八年級數(shù)學上冊 第15章　軸對稱圖形與等腰三角形 單元測試卷（滬科版 24秋）

八年級數(shù)學上冊第15章軸對稱圖形與等腰三角形單元測試卷（滬科版24秋）一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)1．【2024·長沙期中】下列學校的校徽圖案是軸對稱圖形的是()2．【母題：教材P133練習T1】有一個內角是36°的等腰三角形，其他兩個內角的度數(shù)分別是()A．36°，108° B．72°，72° C．36°，108°或72°，72° D．36°，144°3．如圖，△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，連接AA′，BB′，CC′，其中BB′分別交AC，A′C′于點D，D′，下列結論：①AA′∥BB′；②∠ADB＝∠A′D′B′；③直線l垂直平分AA′；④直線AB與直線A′B′的交點不一定在直線l上．其中正確的是()A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，若BD＝5，則CD等于()A．3 B．4 C．5 D．65．【2024·東營校級期末】如圖，在4×4的正方形網格中有兩個格點A，B，連接AB，若在網格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰三角形，則滿足條件的格點C的個數(shù)是()A．5 B．6 C．8 D．96．如圖，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于點E，連接EC，若BC＝12cm，AB＝18cm，則△EBC的周長為()A．24cm B．28cm C．30cm D．36cm7．【2024·東莞市大嶺山中學期中】下列條件不能得到等邊三角形的是()A．有兩個內角是60°的三角形 B．有一個角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形 D．有兩個角相等的等腰三角形8．【2024·淮南田家庵區(qū)月考】如圖，△ABC的面積為10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于點P，連接PC，則△PBC的面積為()A．3cm2 B．4.5cm2 C．5cm2 D．6cm29．如圖，在△ABC中，點M，N為AC邊上的兩點，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于點D，且NM＝ND，若∠A＝α，則∠C＝()A．eq\f(3,2)α B．90°－eq\f(1,2)α C．120°－α D．2α－90°10．如圖，在△ABC中，內角∠BAC與外角∠CBE的平分線相交于點P，BE＝BC，PB與CE交于點H，PG∥AD交BC于點F，交AB于點G，連接CP.下列結論：①∠ACB＝2∠APB；②S△PACS△PAB＝ACAB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF.其中正確的有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．在平面直角坐標系中，點A和B關于x軸對稱，若點A到x軸的距離是3cm，則點B到x軸的距離是________cm.12．【母題：教材P138練習T3】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠A＝30°，BD＝2，則AD的長度是________．13．如圖，∠ABC的平分線BF與∠ACG的平分線相交于點F，過F作DF∥BC交AB于點D，交AC于點E，若DB＝18，DE＝8，則CE的長為________．14．【2024·淮南月考】△ABC中，D是BC邊上的點(不與點B，C重合)，連接AD.(1)如圖①，若AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，則eq\f(S△ABD,S△ACD)＝________；(2)如圖②，當AD平分∠BAC時，延長AD至點E，使得DE＝AD，連接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，則S△ABC＝________．三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．如圖，已知OA和OB兩條公路，以及C，D兩個村莊，建立一個車站P，使車站到兩個村莊距離相等(即PC＝PD)，且P到OA，OB兩條公路的距離相等，請作出車站P的位置．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°.(1)作出AB邊的垂直平分線DE，交AC于點D，交AB于點E，連接BD；(2)下列結論正確的是____________(填序號)．①BD平分∠ABC；②AD＝BC；③△BDC的周長等于AB＋BC的值；④AD＝CD.四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．【2024·銅陵期中】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB.若CD＝3，AB＝10，△ABD的面積為15，則AD是∠BAC的平分線嗎？請說明理由．18．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC上的一點，AD＝AB.求證：∠BAD＝2∠C.五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，△ABC中，∠A＝96°，BC邊的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E，連接BD，若∠ABD∶∠DBC＝3∶2，求∠C的度數(shù)．20．【2023·淮南大通區(qū)期末】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別是A(1，3)，B(－2，－2)，C(2，－1)．(1)畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；(2)寫出點A1，B1，C1的坐標；(3)求△ABC的面積．六、(本題滿分12分)21．【2024·蕪湖期中】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB，AC的垂直平分線交于點P，兩垂直平分線分別交△ABC的邊于點G，D和點E，H，連接AD，AE，AP.(1)求∠DAE的度數(shù)；(2)求證：AP平分∠DAE.七、(本題滿分12分)22．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在底邊BC上，AE＝AD，連接DE.(1)當∠BAD＝60°時，求∠CDE的度數(shù)；(2)當點D在BC邊上(點B，C除外)運動時，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關系；(3)深入探究：如圖②，若∠BAC≠90°，探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關系．八、(本題滿分14分)23．如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC與BD相交于點E，∠ABD＝∠ADB.(1)求證：AC垂直平分BD；(2)過點B作BF∥CD交CA的延長線于點F，AB＝AF；①求證：△BCD是等邊三角形；②如果G，H分別是線段AC，線段CD上的動點，當GH＋AH的值最小時，請確定點H的位置，思考此時GH與CH有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由．

