廣東省吳川市第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

吳川市第三中學(xué)2022-2023學(xué)年上學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)（本試卷22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．命題：“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．6．設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．7．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)得0分）9．已知集合，集合，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．10．對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，則11．下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．的單調(diào)遞增區(qū)間為，C．當(dāng)時(shí)，D．的解集為三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知函數(shù)，若，則a的值是______．14．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則______．15．已知不等式的解集是，則______．16．關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．四、解答題（共6道小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17．已知函數(shù)，（1）求函的定義域；（2）求，的的值．18．設(shè)全集為R，集合，．（1）分別求，；（2）已知，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．20．已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且．（1）確定函數(shù)的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解不等式．21．“綠水青山就是金山銀山”，為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在政府部門(mén)的鼓勵(lì)下進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)，把二氧化碳化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，該處理成本y（單位：萬(wàn)元）與處理量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，，已知每處理一噸二氧化碳可獲得價(jià)值20萬(wàn)元的某種化工產(chǎn)品．（1）當(dāng)處理量為多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少？（2）判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不能獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少萬(wàn)元該工廠才不會(huì)虧損？22．已知函數(shù)．（1）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的直角坐標(biāo)系中作出時(shí)的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)在上的最小值為；①求的表達(dá)式；②若，求的最大值．吳川市第三中學(xué)2022-2023學(xué)年上學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)參考答案與試題解析一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．【分析】根據(jù)并集的定義即可求解．【解答】解：∵，，則，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查全稱命題的否定定義，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)全稱命題的否定定義可解．【解答】解：根據(jù)全稱命題的否定定義得，，的否定為：，，故選：D．3．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由得或，即“”是“”的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．4．【分析】由題意利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【解答】解：，，，函數(shù)是減函數(shù)，，，．又函數(shù)是上的增函數(shù)，，，即，綜上可得，，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義及冪函數(shù)性質(zhì)分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)．【解答】解：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，A正確，B錯(cuò)誤，為非奇非偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；為非奇非偶函數(shù)，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：是偶函數(shù)且當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，，即，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7．【分析】利用“乘1法”，可得，從而得解．【解答】解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，又恒成立，所以．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握基本不等式中的“乘1法”是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】既然在上是減函數(shù)，根據(jù)時(shí)解析式為，其過(guò)定點(diǎn)，且時(shí)是減函數(shù)，所以對(duì)稱軸，又時(shí)，，是減函數(shù)，所以，解答即可．【解答】解：由題意，在上是減函數(shù)，時(shí)，其過(guò)定點(diǎn)，且時(shí)是減函數(shù)，對(duì)稱軸，①又時(shí)，，是減函數(shù)，函數(shù)是上的減函數(shù)，，②又①②得．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍的問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解，屬于中檔題．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)得0分）9．【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合間的關(guān)系可解．【解答】解：因?yàn)榧?，集合，，根?jù)元素與集合、集合與集合間的關(guān)系可得，，，，，故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查元素與集合、集合與集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】可代入特例判斷選項(xiàng)錯(cuò)，可由性質(zhì)定理判斷AB對(duì)．【解答】解：若，則，A對(duì)，由不等式同向可加性，若，，則，B對(duì)，當(dāng)令，，，，則，C錯(cuò)，令，，則，D錯(cuò)．故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)不等式的判斷，可代入特例判斷選項(xiàng)錯(cuò)，屬于基礎(chǔ)題．