2023-2024學(xué)年河南省開封市高一下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年河南省開封市高一下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z?1)i=?1，則z=(

)A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i2.設(shè)α，β為兩個平面，則α//β的充要條件是(

)A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線 D.α，β垂直于同一平面3.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是(

)A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.方差 D.極差4.在一次奧運(yùn)會男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動員甲和乙進(jìn)入了決賽.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)甲獲得冠軍的概率.先由計(jì)算機(jī)模擬產(chǎn)生1～5之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2或3時表示甲獲勝，出現(xiàn)4，5時表示乙獲勝.因?yàn)楸荣惒捎昧?局2勝制，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，代表3局的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生以下20組隨機(jī)數(shù)：423?123?423?344?114?453?525?332?152?342534?443?512?541?125?432?334?151?314?354據(jù)此估計(jì)所求概率的值為(

)A.0.3 B.0.35 C.0.6 D.0.655.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角θ=2πA.13 B.13 C.37 D.6.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acosB=bcosA，且a=2，c=3，則A.?34 B.?18 C.7.?ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，BE與對角線AC相交于點(diǎn)F，記AB=a，AD=b，用a，b表示A.13a+23b B.?8.在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.已知四面體P?ABC為鱉臑，且PA=AB，AC=BC，記二面角A?PB?C的平面角為θ，則sinθ=(

)A.22 B.33 C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3，則下列說法中正確的是(

)A.如果B?A，那么P(A∪B)=0.5

B.如果B?A，那么P(AB)=0.3

C.如果A，B互斥，那么P(A∪B)=0.8

D.如果A，B互斥，那么P(AB)=0.1510.已知復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθA.z·z=1 B.|z|=1 C.z211.如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為α，沿傾斜角為β的斜坡向上走am到達(dá)B處，在B處測得山頂P的仰角為γ，則山高?=(

)

A.asinαsin(γ?β)sin(γ?α) B.a三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a，b，c在網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則(a?b)?c=

;13.已知正方體的內(nèi)切球體積為1，則該正方體的外接球體積為

．14.已知復(fù)數(shù)z1=m+(4?m2)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+2四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在一個不透明的盒子中有大小質(zhì)地完全相同的1個紅球和1個白球，從中隨機(jī)地摸出一個球，觀察其顏色后放回.設(shè)事件A=“摸球2次出現(xiàn)1次紅球”，B=“摸球4次出現(xiàn)2次紅球”．(1)分別寫出“摸球2次”和“摸球4次”這兩個試驗(yàn)的樣本空間;(2)猜想P(A)和P(B)的大小關(guān)系，并驗(yàn)證你的猜想是否正確．16.(本小題12分)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知向量OA=(1,0)，OB=(2,2)，OC(1)求∠BAC;(2)若|BC|=5，求向量BC在向量OA17.(本小題12分)有一種魚的身體吸收汞，一定量身體中汞的含量超過其體重的1.00×10?6的魚被人食用后，就會對人體產(chǎn)生危害.在一批該魚中隨機(jī)抽取30條作為樣本，檢測其汞含量(乘以百萬分之一0.07?0.24?0.95?0.98?1.02?0.98?1.37?1.40?0.39?1.021.44?1.58?0.54?1.08?0.61?0.72?1.20?1.14?1.62?1.681.85?1.20?0.81?0.82?0.84?1.29?1.26?2.10?1.65?1.31(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，補(bǔ)充完成下列頻率分布直方圖，并分析這30條魚的汞含量的分布特點(diǎn);(2)分別依據(jù)樣本數(shù)據(jù)和(1)中頻率分布直方圖估計(jì)這批魚的汞含量的第60百分位數(shù)，得到的結(jié)果完全一致嗎?為什么?(3)將樣本中汞含量最低的兩條魚分別放入相互連通的A、B水池，若這兩條魚的游動相互獨(dú)立，均有14的概率游入另一個水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率．18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AP=PD=2，AB=11，∠ADC=∠APD=90°，平面PAD⊥平面(1)證明：AP⊥平面PCD;(2)若E是棱PA的中點(diǎn)，且BE//平面PCD，求異面直線BE與PD所成角的余弦值．19.(本小題12分)

