新高考2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題突破精練第31講立體幾何中的最大角和最小角定理教師版

第31講立體幾何中的最大角和最小角定理一．選擇題（共21小題）1．（2024?浙江月考）如圖所示，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)．記直線(xiàn)與平面所成的角為，與直線(xiàn)所成的角為，則，的大小關(guān)系是A． B． C． D．不能確定【解答】解：連接，平面，故為直線(xiàn)與平面所成的角，即，故而．過(guò)向作垂線(xiàn)，垂足為，若與重合，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，即，此時(shí)明顯有，若不與重合，則為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角，即，故而，是平面的垂線(xiàn)，故而，，．故選：．

2．（2024春?江岸區(qū)校級(jí)期末）已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是線(xiàn)段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)與所成的角為，與面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．【解答】解：如圖，過(guò)作底面的垂線(xiàn)，垂足為，連接，則，．取為的中點(diǎn)，連接，則，，為二面角的平面角，等于．過(guò)作的平行線(xiàn)，過(guò)作的平行線(xiàn)，相交于，則為與所成的角，等于．底面，，又，，平面，則，在與中，有，，而，，得，均為銳角）；在與中，有，，而，，，得，均為銳角）．當(dāng)與重合時(shí)，．綜上，．故選：．3．（2024?湖州期末）已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是線(xiàn)段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)直線(xiàn)與所成的角為，直線(xiàn)與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A．， B．， C．， D．，【解答】解：過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，在平面內(nèi)作與點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，則是異面直線(xiàn)與所成的角，是直線(xiàn)與平面所成的角，是二面角所成角的平面角；如圖所示，明顯，，均為銳角；在中，；在中，；在中，，所以，即；又，且，所以，即．故選：．4．（2024?寧波期末）在《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬．如圖，已知四棱錐為陽(yáng)馬，且，底面．若是線(xiàn)段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)與所成的角為，與底面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．【解答】解：四棱錐為陽(yáng)馬，且，底面．是線(xiàn)段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)與所成的角為，與底面所成的角為，二面角的平面角為，，．故選：．5．（2024?衢州期中）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面，，是線(xiàn)段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若側(cè)面，直線(xiàn)，側(cè)面與平面所成角大小分別為，，，則下列結(jié)論成立的是（注指二面角的大小，指二面角的大?。〢． B． C． D．【解答】解：側(cè)面，，，是面與底面所成的二面角，，側(cè)面，直線(xiàn)，與底面所成的二面角分別為，，，，過(guò)作于，則，平面，為平面與底面所成角，，，過(guò)作于，則為直線(xiàn)與平面所成的二面角，，，故選：．6．（2024?臨川區(qū)校級(jí)月考）已知正四棱錐，是線(xiàn)段上的點(diǎn)且，設(shè)與所成的角為，二面角的平面角為，與平面所成的角為，則A． B． C． D．【解答】解：取中點(diǎn)，如圖，易知，，均為銳角，，，且，故；將圍著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并在其上取一點(diǎn)，使得，且，則，明顯，故，即，明顯，平面，則，，由可知，；綜上，．故選：．7．（2024?柯橋區(qū)二模）如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面，，是線(xiàn)段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．設(shè)與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．【解答】解：取的中點(diǎn)，連接、，，，平面平面，平面，平面平面，平面，平面，平面平面．過(guò)作，連接，過(guò)作于，連接，平面平面，平面，平面．，，，，，，．矩形，，，過(guò)作于，連接，則，平面，平面，，，、平面，平面，，，．綜上所述，．故選：．8．（2016?桐鄉(xiāng)市一模）如圖，已知，為的角平分線(xiàn)，沿直線(xiàn)將翻折成△，所成二面角的平面角為，則A．， B．， C．， D．，【解答】解：①當(dāng)時(shí)，，，②當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)投影在上，，連結(jié)，，，，即‘．綜上，，．故選：．9．（2024?