11．【分析】根據(jù)選項(xiàng)逐一求函數(shù)的最小值即可．【解答】解：A．因?yàn)?，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知值域?yàn)?；B．，故值域?yàn)?；C．，，，故值域?yàn)?；D．，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故值域?yàn)?；故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)的值域，也考查了雙勾函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】由奇函數(shù)在處有定義，可得，可判斷A；由的函數(shù)的解析式，結(jié)合奇函數(shù)的定義可得時(shí)的函數(shù)解析式，可判斷C；判斷時(shí)的的單調(diào)性，可得時(shí)的的單調(diào)性，不等式等價(jià)為且，且，結(jié)合，解不等式可判斷D；由的圖象與的圖象特點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可判斷B．【解答】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，又，所以時(shí)，，故C正確；由時(shí)，，可得，又和在遞增，可得在遞增，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得在遞增，且，所以等價(jià)為或，解得或，故D錯(cuò)誤；由的圖象可看作的圖象位于軸上方的圖象不變，將軸下方的圖象翻折到軸上方得到，所以的遞增區(qū)間為，，故B正確．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，以及函數(shù)的圖象的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．【分析】利用分類(lèi)討論，分和兩種情況，分別表示出，求解即可．【解答】解：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得．綜上所述，a的值是或4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的值確定使用哪一段解析式求解，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，由圖象過(guò)確定出解析式，然后令即可得到的值．【解答】解：設(shè)，因?yàn)閮绾瘮?shù)圖象過(guò)，則有，，即，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生會(huì)利用待定系數(shù)法求冪函數(shù)的解析式．會(huì)根據(jù)自變量的值求冪函數(shù)的函數(shù)值．15．【分析】根據(jù)已知可得，為方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理求出a，b，然后根據(jù)一元二次不等式求出結(jié)果．【解答】解：不等式的解集是，，2是方程的兩個(gè)根，且，由韋達(dá)定理得，解得，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的解法以及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．16．【分析】討論，，，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和判別式的符號(hào)，解不等式可得所求范圍．【解答】解：由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，設(shè)，若時(shí)，的圖象為開(kāi)口向上的拋物線，不恒成立；若時(shí)，要使不等式恒成立，只需，即，解得，綜上可得，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式恒成立問(wèn)題解法，考查分類(lèi)討論思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題（共6道小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17．【分析】（1）利用根式函數(shù)和分式函數(shù)的定義域求法求函數(shù)的定義域．（2）利用函數(shù)關(guān)系式直接代入求值．【解答】解：（1）要使函數(shù)的有意義，則，即，所以且．所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?），．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，要求熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)的定義域的求法．18．【分析】（1）根據(jù)交集的定義求出，求出B的補(bǔ)集，從而求出其和A的并集即可；（2）得到，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．【解答】解：（1），，，，；（2），，，，解得：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．19．【分析】（1）由冪函數(shù)的定義可知，再結(jié)合冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可求出的值．（2）等價(jià)于函數(shù)在上的最小值大于0即可，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）是冪函數(shù)，則，或，又在上單調(diào)遞增，則，所以．（2）即，要使此不等式在上恒成立，只需使函數(shù)在上的最小值大于0即可，在上單調(diào)遞減，，由，得，因此滿足條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了冪函數(shù)的定義，考查了不等式恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．20．【分析】（1）根據(jù)，，待定系數(shù)即可求得函數(shù)解析式；（2）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合函數(shù)解析式，即可判斷和證明；（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性求解不等式即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意，是上的奇函數(shù)，故；又，故，則；（2）在單調(diào)遞增，證明如下：在上任取，則，因?yàn)?，故可得，即，又，則，結(jié)合，可得：，即，故在單調(diào)遞增；（3）等價(jià)于，又在是單調(diào)增函數(shù)，故可得，解得，即不等式的解集為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷，屬于中檔題．21．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．（2）當(dāng)時(shí)，該工廠獲利S，則，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）由題意可得，二氧化碳的平均處理成本，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，故取得最小值為，故當(dāng)處理量為40噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少．（2）當(dāng)時(shí)，該工廠獲利S，則，當(dāng)時(shí)，，故該工廠不會(huì)獲利，國(guó)家至少需要補(bǔ)貼700萬(wàn)元，該工廠不會(huì)虧損．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握基本不等式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．22．【分析】（1）代入a的值，函數(shù)解析式即可求出，進(jìn)而可以作出函數(shù)圖象，