第2講　磁場對運(yùn)動(dòng)電荷的作用-2025版物理大一輪復(fù)習(xí)

磁場對運(yùn)動(dòng)電荷的作用目標(biāo)要求1.會(huì)判斷洛倫茲力的方向和計(jì)算洛倫茲力的大小。2.會(huì)分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)。3.會(huì)分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的多解和臨界極值問題，提高思維分析綜合能力?？键c(diǎn)一對洛倫茲力的理解和應(yīng)用1.定義：eq\o(□,\s\up1(1))運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中受到的力。2.大小(1)v∥B時(shí)，F(xiàn)洛＝eq\o(□,\s\up1(2))0。(2)v⊥B時(shí)，F(xiàn)洛＝eq\o(□,\s\up1(3))qvB。(3)v與B的夾角為θ時(shí)，F(xiàn)洛＝qvBsinθ。3.方向(1)判定方法：應(yīng)用左手定則，注意四指應(yīng)指向正電荷運(yùn)動(dòng)方向或負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。(2)方向特點(diǎn)：F洛⊥B，F(xiàn)洛⊥v。即F洛垂直于B、v決定的平面(注意B和v可以有任意夾角)。【判斷正誤】1.運(yùn)動(dòng)的電荷在磁場中一定會(huì)受到磁場力的作用。(×)2.洛倫茲力的方向在特殊情況下可能與帶電粒子的速度方向不垂直。(×)3.帶電粒子在A點(diǎn)受到的洛倫茲力比在B點(diǎn)大，則A點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度比B點(diǎn)的大。(×)1.洛倫茲力的特點(diǎn)(1)利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負(fù)電荷。(2)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中不一定受洛倫茲力作用。(3)洛倫茲力一定不做功。2.與安培力的聯(lián)系及區(qū)別(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場力。(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對運(yùn)動(dòng)電荷不做功。3.洛倫茲力與電場力的比較比較項(xiàng)目洛倫茲力電場力產(chǎn)生條件v≠0且v不與B平行電荷處在電場中大小F洛＝qvB(v⊥B)F＝qE力方向與場方向的關(guān)系F洛⊥B，F(xiàn)洛⊥vF∥E做功情況任何情況下都不做功可能做功，也可能不做功【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.(洛倫茲力的理解)下列說法正確的是()A.運(yùn)動(dòng)電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度不為零的地方，一定受到洛倫茲力的作用B.運(yùn)動(dòng)電荷在某處不受洛倫茲力作用，則該處的磁感應(yīng)強(qiáng)度一定為零C.洛倫茲力既不能改變帶電粒子的動(dòng)能，也不能改變帶電粒子的速度D.洛倫茲力對帶電粒子不做功解析：D運(yùn)動(dòng)電荷速度方向與磁場方向平行時(shí)，不受洛倫茲力，此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度不為零；洛倫茲力只改變帶電粒子的速度方向，不改變帶電粒子的速度大小；洛倫茲力對帶電粒子不做功。故D正確。2.(洛倫茲力的方向)圖中a、b、c、d為四根與紙面垂直的長直導(dǎo)線，其橫截面位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，導(dǎo)線中通有大小相等的電流，方向如圖所示。一帶正電的粒子從正方形中心O點(diǎn)沿垂直于紙面的方向向外運(yùn)動(dòng)，它所受洛倫茲力的方向是()A.向上 B.向下C.向左 D.向右解析：B根據(jù)題意，由安培定則可知，b、d兩通電直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場相抵消，a、c兩通電直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場方向均向左，所以四根通電直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的合磁場方向向左，由左手定則可判斷帶正電粒子所受洛倫茲力的方向向下，B正確。3.(洛倫茲力的大小)如圖所示，三根相互平行的固定長直導(dǎo)線L1、L2和L3垂直紙面放置，三根導(dǎo)線與坐標(biāo)原點(diǎn)分別位于邊長為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，L1與L3中的電流均為I，L2中的電流為2I，L1與L2中電流的方向均垂直紙面向外，L3中電流方向垂直紙面向里。已知距導(dǎo)線r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝eq\f(kI,r)(其中k為常數(shù))。某時(shí)刻，一電子(電荷量為e)正好沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)的速度大小為v，則電子此時(shí)所受洛倫茲力()A.方向垂直紙面向里，大小為eq\f(\r(2)kIev,a)B.方向垂直紙面向里，大小為eq\f(2kIev,a)C.方向垂直紙面向外，大小為eq\f(\r(2)kIev,a)D.方向垂直紙面向外，大小為eq\f(2kIev,a)解析：B根據(jù)安培定則，判斷三根導(dǎo)線分別在O點(diǎn)的磁場方向，由題意知，L1在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B1＝eq\f(kI,a)，方向水平向左，L2在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B2＝eq\f(\r(2)kI,a)，方向與x軸負(fù)方向成45°角向下，L3在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B3＝eq\f(kI,a)，方向豎直向上，所以合磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝eq\f(2kI,a)，方向沿x軸負(fù)方向，電子沿y軸正方向經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，由左手定則可知，洛倫茲力的方向垂直紙面向里，大小為F＝eq\f(2kIev,a)，故選B。4.