人教版九年級數(shù)學上冊專題04圓中的重要模型-四點共圓模型(原卷版+解析)

專題04圓中的重要模型-四點共圓模型四點共圓是初中數(shù)學的?？贾R點，近年來，特別是四點共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點共圓性質(zhì)的應用，四點共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計算題或選擇中四點共圓模型的應用（特別是最值問題），通常能簡化運算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點共圓的四種重要模型。四點共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。模型1、定點定長共圓模型（圓的定義）【模型解讀】若四個點到一定點的距離相等，則這四個點共圓。這也是圓的基本定義，到定點的距離等于定長點的集合。條件：如圖，平面內(nèi)有五個點O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓（其中圓心為O）。例1．(2023·江蘇·二模）如圖，點為線段的中點，點到點的距離相等，若則的度數(shù)是例2．(2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，O是的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．B．C．D．平分例3．(2023春·福建廈門·九年級校考階段練習）如圖，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．（1）求BC的長．（2）如圖，點D在CA的延長線上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，連EF．求EF的最小值．

例4．(2023·河北·唐山九年級階段練習）如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，則∠BCD=_______°，∠DBC_______°．模型2、定邊對雙直角共圓模型同側(cè)型異側(cè)型1）定邊對雙直角模型（同側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AD為直徑。2）定邊對雙直角模型（異側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AC為直徑。例1．(2023秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）如圖在四邊形中，，若，則的值為（

）

A． B． C． D．例2．(2023春·山東國·九年級專題練習）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E在BD的延長線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．例3．(2023春·山東九年級課時練習）如圖，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E、F，M為BC的中點．（1）求證：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度數(shù)．例4．(2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點O為對角線AC的中點，點E在DC的延長線上且CE＝1.5，連接OE，過點O作OF⊥OE交CB延長線于點F，連接FE并延長交AC的延長線于點G，則＝．模型3、定邊對定角共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，AC、BD交于H，，結(jié)論：四點共圓.例1．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝．例2．(2023秋·湖南長沙·九年級?？茧A段練習）如圖，已知中，，，，，過點作的垂線，與的延長線交于點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．例3．（2023·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如圖2，在底邊BC上取一點D，連結(jié)AD，使得∠DAC=∠ACD．如圖3，將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點C落在點E處，連結(jié)BE，得到四邊形ABED．則BE的長是（

）A．1 B． C． D．例4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）請閱讀以下材料，完成相應任務．我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，那么過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？李雷經(jīng)過實踐探究發(fā)現(xiàn)了如下結(jié)論：如果線段同側(cè)兩點（與線段在同一平面內(nèi)）分別與線段兩端點的連線所組成的夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓．下面是李雷證明上述命題的過程（不完整）．已知：如圖1，點，是線段同側(cè)兩點，且．求證：點，，，四點共圓．證明：作的外接圓，假設點在外或在內(nèi)．如圖2，若點在外．設與交于點，連接，則（依據(jù)一），又（依據(jù)二），．．這與已知條件“”矛盾，故點在外不成立；如圖3，若點在內(nèi)，（請同學們補充完整省略的部分證明過程）綜上所述，作的外接圓，點在上，即點，，，四點共圓．(1)填空：將材料中依據(jù)一、依據(jù)二補充完整；依據(jù)一：；依據(jù)二：．(2)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(3)填空：如圖4，在四邊形中，，對角線，交于點，為中點，若，，則．模型4、對角互補共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長線交于P，，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓.例1．(2023春·九年級課時練習）如圖所示，正方形中，為對角線，點為上一點，過作，交于，求證：.例2．（2023·河南周口·?？既＃┰谥校?，M是外一動點，滿足，若，，，則的長度為．例3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，，，點、分別是線段、射線上的動點，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．

例4．（2023·河南南陽·校考三模）綜合實踐課上，劉老師介紹了四點共圓的判定定理：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點共圓．在實際應用中，如果運用這個定理，往往可以讓復雜的問題簡單化，以下是小明同學對一道四邊形問題的分析，請幫助他補充完整．

