第2章圓錐曲線（單元培優(yōu)卷）

第2章圓錐曲線（單元培優(yōu)卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，16題每題4分，712題每題5分，1．已知拋物線經(jīng)過點，則此拋物線的準線方程是．【分析】根據(jù)題意建立方程求出，再根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解．【解答】解：拋物線經(jīng)過點，，，該拋物線的準線方程是．故答案為：．【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．2．直線被圓截得的弦長為．【分析】利用點到直線的距離公式，結(jié)合圓的弦長公式計算即得．【解答】解：圓的圓心，半徑，點到直線的距離，所以所求弦長為．故答案為：．【點評】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．從某個角度觀察籃球（如圖，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的離心率為．【分析】設(shè)圓半徑為，利用半徑表示出和圓上第一象限的八等分點的坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得，然后可得離心率．【解答】解：設(shè)圓半徑為，雙曲線方程為．已知，得，設(shè)雙曲線與圓在第一象限的交點為，則，代入雙曲線方程，得，解得．．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運算求解能力，是中檔題．4．已知雙曲線左右焦點分別為、，點為右支上一動點，圓與的延長線、的延長線和線段都相切，則1．【分析】畫出圖形，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的定義，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)圓與的延長線、的延長線和線段分別切于點，，，連接，則，，，由雙曲線方程為，可得，，，又為右支上的一動點，，又，，，由題意可知，又，，，．故答案為：1．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的運算，屬中檔題．5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交該雙曲線于點、，且，，則△的面積為24．【分析】設(shè)，則根據(jù)題意可知，，，，又易知，在△中，由勾股定理建立方程，即可求解．【解答】解：設(shè)，則根據(jù)題意可知，，，，又易知，在△中，由勾股定理可得：，解得，又，，，△的面積為．故答案為：24．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬中檔題．6．已知拋物線的焦點是雙曲線的右焦點，過點的直線的法向量，與軸以及的左支分別相交，兩點，若，則雙曲線的實軸長為2．【分析】求出直線的方程，可得點的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運算可求出點的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合，可得，的值，從而可得實軸長．【解答】解：由拋物線方程知，，又直線的法向量，所以直線的方程為，令，得，所以，設(shè)，，由，得，，，所以，，代入雙曲線方程，得，因為拋物線的焦點是雙曲線的右焦點，所以，解得，，所以雙曲線的實軸長．故答案為：2．【點評】本題主要考查拋物線與雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．7．已知拋物線與橢圓有公共焦點，橢圓的另一個焦點為，是這兩曲線的一個交點，則△的面積為．【分析】利用拋物線方程得出焦點坐標(biāo)，從而得出橢圓方程，聯(lián)立橢圓與拋物線可求出坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式計算焦點三角形的面積即可．【解答】解：拋物線的焦點坐標(biāo)為，，；橢圓方程為，聯(lián)立，得，或（舍去），，即點，又，．故答案為：．【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，拋物線的幾何性質(zhì)，屬中檔題．8．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過點且垂直軸的直線與交于，兩點，且，若圓與的一條漸近線交于，兩點，則．【分析】令，求得，解直角三角形可得雙曲線的漸近線方程，再由直線和圓相交的弦長公式，計算可得所求弦長．【解答】解：設(shè)，令，可得，即有，可得，解得，即有，所以漸近線方程為，由對稱性，不妨取進行計算，由圓心到直線的距離，可得弦長．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．9．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線一定經(jīng)過另一個焦點．已知雙曲線，如圖從的一個焦點射出的光線，經(jīng)過，兩點反射后，分別經(jīng)過點和．若，則的離心率為．【分析】分別延長，交雙曲線的左焦點為，根據(jù)題意得，且，設(shè)，則，，設(shè)，則，再根據(jù)求出的值，從而可得，，再根據(jù)離心率的定義即可求解．【解答】解：如圖，分別延長，交雙曲線的左焦點為，因為，兩邊平方得，，所以，因為，所以，設(shè)，則，，設(shè)，則，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，，所以離心率為．故答案為：．【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．10．參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過的橢圓，但他自己還是不太確定這個想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點（切點）就是影子橢圓的焦點．他在家里做了個探究實驗：如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑為1個單位長度，在球的右上方有一個燈泡（當(dāng)成質(zhì)點），燈泡與桌面的距離為4個單位長度，燈泡垂直照射在平面的點為，影子橢圓的右頂點到點的距離為3個單位長度，則這個影子橢圓的離心率．