)(b)(c)RN21N232

解：在梁的截面突變處增加一個(gè)柔性系數(shù)為無(wú)窮大的彈性支座，這樣階梯變截面梁就變成彈性支座上的連續(xù)梁(3-14b)。然后我們就可以選取用力法計(jì)算的基本結(jié)構(gòu)(3-14c)所示。

根據(jù)連續(xù)梁在節(jié)點(diǎn)1處轉(zhuǎn)角為0和節(jié)點(diǎn)2處轉(zhuǎn)角的連續(xù)性條件，列力法方程：

因A=

，所以支座反力等于零，利用式（3-9）和（3-10）注意節(jié)點(diǎn)2上有集中力R，得：聯(lián)立求解得：例2：求圖3-15所示的彈性支座上的連續(xù)梁，試求其固定端彎距和彈性支座上的力。A＝11l3/(216EI)。4IIIl4llAAq12344IIIl4lAA123l234v2M1M2M2M3=

M2M4=

M1(圖3-15)(a)(b)解：考慮結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，選取基本結(jié)構(gòu)如圖3-15b所示。根據(jù)節(jié)點(diǎn)1處的轉(zhuǎn)角為零和節(jié)點(diǎn)2處的轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件及v2=AR2,列出三個(gè)力法方程：聯(lián)立求解得：§

3-5簡(jiǎn)單板架計(jì)算板架的節(jié)點(diǎn)雙向交叉梁系主向梁（數(shù)目較多）交叉構(gòu)件

如圖所示船體結(jié)構(gòu)中，相互交叉的梁系叫做板架。板架受垂直于桿系平面的載荷作用而彎曲，板架中梁的交叉點(diǎn)又叫做板架的節(jié)點(diǎn)。