特殊情況分析：(1)如圖1，正方形中，點為對角線上一個動點，連接，將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，交直線于點．小明的思考如下：連接，∵，，∴，（依據(jù)1）∵，∴，∴點共圓，∴，，（依據(jù)2）∴，∴．（依據(jù)3）填空：①依據(jù)1應為___________，②依據(jù)2應為___________，③依據(jù)3應為___________；一般結(jié)論探究：(2)將圖1中的正方形改為菱形，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請僅以圖2的形式證明，若不成立，請說明理由；結(jié)論拓展延伸：(3)如圖2，若，，當為直角三角形時，請直接寫出線段的長．課后專項訓練1．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．12．(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，AB=AC=5，點在上，且，點E是AB上的動點，連結(jié)，點，G分別是BC，DE的中點，連接，，當AG=FG時，線段長為（

）A． B． C． D．43．（2023·山東威?！そy(tǒng)考二模）如圖，等邊的邊長為4，點F在內(nèi)運動，運動過程始終保持，則線段長度的最大值與最小值的差約為（

）

A． B．2 C． D．4．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，于點F，于點E，交于點O，點D是的中點，連接，，，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤為等邊三角形．正確結(jié)論個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊重合（），其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線從處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，與量角器的半圓弧交于點E，第20秒時點E在量角器上運動路徑長是．

6．（2023春·江蘇·八年級期末）如圖，在菱形中，，P為上一動點，于點Q，則的最小值為．

7．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）如圖，將矩形的邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點D作的垂線，垂足E在線段上，連接．若，，則的度數(shù)為．

8．(2023·浙江九年級課時練習）如圖所示，在平行四邊形中，點為，的垂直平分線的交點，若，求.9．(2023·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）探究與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．提出問題：如圖1，在線段同側(cè)有兩點，，連接，，，，如果，那么，，，四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（依據(jù)1）點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點，在點，，所確定的上（依據(jù)2）點，，，四點在同一個圓上(1)反思歸納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．(2)圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為__________．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點在上（不與的中點重合），連接．作點關(guān)于的對稱點，連接并延長交的延長線于，連接，．①求證：，，，四點共圓；②若，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．10．(2023春·廣東九年級課時練習）閱讀以下材料，并完成相應的任務：西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．數(shù)學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點P在⊙O上（不與點A、B、C重合），過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點D，E，F(xiàn)在同一條直線上以下是他們的證明過程：如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點Q，連接QE，QF，則（依據(jù)1），∴E，F(xiàn)，P，C四點共圓．∴（依據(jù)2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點共圓．∴（依據(jù)3）．∵，∴（依據(jù)4）．∴點D，E，F(xiàn)在同一條直線上．任務：(1)填空：①依據(jù)1指的的是中點的定義及______；②依據(jù)2指的是______；③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．(2)善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當點P是的中點時，．請你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．11．(2023春·九年級課時練習）如圖1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，過點C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點F．直線BE交直線CD于G點．(1)小智同學通過思考推得當點E在AB上方時，∠AEB的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝∠ACB，（填寫數(shù)量關(guān)系）∴∠AEB＝°．(2)如圖2，連接BF，求證A、B、F、C四點共圓；(3)線段AE最大值為，若取BC的中點M，則線段MF的最小值為．12．（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖①，在中，，，點E為上的一動點，連接，過點C作于點H，以為腰作等腰直角連接．

(1)求證：四邊形為正方形；(2)如圖②，當D，H，G三點共線時，求的值；(3)求的最小值．13．（2023春·重慶南岸·八年級?？计谀┮阎毫庑蔚膶蔷€交于點，以為斜邊構(gòu)造等腰，連接．

(1)如圖1，若，，求的面積．(2)如圖2，延長交于點，過點作于點，過點作于點，與交于點，且．求證：．14．（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）問題提出

如圖1，點E為等腰內(nèi)一點，，，將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，求證：．嘗試應用