(洛倫茲力作用下帶電體的運(yùn)動(dòng))如圖所示，一個(gè)粗糙且足夠長的斜面體靜止于水平面上，并處于方向垂直紙面向外且磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場中，質(zhì)量為m、帶電荷量為＋Q的小滑塊從斜面頂端由靜止下滑，在滑塊下滑的過程中，斜面體靜止不動(dòng)。下列說法中正確的是()A.滑塊受到的摩擦力逐漸增大B.滑塊沿斜面向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)C.滑塊最終要離開斜面D.滑塊最終可能靜止于斜面上解析：C滑塊受重力、支持力、垂直于斜面向上的洛倫茲力和沿斜面向上的摩擦力四個(gè)力的作用，初始時(shí)刻洛倫茲力為0，滑塊沿斜面向下加速運(yùn)動(dòng)，隨著速度v的增大，洛倫茲力增大，滑塊受到的支持力減小，則摩擦力減小，加速度增大，當(dāng)qvB＝mgcosθ時(shí)，滑塊離開斜面，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤?？键c(diǎn)二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)1.若v∥B，帶電粒子以入射速度v做eq\o(□,\s\up1(4))勻速直線運(yùn)動(dòng)。2.若v⊥B時(shí)，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度v做eq\o(□,\s\up1(5))勻速圓周運(yùn)動(dòng)。3.基本公式(1)向心力公式：qvB＝eq\o(□,\s\up1(6))meq\f(v2,R)。(2)軌道半徑公式：R＝eq\o(□,\s\up1(7))eq\f(mv,qB)。(3)周期公式：T＝eq\o(□,\s\up1(8))eq\f(2πm,qB)。提醒：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的周期與速率無關(guān)?！九袛嗾`】1.由于安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，所以洛倫茲力可能做功。(×)2.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)半徑與帶電粒子的比荷有關(guān)。(√)3.公式T＝eq\f(2πr,v)說明帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)周期T與v成反比。(×)比較項(xiàng)目基本思路圖例說明圓心的確定①與速度方向垂直的直線過圓心②弦的垂直平分線過圓心③軌跡圓弧與邊界切點(diǎn)的法線過圓心P、M點(diǎn)速度方向垂線的交點(diǎn)P點(diǎn)速度垂線與弦的垂直平分線交點(diǎn)某點(diǎn)的速度垂線與切點(diǎn)法線的交點(diǎn)半徑的確定利用平面幾何知識求半徑常用解三角形法例：(左圖)R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq\f(L2＋d2,2d)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定利用軌跡對應(yīng)圓心角θ或軌跡長度L求時(shí)間t＝eq\f(θ,2π)T，t＝eq\f(L,v)速度的偏轉(zhuǎn)角φ等于eq\o(AB,\s\up8(︵))所對的圓心角θ；偏轉(zhuǎn)角φ與弦切角α的關(guān)系：φ＜180°時(shí)，φ＝2α；φ＞180°時(shí)，φ＝360°－2α維度1直線邊界問題粒子進(jìn)出直線邊界勻強(qiáng)磁場時(shí)具有對稱性(如圖所示)。(a)(b)(c)一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab＝cd＝2L，bc＝de＝L，一束eq\o\al(4,2)He粒子在紙面內(nèi)從a點(diǎn)垂直于ab射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。已知粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q。則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子，其運(yùn)動(dòng)速率為()A.eq\f(3qBL,4m) B.eq\f(5qBL,4m)C.eq\f(5qBL,8m) D.eq\f(5qBL,6m)解析：B根據(jù)題意可知，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有qvB＝meq\f(v2,R)，又有T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB)，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡所對的圓心角為α，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝eq\f(α,2π)·T＝eq\f(αm,qB)可知，α越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，可知α越大則∠aOc越小，而∠aOc＝180°－∠Oac－∠Oca＝180°－2∠Oac，即當(dāng)圓弧經(jīng)過c點(diǎn)時(shí)∠Oac最大，此時(shí)α最大。由幾何關(guān)系有L2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2L－R))2＝R2，解得R＝eq\f(5,4)L，聯(lián)立可得v＝eq\f(qBR,m)＝eq\f(5qBL,4m)，故選B。維度2平行邊界問題粒子進(jìn)出平行邊界勻強(qiáng)磁場時(shí)存在臨界條件(如圖所示)。(a)(b)(c)如圖所示，平行邊界區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，比荷相同的帶電粒子a和b依次從O點(diǎn)垂直于磁場的左邊界射入，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從右邊界射出，帶電粒子a和b射出磁場時(shí)與磁場右邊界的夾角分別為30°和60°。不計(jì)粒子的重力，下列判斷正確的是()A.粒子a帶負(fù)電，粒子b帶正電B.粒子a和b在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑之比為1∶eq\r(3)C.粒子a和b在磁場中運(yùn)動(dòng)的速率之比為eq\r(3)∶1D.