當(dāng)△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足條件∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ時，稱點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，角θ為△ABC的布洛卡角.如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，記△ABC的面積為S，點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，其布洛卡角為θ．

(1)證明：2S=(a?PB+b?PC+c?PA)?(2)證明：a(3)若a=c，且PC=2PB，求A及tan答案解析1.A

【解析】解：由題意可得

z=?12.B

【解析】解：對于A，α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，α與β相交或α//β；

對于B，α內(nèi)有兩條相交直線與β平行，則α//β；

對于C，α，β平行于同一條直線，α與β相交或α//β；

對于D，α，β垂直于同一平面，α與β相交或α//β．

故選B．3.A

【解析】解：設(shè)9位評委的評分按從小到大排列為x1<x2<x3<x4<?<x8<x9．

對于A，原始評分的中位數(shù)為x5，去掉最低分x1，最高分x9后，

剩余評分的大小順序?yàn)閤2<x3<?<x8，中位數(shù)仍為x5，故A正確;

對于B，原始評分的平均數(shù)x=19(x1+x2+?+x9)，

有效評分的平均數(shù)4.D

【解析】解：由題意可知，20組隨機(jī)數(shù)中甲獲得冠軍的有：423，123，423，114，332，

152，342，512，125，432，334，151，314有13組，所以甲獲得冠軍的頻率為1320所以甲獲得冠軍的概率的近似值約為0.65。5.D

【解析】解：∵

|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角θ=2π3，

∴

|a?b|=

(a?6.B

【解析】解：∵acosB=bcosA，

∴由正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA，

變形可得：sin(A?B)=0

∵C為三角形的內(nèi)角，

∴A=B，所以a=b=2，

∴7.C

【解析】解：如圖：因?yàn)辄c(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，CD

//

AB，所以BFFE所以BF=故選C．8.C

【解析】解：已知四面體P?ABC為鱉臑，且PA=AB，AC=BC，

所以PA⊥AB，AC⊥BC，

設(shè)AC=BC=1，

則PA=AB=2，PB=2，

在△PAC中，PA>AC，若∠ACP=90°，則PC=1，

此時△PBC中三邊長分別為PC=1，BC=1，PB=2，不能構(gòu)成三角形，舍去；

則∠PAC=90°，PC=3，PC⊥BC，∠BPC=30°，∠PBC=60°．

在平面PBC內(nèi)，過點(diǎn)C作CD⊥PB，垂足為D，

在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)D作DE⊥PB，交AB于點(diǎn)E，

則∠CDE即為二面角A?PB?C的平面角，

所以CD=PCsin∠BPC=32，BD=BCcos∠PBC=12，

在等腰直角三角形DBE中，DE=BD=12，

在△BCE中，BE=2BD=22，BC=1，9.ABC

【解析】解：對于A，如果B?A，則P(A∪B)=P(A)=0.5，故A正確;

對于B，如果B?A，則P(AB)=P(B)=0.3，故B正確;

對于C，如果A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8，故C正確;

對于D，如果A與B互斥，則P(AB)=0，故D錯誤

故選ABC．10.ABD

【解析】解：因?yàn)閦=cosθ+isinθ，z=cosθ?isinθ，

所以可得z?z=cosθ+sinθicosθ?sinθi=cos11.AC

【解析】解：在△ABP中，由正弦定理可得，ABsin∠APB=APsin∠ABP，

所以AP=ABsin∠ABP∴PQ=APsinα=asinαsin(γ?β)sin(γ?α)，

過B作BD⊥AQ于點(diǎn)D，則CQ=BD=asinβ，

在△ABP中，由正弦定理可得，ABsin∠APB=BPsin∠BAP，即asin∠APQ?∠BPQ=BPsinα?β，

即故選AC．12.2；3

【解析】解：以a,b交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿網(wǎng)格線建立直角坐標(biāo)系，

則a=(2,1),b=(2,?1),c=(0,1)，

∴a?b=(0,2)，∴(a13.3【解析】解：由正方體的內(nèi)切球體積為1，正方體內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，設(shè)正方體的棱長為a，

