高中數(shù)學(xué)第三章不等式3-4-1基本不等式同步課件新人教A版必修5

3.4基本不等式:第1課時基本不等式主題基本不等式1.若a,b∈R,則代數(shù)式a2+b2與2ab的關(guān)系如何?提示:因為a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以對?a,b∈R,a2+b2≥2ab.2.上述結(jié)論中,“=”何時成立?提示:對于(a-b)2,當(dāng)a=b時,(a-b)2=0,所以當(dāng)a=b時,a2+b2=2ab,等號成立.3.若把a看作()2,把b看作()2,那么a+b與2的關(guān)系如何?提示:所以a+b≥2.4.問題3的結(jié)論中,等號成立的條件是什么?提示:對于()2≥0,當(dāng)即a=b時,等號成立,此時a+b=2.結(jié)論:1.重要不等式當(dāng)a,b是任意實數(shù)時,有a2+b2≥____,當(dāng)且僅當(dāng)____時,等號成立.2aba=b2.基本不等式(1)有關(guān)概念:當(dāng)a,b均為正數(shù)時,把______叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),把____叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).(2)不等式:當(dāng)a,b是任意正實數(shù)時,a,b的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù),即≤_____,當(dāng)且僅當(dāng)____時,等號成立.(3)文字?jǐn)⑹?兩個正數(shù)的___________不大于____________.a=b幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)(2)不等式:當(dāng)a,b是任意正實數(shù)時,a,b的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù),即≤_____,當(dāng)且僅當(dāng)____時,等號成立.(3)文字?jǐn)⑹?兩個正數(shù)的___________不大于____________.a=b幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)【對點訓(xùn)練】1.有下列條件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0,其中能使≥2成立的條件是 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.①ab>0,則>0和>0都成立,故①正確;②ab<0,顯然不成立;③中a>0,b>0和④中a<0,b<0都可以使>0和>0成立.2.設(shè)a,b為正數(shù),且a+b≤4,則 (

)A.≤1 B.≥2C.ab≤4 D.ab≥8【解析】選C.因為a,b為正數(shù),且a+b≥2,所以ab≤≤4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號.3.已知x+3y=2,則3x+27y的最小值為________.

【解析】3x+27y=3x+33y≥2=2=6,當(dāng)且僅當(dāng)3x=33y,即x=3y=1時等號成立.答案:63.已知x+3y=2,則3x+27y的最小值為________.

【解析】3x+27y=3x+33y≥2=2=6,當(dāng)且僅當(dāng)3x=33y,即x=3y=1時等號成立.答案:6類型一基本不等式及其簡單應(yīng)用【典例1】1.設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是(

)

2.給出下面四個推導(dǎo)過程:①因為a,b∈(0,+∞),所以②因為x,y∈(0,+∞),所以lgx+lgy≥2③因為a∈R,a≠0,所以+a≥2=4;④因為x,y∈R,xy<0,所以其中正確的推導(dǎo)過程為 (

)A.①② B.②③ C.③④ D.①④【解題指南】1.運用基本不等式證明,也可以用特殊值法排除錯誤選項.2.注意基本不等式運用的條件,一正二定三相等.【解析】1.選B.方法一:因為b>a>0,所以,2b>b+a,b>,所以a<<b.方法二:取a=2,b=8,則所以a<<b.2.選D.從基本不等式成立的條件考慮.①因為a,b∈(0,+∞),所以∈(0,+∞),符合基本不等式的條件,所以①的推導(dǎo)過程正確;②雖然x,y∈(0,+∞),但當(dāng)x∈(0,1)時,lgx是負(fù)數(shù),y∈(0,1)時,lgy是負(fù)數(shù),所以②的推導(dǎo)過程是錯誤的;③因為a∈R,a≠0不符合基本不等式的條件,所以+a≥2=4是錯誤的;④由xy<0得均為負(fù)數(shù),但在推導(dǎo)過程中將全體提出負(fù)號后,-與-均變?yōu)檎龜?shù),符合基本不等式的條件,所以④正確.【方法總結(jié)】基本不等式應(yīng)用的注意事項(1)若給定的代數(shù)式中既有“和式”又有“積式”,可考慮利用基本不等式解決,同時要注意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì).(2)利用基本不等式時,還要注意是否滿足條件,即a>0,b>0.【拓展延伸】基本不等式常見推論(1)(2)當(dāng)a>0時,a+≥2.(3)當(dāng)ab>0時,≥2.(4)(a1,a2,…,an∈R+且n≥2,n∈N*).(5)(a1+a2+…+an)≥n2(a1,a2,…,an∈R+且n≥2,n∈N*).【跟蹤訓(xùn)練】1.設(shè)f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),則下列關(guān)系式中正確的是(