粒子a和b在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為1∶2解析：B粒子a向上偏轉(zhuǎn)，由左手定則可判斷，粒子a帶正電，而粒子b向下偏轉(zhuǎn)，則粒子b帶負(fù)電，故A錯(cuò)誤；如圖所示，由幾何關(guān)系可知，磁場寬度x＝Rasin60°＝Rbsin30°，解得Ra∶Rb＝1∶eq\r(3)，故B正確；由qvB＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\f(qBR,m)，比荷相同，磁場相同，則va∶vb＝Ra∶Rb＝1∶eq\r(3)，故C錯(cuò)誤；粒子運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2πm,qB)，則Ta＝Tb，a運(yùn)動(dòng)的時(shí)間ta＝eq\f(60°,360°)Ta＝eq\f(1,6)Ta，b運(yùn)動(dòng)的時(shí)間tb＝eq\f(30°,360°)Tb＝eq\f(1,12)Tb，故ta∶tb＝2∶1，故D錯(cuò)誤。維度3圓形邊界問題帶電粒子在圓形邊界的磁場中運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)特點(diǎn)(1)若粒子射入磁場時(shí)速度方向與入射點(diǎn)對應(yīng)半徑夾角為θ，則粒子射出磁場時(shí)速度方向與出射點(diǎn)對應(yīng)半徑夾角一定也為θ，如圖甲所示。(2)若粒子沿著邊界圓的某一半徑方向射入磁場，則粒子一定沿著另一半徑方向射出磁場(或者說粒子射出磁場的速度的反向延長線一定過磁場區(qū)域的圓心)，如圖乙所示。甲乙(2023·全國甲卷)(多選)光滑剛性絕緣圓筒內(nèi)存在著平行于軸的勻強(qiáng)磁場，筒上P點(diǎn)開有一個(gè)小孔，過P的橫截面是以O(shè)為圓心的圓，如圖所示。一帶電粒子從P點(diǎn)沿PO射入，然后與筒壁發(fā)生碰撞。假設(shè)粒子在每次碰撞前、后瞬間，速度沿圓上碰撞點(diǎn)的切線方向的分量大小不變，沿法線方向的分量大小不變、方向相反；電荷量不變。不計(jì)重力。下列說法正確的是()A.粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能通過圓心OB.最少經(jīng)2次碰撞，粒子就可能從小孔射出C.射入小孔時(shí)粒子的速度越大，在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短D.每次碰撞后瞬間，粒子速度方向一定平行于碰撞點(diǎn)與圓心O的連線解析：BD假設(shè)粒子帶負(fù)電，第一次從A點(diǎn)和筒壁發(fā)生碰撞如圖，O1為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，由幾何關(guān)系可知∠O1AO為直角，即粒子此時(shí)的速度方向?yàn)镺A，說明粒子在和筒壁碰撞時(shí)速度會(huì)反向，由圓的對稱性可知在其它點(diǎn)撞擊同理，D正確；假設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)過程過O點(diǎn)，則過P點(diǎn)的速度的垂線和OP連線的中垂線是平行的不能交于一點(diǎn)確定圓心，由圓形對稱性撞擊筒壁以后的A點(diǎn)的速度垂線和AO連線的中垂線依舊平行不能確定圓心，則粒子不可能過O點(diǎn)，A錯(cuò)誤；由題意可知粒子射出磁場以后的圓心組成的多邊形應(yīng)為以筒壁為內(nèi)接圓的多邊形，最少應(yīng)為三角形(如圖所示)，即撞擊兩次，B正確；速度越大粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越大，碰撞次數(shù)會(huì)可能增多，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間不一定減少，C錯(cuò)誤。故選BD。維度4環(huán)形磁約束模型臨界圓臨界半徑r＝eq\f(R1＋R2,2)r＝eq\f(R2－R1,2)勾股定理(R2－r)2＝R12＋r2解得r＝eq\f(R22－R12,2R2)真空中有一勻強(qiáng)磁場，磁場邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為()A.eq\f(3mv,2ae) B.eq\f(mv,ae)C.eq\f(3mv,4ae) D.eq\f(3mv,5ae)解析：C為使電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大時(shí)軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為r，圓心為M，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B，由幾何關(guān)系有eq\r(r2＋a2)＋r＝3a，解得r＝eq\f(4,3)a，電子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)有evB＝meq\f(v2,r)，解得B＝eq\f(3mv,4ae)，選項(xiàng)C正確。eq\a\vs4\al()帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法考點(diǎn)三帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于多種因素的影響，使問題形成多解。多解形成原因一般包含4個(gè)方面：1.帶電粒子電性不確定受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解。2.磁場方向不確定在只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成多解。3.帶電粒子速度不確定形成多解有些題目只告訴了帶電粒子的電性，但未具體指出速度的大小或方向，此時(shí)必須要考慮由于速度的不確定而形成的多解。4.帶電粒子運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解空間中存在周期性變化的磁場，帶電粒子在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有周期性，因而形成多解。如圖所示，邊長為L的正三角形ACD是用絕緣材料制成的固定框架，處在垂直框架平面向里的勻強(qiáng)磁場中，AD邊的中點(diǎn)有一小孔S。在框架平面內(nèi)垂直AD方向從小孔S射入質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子。已知粒子射入框架時(shí)速率為v，與框架的碰撞為彈性碰撞，粒子重力忽略不計(jì)。(1)若粒子第一次與AC碰撞的位置為AC的中點(diǎn)，求勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；(2)若此粒子經(jīng)過與框架的多次碰撞最終能垂直AD方向從小孔S射出，求所有滿足條件的勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和粒子在框架內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。解析：(1)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示。