【分析】建立直角坐標(biāo)系，由題意可知，，，求得直線的方程，利用點到直線的距離公式求得、的坐標(biāo)，再利用到的距離求得點坐標(biāo)，則可得出，，求解，即可得到橢圓的離心率．【解答】解：以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，，由題意可得，，則，，設(shè)，，則到的距離，解得（舍去）．，則，又設(shè)，由，得．，則，得，，，解得．橢圓的離心率．故答案為：．【點評】本題考查橢圓離心率的求法，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求解與，屬難題．11．已知拋物線的焦點為，經(jīng)過的直線與拋物線交于，兩點，設(shè)點在拋物線的準線上，若是等腰直角三角形，則或8．【分析】根據(jù)拋物線方程可得焦點坐標(biāo)和準線方程，分別對直角頂點進行分類討論，利用三角形相似以及焦點弦公式列方程即可解得的取值為或8．【解答】解：易知拋物線的焦點為，準線方程為，設(shè)直線的方程為，，，，，，設(shè)的中點為，，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，顯然△，則，，則，可得，因為是等腰直角三角形，當(dāng)點為直角頂點時，過點作軸的垂線，過點作，垂足為，過點作，垂足為，如下圖所示：易知，，，所以，可得，，可得，又，所以，即，解得，可得，所以，同理可得當(dāng)點為直角頂點時，；當(dāng)點為直角頂點時，點在以為直徑的圓上，如下圖所示：易知線段的中點為，，可得以為直徑的圓的方程為，當(dāng)時，解得，即，此時與軸平行，又是等腰直角三角形，所以，即直線與軸垂直，顯然此時，，，滿足題意．故答案為：或8．【點評】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查運算求解能力，是難題．12．設(shè)、是兩個實數(shù)，且滿足，直線和圓交于兩點后、，若對于任意的，，均存在正數(shù)，使得的面積均不小于，則的最大值為．【分析】設(shè)到直線的距離為，利用三角形的面積均不小于列不等式，由此求得的取值范圍，再利用點到直線的距離公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的不等式根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍，由此求得關(guān)于，的不等式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的最大值．【解答】解：設(shè)到直線的距離為，則，解得，即，所以，因為，，時，，所以，因為存在滿足條件，所以，化簡得，且，由得，所以，因為，解不等式無解，所以（a）在，上單調(diào)遞減，所以，故的最大值為．故答案為：．【點評】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。13．如果直線經(jīng)過雙曲線的中心，且與該雙曲線不相交，則的斜率的取值范圍是A． B． C． D．【分析】設(shè)直線方程為，與雙曲線聯(lián)立消去得，，因為直線與該雙曲線不相交，所以方程沒有實數(shù)根，所以，即可求出答案．【解答】解：依題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，雙曲線的中心為，因為直線經(jīng)過雙曲線的中心，所以設(shè)直線方程為，由，消去得，，因為直線與該雙曲線不相交，所以方程沒有實數(shù)根，所以，即，解得或，所以直線的斜率的取值范圍是：．故選：．【點評】本題考查直線與雙曲線的交點問題，屬于中檔題．14．中記載了我國古代數(shù)學(xué)家祖暅在計算球的體積時使用的一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，此即祖暅原理．已知雙曲線，若雙曲線右焦點到漸近線的距離記為，雙曲線的兩條漸近線與直線，以及雙曲線的右支圍成的圖形（如圖中陰影部分所示）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（其中，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)點到直線的距離公式得，利用祖暅原理求解體積，即可根據(jù)離心率公式求解．【解答】解：焦點到的距離，令，可得截面為一個圓環(huán)．由可得；由，解得．所以截面的面積為，由對稱性和祖暅原理可得所得幾何體的體積為，即有，即有，即，故，所以．故選：．【點評】本題考查雙曲線的離心率的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．15．在平面上，若曲線具有如下性質(zhì)：存在點，使得對于任意點，都有使得．則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”．判斷下列兩個命題的真假①所有橢圓都是“自相關(guān)曲線”．②存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線．A．①假命題；②真命題 B．①真命題；②假命題 C．①真命題；②真命題 D．①假命題；②假命題【分析】由新定義求解曲線上任一點到定點距離的取值范圍，當(dāng)任意，都有時，曲線滿足定義，結(jié)合橢圓與雙曲線的性質(zhì)判斷．【解答】解：對于①，不妨設(shè)橢圓方程為，，則橢圓上一點到距離為，當(dāng)時，對稱軸，可得，，總存在使得，此時滿足題意，故任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”，故①正確，對于②，對于給定的雙曲線和點，顯然存在最小值，而橫坐標(biāo)趨近于無窮大時，趨近于無窮大，，，故不滿足題意，不存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，故②錯誤．故選：．【點評】本題考查曲線與方程的關(guān)系，關(guān)鍵在于新定義的理解，轉(zhuǎn)化為求曲線上任一點到定點距離的取值范圍，再結(jié)合橢圓與雙曲線的性質(zhì)判斷即可，屬于中檔題．16．已知橢圓的左、右焦點分別是，，若離心率，則稱橢圓為“黃金橢圓”．則下列三個命題中正確命題的個數(shù)是①在黃金橢圓中，；②在黃金橢圓中，若上頂點、右頂點分別為，，則；③在黃金橢圓中，以，，，為頂點的菱形的內(nèi)切圓過焦點，．