吉林省吉林市第六十一中學2022-2023學年數(shù)學九上期末質量檢測模擬試題含解析

2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．的相反數(shù)是（）A． B． C． D．32．如圖，已知一組平行線，被直線、所截，交點分別為、、和、、，且，，，則（）A．4.4 B．4 C．3.4 D．2.43．如何求tan75°的值？按下列方法作圖可解決問題，如圖，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延長CB至點M，在射線BM上截取線段BD，使BD＝AB，連接AD，依據(jù)此圖可求得tan75°的值為（）A． B． C． D．4．趙州橋的橋拱可以用拋物線的一部分表示，函數(shù)關系為，當水面寬度AB為20m時，水面與橋拱頂?shù)母叨菵O等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m5．如圖，某超市自動扶梯的傾斜角為，扶梯長為米，則扶梯高的長為（）A．米 B．米 C．米 D．米6．如圖，已知⊙O的半徑為13，弦AB長為24，則點O到AB的距離是()A．6 B．5 C．4 D．37．己知⊙的半徑是一元二次方程的一個根，圓心到直線的距離.則直線與⊙的位置關系是A．相離 B．相切 C．相交 D．無法判斷8．在?ABCD中，∠ACB=25°，現(xiàn)將?ABCD沿EF折疊，使點C與點A重合，點D落在G處，則∠GFE的度數(shù)（）A．135° B．120° C．115° D．100°9．是關于的一元一次方程的解，則（）A． B． C．4 D．10．下列語句所描述的事件是隨機事件的是（）A．經(jīng)過任意兩點畫一條直線 B．任意畫一個五邊形，其外角和為360°C．過平面內(nèi)任意三個點畫一個圓 D．任意畫一個平行四邊形，是中心對稱圖形11．為落實國務院房地產(chǎn)調控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房建設力度年市政府共投資億元人民幣建設廉租房萬平方米，預計到年底三年共累計投資億元人民幣建設廉租房，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長率都為，可列方程（）A． B．C． D．12．正方形具有而菱形不具有的性質是（）A．對角線互相平分 B．對角線相等C．對角線平分一組對角 D．對角線互相垂直二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，AB為弓形AB的弦，AB＝2，弓形所在圓⊙O的半徑為2，點P為弧AB上動點，點I為△PAB的內(nèi)心，當點P從點A向點B運動時，點I移動的路徑長為_____．14．在Rt△ABC中，兩直角邊的長分別為6和8，則這個三角形的外接圓半徑長為_____．15．如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，P為切點，如果AB＝8cm，小圓直徑徑為6cm，那么大圓半徑為_____cm．16．如圖所示的五角星繞中心點旋轉一定的角度后能與自身完全重合，則其旋轉的角度至少為_______；17．如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，點P在⊙O上，則∠APB等于．18．已知方程x2+mx+3=0的一個根是1,則它的另一個根是_____,m的值是______.三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向點D運動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG．（1）求證：；（2）若設AE=x，DH=y，當x取何值時，y有最大值？并求出這個最大值；（3）連接BH，當點E運動到AD的何位置時有？20．（8分）已知拋物線與軸交于A，B兩點(A在B左邊)，與軸交于C點，頂點為P，OC=2AO.(1)求與滿足的關系式；(2)直線AD//BC，與拋物線交于另一點D，△ADP的面積為，求的值；(3)在(2)的條件下，過(1，-1)的直線與拋物線交于M、N兩點，分別過M、N且與拋物線僅有一個公共點的兩條直線交于點G，求OG長的最小值.21．（8分）如圖，正方形ABCD的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C在y軸的正半軸上，點B在雙曲線（x＜0）上，點D在雙曲線（x＞0）上，點D的坐標是（3，3）（1）求k的值；（2）求點A和點C的坐標．22．（10分）閱讀以下材料，并按要求完成相應地任務：萊昂哈德·歐拉(LeonhardEuler)是瑞士數(shù)學家，在數(shù)學上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則.