設(shè)軌跡半徑為R，圖1由幾何關(guān)系可知R＝eq\f(L,2)由牛頓第二定律可知qvB＝meq\f(v2,R)聯(lián)立解得B＝eq\f(2mv,qL)。(2)要使粒子最終能垂直AD方向從小孔S射出，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的圓心一定位于△ACD的邊上，設(shè)該粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，作出粒子最簡單的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，由幾何關(guān)系得eq\f(L,2)＝2nr＋r(n＝0，1，2，…)圖2解得r＝eq\f(L,4n＋2)(n＝0，1，2，…)設(shè)該磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B′，則qvB′＝meq\f(v2,r)解得B′＝eq\f(mv（4n＋2）,qL)(n＝0，1，2，…)由T＝eq\f(2πr,v)解得T＝eq\f(2πL,v（4n＋2）)(n＝0，1，2，…)則粒子在框架內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60°,360°)T＋2n\f(T,2)))＝eq\f(T,2)(6n＋1)＝eq\f(πL（6n＋1）,v（4n＋2）)(n＝0，1，2，…)。答案：(1)eq\f(2mv,qL)(2)eq\f(mv（4n＋2）,qL)(n＝0，1，2，…)eq\f(πL（6n＋1）,v（4n＋2）)(n＝0，1，2，…)【對點(diǎn)訓(xùn)練】5.(帶電粒子電性不確定形成多解)如圖所示，寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，MM′和NN′是它的兩條邊界。現(xiàn)有質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子沿圖示方向垂直磁場射入。要使粒子不能從邊界NN′射出，則粒子入射速度v的最大值可能是多少？解析：題目中只給出粒子“電荷量為q”，未說明是帶哪種電荷。若q為正電荷，入射速度最大時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中上方與NN′相切的eq\f(1,4)圓弧，軌跡半徑R＝eq\f(mv,Bq)又d＝R－Rcos45°解得v＝eq\f(（2＋\r(,2)）Bqd,m)。若q為負(fù)電荷，入射速度最大時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中下方與NN′相切的eq\f(3,4)圓弧，則有R′＝eq\f(mv′,Bq)，d＝R′＋R′cos45°，解得v′＝eq\f(（2－\r(,2)）Bqd,m)。答案：eq\f(（2＋\r(,2)）Bqd,m)(q為正電荷)或eq\f(（2－\r(2)）Bqd,m)(q為負(fù)電荷)6.(磁場方向不確定形成多解)(多選)如圖所示，A點(diǎn)的離子源沿紙面垂直O(jiān)Q方向向上射出一束負(fù)離子，離子的重力忽略不計(jì)。為把這束負(fù)離子約束在OP之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場。已知O、A兩點(diǎn)間的距離為s，負(fù)離子的比荷為eq\f(q,m)，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，則所加勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向可能是()A.B＞eq\f(mv,3qs)，垂直紙面向里B.B＞eq\f(mv,qs)，垂直紙面向里C.B＞eq\f(mv,qs)，垂直紙面向外D.B＞eq\f(3mv,qs)，垂直紙面向外解析：BD當(dāng)磁場方向垂直紙面向里時(shí)，離子恰好與OP相切的軌跡如圖甲所示，切點(diǎn)為M，設(shè)軌跡半徑為r1，由幾何關(guān)系可知，sin30°＝eq\f(r1,s＋r1)，可得r1＝s，由r1＝eq\f(mv,qB1)可得B1＝eq\f(mv,qs)；當(dāng)磁場方向垂直紙面向外時(shí)，其臨界軌跡，即圓弧與OP相切于N點(diǎn)，如圖乙所示，由幾何關(guān)系s＝eq\f(r2,sin30°)＋r2，得r2＝eq\f(s,3)，又r2＝eq\f(mv,qB2)，所以B2＝eq\f(3mv,qs)，綜合上述分析可知，選項(xiàng)B、D正確，A、C錯(cuò)誤。甲乙7.(帶電粒子速度不確定形成多解)(多選)如圖所示，兩方向相反、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的勻強(qiáng)磁場被邊長為L的等邊三角形ABC邊界分開，三角形內(nèi)磁場方向垂直紙面向里，三角形頂點(diǎn)A處有一質(zhì)子源，能沿∠BAC的角平分線發(fā)射速度不同的質(zhì)子(質(zhì)子重力不計(jì))，所有質(zhì)子均能通過C點(diǎn)，質(zhì)子比荷eq\f(q,m)＝eq\f(1,k)，則質(zhì)子的速度可能為()A.eq\f(BL,k) B.eq\f(BL,2k)C.eq\f(2BL,3k) D.eq\f(BL,8k)解析：ABD質(zhì)子帶正電，且經(jīng)過C點(diǎn)，其可能的軌跡如圖所示。所有圓弧所對圓心角均為60°，所以質(zhì)子運(yùn)行半徑為r＝eq\f(L,n)(n＝1，2，3，…)，質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得qvB＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\f(qBr,m)＝eq\f(BL,kn)(n＝1，2，3，…)，故A、B、D正確，C錯(cuò)誤。8.(帶電粒子運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解)如圖甲所示，M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔O、O′正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖乙所示。有一群正離子在t＝0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場。已知正離子質(zhì)量為m、帶電荷量為q，正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計(jì)離子所受重力。求：甲乙(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大??；(2)要使正離子從O′垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時(shí)的速度v0的可能值。解析：(1)設(shè)垂直于紙面向里的磁場方向?yàn)檎较?。正離子射入磁場，洛倫茲力提供向心力qB0v0＝meq\f(v02,R)正離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T0＝eq\f(2πR,v0)聯(lián)立可得磁感應(yīng)強(qiáng)度B0＝eq\f(2πm,qT0)。