如圖2，點D為等腰外一點，，，過點A的直線分別交的延長線和的延長線于點N，M，求證：．問題拓展

如圖3，中，，點D，E分別在邊，上，，，交于點H．若，，直接寫出的長度（用含a，b的式子）．15．(2023秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期末）綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點B，D，連接，如果，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．探究展示：求證：點A，B，C，D四點在同一個圓上如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的，在劣弧上取一點E（不與A，C重合），連接，，則．(1)請完善探究展示(2)如圖3，在四邊形中，，則∠4的度數(shù)為．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點D在上（不與的中點重合），連接．作點C關(guān)于的對稱點E，連接并延長交的延長線于F，連接．①求證：A，D，B，E四點共圓；②若，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由

專題04圓中的重要模型-四點共圓模型四點共圓是初中數(shù)學的?？贾R點，近年來，特別是四點共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點共圓性質(zhì)的應用，四點共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計算題或選擇中四點共圓模型的應用（特別是最值問題），通常能簡化運算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點共圓的四種重要模型。四點共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。模型1、定點定長共圓模型（圓的定義）【模型解讀】若四個點到一定點的距離相等，則這四個點共圓。這也是圓的基本定義，到定點的距離等于定長點的集合。條件：如圖，平面內(nèi)有五個點O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓（其中圓心為O）。例1．(2023·江蘇·二模）如圖，點為線段的中點，點到點的距離相等，若則的度數(shù)是答案:130分析：根據(jù)題意得到四邊形ABCD共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：由題意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圓O，如圖所示，∴四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝130°，故答案為：130．【點睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例2．(2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，O是的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接．下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B．C． D．平分答案:D分析：以點O為圓心，長為半徑作圓．再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理逐項判斷即可．【詳解】如圖，以點O為圓心，長為半徑作圓．由題意可知：．即點A、B、C、D都在圓O上．A．∵，∴，故A不符合題意；B．∵，∴，故B不符合題意；C．∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故C不符合題意；D．∵和不一定相等，∴和不一定相等，∴不一定平分，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查圓周角定理及其推論，充分理解圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．例3．(2023春·福建廈門·九年級?？茧A段練習）如圖，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．（1）求BC的長．（2）如圖，點D在CA的延長線上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，連EF．求EF的最小值．

答案:（1）BC=；（2）EF的最小值為分析：（1）過點A作AM⊥BC于點M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B=30°，BM=CM，由直角三角形的性質(zhì)得BM=，進而即可求解；（2）連接BD，取BD的中點O，連接OE，OF，易得B，D，E，F(xiàn)四點共圓，從而得?OEF是等邊三角形，進而得EF=BD，由BD⊥CD時，BD的值最小，進而即可求解．【詳解】（1）過點A作AM⊥BC于點M，∵等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，∴∠B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，∴BM=3÷2×=，∴BC=2BM=2×=3；（2）連接BD，取BD的中點O，連接OE，OF，∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∴在Rt?BDF與Rt?BDE中，OB=OD=OE=OF=BD，∴B，D，E，F(xiàn)四點共圓，∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°，∴?OEF是等邊三角形，∴EF=OF=BD，∵∠C=∠EBF=30°，∴當BD⊥CD時，BD=BC=，此時，BD的值最小，∴EF的最小值=BD=×=．

【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)以及等腰三角形，直角三角形的性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造四邊形的外接圓，是解題的關(guān)鍵．例4．(2023·河北·唐山九年級階段練習）如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，則∠BCD=_______°，∠DBC_______°．答案:

130

37分析：根據(jù)題意可得點B，C，D在以A為圓心的圓上，根據(jù)圓周角定理求得∠BDC，∠DBC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠BCD．【詳解】∵AB=AC=AD，∴點B，C，D在以A為圓心的圓上，∵∠BAC=26°∴∠BDC=∠BAC=13°，∵∠CAD=74°，∴∠DBC=∠CAD=37°．∴∠BCD=180∠DBC∠BDC=180°13°37°=130°故答案為：130，37【點睛】此題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．模型2、定邊對雙直角共圓模型同側(cè)型異側(cè)型1）定邊對雙直角模型（同側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AD為直徑。2）定邊對雙直角模型（異側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AC為直徑。例1．(2023秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）如圖在四邊形中，，若，則的值為（