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】本道題結(jié)合橢圓的基本性質(zhì)，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，建立等式，證明，即可．【解答】解：對于①，因為，所以，又，故，所以，，成等比數(shù)列，故①正確；對于②，如圖，由題可知，，又因為，，所以，所以△為直角三角形，即，故②正確；對于③，如圖所示，設(shè)與內(nèi)切圓相切于點，連接，由切線性質(zhì)可知，則，將代入上式，可得，即內(nèi)切圓半徑為，所以內(nèi)切圓過兩個焦點，故③正確．故選：．【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較難題目．三、解答題（本大題共有5題78分，1719題每題14分，20/21每題18分），解答下列各題必須寫出必要的步驟。17．已知直線和圓．（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓截得的弦長；（2）求過點且與圓相切的直線方程．【分析】（1）利用點到直線的距離公式以及直線與圓的位置關(guān)系求解；（2）利用直線與圓相切，以及點到直線的距離公式的關(guān)系求解．【解答】解：（1）由圓可得，圓心，半徑，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，直線被圓截得的弦長為．（2）若過點的直線斜率不存在，則方程為，此時圓心到直線的距離為，滿足題意；若過點且與圓相切的直線斜率存在，則設(shè)切線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，所以切線方程為，即，綜上，過點且與圓相切的直線方程為或．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．18．如圖，已知橢圓和拋物線，的焦點是的上頂點，過的直線交于、兩點，連接、并延長之，分別交于、兩點，連接，設(shè)、的面積分別為、．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意即可求出的值．（2）設(shè)直線的方程為，點，、，，聯(lián)立直線與拋物線，即可得出的值．（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)點所在象限和均值不等式，即可得出答案．【解答】解：（1）拋物線的焦點為，故．（2）若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點，、，，聯(lián)立，可得，△恒成立，則，．（3）設(shè)直線、的斜率分別為、，其中，，聯(lián)立，可得，解得，點在第三象限，則，點在第四象限，同理可得，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．的取值范圍為，．【點評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題．19．已知橢圓的上頂點為，離心率，過點的直線與橢圓交于，兩點，直線、分別與軸交于點、．（1）求橢圓的方程；（2）已知命題“對任意直線，線段的中點為定點”為直命題，求的重心坐標(biāo)；（3）是否存在直線，使得？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由．（其中、分別表示、的面積）【分析】（1）由條件列方程求出，可得，由此能求出橢圓的方程．（2）對任意直線，線段的中點為定點，取，則直線，聯(lián)立，可得，解得，，直線，解得，由，得，由此能求出的重心．（3）設(shè)滿足條件的直線存在，其斜率為，，設(shè)，，，，不妨令，由，得，由△，利用韋達定理、直線方程、弦長公式、三角形面積公式，由此能求出直線的方程．【解答】解：（1）由條件：，可知，，，，橢圓的方程為．（2）由條件，對任意直線，線段的中點為定點，我們只需要取一條特殊的直線，不妨取，則直線，聯(lián)立，可得，解得，，直線，解得，，，設(shè)的重心為，由，得，．（3）設(shè)滿足條件的直線存在，其斜率為，，設(shè)，，，，不妨令，由，消去得，由△，解得，由韋達定理得，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，，，，，即，，，，，直線的方程為．【點評】本題考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達定理、直線方程、弦長公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．20．如圖，已知橢圓經(jīng)過點，離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準方程；（2）橢圓上任意點，軸上一點，若的最小值為，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)是經(jīng)過右焦點的任一弦（不經(jīng)過點，直線與直線相交于點，記，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列．【分析】（1）根據(jù)長軸長和離心率求出，，從而求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)，，討論對稱軸與定義域的關(guān)系即可得出答案．（3）先得到直線的斜率一定存在，設(shè)出直線的方程，求出，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，進而表達出，，，從而得證．【解答】解：（1）由題意，點在橢圓上得，可得①，又由，所以②，由①②聯(lián)立且，可得，，，故橢圓的標(biāo)準方程為．（2）設(shè)，，令，對稱軸為，因為，當(dāng)，即，，故符合題意；當(dāng)，即，，所以，解得，不符合題意；當(dāng)，即，，解得；所以實數(shù)的取值范圍為：．（3）證明：由（1）知，橢圓的方程為，可得橢圓右焦點坐標(biāo)，顯然直線斜率存在，設(shè)的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，易知△，設(shè)，，，，則有，，由直線的方程為，令，可得，即，從而，，，又因為，，共線，則有，即有，所以，將，代入得，又由，所以，即，，成等差數(shù)列．【點評】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．21．已知橢圓，拋物線若直線與曲線交于點、，直線與曲線分別交于點、．當(dāng)時，則稱直線是