高考數(shù)學(xué)解析幾何專題講義第26講 曲線系問題

第26講曲線系問題問題綜述利用“曲線系”解題，主要是為了簡(jiǎn)化解析幾何中繁雜的計(jì)算，例如與單位圓相切的直線系可以設(shè)為二、典例分析類型1：直線合成二次曲線型【例1】（2017年新課標(biāo)卷）已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn).若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn).【解析】（1）略（2）由題可設(shè)斜率分別為，其中。令曲線：，可表示為。聯(lián)立可以得到如下方程組（其方程組的解為三點(diǎn)）化簡(jiǎn)得進(jìn)而，解得或（即點(diǎn)或）即：恒過類型2：過直線與曲線交點(diǎn)型【例2】圓，；于。以為直徑的圓過原點(diǎn)，求方程?！窘馕觥吭O(shè)以為直徑的圓的方程為（圓心）由，上，那么代入可得解得或進(jìn)而或類型3：混搭型【例3】在直角坐標(biāo)系中,曲線與軸交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)變化時(shí),證明：過三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.【解析】過與交點(diǎn)的曲線系可以設(shè)為：因?yàn)楸硎緢A，且過則 解得，：令可以求得弦長(zhǎng)為【方法小結(jié)】此類問題關(guān)鍵點(diǎn)在于曲線系的設(shè)法。三、鞏固練習(xí)1．設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)的圓與交于另兩點(diǎn)，則直線的斜率為（）2．圓過，且與相切與點(diǎn)。（1）求圓的方程。（2）圓上兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，且以為直徑的圓過，求直線的方程3．（2016年全國(guó)聯(lián)賽題）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以F為焦點(diǎn)，O為頂點(diǎn)作拋物線C.設(shè)P是第一象限內(nèi)C上的一點(diǎn)，Q是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，使得PQ為C的切線，且｜PQ｜=2.圓均與直線OP相切于點(diǎn)P，且均與軸相切.求點(diǎn)F的坐標(biāo)，使圓與的面積之和取到最小值.4．橢圓，圓，過作圓的兩條切線分別與橢圓交于，證明與圓相切。四、鞏固練習(xí)參考答案1．解析：設(shè)，所以，則過四點(diǎn)的曲線系為。表示為圓，則系數(shù)相等，且無項(xiàng)?；?jiǎn)得解得2．解析：（1）設(shè)與相切與點(diǎn)的圓系方程為又過，那么帶入求得，所以所求圓的方程為易得過圓心，那么，進(jìn)而設(shè)，考慮用曲線系設(shè)過的曲線系方程為，過，且圓心在上，那么可得進(jìn)而求得或，所以所求方程為或者3．解析：設(shè)拋物線為，那么，設(shè)由極點(diǎn)極線，進(jìn)而那么至此，點(diǎn)滿足，設(shè)與相切于點(diǎn)的圓系方程為由與軸相切，那么令可得，那么進(jìn)而可得，由曲線系方