）

A． B． C． D．答案:D分析：首先根據(jù)題意得到點A，B，C，D四點共圓，然后證明出，進而得到，然后利用直角三角形的性質(zhì)得到，進而求解即可．【詳解】如圖所示，∵∴點A，B，C，D四點共圓，

∵∴∵∴∴∵，∴∴∴．故選：D．【點睛】此題考查了四點共圓，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．例2．(2023春·山東國·九年級專題練習）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E在BD的延長線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．答案:（1）①20°；②，理由見解析；（2）證明見解析分析：（1）①根據(jù)題目定義推出∠E＝∠A，從而得出結(jié)論；②直接根據(jù)求解①過程證明即可；（2）首先根據(jù)題意推出A、B、C、D四點共圓，然后作四邊形ABCD的外接圓交CE于點F，連接AF，DF，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等推出∠AFD＝∠DFE，然后根據(jù)“遙望角”的定義推出∠E＝∠DAF，即可證△DAF≌△DEF，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案為：20°；②，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；（2）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四點共圓，作四邊形ABCD的外接圓交CE于點F，連接AF，DF，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，由（1）得∠E＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BAC，∴∠E＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．【點睛】本題考查新定義問題，涉及三角形角平分線的拓展運用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，理解題目定義，靈活運用“四點共圓”的證明方法是解題關(guān)鍵．例3．(2023春·山東九年級課時練習）如圖，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E、F，M為BC的中點．（1）求證：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度數(shù)．答案:（1）證明見解析（2）80°．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到ME=BC，MF=BC，得到答案；（2）根據(jù)四點共圓的判定得到B、C、E、F四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到答案．試題解析：（1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M為BC的中點，∴ME=BC，MF=BC，∴ME=MF；（2）解：∵CF⊥AB，∠A=50°，∴∠ACF=40°，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴B、C、E、F四點共圓，∴∠FME=2∠ACF=80°．考點：1．直角三角形斜邊上的中線；2．等腰三角形的判定與性質(zhì)．例4．(2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點O為對角線AC的中點，點E在DC的延長線上且CE＝1.5，連接OE，過點O作OF⊥OE交CB延長線于點F，連接FE并延長交AC的延長線于點G，則＝．答案:分析：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，根據(jù)三角形中位線定理分別求出OM、ON，根據(jù)勾股定理求出OE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出FN，得到FC的長，證明△GFC∽△GOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算得到答案．【詳解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB，∵點O為AC的中點，∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6，在Rt△OME中，OE==3，∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF，∴，即，解得，F(xiàn)N=9，∴FC=FN+NC=12，∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四點共圓，∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的應用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．模型3、定邊對定角共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，AC、BD交于H，，結(jié)論：四點共圓.例1．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝．答案:17分析：用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延長FE至點G，使得FG=FA，連AG，AT，得到△AFG是等邊三角形，證明A、B、D、T四點共圓，設法證明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案．【詳解】∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；延長FE至點G，使得FG=FA，連AG，AT，∵∠AFE=60°，∴△AFG是等邊三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，∵∠BAF+∠EAF=∠CAG+∠EAF=60°，∴∠BAF=∠CAG，∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD，∴A、B、D、T四點共圓，∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE，在△FAT和△GAE中，，∴△FAT≌△GAE（ASA），∴FT=GE，∵FG=50，TE=16，∴FT=(FG-TE)=17．故答案為：17．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等，作出輔助線，判斷出△FAT≌△GAE是解本題的關(guān)鍵．例2．(2023秋·湖南長沙·九年級?？茧A段練習）如圖，已知中，，，，，過點作的垂線，與的延長線交于點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．答案:C分析：由，，證明，推出，當有最大值時，有最大值，根據(jù)，得到點A、C、B、P四點共圓，若有最大值，則應為直徑，由，得到是圓的直徑，勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：∵∴∵∴∴∴∴，∴當有最大值時，有最大值，∵，∴點A、C、B、P四點共圓，若有最大值，則應為直徑，∵，∴是圓的直徑，∴，∴的最大值為，故選：C．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，四點共圓的判定和性質(zhì)，正確掌握四點共圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如圖2，在底邊BC上取一點D，連結(jié)AD，使得∠DAC=∠ACD．如圖3，將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點C落在點E處，連結(jié)BE，得到四邊形ABED．則BE的長是（