如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，⊙I與AB相切分于點F，設⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O（三角形三邊垂直平分線的交點）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點）之間的距離OI＝d，則有d2＝R2﹣2Rr．下面是該定理的證明過程（部分）：延長AI交⊙O于點D，過點I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所對的圓周角相等)，∴△MDI∽△ANI，∴，∴①，如圖2，在圖1(隱去MD，AN)的基礎上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF，∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°，∵⊙I與AB相切于點F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所對圓周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴，∴②，任務：(1)觀察發(fā)現(xiàn)：，(用含R，d的代數(shù)式表示)；(2)請判斷BD和ID的數(shù)量關系，并說明理由；(3)請觀察式子①和式子②，并利用任務(1)，(2)的結論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；(4)應用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm，內(nèi)切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm.23．（10分）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+與x軸交于點A，與y軸交于點B，點F是點B關于x軸的對稱點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A和點F，與直線AB交于點C．（1）求b和c的值；（2）點P是直線AC下方的拋物線上的一動點，連結PA，PB．求△PAB的最大面積及點P到直線AC的最大距離；（3）點Q是拋物線上一點，點D在坐標軸上，在（2）的條件下，是否存在以A，P，D，Q為頂點且AP為邊的平行四邊形，若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．24．（10分）如圖是反比例函數(shù)y＝的圖象，當－4≤x≤－1時，－4≤y≤－1.(1)求該反比例函數(shù)的表達式；(2)若點M，N分別在該反比例函數(shù)的兩支圖象上，請指出什么情況下線段MN最短(不需要證明)，并注出線段MN長度的取值范圍．25．（12分）如圖，某數(shù)學興趣小組為測量一棵古樹BH和教學樓CG的高，先在A處用高1．5米的測角儀測得古樹頂端H的仰角為，此時教學樓頂端G恰好在視線DH上，再向前走7米到達B處，又測得教學樓頂端G的仰角為，點A、B、C三點在同一水平線上．（1）求古樹BH的高；（2）求教學樓CG的高．26．解方程：.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義求解即可．【詳解】的相反數(shù)是-，故選：A．【點睛】本題考查了相反數(shù)，在一個數(shù)的前面加上負號就是這個數(shù)的相反數(shù)．2、D【分析】根據(jù)平行線等分線段定理列出比例式，然后代入求解即可．【詳解】解：∵∴即解得：EF=2.4故答案為D．【點睛】本題主要考查的是平行線分線段成比例定理，利用定理正確列出比例式是解答本題的關鍵．3、B【解析】在直角三角形ABC中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出AB的長，再利用勾股定理求出BC的長，由CB+BD求出CD的長，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求即可．【詳解】在Rt△ABC中,AC=k,∠ACB=90°,∠ABC=30°，∴AB=BD=2k,∠BAD=∠BDA=15°,BC=k，∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，在Rt△ACD中,CD=CB+BD=k+2k，則tan75°=tan∠CAD===2+，故選B【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關鍵.4、B【分析】根據(jù)題意，水面寬度AB為20則B點的橫坐標為10，利用B點是函數(shù)為圖象上的點即可求解y的值即DO【詳解】根據(jù)題意B的橫坐標為10，把x＝10代入，得y＝﹣4，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即水面與橋拱頂?shù)母叨菵O等于4m．故選B．【點睛】本題考查了點的坐標及二次函數(shù)的實際應用．5、A【詳解】解：由題意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函數(shù)關系可知，

