高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3-2-2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算課件新人教A版選修1-2

3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________.【思考】復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式的乘法有何相似之處?提示:復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式的乘法很相似,可仿照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行,但結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開(kāi),且將i2換為-1.必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)(ac-bd)+(ad+bc)i2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)任意復(fù)數(shù)z1,z2,z3∈C,有交換律z1·z2=____結(jié)合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)分配律z1(z2+z3)=________z1z2+z1z3z2·z1【思考】多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)乘法中能否成立?提示:仍然成立,乘法公式也適用.3.共軛復(fù)數(shù)已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,則(1)z1,z2互為共軛復(fù)數(shù)的充要條件是___________.

(2)z1,z2互為共軛虛數(shù)的充要條件是______________.

a=c且b=-da=c且b=-d≠0【思考】(1)若z1,z2是共軛復(fù)數(shù),那么在復(fù)平面內(nèi),它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系?提示:它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.(2)z·

是怎樣的一個(gè)數(shù)?

與

有什么關(guān)系?提示:z·為實(shí)數(shù),為|z|2,互為共軛復(fù)數(shù)的兩復(fù)數(shù)模長(zhǎng)相等.4.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則(a+bi)÷(c+di)=

_______________

(a,b,c,d∈R,c+di≠0).【思考】復(fù)數(shù)除法的實(shí)質(zhì)是什么?提示:分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),實(shí)質(zhì)是將分母實(shí)數(shù)化.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)共軛虛數(shù)的和為純虛數(shù). (

)(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)是它們的模相等的必要條件.(

)(3)若z1,z2∈C,且

=0,則z1=z2=0. (

)(4)兩個(gè)虛數(shù)相乘的結(jié)果可能為實(shí)數(shù). (

)【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)共軛虛數(shù)的和為純虛數(shù). (

)(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)是它們的模相等的必要條件.(

)(3)若z1,z2∈C,且

=0,則z1=z2=0. (

)(4)兩個(gè)虛數(shù)相乘的結(jié)果可能為實(shí)數(shù). (

)提示:(1)×.兩個(gè)共軛虛數(shù)的和為實(shí)數(shù).(2)×.兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)是它們的模相等的充分條件.(3)×.如z1=1,z2=i,滿足=0,但z1≠z2≠0.(4)√.如z1=1+i,z2=1-i,z1z2=2為實(shí)數(shù).2.設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是

,若復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=t+i,且z1·

是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)t等于 (

)

【解析】選A.因?yàn)閦2=t+i,所以=t-i.z1·=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i,又因?yàn)閦1·∈R,所以4t-3=0,所以t=.3.(教材二次開(kāi)發(fā):習(xí)題改編)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)

(i是虛數(shù)單位)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.,所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.(2020·江蘇高考)已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=(1+i)(2-i)的實(shí)部是________.

2.計(jì)算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(3+4i)(3-4i);(3)(1+i)2.【解析】1.z=(1+i)(2-i)=3+i,則實(shí)部為3.答案:32.(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.(3)(1+i)2=1+2i+i2=2i.【解析】1.z=(1+i)(2-i)=3+i,則實(shí)部為3.答案:32.(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.(3)(1+i)2=1+2i+i2=2i.【解題策略】1.兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法復(fù)數(shù)的乘法可以按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行,注意選用恰當(dāng)?shù)某朔ü竭M(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算,例如平方差公式、完全平方公式等.2.常用公式(1)(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);(3)(1±i)2=±2i.類型二共軛復(fù)數(shù)(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.如圖,在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是(

)

A.A

B.B

C.C

D.D2.定義一種運(yùn)算如下:

=ad-bc.則復(fù)數(shù)

的共軛復(fù)數(shù)是________.

3.把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作

,已知(1+2i)

=4+3i,求z.【解析】1.選B.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),且a<0,b>0,則z的共軛復(fù)數(shù)為a-bi,其中a<0,-b<0,故應(yīng)為B點(diǎn).2.因?yàn)?3i(1+i)+2=3i-1,所以其共軛復(fù)數(shù)為-1-3i.答案:-1-3i3.設(shè)z=a+bi(a,b∈R).由已知得:(1+2i)(a-bi)=(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,由復(fù)數(shù)相等的定義知,解得a=2,b=1,所以z=2+i.【解題策略】處理與共軛復(fù)數(shù)有關(guān)問(wèn)題的思路當(dāng)已知條件為含有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)z(或其共軛復(fù)數(shù))的等式時(shí),常設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題求解.1.復(fù)數(shù)z=

的共軛復(fù)數(shù)是 (

)

C.1-i D.1+i【解析】選B.z=所以2.已知復(fù)數(shù)z=

,

是z的共軛復(fù)數(shù),則z·

= (

)A.

B.

C.1 D.2【解析】選A.方法一:|z|=所以z·=|z|2=.方法二:z=

所以z·

類型三復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.(2020·全國(guó)Ⅲ卷)復(fù)數(shù)的虛部是 (

)2.i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z=

,z的共軛復(fù)數(shù)為

,則z·

= (

)A.1

B.-1

C.

D.-

3.若復(fù)數(shù)z滿足則z等于________.

【思維導(dǎo)引】1.分子分母同乘以1+3i,然后化簡(jiǎn)即可.2.先求,然后再求z·.3.先由得出z,再進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化.【解析】1.選D.因?yàn)樗詮?fù)數(shù)的虛部為2.選A.因?yàn)閦==i,所以=-i,所以z·=1.3.因?yàn)樗詚=答案:7+i【解題策略】復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則的應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)的除法先寫(xiě)成分式的形式,再把分母實(shí)數(shù)化(方法是分母與分子同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù),若分母是純虛數(shù),則只需同時(shí)乘以i).(2)對(duì)于復(fù)數(shù)的運(yùn)算,除了應(yīng)用四則運(yùn)算法則之外,對(duì)于一些簡(jiǎn)單的算式要知道其結(jié)果,這樣起點(diǎn)就高,計(jì)算過(guò)程就可以簡(jiǎn)化,達(dá)到快速、簡(jiǎn)捷、出錯(cuò)少的效果.比如下列結(jié)果,要記住:①

=-i;②

=i;③

=-i;④a+bi=i(b-ai).【跟蹤訓(xùn)練】1.歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),i為虛數(shù)單位)是瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的,eiπ+1=0是英國(guó)科學(xué)期刊《物理世界》評(píng)選出的十大最偉大的公式之一.根據(jù)歐拉公式可知,復(fù)數(shù)

的虛部為 (

)

【解析】選B.根據(jù)歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ,可得=cos+isin,所以的虛部為.2.若復(fù)數(shù)z=

的實(shí)部為3,則z的虛部為_(kāi)_______.

【解析】z=i.由題意知

=3,所以a=-1,所以z=3+i.所以z的虛部為1.答案:1【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知z是純虛數(shù),

是實(shí)數(shù),那么z等于________.

【解析】設(shè)z=bi(b∈R),則i,因?yàn)槭菍?shí)數(shù),所以=0,得b=-2,所以z=-2i.答案:-2i課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1-i)(1+2i)= (

)

A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i【解析】選C.(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i.2.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.由z=-3+2i可得=-3-2i,故對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,-2),此點(diǎn)在第三象限.3.若

則n的值可能為 (

)A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選A.因?yàn)?i,=-i,所以in+(-i)n=所以n的值可能為4.4.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+3i)z=10,則z=________.

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足(1+3i)z=10,則z==1-3i.答案:1-3i5.計(jì)算:(1)(2)【解析】(1)

(2)原式=Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛(ài).Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞5.計(jì)算:(1)(2)2.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 (

)A.