高中數(shù)學(xué)第三章不等式3-3-1-2二元一次不等式組表示的平面區(qū)域同步課件新人教A版必修5

第2課時二元一次不等式組表示的平面區(qū)域

主題二元一次不等式組表示的平面區(qū)域已知點P1(2,1),P2(1,-1),不等式x-2y+1>0,x+y+2>0.1.P1,P2是否在兩不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)?提示:P1,P2都在每個不等式表示的平面區(qū)域內(nèi).2.不等式組除了P1,P2是否還有其他解?如果有,這些解與每個不等式表示的平面區(qū)域有何關(guān)系?提示:不等式組除了P1,P2外還有其他解,不等式組有無數(shù)個解,這無數(shù)個解都在每個不等式表示的平面區(qū)域內(nèi).3.不等式組的解構(gòu)成的區(qū)域與每個不等式表示的平面區(qū)域有何關(guān)系?提示:不等式組的解構(gòu)成的區(qū)域是每個不等式表示平面區(qū)域的公共部分.4.不等式組的解與其表示區(qū)域內(nèi)的點有何關(guān)系?提示:一一對應(yīng)關(guān)系.結(jié)論:二元一次不等式組的定義由幾個含有相同未知數(shù)的_______________組成的不等式組稱為二元一次不等式組.二元一次不等式組的解集滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對_____,所有這樣的有序數(shù)對(x,y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式組的_____.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是不等式組中每個不等式所表示的平面區(qū)域的_________.二元一次不等式(x,y)解集公共部分【拓展延伸】含絕對值的不等式表示的平面區(qū)域的作法(1)去絕對值符號,從而把含絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為普通的二元一次不等式.(2)一般采用分象限討論去絕對值符號.(3)利用對稱性可避免對絕對值的討論.(4)在方程f(x,y)=0或不等式f(x,y)>0中,若將x(或y)換成-x(或-y),方程或不等式不變,則這個方程或不等式所表示的平面區(qū)域關(guān)于y(或x)軸對稱.(3)利用對稱性可避免對絕對值的討論.(4)在方程f(x,y)=0或不等式f(x,y)>0中,若將x(或y)換成-x(或-y),方程或不等式不變,則這個方程或不等式所表示的平面區(qū)域關(guān)于y(或x)軸對稱.【對點訓(xùn)練】1.下列二元一次不等式組中,能表示圖中陰影部分的是 (

)

【解析】選C.因為陰影部分在直線2x-y+2=0的右下方,因此2x-y+2≥0,又陰影部分在y軸左側(cè)及直線y=-1的上方,故x≤0且y≥-1.2.如圖所示,表示滿足不等式(x-y)(x+2y-2)>0的點(x,y)所在的區(qū)域的是 (

)

【解析】選B.不等式(x-y)(x+2y-2)>0等價于不等式組①

或不等式組②

分別畫出不等式組①和②所表示的平面區(qū)域,再求并集.3.在平面直角坐標(biāo)系中,求不等式組表示的平面區(qū)域的面積.3.在平面直角坐標(biāo)系中,求不等式組表示的平面區(qū)域的面積.【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由得即A(2,2),則三角形的面積S=×4×2=4.類型一二元一次不等式組表示的平面區(qū)域【典例1】畫出下列不等式組所表示的平面區(qū)域:

【解題指南】畫出不等式組中每一個不等式表示的平面區(qū)域,取公共部分即可.【解析】(1)不等式4x+y≤10表示直線y=10-4x及其下方的平面區(qū)域;不等式4x+3y≤20表示直線4x+3y-20=0及其下方的平面區(qū)域.因此,同時滿足這兩個不等式的點(x,y)的集合就是這兩個平面區(qū)域的公共部分(如圖①所示).(2)原不等式組所表示的平面區(qū)域即為不等式4x+3y-8<0所表示的平面區(qū)域位于第一象限內(nèi)的部分(如圖②所示).【方法總結(jié)】畫二元一次不等式組表示平面區(qū)域的一般步驟【跟蹤訓(xùn)練】以下不等式組表示的平面區(qū)域是三角形的是 (

)

【解析】選D.A選項:表示的區(qū)域如圖,不滿足題意;B選項:表示的區(qū)域如圖,不滿足題意;C選項:表示的區(qū)域如圖,不滿足題意;D選項:表示的區(qū)域如圖,滿足題意.【補償訓(xùn)練】1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0表示的平面區(qū)域為 (

)2.在△ABC中,已知A(3,-1),B(-1,1),C(1,3).寫出△ABC區(qū)域所表示的二元一次不等式組.【解析】(1)選C.將原不等式組等價轉(zhuǎn)化為或再運用選取測試點定域的方法作出判斷.(2)如圖,AB,BC,CA三邊所在直線方程分別為x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0.由區(qū)域可得不等式組為

類型二不等式組表示平面區(qū)域的面積【典例2】(1)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組表示的平面區(qū)域面積是 (

)