AC=AB?sinα=9sin31°（米）．

故選A．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)關系在直角三角形中的應用．6、B【解析】過點O作OC⊥AB，垂足為C，則有AC=AB=×24=12，在Rt△AOC中，∠ACO=90°，AO=13，∴OC==5，即點O到AB的距離是5.7、A【分析】在判斷直線與圓的位置關系時，通常要得到圓心到直線的距離，然后再利用d與r的大小關系進行判斷；在直線與圓的問題中,充分利用構造的直角三角形來解決問題，直線與圓的位置關系：①當d＞r時，直線與圓相離；②當d=r時，直線與圓相切；③當d＜r時，直線與圓相交.【詳解】∵的解為x=4或x=-1，∴r=4，∵4＜6，即r＜d，∴直線和⊙O的位置關系是相離.故選A.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，一元二次方程的定義及一般形式，掌握直線與圓的位置關系，一元二次方程的定義及一般形式是解題的關鍵.8、C【詳解】解：根據(jù)圖形的折疊可得：AE=EC，即∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠AEF，∠DFE=∠GFE，又∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=130°，∴∠FEC=65°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DFE+∠FEC=180°，∴∠DFE=115°，∴∠GFE=115°，故選C．考點：1.平行四邊形的性質2.圖形的折疊的性質.9、A【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整體代入的方法計算2a+4b的值【詳解】將x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.故選A.【點睛】此題考查一元二次方程的解，整式運算，掌握運算法則是解題關鍵10、C【分析】直接利用多邊形的性質以及直線的性質、中心對稱圖形的定義分別分析得出答案．【詳解】解：A、經(jīng)過任意兩點畫一條直線，是必然事件，故此選項錯誤；B、任意畫一個五邊形，其外角和為360°，是必然事件，故此選項錯誤；C、過平面內(nèi)任意三個點畫一個圓，是隨機事件，故此選項錯誤；D、任意畫一個平行四邊形，是中心對稱圖形，是必然事件，故此選項錯誤；故選：C．【點睛】此題主要考查了隨機事件的定義，有可能發(fā)生有可能不發(fā)生的時間叫做隨機時間，正確掌握相關性質是解題關鍵．11、B【分析】根據(jù)1013年市政府共投資1億元人民幣建設了廉租房，預計1015年底三年共累計投資億元人民幣建設廉租房，由每年投資的年平均增長率為x可得出1014年、1015年的投資額，由三年共投資9.5億元即可列出方程．【詳解】解：這兩年內(nèi)每年投資的增長率都為，則1014年投資為1（1+x）億元，1015年投資為1（1+x）1億元，由題意則有，故選B.【點睛】本題考查了一元二次方程的應用——增長率問題，正確理解題意是解題的關鍵.若原來的數(shù)量為a，平均每次增長或降低的百分率為x，經(jīng)過第一次調整，就調整到a×（1±x），再經(jīng)過第二次調整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）1．增長用“+”，下降用“-”.12、B【分析】根據(jù)正方形和菱形的性質逐項分析可得解.【詳解】根據(jù)正方形對角線的性質：平分、相等、垂直；菱形對角線的性質：平分、垂直，故選B．【點睛】考點：1.菱形的性質；2.正方形的性質．二、填空題（每題4分，共24分）13、【解析】連接OB，OA，過O作，得到，求得，連接IA，IB，根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，設A，B，I三點所在的圓的圓心為，連接，，得到，根據(jù)等腰三角形的性質得到，連接，解直角三角形得到，根據(jù)弧長公式即可得到結論．