(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示兩板之間正離子只運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期T0時(shí)，有R＝eq\f(d,4)當(dāng)兩板之間正離子運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期nT0時(shí)，有R＝eq\f(d,4n)(n＝1，2，3，…)聯(lián)立解得正離子的速度的可能值為v0＝eq\f(B0qR,m)＝eq\f(πd,2nT0)(n＝1，2，3，…)答案：(1)eq\f(2πm,qT0)(2)eq\f(πd,2nT0)(n＝1，2，3，…)考點(diǎn)四帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題1.兩種思路(1)以定理、定律為依據(jù)，首先求出所研究問題的一般規(guī)律和一般解的形式，然后分析、討論處于臨界條件時(shí)的特殊規(guī)律和特殊解。(2)直接分析、討論臨界狀態(tài)，找出臨界條件，從而通過臨界條件求出臨界值。2.兩種方法(1)物理方法：①利用臨界條件求極值；②利用邊界條件求極值；③利用矢量圖求極值。(2)數(shù)學(xué)方法：①用三角函數(shù)求極值；②用二次方程的判別式求極值；③用不等式的性質(zhì)求極值；④圖像法求極值；⑤用導(dǎo)數(shù)求極值。3.關(guān)鍵突破口許多臨界問題，題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語對臨界狀態(tài)給以暗示，審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱藏的規(guī)律，找出臨界條件。(多選)如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。大量質(zhì)量為m、電荷量為＋q的同種粒子以相同的速度沿紙面垂直于ab邊射入磁場區(qū)，結(jié)果在bc邊僅有一半的區(qū)域內(nèi)有粒子射出。已知bc邊的長度為L，bc和ac的夾角為60°，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用力。下列說法正確的是()A.粒子的入射速度為eq\f(BqL,4m)B.粒子的入射速度為eq\f(\r(3)BqL,6m)C.粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最大軌跡長度為eq\f(πL,4)D.從bc邊射出的粒子在磁場內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為eq\f(πm,2Bq)解析：AC粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，有r＝eq\f(mv,Bq)，因bc邊只有一半?yún)^(qū)域有粒子射出，在bc邊中點(diǎn)射出的粒子軌跡如圖中實(shí)線所示，由幾何關(guān)系可得r＝eq\f(L,4)，則粒子的入射速度v＝eq\f(BqL,4m)，所以A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長軌跡為s＝πr＝eq\f(πL,4)，所以C項(xiàng)正確；與bc邊相切，恰從bc邊射出的粒子對應(yīng)的圓心角最大為eq\f(2π,3)，從bc邊射出的粒子在磁場內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為t＝eq\f(2πm,3Bq)，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤?！緦c(diǎn)訓(xùn)練】9.(直線邊界中的臨界極值問題)(多選)長為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖所示。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離也為l，極板不帶電?，F(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是()A.使粒子的速度v＜eq\f(Bql,4m)B.使粒子的速度v＞eq\f(5Bql,4m)C.使粒子的速度v＞eq\f(Bql,m)D.使粒子的速度eq\f(Bql,4m)＜v＜eq\f(5Bql,4m)解析：AB若帶電粒子剛好打在極板右邊緣，有r12＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r1－\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋l2，又因?yàn)閞1＝eq\f(mv1,Bq)，解得v1＝eq\f(5Bql,4m)；若粒子剛好打在極板左邊緣時(shí)，有r2＝eq\f(l,4)＝eq\f(mv2,Bq)，解得v2＝eq\f(Bql,4m)，故A、B正確。10.(圓形邊界中的臨界極值問題)(多選)地磁場可以減少宇宙射線中帶電粒子對地球上生物體的危害。為研究地磁場，某研究小組模擬了一個(gè)地磁場，如圖所示，模擬地球半徑為R，赤道剖面外地磁場可簡化為包圍地球、厚度為d、方向垂直該剖面的勻強(qiáng)磁場(磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B)，d＝2R。磁場邊緣某處(未畫出)有一粒子源，可在赤道平面內(nèi)以不同速度向各個(gè)方向射入某種帶正電粒子。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒子速度為2v時(shí)，沿半徑方向射入磁場的粒子恰不能到達(dá)模擬地球。不計(jì)粒子重力及大氣對粒子運(yùn)動(dòng)的影響，且不考慮相對論效應(yīng)。則()A.粒子的比荷eq\f(q,m)＝eq\f(v,2BR)B.粒子的比荷eq\f(q,m)＝eq\f(v,BR)C.速度為v的粒子，到達(dá)模擬地球的最短時(shí)間為tmin＝eq\f(3πR,2v)D.速度為v的粒子，到達(dá)模擬地球的最短時(shí)間為tmin＝eq\f(2πR,3v)解析：AD如圖甲所示，設(shè)該粒子軌跡半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋r))2＝r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3R))2，解得r＝4R，又q·2vB＝meq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2v))2,r)，解得eq\f(q,m)＝eq\f(v,2BR)，故A正確，B錯(cuò)誤；速度為v的粒子進(jìn)入磁場有qvB＝meq\f(v2,r′)，則r′＝2R，若要時(shí)間最短，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的弧長最短，粒子運(yùn)動(dòng)半徑等于大氣層厚度，如圖乙所示，粒子運(yùn)動(dòng)的圓心角為60°，最短時(shí)間為tmin＝eq\f(60°,360°)·eq\f(2πm,qB)＝eq\f(2πR,3v)，故D正確，C錯(cuò)誤；故選AD。