A.3 B.6 C. D.9(2)已知x,y滿足不等式組若直線x-y-a=0平分不等式組所表示的平面區(qū)域的面積,則a的值為

(

)A.- B.- C.1-2 D.1-

【解題指南】(1)畫出不等式組表示的區(qū)域為直線y=x+4,y=-x及x=1圍成的三角形,求這個三角形的面積即可.(2)求出可行域的面積,利用點到直線的距離公式轉(zhuǎn)化求解即可.【解析】(1)選D.如圖,畫出不等式組表示的區(qū)域為直線y=x+4,y=-x及x=1圍成的三角形,區(qū)域面積為:×3×6=9.(2)選D.不等式組所表示的平面區(qū)域如圖,為陰影部分三角形,可得三角形的面積為:×2×1=1,因為直線x-y-a=0平分不等式組所表示的平面區(qū)域的面積,所以△DEF的面積為.此時點(1,0)到直線x-y-a=0的距離為1.可得=1,解得a=1-.【方法總結(jié)】求二元一次不等式組所表示平面區(qū)域面積的方法與注意事項(1)求平面區(qū)域面積的方法:①由不等式組表示出平面區(qū)域;②若是規(guī)則圖形,先求出關(guān)鍵點的坐標(biāo),再利用公式求出面積.若是不規(guī)則圖形,則將其分成若干個規(guī)則圖形求解.(2)注意事項:①求面積時,要注意與坐標(biāo)軸垂直的直線及區(qū)域端點的坐標(biāo),這樣易求出相關(guān)的長度;②必要時將所求區(qū)域分割為幾個規(guī)則的圖形,分別求其面積再相加.【跟蹤訓(xùn)練】1.若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線mx+y+2=0分為面積相等的兩部分,則實數(shù)m的值為

(

)A.- B.- C.1 D.2【解析】選C.滿足約束條件的平面區(qū)域如圖所示:

由圖可知,直線mx+y+2=0恒經(jīng)過點A(0,-2),當(dāng)直線mx+y+2=0再經(jīng)過BC的中點M(1,-3)時,不等式組表示的平面區(qū)域被直線mx+y+2=0分為面積相等的兩部分.把x=1,y=-3代入直線mx+y+2=0中,得m=1.2.已知實數(shù)x,y滿足線性約束條件,則其表示的平面區(qū)域外接圓的面積為 (

)A.π B.2π C.4π D.6π【解析】選C.由線性約束條件,畫出可行域如圖(△ABC及內(nèi)部),又x+y=2與y=x垂直,所以∠ABC為直角,即三角形ABC為直角三角形,所以△ABC外接圓的直徑為AC,又A(-1,3),C(-1,-1),AC=4,所以△ABC外接圓的半徑r=2,所以△ABC外接圓的面積為πr2=4π.類型三二元一次不等式組的實際應(yīng)用【典例3】投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時,每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元,需場地200平方米;投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時,每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元,需場地100平方米.現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元,場地900平方米,用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述要求.【解題指南】結(jié)合題中的已知條件建立x,y的二元一次不等式組,然后畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.【解析】已知數(shù)據(jù)列成表,如表所示:消耗量產(chǎn)品資金/百萬元場地/百平方米A產(chǎn)品/百噸22B產(chǎn)品/百噸31設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸,生產(chǎn)B產(chǎn)品y百噸,則其表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分).【方法總結(jié)】用二元一次不等式組表示的平面區(qū)域來表示實際問題的方法(1)先根據(jù)問題的需要選取起關(guān)鍵作用的關(guān)聯(lián)較多的兩個量,用字母表示.(2)將問題中所有的量都用這兩個字母表示出來.(3)由實際問題中有關(guān)的限制條件,或由問題中所有量均有實際意義,寫出所有的不等式.(4)把這些不等式所組成的不等式組用平面區(qū)域表示出來.【跟蹤訓(xùn)練】某家具廠制造甲、乙兩種型號的桌子,每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張甲、乙型號的桌子分別需要1h和2h,漆工油漆一張甲、乙型號的桌子分別需要3h和1h.又木工、漆工每天工作分別不得超過8h和9h.請列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.【解析】設(shè)家具廠每天生產(chǎn)甲,乙型號的桌子張數(shù)分別為x,y,則它們滿足的不等式組為

分別畫出不等式組中各不等式表示的平面區(qū)域,然后取交集,如圖中的陰影部分所示,生產(chǎn)條件是圖中陰影部分的整數(shù)點所表示的條件.【知識思維導(dǎo)圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強.勵志名言請您欣賞分別畫出不等式組中各不等式表示的平面區(qū)域,然后取交集,如圖中的陰影部分所示,生產(chǎn)條件是圖中陰影部分的整數(shù)點所表示的條件.【跟蹤訓(xùn)練】某家具廠制造甲、乙兩種型號的桌子,每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張甲、乙型號的桌子分別需要1h和2h,漆工油漆一張甲、乙型號的桌子分別需要3h和1h.又木工、漆工每天工作分別不得超過8h和9h.請列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.3.不等式組的解構(gòu)成的區(qū)域與每個不等式表示的平面區(qū)域有何關(guān)系?提示:不等式組的解構(gòu)成的區(qū)域是每個不等式表示平面區(qū)域的公共部分.結(jié)論:二元一次不等式組的定義由幾個含有相同未知數(shù)的_______________組成的不等式組稱為二元一次不等式組.二元一次不等式組的解集滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對___