）A．1 B． C． D．答案:A分析：只要證明，得，求出、即可解決問題．【詳解】解：，，，，，，，，，，，，，，即，，，，、、、四點共圓，，，，，．故選：．【點睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是充分利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，本題需要三次相似解決問題，題目比較難，屬于中考選擇題中的壓軸題．例4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）請閱讀以下材料，完成相應任務．我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，那么過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？李雷經(jīng)過實踐探究發(fā)現(xiàn)了如下結(jié)論：如果線段同側(cè)兩點（與線段在同一平面內(nèi)）分別與線段兩端點的連線所組成的夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓．下面是李雷證明上述命題的過程（不完整）．已知：如圖1，點，是線段同側(cè)兩點，且．求證：點，，，四點共圓．證明：作的外接圓，假設點在外或在內(nèi)．如圖2，若點在外．設與交于點，連接，則（依據(jù)一），又（依據(jù)二），．．這與已知條件“”矛盾，故點在外不成立；如圖3，若點在內(nèi)，（請同學們補充完整省略的部分證明過程）綜上所述，作的外接圓，點在上，即點，，，四點共圓．(1)填空：將材料中依據(jù)一、依據(jù)二補充完整；依據(jù)一：；依據(jù)二：．(2)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(3)填空：如圖4，在四邊形中，，對角線，交于點，為中點，若，，則．答案:(1)同弧所對的圓周角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(2)見解析(3)分析：（1）由圓周角定理和三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）作的外接圓，假設點在外或在內(nèi)．由反證法、圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）證點，，，四點共圓，再由相似三角形得，然后由為中點，得，即可解決問題．【詳解】（1）解：依據(jù)一：同弧所對的圓周角相等；依據(jù)二：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；故答案為：同弧所對的圓周角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；（2）如圖3，若點在內(nèi)，延長與交于點，連接，則，又，．．這與已知條件“”矛盾，故點在內(nèi)不成立；（3），點，，，四點共圓，∵，∴，∴，，為中點，，，，，，解得：（負值已舍去），故答案為：．【點睛】本題是四點共圓綜合題目，考查了四點共圓、反證法、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握圓周角定理，證明四點共圓是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．模型4、對角互補共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長線交于P，，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓.例1．(2023春·九年級課時練習）如圖所示，正方形中，為對角線，點為上一點，過作，交于，求證：.答案:見解析.分析：先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠CDA=90°，再根據(jù)得到∠AEF=90°，從而得證，，，共圓，，繼而得出AE=FE.【詳解】在正方形ABCD中，,∠BDC=45°∵∴∴∠ADC+∠AEF=180°∴，，，共圓，∴，∴∴.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，四點共圓，以及等腰三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵例2．（2023·河南周口·?？既＃┰谥?，，M是外一動點，滿足，若，，，則的長度為．答案:/分析：過點B作交的延長線于點H，過點D作于點E，過點D作于點F，點A,M,B,C四點共圓，得，解直角三角形，，面積法求解，，得．【詳解】解析：過點B作交的延長線于點H，過點D作于點E，過點D作于點F，如圖所示：∵∴點A,M,B,C四點共圓∵∴∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴【點睛】本題考查四點共圓，圓周角定理，解直角三角形，角平分線性質(zhì)定理，添加輔助構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，，，點、分別是線段、射線上的動點，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．

答案:分析：連接并延長，利用四點共圓的判定定理得到，，，四點共圓，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到，得到點的軌跡，最后利用垂線段最短和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接并延長，如圖，

，，，，，，，四點共圓，為等腰直角三角形，，，，點的軌跡為的平分線上，垂線段最短，當時，取最小值，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點共圓的判定，圓周角定理，點的軌跡，垂線段的性質(zhì)，利用已知條件求得點D的軌跡是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·河南南陽·?？既＃┚C合實踐課上，劉老師介紹了四點共圓的判定定理：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點共圓．在實際應用中，如果運用這個定理，往往可以讓復雜的問題簡單化，以下是小明同學對一道四邊形問題的分析，請幫助他補充完整．