浙江模擬）是邊長(zhǎng)為6的正三角形，在上，且滿(mǎn)意，現(xiàn)沿著將折起至△，使得在平面上的投影在內(nèi)部（包括邊界），則二面角所成角的余弦值的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：如圖1，在中，過(guò)點(diǎn)作，交于，交于，點(diǎn)在平面上的投影在內(nèi)部（包括邊界），其投影在線(xiàn)段上，如圖2，過(guò)作，垂足為，則平面，為二面角的平面角，，，，．，又，即，．以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，，即，即，，．，，在△中，，．即二面角所成角的余弦值的取值范圍是，．故選：．10．（2024春?金華期末）如圖，已知四邊形是底角為的等腰梯形，且，沿直線(xiàn)將翻折成△，所成二面角的平面角為，則A． B． C． D．【解答】解：如圖，不妨設(shè)，，，，，．取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，則，，即為二面角的平面角為，由已知可得，，，，．，，．則，在，上余弦函數(shù)為減函數(shù)，；而與的大小不確定，與的大小不確定．故選：．11．（2024?上虞區(qū)期末）如圖，已知中，，是的平分線(xiàn)，將沿直線(xiàn)翻折成，在翻折過(guò)程中，設(shè)所成二面角的平面角為，，，則下列結(jié)論中成立的是A．， B．， C．， D．，【解答】解：考慮極限狀況，當(dāng)位于初始位置時(shí)，，明顯此時(shí)，故解除；當(dāng)重疊時(shí)，，明顯此時(shí)，故解除；故選：．12．（2024?柯橋區(qū)模擬）如圖，在矩形中，將沿翻折至，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為，直線(xiàn)與平面所成角為，二面角的平面角為，當(dāng)為銳角時(shí)A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，，故二面角的平面角為就為與平面所成的線(xiàn)面角，由線(xiàn)面角最小性可知，；另一方面，在三棱錐中，由于，所以到平面的距離小于到平面的距離為，與平面所成角大于與平面所成角，即，所以．故選：．13．（2016?麗水校級(jí)模擬）如圖，長(zhǎng)方形，，分別為，上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，現(xiàn)把沿著翻折，記與平面所成的角為，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，則與的大小關(guān)系是A． B． C． D．不能確定【解答】解：作平面，垂足是，連接過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，在上取點(diǎn)，令，在和中，，平面，，，與平面所成的角為，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，平面，，，，．故選：．14．（2024?浙江模擬）已知三棱錐的全部棱長(zhǎng)為1．是底面內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且到三個(gè)側(cè)面，，的距離，，成單調(diào)遞增的等差數(shù)列，記與，，所成的角分別為，，，則下列正確的是A． B． C． D．【解答】解：依題意知正四面體的頂點(diǎn)在底面的射影是正三角形的中心，由余弦定理可知，，，其中，表示直線(xiàn)與的夾角，同理可以將，轉(zhuǎn)化，，，其中，表示直線(xiàn)與的夾角，，，其中，表示直線(xiàn)與的夾角，由于是公共的，因此題意即比較與，，夾角的大小，設(shè)到，，的距離為，，則，其中是正四面體相鄰兩個(gè)面所成角，，所以，，成單調(diào)遞增的等差數(shù)列，然后在中解決問(wèn)題由于，可知在如圖陰影區(qū)域（不包括邊界）從圖中可以看出，與所成角小于與所成角，所以，故選：．15．（2015?紹興一模）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)意，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解答】解：取的中點(diǎn)，作點(diǎn)在平面內(nèi)的投影，過(guò)作交于點(diǎn)，連結(jié)、，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線(xiàn)為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，依據(jù)題意，易得，0，，，0，，，，，，，，設(shè)，，，則，，，，，，，0，，，，，即，記為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角，則即為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角，，，點(diǎn)的軌跡在平面內(nèi)是以為圓心，1為半徑的單位圓，，，，又為銳角，，，故選：．16．（2024秋?昌江區(qū)校級(jí)期末）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)意，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的取值范圍為（參考數(shù)據(jù)：A．， B．， C．， D．，【解答】解：如圖，建立空間干脆坐標(biāo)系，連結(jié)，交平面于點(diǎn)，，，，、，0，、，，，，，，，，、，，，，0，，，，，，，平面，依據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可知，即，解得，，，，異面直線(xiàn)與所成的角，轉(zhuǎn)化為與所成的角，如圖，將部分幾何體分類(lèi)出來(lái)，再建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，則以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，0，，，0，，，，，，，，，，，，0，，，，，即，，即，即，，，，，，因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成的角是銳角，并設(shè)為，則，，，．