)A.q=r<p B.q=r>pC.p=r<q D.p=r>q【解析】選C.由條件可得p=f()=ln(ab)

=ln(ab)=(lna+lnb),r=(f(a)+f(b))=(lna+lnb)=p,由不等式的性質(zhì):在0<a<b的條件下,,且函數(shù)f(x)=lnx是增函數(shù),所以p=f()<q=f,所以p=r<q.2.設(shè)a,b,c都是正數(shù),則a+,b+,c+這三個數(shù)

(

)A.都大于2 B.至少有一個大于2C.至少有一個不小于2 D.至少有一個不大于2【解析】選C.a,b,c都是正數(shù),根據(jù)基本不等式可得a++b++c+≥2+2+2=6,若a+,b+,c+都小于2,則與不等式矛盾,因此,至少有一個不小于2;當(dāng)a+,b+,c+都等于2時,選項A,B錯誤,都等于3時,選項D錯誤.【補償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=|lg(x-1)|,若a≠b,f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是________.

【解析】由f(a)=f(b)得a>1,b>1,且|lg(a-1)|=|lg(b-1)|.由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得,lg(a-1)+lg(b-1)=0,所以(a-1)·(b-1)=1,所以ab=a+b,故a+2b=(a+2b)·(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立).答案:[2+3,+∞)類型二利用基本不等式證明不等式【典例2】(2019·全國卷Ⅰ)已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1.證明:(1)≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【解題指南】(1)利用abc=1將所證不等式可變?yōu)樽C明:a2+b2+c2≥bc+ac+ab,利用基本不等式可證得2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,從而得到結(jié)論;(2)利用基本不等式可得(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)(b+c)(c+a),再次利用基本不等式可將不等式轉(zhuǎn)化為(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24,在取等條件一致的情況下,可得結(jié)論.【解析】(1)因為abc=1,所以=·abc=bc+ac+ab，因為2(a2+b2+c2)=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號，所以2(a2+b2+c2)≥2,即:a2+b2+c2≥

(2)因為(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)(b+c)(c+a),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號，又a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號同時成立)所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3×2×2×2=24又abc=1,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【方法總結(jié)】利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(1)策略:從已證不等式和問題的已知條件出發(fā),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后轉(zhuǎn)化為所求問題,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.(2)注意事項:①多次使用基本不等式時,要注意等號能否成立;②累加法是不等式證明中的一種常用方法,證明不等式時注意使用;③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合,形成基本不等式模型,再使用.【跟蹤訓(xùn)練】若a,b,c是正實數(shù),且=1,求證:a+b+c≥1.【證明】a+2b+3c=(a+2b+3c)==3+2+2+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c時,上式取得等號.則有

a+b+c≥1.【知識思維導(dǎo)圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強.勵志名言請您欣賞【證明】a+2b+3c=(a+2b+3c)==3+2+2+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c時,上式取得等號.則有

a+b+c≥1.(2)注意事項:①多次使用基本不等式時,要注意等號能否成立;②累加法是不等式證明中的一種常用方法,證明不等式時注意使用;③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合,形成基本不等式模型,再使用.3.若把a看作()2,把b看作()2,那么a+b與2的