河北省唐縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題

高一數(shù)學(xué)考試考試時(shí)間120分鐘全卷滿分150分一、單選題1．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設(shè)，，是互不重合的平面，，是互不重合的直線，給出四個(gè)命題：①若，，則

②若，，則③若，，則

④若，，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．有一組樣本數(shù)據(jù)：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，則這組樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是（

）A．11 B．12 C．16 D．174．已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，空間中一點(diǎn)滿足，其中，，，且.則的最小值為（

）A． B． C． D．15．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．向量．若，則角C的大小為（

）A． B． C． D．6．“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月兩節(jié)不變更，最多相差一兩天.”中國(guó)農(nóng)歷的二十四節(jié)氣，凝結(jié)著中華民族的智慧，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，如五月有立夏、小滿，六月有芒種、夏至，七月有小暑、大暑.現(xiàn)從立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑這6個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，則這2個(gè)節(jié)氣不在同一個(gè)月的概率為（

）A． B． C． D．7．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，每一次拋擲的結(jié)果要么正面向上要么反面向上，記“第一次硬幣正面向上”為事件A，“三次試驗(yàn)恰有1次正面向上”為事件B，“三次試驗(yàn)恰有2次正面向上”為事件C，“三次試驗(yàn)全部正面向上或者全部反面向上”為事件D，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．A與B互斥 B．A與D相互獨(dú)立C．A與C相互獨(dú)立 D．C與D對(duì)立8．通常以24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度（單位：mm）來(lái)判斷降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一個(gè)近似圓臺(tái)的水桶（如圖，計(jì)量單位）連續(xù)接了24小時(shí)的雨水，桶中水的高度約為桶高的，則當(dāng)天的降雨等級(jí)是（

）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨二、多選題9．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，，則有兩解B．若，則△ABC為等腰三角形C．若為銳角三角形，則D．若的外接圓的圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為10．如圖，在三棱柱中，底面為等邊三角形，為的重心，，若，則（

）A． B．C． D．11．正方體的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．直線與所成角的余弦值為B．三棱錐的體積為定值C．平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為D．直線與平面所成角的正弦值為三、填空題12．已知純虛數(shù)z滿足，則z可以是．13．在一個(gè)正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都為2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為．14．如圖，已知兩座山的海拔高度米，米，在BC同一水平面上選一點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)的仰角為點(diǎn)的仰角為，以及，則M，N間的距離為米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)）四、解答題15．已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．16．在正四棱柱中，，為棱中點(diǎn)．(1)證明平面．(2)求二面角的正弦值．