特殊情況分析：(1)如圖1，正方形中，點為對角線上一個動點，連接，將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，交直線于點．小明的思考如下：連接，∵，，∴，（依據(jù)1）∵，∴，∴點共圓，∴，，（依據(jù)2）∴，∴．（依據(jù)3）填空：①依據(jù)1應為___________，②依據(jù)2應為___________，③依據(jù)3應為___________；一般結(jié)論探究：(2)將圖1中的正方形改為菱形，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請僅以圖2的形式證明，若不成立，請說明理由；結(jié)論拓展延伸：(3)如圖2，若，，當為直角三角形時，請直接寫出線段的長．答案:(1)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；同弧所對的圓周角相等；等角對等邊(2)成立，理由見解析(3)或3分析：（1）根據(jù)材料中的證明過程，即可得到答案；（2）連接DQ，如圖1所示，由菱形的性質(zhì)得到，從而確定點共圓，再由圓周角定理得到，，進而結(jié)合菱形性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可得證；（3）如圖2所示，當時，，從而由為直角三角形可分兩種情況討論求解即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可知：①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，②同弧所對的圓周角相等，③等角對等邊，故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；同弧所對的圓周角相等；等角對等邊；（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：連接DQ，如圖1所示：

∵在菱形中，∴，，∵，∴點共圓，∴，，∵為菱形的對角線，∴，∴，∴；（3）解：或3．由于點為對角線上一個動點，分兩類情況討論如下：①當時，如圖2所示：∵在菱形中，，，∴，∵，∴，∴，由（2）中知點共圓，知，，∴，∴，即，∴在中，，則，∴由（2）知；②當時，如圖3所示：在菱形中，，則，，點與點重合，由（2）可知，，，綜上所述：或3．【點睛】本題考查特殊平行四邊形綜合，涉及正方形性質(zhì)、菱形性質(zhì)、含的直角三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理等知識，熟練掌握相關(guān)幾何知識并靈活運用是解決問題的關(guān)鍵．課后專項訓練1．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．1答案:A分析：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，，再判斷出點四點共圓，在以為直徑的圓上，連接，根據(jù)圓周角定理可得，，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：是以為腰的等腰直角三角形，，，，，，，點四點共圓，在以為直徑的圓上，如圖，連接，

由圓周角定理得：，，，，，在和中，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確判斷出點四點共圓，在以為直徑的圓上是解題關(guān)鍵．2．(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，AB=AC=5，點在上，且，點E是AB上的動點，連結(jié)，點，G分別是BC，DE的中點，連接，，當AG=FG時，線段長為（

）A． B． C． D．4答案:A分析：連接DF，EF，過點F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得點A，D，F(xiàn)，E四點共圓，∠DFE=90°，然后根據(jù)勾股定理及正方形的判定和性質(zhì)求得AE的長度，從而求解．【詳解】解：連接DF，EF，過點F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB∵在中，，點G是DE的中點，∴AG=DG=EG又∵AG=FG∴點A，D，F(xiàn)，E四點共圓，且DE是圓的直徑∴∠DFE=90°∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，點是BC的中點，∴CF=BF=，F(xiàn)N=FM=又∵FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，∴四邊形NAMF是正方形∴AN=AM=FN=又∵，∴∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3∴在Rt△DAE中，DE=故選：A．【點睛】本題考查直徑所對的圓周角是90°，四點共圓及正方形的判定和性質(zhì)和用勾股定理解直角三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵．3．（2023·山東威?！そy(tǒng)考二模）如圖，等邊的邊長為4，點F在內(nèi)運動，運動過程始終保持，則線段長度的最大值與最小值的差約為（