答案一、1．B2．C3．A4．C5．C6．C7．D8．C9．D10．D【點撥】∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE，∴∠PAB＝eq\f(1,2)∠CAB，∠PBE＝eq\f(1,2)∠CBE.∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB，∠PBE＝∠PAB＋∠APB，∴eq\f(1,2)(∠CAB＋∠ACB)＝∠PAB＋∠APB.∴eq\f(1,2)∠ACB＝∠APB.∴∠ACB＝2∠APB，故①正確；如圖，過點P作PM⊥AE于M，PN⊥AD于點N，PS⊥BC于點S，則PM＝PN＝PS.∴S△PAC∶S△PAB＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC·PN))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB·PM))＝AC∶AB，CP平分∠BCD，故②正確；∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE，故③正確；∵PG∥AD，∴∠FPC＝∠DCP.∵CP平分∠DCB，∴∠DCP＝∠PCF.∴∠PCF＝∠CPF，故④正確．二、11．312．613．1014．(1)eq\f(5,3)(2)9【點撥】(1)如圖，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.∵AD是∠BAC的平分線，∴DE＝DF.∵AB＝5，AC＝3，∴eq\f(S△ABD,S△ACD)＝eq\f(\f(1,2)AB·DE,\f(1,2)AC·DF)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(5,3).(2)∵AD＝DE，∴S△ABD＝S△BDE＝6.∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠BAC，∴S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝4∶2＝2∶1.∴S△ACD＝3.∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝6＋3＝9.三、15．【解】如圖．16．【解】(1)如圖．(2)①②③四、17．【解】AD是∠BAC的平分線．理由如下：∵AB＝10，△ABD的面積為15，DE⊥AB，∴DE＝eq\f(15×2,10)＝3.∴DE＝CD.∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴AD是∠BAC的平分線．18．【證明】如圖，過點A作AH⊥BC，垂足為H，則∠AHB＝90°.∴∠BAH＋∠B＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°.∴∠BAH＝∠C.∵AD＝AB，AH⊥BD，∴∠BAD＝2∠BAH.∴∠BAD＝2∠C.五、19．【解】∵DE垂直平分BC，∴DC＝BD.∴∠C＝∠DBC.∵∠ABD∶∠DBC＝3∶2，∴設∠ABD＝3x，∠DBC＝2x.∴∠C＝2x.∴96°＋3x＋2x＋2x＝180°，解得x＝12°.∴∠C＝24°.20．【解】(1)△A1B1C1如圖所示．(2)A1(－1，3)，B1(2，－2)，C1(－2，－1)．(3)△ABC的面積＝4×5－eq\f(1,2)×4×1－eq\f(1,2)×4×1－eq\f(1,2)×3×5＝20－2－2－7.5＝8.5.六、21．(1)【解】∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝60°.由題意得AD＝BD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE.∴∠BAD＋∠CAE＝60°.∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAE)＝60°.(2)【證明】連接PB，PC，則PB＝PA，PA＝PC，∴PB＝PC.∴∠PBD＝∠PCE.∵PA＝PB，DA＝DB，∴∠PAB＝∠PBA，∠DAB＝∠DBA.∴∠PAD＝∠PBD.同理得∠PAE＝∠PCE，∴∠PAE＝∠PAD，即AP平分∠DAE.七、22．【解】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°.∵AD＝AE，∴∠AED＝75°.∴∠CDE＝∠AED－∠C＝30°.(2)設∠BAD＝x，則∠CAD＝90°－x.∵AE＝AD，∴∠AED＝45°＋eq\f(1,2)x.∴∠CDE＝∠AED－∠C＝eq\f(1,2)x.∴∠BAD＝2∠CDE.(3)設∠CDE＝a，∠C＝b，則∠AED＝b＋a.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝b.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝b＋a.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∴b＋∠BAD＝b＋a＋a.∴∠BAD＝2a.∴∠BAD＝2∠CDE.八、23．(1)【證明】∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC，∴AB＝AD，∠ABC－∠ABD＝∠ADC－∠ADB.∴∠CBE＝∠CDE.∴CB＝CD.∴AC垂直平分BD.(2)①【證明】如圖①，設∠F＝α.∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠F＝α.∵∠BAC是△ABF的外角，∴∠BAC＝∠F＋∠ABF＝2α.由(1)知AC⊥BD，CB＝CD，∴∠BCE＝∠DCE.∵BF∥CD，∴∠F＝∠DCE.∴∠BCE＝∠F＝α