甲乙素養(yǎng)培優(yōu)10三類典型的“動(dòng)態(tài)圓”模型模型1“放縮圓”模型的應(yīng)用適用條件速度方向一定，大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變化而變化軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情境)，速度v越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上界定方法以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法(多選)如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)。一個(gè)帶正電的粒子僅在磁場力的作用下，從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間t0后剛好從c點(diǎn)射出磁場。現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形內(nèi)，下列說法中正確的是()A.所有從cd邊射出磁場的該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間都是eq\f(5,3)t0B.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間是eq\f(2,3)t0，則它一定從ad邊射出磁場C.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間是eq\f(5,4)t0，則它一定從bc邊射出磁場D.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間是eq\f(1,3)t0＜t＜eq\f(5,6)t0，則它一定從ab邊射出磁場解析：ACD如圖所示，作出帶電粒子以與Od成30°角的方向的速度射入正方形內(nèi)時(shí)，剛好從ab邊射出的軌跡①、剛好從bc邊射出的軌跡②、從cd邊射出的軌跡③和剛好從ad邊射出的軌跡④。由從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場可知，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期是2t0。由圖中幾何關(guān)系可知，從ad邊射出磁場經(jīng)歷的時(shí)間一定小于eq\f(1,3)t0；從ab邊射出磁場經(jīng)歷的時(shí)間一定大于eq\f(1,3)t0，小于eq\f(5,6)t0；從bc邊射出磁場經(jīng)歷的時(shí)間一定大于eq\f(5,6)t0，小于eq\f(4,3)t0；從cd邊射出磁場經(jīng)歷的時(shí)間一定是eq\f(5,3)t0。故選ACD。模型2“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用適用方法速度大小一定，方向不同粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R＝eq\f(mv0,qB)(如圖所示)軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R＝eq\f(mv0,qB)的圓上界定方法將一半徑為R＝eq\f(mv0,qB)的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法如圖所示，圓形區(qū)域有一勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，邊界跟y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O。O點(diǎn)處有一放射源，沿紙面向各方向射出速率均為v的某種帶電粒子，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是圓形磁場區(qū)域半徑的兩倍。已知該帶電粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，不考慮帶電粒子的重力。(1)推導(dǎo)帶電粒子在磁場空間做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑；(2)求帶電粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角。解析：(1)帶電粒子進(jìn)入磁場后，受洛倫茲力作用，由牛頓第二定律得Bqv＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(mv,Bq)。(2)粒子的速率均相同，因此粒子軌跡圓的半徑均相同，但粒子射入磁場的速度方向不確定，故可以保持圓的大小不變，只改變圓的位置，畫出“動(dòng)態(tài)圓”，如圖甲所示，通過“動(dòng)態(tài)圓”可以觀察到粒子運(yùn)動(dòng)軌跡均為劣弧，對于劣弧而言，弧越長，弧所對應(yīng)的圓心角越大，偏轉(zhuǎn)角越大，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長，當(dāng)粒子的軌跡圓的弦長等于磁場直徑時(shí)，粒子在磁場空間的偏轉(zhuǎn)角最大，如圖乙所示，則sineq\f(φmax,2)＝eq\f(R,r)＝eq\f(1,2)，即φmax＝60°。甲乙答案：(1)見解析(2)60°模型3“平移圓”模型的應(yīng)用適用條件速度大小一定，方向一定，但入射點(diǎn)在同一直線上粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同但在同一直線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線，該直線與入射點(diǎn)的連線平行界定方法將半徑為R＝eq\f(mv0,qB)的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法(多選)如圖所示，等腰直角三角形區(qū)域分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，腰長AB＝2m，O為BC的中點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.25T，一群質(zhì)量m＝1×10－7kg，電荷量q＝－2×10－3C的帶電粒子以速度v＝5×103m/s垂直于BO，從BO之間射入磁場區(qū)域，帶電粒子不計(jì)重力，則()A.在AC邊界上有粒子射出的長度為(eq\r(2)－1)mB.C點(diǎn)有粒子射出C.