）

A． B．2 C． D．答案:A分析：根據(jù)運動過程始終保持，可知點F在以為直徑的圓上，該圓記作圓O，連接，交圓O于點F，此時滿足最短（圖1）；設交圓O于F，此時滿足最長（圖2）．據(jù)此利用勾股定理即可作答．【詳解】∵運動過程始終保持，∴點F在以為直徑的圓上，該圓記作圓O，連接，交圓O于點F，此時滿足最短．如圖1，

圖1

∵等邊的邊長為4，∴，，∵點O為中點，∴，∴，∴最短為：，如圖2，假如當點F運動到與的交點時，最長．

圖2∵（直徑所對的圓周角為直角），又，∴F為的中點，∴．即長度的最大值為2．故線段長度的最大值與最小值的差約為：．故答案為：A．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識，判斷出點F在以為直徑的圓上，是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，于點F，于點E，交于點O，點D是的中點，連接，，，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤為等邊三角形．正確結(jié)論個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案:C分析：求解，可得，，即，故①符合題意；證明，可得，故②符合題意；證明，故④符合題意；證明，可得為等邊三角形．故⑤符合題意；證明在以為圓心，為半徑的圓上，可得，，，故③不符合題意；從而可得答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，故①符合題意；∵，∴，∴，故②符合題意；∵點D是的中點，，∴，故④符合題意；∴，，∵，，∴，∴，∴為等邊三角形．故⑤符合題意；∵點D是的中點，，∴，∴在以為圓心，為半徑的圓上，∴，，∴，故③不符合題意；故選C【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，含的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，圓周角定理的應用，熟練的證明三角形相似是解本題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊重合（），其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線從處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，與量角器的半圓弧交于點E，第20秒時點E在量角器上運動路徑長是．

答案:分析：首先連接，由，易得點，，，C共圓，然后由圓周角定理，求得點E在量角器上對應的讀數(shù)．【詳解】解：連接，

∵，∴A，B，C在以點O為圓心，AB為直徑的圓上，∴點E，A，B，C共圓，∵，∴．∴點E在量角器上運動路徑長，故答案為：2π．【點睛】本題考查的是圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．6．（2023春·江蘇·八年級期末）如圖，在菱形中，，P為上一動點，于點Q，則的最小值為．

答案:/分析：根據(jù)垂直的定義得到，推出點Q在以為直徑的圓上運動，取的中點O，連接交PD于Q，則的值最小，連接，推出為等邊三角形，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵于點Q，∴，∴點Q在以為直徑的圓上運動，取的中點O，連接交于Q，則的值最小，連接，

在菱形中，，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）如圖，將矩形的邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點D作的垂線，垂足E在線段上，連接．若，，則的度數(shù)為．