【詳解】解：連接OB，OA，過O作，，，在Rt中，，，，，連接IA，IB，點I為的內(nèi)心，，，，，點P為弧AB上動點，始終等于，點I在以AB為弦，并且所對的圓周角為的一段劣弧上運動，設A，B，I三點所在的圓的圓心為，連接，，則，，，連接，，，，點I移動的路徑長故答案為：【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解直角三角形，弧長公式以及圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出全等三角形，得出點I在以AB為弦，并且所對的圓周角為的一段劣弧上是解答此題的關鍵．14、1【分析】根據(jù)直角三角形外接圓的直徑是斜邊的長進行求解即可．【詳解】由勾股定理得：AB＝＝10，∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直徑，∴這個三角形的外接圓直徑是10；∴這個三角形的外接圓半徑長為1，故答案為1．【點睛】本題考查了90度的圓周角所對的弦是直徑，熟練掌握是解題的關鍵.15、1【分析】連接OA，由切線的性質可知OP⊥AB，由垂徑定理可知AP＝PB，在Rt△OAP中，利用勾股定理可求得OA的長．【詳解】如圖，連接OP，AO，∵AB是小圓的切線，∴OP⊥AB，∵OP過圓心，∴AP＝BP＝AB＝4cm，∵小圓直徑為6cm，∴OP＝3cm，在Rt△AOP中，由勾股定理可得OA＝＝1（cm），即大圓的半徑為1cm，故答案為：1．【點睛】此題考查垂徑定理，勾股定理，在圓中垂徑定理通常與勾股定理一起運用求半徑、弦、弦心距中的一個量的值.16、72°【詳解】五角星繞中心點旋轉一定的角度后能與自身完全重合,則其旋轉的角度至少為=72°.故答案為72°.17、45°【分析】連接AO、BO，先根據(jù)正方形的性質求得∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】連接AO、BO∵⊙O是正方形ABCD的外接圓∴∠AOB＝90°∴∠APB＝45°．【點睛】圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，均等于所對圓心角的一半．18、3-4【解析】試題分析：根據(jù)韋達定理可得：·==3，則方程的另一根為3；根據(jù)韋達定理可得：+=－=4=－m，則m=－4.考點：方程的解三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（2）當，有最大值；（3）當點E是AD的中點【分析】（1）由同角的余角相等得到∠ABE=∠CBG，從而全等三角形可證；（2）先證明△ABE∽△DEH，得到，即可求出函數(shù)解析式y(tǒng)=-x2+x，繼而求出最值．（3）由（2），再由，可得，則問題可證．【詳解】（1）證明：∵∠ABE+∠EBC=∠CBG+∠EBC=90°∴∠ABE=∠CBG在△AEB和△CGB中：∠BAE=∠BCG=90°，AB=BC，∠ABE=∠CBG∴△AEB≌△CGB（ASA）（2）如圖∵四邊形ABCD，四邊形BEFG均為正方形∴∠A=∠D=90°,∠HEB=90°∴∠DEH+∠AEB=90°，∠DEH+∠DHE=90°∴∠DHE=∠AEB∴△ABE∽△DEH∴∴∴故當，有最大值（3）當點E是AD的中點時有△BEH∽△BAE．理由：∵點E是AD的中點時由（2）可得又∵△ABE∽△DEH∴，又∵∴又∠BEH=∠BAE=90°∴△BEH∽△BAE【點睛】本題結合正方形的性質考查二次函數(shù)的綜合應用，以及正方形的性質和相似三角形的判定，解答關鍵是根據(jù)題意找出相似三角形構造等式．20、（1）；（2）；（3）.【分析】（1）將拋物線解析式進行因式分解，可求出A點坐標，得到OA長度，再由C點坐標得到OC長度，然后利用OC=2AO建立等量關系即可得到關系式；（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC的k，根據(jù)平行可知AD直線的斜率k與BC相等，可求出直線AD解析式，與拋物線聯(lián)立可求D點坐標，過P作PE⊥x軸交AD于點E，求出PE即可表示△ADP的面積，從而建立方程求解；（3）為方便書寫，可設拋物線解析式為：，設，，過點M的切線解析式為，兩拋物線與切線聯(lián)立，由可求k，得到M、N的坐標滿足，將（1，-1）代入，推出G為直線上的一點，由垂線段最短，求出OG垂直于直線時的值即為最小值.【詳解】解：（1）令y=0，，解得，令x=0，則∵，A在B左邊∴A點坐標為（-m，0），B點坐標為（4m，0），C點坐標為（0，-4am2）∴AO=m，OC=4am2∵OC=2AO∴4am2=2m∴（2）∵∴C點坐標為（0，-2m）設BC直線為，代入B（4m，0），C（0，-2m）得，解得∵AD∥BC，∴設直線AD為，代入A（-m，0）得，，∴∴直線AD為直線AD與拋物線聯(lián)立得，，解得或∴D點坐標為（5m，3m）又∵∴頂點P坐標為如圖，過P作PE⊥x軸交AD于點E，則E點橫坐標為，代入直線AD得∴PE=∴S△ADP=解得∵m＞0∴∴.