在AB邊界上有粒子射出的長度為1mD.磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長粒子從底邊距B點(diǎn)(eq\r(2)－1)m處入射解析：ACD粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，則有Bqv＝meq\f(v2,R)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(10－7×5×103,2×10－3×0.25)m＝1m，作出粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，如圖所示，由圖可知，能從AC邊射出粒子的長度為eq\o(\s\up4(—),\s\do4(DE))＝eq\r(2)R－R＝(eq\r(2)－1)m，故A正確；由圖可知，粒子不可能到達(dá)C點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；由圖可知，在AB邊界上有粒子射出的長度為BF＝R＝1m，故C正確；磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長粒子運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，軌跡與AB、AC相切，由圖可知從底邊距B點(diǎn)(eq\r(2)－1)m處入射，故D正確。故選ACD。限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練42[基礎(chǔ)鞏固題組]1.(2023·海南卷)如圖所示，帶正電的小球豎直向下射入垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，關(guān)于小球運(yùn)動(dòng)和受力說法正確的是()A.小球剛進(jìn)入磁場時(shí)受到的洛倫茲力水平向右B.小球運(yùn)動(dòng)過程中的速度不變C.小球運(yùn)動(dòng)過程的加速度保持不變D.小球受到的洛倫茲力對小球做正功解析：A根據(jù)左手定則，可知小球剛進(jìn)入磁場時(shí)受到的洛倫茲力水平向右，A正確；小球受洛倫茲力和重力的作用，則小球運(yùn)動(dòng)過程中速度和加速度的大小、方向都在變，BC錯(cuò)誤；洛倫茲力永不做功，D錯(cuò)誤。故選A。2.(多選)如圖所示，粗糙木板MN豎直固定在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中。t＝0時(shí)，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電物塊沿MN以某一初速度豎直向下滑動(dòng)，則物塊運(yùn)動(dòng)的v-t圖像可能是()解析：ACD設(shè)初速度為v0，則FN＝Bqv0，若滿足mg＝Ff＝μFN，即mg＝μBqv0，物塊向下做勻速運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A正確；若mg＞μBqv0，則物塊開始有向下的加速度，由a＝eq\f(mg－μBqv,m)可知，隨速度增加，加速度減小，即物塊先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，最后達(dá)到勻速狀態(tài)，選項(xiàng)D正確；若mg＜μBqv0，則物塊開始有向上的加速度，做減速運(yùn)動(dòng)，由a＝eq\f(μBqv－mg,m)可知，隨速度減小，加速度減小，即物塊先做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，最后達(dá)到勻速狀態(tài)，則選項(xiàng)C正確。3.(2022·北京卷)正電子是電子的反粒子，與電子質(zhì)量相同、帶等量正電荷。在云室中有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，從P點(diǎn)發(fā)出兩個(gè)電子和一個(gè)正電子，三個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中1、2、3所示。下列說法正確的是()A.磁場方向垂直于紙面向里B.軌跡1對應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)速度越來越大C.軌跡2對應(yīng)的粒子初速度比軌跡3的大D.軌跡3對應(yīng)的粒子是正電子解析：A三個(gè)粒子從P點(diǎn)射入磁場，軌跡偏轉(zhuǎn)方向相同的帶同種電荷，所以軌跡2對應(yīng)的粒子是正電子，1、3為電子，故D錯(cuò)誤；由左手定則可判斷，磁場方向垂直紙面向里，故A正確；對于軌跡1的粒子運(yùn)動(dòng)半徑越來越小，由r＝eq\f(mv,qB)知，運(yùn)動(dòng)速度越來越小，B錯(cuò)誤；對于軌跡2和軌跡3兩種粒子，由于初始半徑r2＜r3，由r＝eq\f(mv,qB)知v2＜v3，故C錯(cuò)誤。4.(多選)如圖所示的虛線框?yàn)橐徽叫螀^(qū)域，該區(qū)域內(nèi)有一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一帶電粒子從a點(diǎn)沿與ab邊成30°角方向射入磁場，恰好從b點(diǎn)飛出磁場；另一帶電粒子以相同的速率從a點(diǎn)沿ad方向射入磁場后，從c點(diǎn)飛出磁場，不計(jì)重力，則兩帶電粒子的比荷之比及在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比分別為()A.eq\f(q1,m1)∶eq\f(q2,m2)＝1∶1 B.eq\f(q1,m1)∶eq\f(q2,m2)＝2∶1C.t1∶t2＝2∶3 D.t1∶t2＝1∶3解析：AC兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示；設(shè)正方形區(qū)域邊長為L，則從b點(diǎn)飛出的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r1＝L；從c點(diǎn)飛出的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r2＝L；根據(jù)qv0B＝meq\f(v02,r)，可得eq\f(q,m)＝eq\f(v0,Br)，則eq\f(q1,m1)∶eq\f(q2,m2)＝1∶1，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)T＝eq\f(2πm,qB)可知，兩粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，兩粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的角度分別為60°和90°，根據(jù)t＝eq\f(θ,2π)T，可得t1∶t2＝60°∶90°＝2∶3，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。