則43π·(a2)3=1，得a3=6π，

因?yàn)檎襟w的棱長為a，則其體對角線長為3a14.[?1【解析】解：依題意，m=2cosθ，且4?m2=λ+2sinθ，

即λ=4?4cos2θ?2sinθ=4sin2θ?2sinθ=4(sinθ?14)2?14，

∵?1≤sinθ≤1，

∴當(dāng)sinθ=15.解：(1)用a表示“取出紅球”，b表示“取出白球”，摸球2次，

樣本空間為Ω1={aa,ab,ba,bb}，包含4個等可能的樣本點(diǎn);

摸球4次，樣本空間為Ω2={aaaa,aaab,aaba,abaa,baaa,aabb,abab,baab,abba,baba,bbaa,abbb,babb,bbab,bbba,bbbb}，

包含16個等可能的樣本點(diǎn);

(2)猜想應(yīng)該有P(A)>P(B)，A=?{ab,ba}，故n(A)=2，

B={aabb,abab,baab,abba,baba,bbaa}，故n(B)=6，

根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，得P(A)=24=1【解析】(1)用a表示“取出紅球”，b表示“取出白球”，摸球2次，然后分別寫出樣本空間即可;

(2)猜想應(yīng)該有P(A)>P(B)，然后根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，得P(A)=24=12，16.解：(1)因?yàn)锳B=OB?OA=(1,2)，AC=OC?OA=(?2x,x)，

AB?AC=?2x+2x=0，又x≠0，所以AB⊥AC，所以∠BAC=π2，

(2)BC=OC?OB=(?2x?1,x?2)，

所以|BC|=(2x+1)2+(x?2)2=5x2+5=5，解之得x=±2，

設(shè)向量BC和向量OA的夾角為θ【解析】(1)先得到AB?AC=?2x+2x=0，然后利用x≠0，得到AB⊥AC即可，

(2)先得到向量BC在向量OA上的投影向量為：(BC?17.解：(1)

汞含量分布偏向于大于1.00×10?6的方向，即多數(shù)魚的汞含量分布在大于1.00×10?6的區(qū)域，

(2)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)：由60%×30=18，樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第18，19項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

即1.2+1.262=1.23，所以估計(jì)這批魚的汞含量的第60百分位數(shù)為1.23×10?6;

依據(jù)頻率分布直方圖：由1.0+0.5×0.6?0.40.8?0.4=1.25，

所以估計(jì)這批魚的汞含量的第60百分位數(shù)為1.25×10?6，

兩種方式得到的估計(jì)結(jié)果不一致，但相差不大，

因?yàn)樵陬l率分布直方圖中已經(jīng)損失了一些樣本信息，

我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時，通常假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，

(3)記“兩條魚最終均在A水池”為事件A，則P(A)=1【解析】(1)完成頻率分布直方圖，然后得到結(jié)論；

(2)利用數(shù)據(jù)，分別計(jì)算即可；

(3)記“兩條魚最終均在A水池”為事件A，記“兩條魚最終均在B水池”為事件B，然后得到這兩條魚最終在同一水池的概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)即可．18.解：(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，

又CD?平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

又∵AP?平面PAD，∴AP⊥CD，

又∵AP⊥PD，PD∩CD=D，PD、CD?平面PCD，

∴AP⊥平面PCD；

(2)取AD中點(diǎn)，記為F，連接EF，BF，

又∵E為AP中點(diǎn)，∴EF//PD，

∴BE與PD所成角即為BE與EF所成角，

又EF?平面PCD，PD?平面PCD，∴EF//平面PCD，

又∵BE//平面PCD，EF∩BE=E，EF、BE?平面BEF，

∴平面BEF//平面PCD，

又平面BEF∩平面ABCD=BF，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴CD//BF，

由(1)知，CD⊥平面PAD，∴BF⊥平面PAD，EF?平面PAD，

∴BF⊥EF，BF=AB2?AF2=3，EF=1，BE=EF2+BF2【解析】(1)由面面垂直的性質(zhì)得CD⊥平面PAD，所以AP⊥CD，又AP⊥PD，由線面垂直的判定即可得證；

(2)易得BE與PD所成角即為BE與EF所成角，計(jì)算即可．19.解：(1)證明：