17．在網(wǎng)球比賽中，甲、乙兩名選手在決賽中相遇．根據(jù)以往賽事統(tǒng)計(jì)，甲、乙對(duì)局中，甲獲勝的頻率為，乙獲勝的頻率為．為便于研究，用此頻率代替他們?cè)跊Q賽中每局獲勝的概率．決賽采用五局三勝制，勝者獲得全部獎(jiǎng)金．(1)求前兩局乙均獲勝的概率；(2)前2局打成1：1時(shí)，①求乙最終獲得全部獎(jiǎng)金的概率；②若比賽此時(shí)因故終止，有人提出按2:1分配獎(jiǎng)金，你認(rèn)為分配合理嗎?為什么?18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面為線段的中點(diǎn)，為線段（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．著名的費(fèi)馬問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬（1601－1665）于1643年提出的平面幾何極值問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”費(fèi)馬問(wèn)題中的所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，則使得的點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn)．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，且．若是的“費(fèi)馬點(diǎn)”，．(1)求角；(2)若，求的周長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，設(shè)，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：1．A【分析】將代入中計(jì)算可求出復(fù)數(shù)，從而可求得答案.【詳解】由，，有，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第一象限．故選：A2．B【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理，以及推論，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】，，是互不重合的平面，，是互不重合的直線，若，，則，，相交或異面，故①不正確；若，，則，故②正確；若，，則，故③正確；若，，則或，故④不正確；正確命題的個(gè)數(shù)是.故選：.3．D【分析】將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列，結(jié)合上四分位數(shù)的定義可求得這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù).【詳解】將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，因?yàn)樯纤姆治粩?shù)是第分位數(shù)，則，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為.故選：D.4．B【分析】對(duì)結(jié)合化簡(jiǎn)得，從而可知點(diǎn)在平面內(nèi)，所以當(dāng)平面時(shí)，最小，從而可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，所以，因?yàn)椴还簿€，所以共面，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，所以當(dāng)平面時(shí)，最小，取的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)在上，且，所以，即的最小值為.故選：B5．C【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合余弦定理求解即得.【詳解】在中，由，，得，整理得，由余弦定理得，而，所以.故選：C6．A【分析】運(yùn)用列舉法，求出樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)，再找出滿足題意的種數(shù)，最后運(yùn)用古典概型公式求解即可.【詳解】樣本空間{（立夏，小滿），（立夏，芒種），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小滿，芒種），（小滿，夏至），（小滿，小暑），（小滿，大暑），（芒種，夏至），（芒種，小暑），（芒種，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}，共有15個(gè)樣本點(diǎn).其中任取2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣不在同一個(gè)月的樣本點(diǎn)有12個(gè).所以這2個(gè)節(jié)氣不在同一個(gè)月的概率為.故選：．7．B【分析】列出基本事件，由互斥事件、對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概念逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反）共8種結(jié)果，事件A“第一次硬幣正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反正），（正反反）共4種結(jié)果，事件B“三次試驗(yàn)恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3種結(jié)果，事件C“三次試驗(yàn)恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3種結(jié)果，事件D“三次試驗(yàn)全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（正反反），共2種結(jié)果，對(duì)于A選項(xiàng)，事件A與事件B可能同時(shí)發(fā)生，即（正反反），不是互斥事件，錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，，，則A與D相互獨(dú)立，正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，，則A與C不獨(dú)立，錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，C和D互斥但并事件不是全體事件，故它們不對(duì)立，錯(cuò)誤．故選:B.8．B【分析】計(jì)算出水桶桶中水的體積，除以水桶上底面面積即可得24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度，即可得解.【詳解】由題桶的下底面面積為，上底面面積又桶中水水面與底面距離為，設(shè)水面半徑為，如圖為桶的軸截面圖形，則，則，故由得，故水面半徑為，所以桶中水水面面積為所以連續(xù)24小時(shí)的桶中水的體積為，所以24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度為，所以當(dāng)天的降雨等級(jí)是中雨.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先計(jì)算出水面半徑，進(jìn)而得水桶桶中水的體積，再除以水桶上底面面積即可得24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度.9．ACD【分析】選項(xiàng)A，正弦定理解三角形判斷解的個(gè)數(shù)；選項(xiàng)B，已知條件結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)得，可判斷三角形形狀；選項(xiàng)C，若為銳角三角形，有，可得；選項(xiàng)D，由已知判斷的形狀，利用投影向量的定義計(jì)算結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，中，若，，，則由正弦定理，可得，又，所以或，此時(shí)有兩解，故A正確；選項(xiàng)B，中，若，則由正弦定理可得，所以，即，又，所以或，即或，為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，若為銳角三角形，則，即，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以，故C正確；選項(xiàng)D，中，，則O是BC的中點(diǎn)，所以BC為圓O的直徑，則有，又，則為等邊三角形，有，，，，則向量在向量上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.10．ABD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)重心性質(zhì)得到，求出；B選項(xiàng)，，利用向量數(shù)量積公式得到，得到垂直關(guān)系；C選項(xiàng)，，故兩者不平行；D選項(xiàng)，利用向量數(shù)量積公式得到，得到.【詳解】A選項(xiàng)，底面為等邊三角形，為的重心，故，又，故，A正確；B選項(xiàng)，，故，故，B正確；C選項(xiàng)，，又，設(shè)，即，無(wú)解，故與不平行，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故，D正確.故選：ABD11．ABC【分析】對(duì)于A，取中點(diǎn)H，連接得，則求出的余弦值即為直線與所成角余弦值；對(duì)于B，連接、，證明即可得到平面截正方體所得的截面圖形為四邊形，證明平面結(jié)合棱錐的體積公式即可判斷；對(duì)于C，由選項(xiàng)B即可得到截面的圖形，進(jìn)而根據(jù)數(shù)據(jù)直接求解即可；對(duì)于D，根據(jù)線面角定義以及正方體性質(zhì)可得到是直線與平面所成的角，求出的正弦值即可得解.【詳解】對(duì)于A，取中點(diǎn)H，連接、、，