答案:分析：連接與，與相交于點O，可知點五點共圓，從而得到，又易知在中，，，從而得到，從而得解．【詳解】解：連接與，與相交于點O，連接，

∵四邊形形是矩形，∴，，O是的中點，，又∵于E，即是直角三角形，∴，∴，∴點五點共圓，作出這個圓如圖所示：

則有，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，又∵，，∴，在中，，，∴，∴．故答案為：30．【點睛】本題考查隱圓問題，根據(jù)題意找出這個隱圓，從而得到是解題的關(guān)鍵．8．(2023·浙江九年級課時練習）如圖所示，在平行四邊形中，點為，的垂直平分線的交點，若，求.答案:分析：由點為，的垂直平分線的交點知，，所以，，在以為圓心，為半徑的圓上，由圓的性質(zhì)知，再由平行四邊形的性質(zhì)，問題得解.【詳解】連結(jié)，∵點為，的垂直平分線的交點∴，∴，，在以為圓心，為半徑的圓上，作出輔助圓，由圓的性質(zhì)知，又平行四邊形中，∴【點睛】作輔助圓，可以將直線型問題轉(zhuǎn)化為曲線型問題，為我們解決問題時提供更開闊思路，更簡捷的方法.9．(2023·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）探究與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．提出問題：如圖1，在線段同側(cè)有兩點，，連接，，，，如果，那么，，，四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（依據(jù)1）點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點，在點，，所確定的上（依據(jù)2）點，，，四點在同一個圓上(1)反思歸納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．(2)圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為__________．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點在上（不與的中點重合），連接．作點關(guān)于的對稱點，連接并延長交的延長線于，連接，．①求證：，，，四點共圓；②若，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．答案:(1)圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等(2)45°(3)①見解析；②不發(fā)生變化，值為8分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等作答即可；（2）根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求解；（3）①根據(jù)（1）中的結(jié)論證明即可得證；②證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）如圖2，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（圓內(nèi)接四邊形對角互補）點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點，在點，，所確定的上（同圓中，同弧所對的圓周角相等）點，，，四點在同一個圓上故答案為：圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等（2）在線段同側(cè)有兩點，，四點共圓，故答案為：（3）①∵，，點與點關(guān)于對稱，，，四點共圓；②，理由如下，如圖，四點共圓，，關(guān)于對稱，，，，，，，，又，，，，，．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，同弧所對的圓周角相等，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．10．(2023春·廣東九年級課時練習）閱讀以下材料，并完成相應的任務：西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．數(shù)學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點P在⊙O上（不與點A、B、C重合），過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點D，E，F(xiàn)在同一條直線上以下是他們的證明過程：如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點Q，連接QE，QF，則（依據(jù)1），∴E，F(xiàn)，P，C四點共圓．∴（依據(jù)2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點共圓．∴（依據(jù)3）．∵，∴（依據(jù)4）．∴點D，E，F(xiàn)在同一條直線上．任務：(1)填空：①依據(jù)1指的的是中點的定義及______；②依據(jù)2指的是______；③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．(2)善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當點P是的中點時，．請你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．答案:(1)①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對角互補；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④等量代換(2)見解析分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧或等弧所對的圓周角相等進行求解即可；（2）如圖，連接PA，PB，PC，只需要證明即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對角互補；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④等量代換；（2）證明：如圖，連接PA，PB，PC．∵點P是的中點，∴．∴，．又∵，，∴．∴（HL）．∴．【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，弧，弦，圓周角的關(guān)系，同弧或等弧所對的圓周角相等等等，正確作出輔助線和熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．11．(2023春·九年級課時練習）如圖1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，過點C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點F．直線BE交直線CD于G點．(1)小智同學通過思考推得當點E在AB上方時，∠AEB的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝∠ACB，（填寫數(shù)量關(guān)系）∴∠AEB＝°．(2)如圖2，連接BF，求證A、B、F、C四點共圓；(3)線段AE最大值為，若取BC的中點M，則線段MF的最小值為．答案:(1)，45；(2)見解析；(3)8，分析：（1）根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半解答；（2）由題意知，CD垂直平分BE，連接BF，則BF=EF，求得∠EBF=∠AEB＝45°，利用外角的性質(zhì)得到∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°，即可得到結(jié)論；（3）當點A、C、E在一條直線上時，線段AE最大，最大值為4+4=8，當MF⊥BC時線段MF最小，根據(jù)BC的中點M，得到CF=BF，設BG=FG=x，則CF=BF=x，CG=(+1)x，由勾股定理得，求出，根據(jù)，即可求出．【詳解】（1）解：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝∠ACB，∴∠AEB＝45°．故答案為：，45；（2）解：由題意知，CD垂直平分BE，連接BF，則BF=EF，∴∠EBF=∠AEB＝45°．∴∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴A、B、F、C在以AB為直徑的圓上，即A、B、F、C四點共圓；（3）解：當點A、C、E在一條直線上時，線段AE最大，最大值為4+4=8，當MF⊥BC時線段MF最小，∵BC的中點M，∴CF=BF，

設BG=FG=x，則CF=BF=x，CG=(+1)x，∵，∴，得，∵，∴，得，故答案為：8，．．【點睛】此題考查了圓周角定理，四點共圓的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各知識點并熟練應用解決問題是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖①，在中，，，點E為上的一動點，連接，過點C作于點H，以為腰作等腰直角連接．

(1)求證：四邊形為正方形；(2)如圖②，當D，H，G三點共線時，求的值；(3)求的最小值．答案:(1)見解析(2)160(3)分析：（1）先證四邊形是矩形，再證四邊形是正方形；（2）