，，故選：．17．（2024秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：取中點(diǎn)，連接，，，，，，為正△，取中點(diǎn)，連接，則，且，易知平面，，平面，，在圖中圓上，當(dāng)與，重合時(shí)，最大，當(dāng)與，重合時(shí)，最?。蔬x：．18．（2024?浙江期中）如圖，已知三棱錐，記二面角的平面角為，直線(xiàn)與平面所成的角為，直線(xiàn)與所成的角為，則A． B． C． D．【解答】解：設(shè)三棱錐是棱長(zhǎng)為2的正四面體，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)、、、，過(guò)作，交于，連結(jié)，則，，，，，，，，取中點(diǎn)，連結(jié)、，則，，又，平面，，．．故選：．19．（2013春?合浦縣期中）二面角是直二面角，，，設(shè)直線(xiàn)與、所成的角分別為和，則A． B． C． D．【解答】解：如圖，，，則．又，．故選：．20．直線(xiàn)與直二面角的兩個(gè)面分別交于，兩點(diǎn)，且，都不在棱上，設(shè)直線(xiàn)與，所成的角分別為和，則的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：分別過(guò)點(diǎn)，向平面，作垂線(xiàn)，垂足為，，連接，，由已知，所以，，所以，，由最小角定理得，而，故，當(dāng)時(shí)，．故選：．21．（2024?溫州期中）在矩形中，若，，為邊上的一點(diǎn)，，現(xiàn)將沿直線(xiàn)折成△，使得點(diǎn)在平面上的射影在四邊形內(nèi)（不含邊界），設(shè)直線(xiàn)，與平面所成角分別為，，二面角的大小為，則A． B． C． D．【解答】解：如圖，四邊形為矩形，，當(dāng)點(diǎn)在底面上的射影落在上時(shí)，平面底面，又，平面，，平面，在△中，設(shè)，則，，為中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在底面上的射影落在上時(shí)，，設(shè)，則，，，要使點(diǎn)在平面上的射影在內(nèi)（不含邊界），則點(diǎn)的射影落在線(xiàn)段上（不含端點(diǎn)），可知為二面角的平面角，直線(xiàn)與平面所成角為，直線(xiàn)與平面所成的角為，由題意得，，且，的最小值為2，，．故選：．二．填空題（共4小題）22．（2015?黃岡模擬）如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面的射線(xiàn)移動(dòng)，此人為了精確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)視察點(diǎn)的仰角的大?。簦?，，則的最大值為．（仰角為直線(xiàn)與平面所成角）【解答】解：如圖由點(diǎn)向作垂線(xiàn)，連結(jié)，則，，，，，，當(dāng)，即時(shí)，取最大值，此時(shí)．即的最大值為．故答案為：．23．（2024?嘉興一模）如圖，已知三棱錐的全部棱長(zhǎng)均相等，點(diǎn)滿(mǎn)意，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，設(shè)與平面所成角為，則的最大值為．【解答】解：設(shè)棱長(zhǎng)為，，則．設(shè)到平面的距離為，則，，，時(shí)，的最大值為．故答案為．24．（2024?浙江期中）已知三棱錐的全部棱長(zhǎng)均相等，為的中點(diǎn)，若點(diǎn)為中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，若點(diǎn)在棱所在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，則直線(xiàn)與平面所成角正弦值的最大值為．【解答】解：連結(jié)，，過(guò)作底面，垂足為，連結(jié)，則是直線(xiàn)與平面所成角，設(shè)三棱錐的全部棱長(zhǎng)均相等，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則，，．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．當(dāng)與重合時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角正弦值取最大值，此時(shí)直線(xiàn)與平面所成角為，，直線(xiàn)與平面所成角正弦值的最大值為：．故答案為：，．25．如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)意，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值的最大值為．【解答】解：取的中點(diǎn)，作點(diǎn)在平面內(nèi)的投影，過(guò)作交于點(diǎn)，連結(jié)、，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線(xiàn)為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，依據(jù)題意，得，0，，，0，，，，，，，，設(shè)，，，則，，，，，，，0，，，，，即，記為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角，則即為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角，，點(diǎn)的軌跡在平面內(nèi)是以為圓心，為半徑的單位圓，，，又為銳角，，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值的最大值為．故答案為：．三．解答題（共1小題）26．（2024春?鹿城區(qū)校級(jí)期