則由題意可知，，且，所以是直線與所成角或補(bǔ)角，且，所以直線與所成角余弦值為，故A正確；對(duì)于B，連接、，由正方體幾何性質(zhì)可知且，所以四邊形是平行四邊形，故，

又，所以，故與共面且過(guò)與的面有且只有一個(gè)，故四邊形是平面截正方體所得的截面圖形，連接，則由、均為所在邊的中點(diǎn)以及正方體性質(zhì)得，且，故，又平面，平面，所以平面，故點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，所以為定值，即三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由B可知平面截正方體所得的截面圖形為四邊形，又由上以及題意得，，，所以平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，連接，由正方體性質(zhì)可知平面，故是直線與平面所成的角，又，所以，所以，故直線與平面所成角的正弦值為，故D錯(cuò).

故選：ABC.12．（答案不唯一）【分析】由復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)的模即可求解.【詳解】為純虛數(shù)，設(shè)，，，解得或，即或.故答案為：（答案不唯一）13．【分析】由已知畫(huà)出圖形，連接上下底面中心，則的中點(diǎn)即為外接球球心，連接CO，求出CO即可計(jì)算得出外接球的面積．【詳解】由已知做出正三棱柱，則，設(shè)點(diǎn)分別為正，正的中心，連接，則，連接并延長(zhǎng)交于于點(diǎn)，則，，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連接CO，則點(diǎn)為正三棱柱外接球的球心，且平面，，因?yàn)辄c(diǎn)為正的中心，所以，所以，則，因?yàn)槠矫?，所以，則正三棱柱外接球半徑，所以該球的表面積為：，故答案為：14．249【分析】由題意求出，在中結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，米，米，在中，由余弦定理得米，即的距離為249米.故答案為：24915．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角公式即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】（1）由正弦定理可得，所以，即，因?yàn)椋?，所以，化?jiǎn)得，即，又由，可得，故，所以；（2）由已知可得，，可得，化簡(jiǎn)得，，即，又由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得，，聯(lián)立解得，所以的周長(zhǎng)為16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用正四棱柱的性質(zhì)，得到側(cè)面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，結(jié)合，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)槭钦睦庵?，所以?cè)面，而平面，所以又，，平面，所以平面；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，所以，，因?yàn)椋?，解得或（舍去），所以，，則，，，設(shè)是平面的法向量，所以取，設(shè)是平面的法向量，所以取，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值為.17．(1)；(2)①；②不合理，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.（2）①利用互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率公式，列式計(jì)算即可；②求出繼續(xù)比賽甲乙各自獲勝的概率，按概率比例進(jìn)行分配即可.【詳解】（1）依題意，前兩局乙均獲勝的概率為.（2）①乙最終獲得全部獎(jiǎng)金的事件，有以和兩種情況，若以獲勝，則乙連勝兩局，概率為，若以獲勝，則乙第3、4局輸1局，第5局勝，概率為，所以乙最終獲得全部獎(jiǎng)金的概率為.②由①知，繼續(xù)比賽，乙獲勝的概率是，則甲獲勝的概率為，所以按2:1分配獎(jiǎng)金，不合理，應(yīng)按將獎(jiǎng)金分配給甲乙.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意可證平面，則，進(jìn)而可得平面，即可得結(jié)果；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，分別為平面、平面的法向量，利用空間向量處理二面角的問(wèn)題.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋檎叫?，則，又因?yàn)槠矫?，平面，。且，平面，可得平面，由平面，可得，因?yàn)?，且E為的中點(diǎn)，則，由，平面，可得平面，且平面，所以平面平面.（2）以分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，又因?yàn)?，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由題意得：，即