5.(多選)如圖所示，在坐標(biāo)系的y軸右側(cè)存在有理想邊界的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場的寬度為d，磁場方向垂直于xOy平面向里。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為－q(q>0)的帶電粒子，從原點(diǎn)O射入磁場，速度方向與x軸正方向成30°角，粒子恰好不從右邊界射出，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從y軸上的某點(diǎn)離開磁場。忽略粒子重力。關(guān)于該粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)情況，下列說法正確的是()A.它的軌跡半徑為eq\f(2,3)dB.它進(jìn)入磁場時(shí)的速度為eq\f(2qBd,3m)C.它在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(2πm,3qB)D.它的運(yùn)動(dòng)軌跡與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\r(3)d解析：AB粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，r＋rsin30°＝d，解得粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r＝eq\f(2,3)d，故A正確；由qvB＝meq\f(v2,r)，r＝eq\f(2,3)d，聯(lián)立解得粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v＝eq\f(qBr,m)＝eq\f(2qBd,3m)，故B正確；T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB)，如圖由幾何關(guān)系知t＝eq\f(2,3)T，解得粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝eq\f(4πm,3qB)，故C錯(cuò)誤；粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y＝－2rcos30°＝－eq\f(2\r(3),3)d，故D錯(cuò)誤。6.如圖，在坐標(biāo)系的第一和第二象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為eq\f(1,2)B和B、方向均垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子垂直于x軸射入第二象限，隨后垂直于y軸進(jìn)入第一象限，最后經(jīng)過x軸離開第一象限。粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為()A.eq\f(5πm,6qB) B.eq\f(7πm,6qB)C.eq\f(11πm,6qB) D.eq\f(13πm,6qB)解析：B設(shè)帶電粒子進(jìn)入第二象限的速度為v，在第二象限和第一象限中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，對應(yīng)的軌跡半徑分別為R1和R2，由洛倫茲力提供向心力，有qvB＝meq\f(v2,R)、T＝eq\f(2πR,v)，可得R1＝eq\f(mv,qB)、R2＝eq\f(2mv,qB)、T1＝eq\f(2πm,qB)、T2＝eq\f(4πm,qB)，帶電粒子在第二象限中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1＝eq\f(T1,4)，在第一象限中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2＝eq\f(θ,2π)T2，又由幾何關(guān)系有cosθ＝eq\f(R2－R1,R2)＝eq\f(1,2)，可得t2＝eq\f(T2,6)，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝t1＋t2，聯(lián)立以上各式解得t＝eq\f(7πm,6qB)，選項(xiàng)B正確，A、C、D錯(cuò)誤。7.如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域(含邊界)內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，∠a＝60°，∠b＝90°，邊長ab＝L，一個(gè)粒子源在b點(diǎn)將質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子以大小和方向不同的速度射入磁場，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子中，速度的最大值是(不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用)()A.eq\f(qBL,2m) B.eq\f(qBL,3m)C.eq\f(\r(3)qBL,2m) D.eq\f(\r(3)qBL,3m)解析：D由左手定則和題意知，沿ba方向射出的粒子在三角形磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，速度最大時(shí)的軌跡恰與ac相切，軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可得最大半徑r＝Ltan30°＝eq\f(\r(3),3)L，由洛倫茲力提供向心力得qvmB＝meq\f(vm2,r)，從而求得最大速度vm＝eq\f(\r(3)qBL,3m)，選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，D正確。[能力提升題組]8.(多選)如圖所示，在圓形邊界的磁場區(qū)域，氕核eq\o\al(1,1)H和氘核eq\o\al(2,1)H先后從P點(diǎn)沿圓形邊界的直徑入射，從射入磁場到射出磁場，氕核eq\o\al(1,1)H和氘核eq\o\al(2,1)H的速度方向分別偏轉(zhuǎn)了60°和120°角，已知氕核eq\o\al(1,1)H在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t0，軌跡半徑為R，則()A.氘核eq\o\al(2,1)H在該磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2t0B.氘核eq\o\al(2,1)H在該磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4t0C.氘核eq\o\al(2,1)H在該磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為eq\f(1,2)RD.氘核eq\o\al(2,1)H