（3）在（2）的條件下，可設拋物線解析式為：，設，，過點M的切線解析式為，將拋物線與切線解析式聯(lián)立得：，整理得，∵，∴方程可整理為∵只有一個交點，∴整理得即解得∴過M的切線為同理可得過N的切線為由此可知M、N的坐標滿足將代入整理得將（1，-1）代入得在（2）的條件下，拋物線解析式為，即∴整理得∴G點坐標滿足，即G為直線上的一點，當OG垂直于直線時，OG最小，如圖所示，直線與x軸交點H（5,0），與y軸交點F（0，）∴OH=5，OF=，F(xiàn)H=∵∴∴OG的最小值為.【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，難度很大，需要掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質和較強的數(shù)形結合能力.21、（1）k=9,（2）A（1,0）,C（0,5）.【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)過點D,將坐標代入即可求值,（2）利用全等三角形的性質,計算AM,AN,CH的長即可解題.【詳解】解：將點D代入中,解得：k=9,（2）過點B作BN⊥x軸于N,過點D作DM⊥x軸于M,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵∠BAN+∠ABN=90°,∴∠BAN=∠ADM,∴△ABN≌△DAM（AAS）,∴DM=AN=3,設A（a,0）,∴N（a-3,0）,∵B在上，∴BN==AM,∵OM=a=3,整理得：a2-6a+5=0,解得：a=1或a=5（舍去）,經(jīng)檢驗,a=1是原方程的根,∴A（1,0）,過點D作DH⊥Y軸于H,同理可證明△DHC≌△DMA,∴CH=AM=2,∴C（0,5）,綜上,A（1,0）,C（0,5）.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質,三角形的全等,難度較大,作輔助線,通過全等得到長度是解題關鍵.22、(1)R-d；(2)BD=ID，理由見解析；(3)見解析；(4).【解析】(1)直接觀察可得；(2)由三角形內(nèi)心的性質可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圓周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根據(jù)三角形外角的性質即可求得∠BID=∠DBI，繼而可證得BD=ID；(3)應用(1)(2)結論即可；(4)直接代入結論進行計算即可．【詳解】(1)∵O、I、N三點共線，∴OI+IN＝ON，∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，故答案為：R﹣d；(2)BD=ID，理由如下：∵點I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，∴∠BID=∠DBI，∴BD=ID；(3)由(2)知：BD=ID，又，，∴DE·IF=IM·IN，∴，∴∴；(4)由(3)知：，把R=5，r=2代入得：，∵d>0，∴，故答案為：.【點睛】本題是圓綜合題，主要考查了三角形外接圓、外心和內(nèi)切圓、內(nèi)心，圓周角性質，角平分線定義，三角形外角性質等，綜合性較強，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.23、（1）b＝，c＝﹣；（2），；（3）點Q的坐標為：（﹣1﹣，）或（，﹣）或（﹣1+，）或（，）或（﹣，﹣）．【分析】（1）直線與軸交于點，與軸交于點，則點、的坐標分別為：、，則點，拋物線經(jīng)過點和點，則，將點的坐標代入拋物線表達式并解得：；（2）過點作軸的平行線交于點，設出點P，H的坐標，將△PAB的面積表示成△APH和△BPH的面積之和，可得函數(shù)表達式，可求△PAB的面積最大值，此時設點P到AB的距離為d，當△PAB的面積最大值時d最大，利用面積公式求出d.（3）若存在以，，，為頂點且為邊的平行四邊形時，平移AP，得出所有可能的情形，利用平行四邊形的對稱性得到坐標的關系，即可求解．【詳解】解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點，令x=0，則y=，令y=0，則x=-3，則點、的坐標分別為：、，∵點F是點B關于x軸的對稱點，∴點，∵拋物線經(jīng)過點和點，則，將點代入拋物線表達式得：，解得：，故拋物線的表達式為：，，；（2）過點作軸的平行線交于點，設點，則點，則的面積：當時，，且，∴的最大值為，此時點，，設：到直線的最大距離為，，解得：；（3）存在，理由：點，點，，設點，，①當點在軸上時，若存在以，，，為頂點且為邊的平行四邊形時，如圖，三種情形都可以構成平行四邊形，由于平行四邊形的對稱性可得圖中點Q到x軸的距離和點P到x軸的距離相等，∴，即，解得：（舍去）或或；②當點在軸上時，如圖：當點Q在y軸右側時，由平行四邊形的性質可