直線與平面平行課件

辱

8.5.2直線與平面平行

13畫0圃園國(教師獨具內(nèi)容)

課程標準：1.從定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空

間中直線與平面的平行關(guān)系.2.歸納出直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并

加以證明.

教學(xué)重點：直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用.

教學(xué)難點：綜合運用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理進行線線平行、

線面平行的相互轉(zhuǎn)化.

核心素養(yǎng)：通過發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)、應(yīng)用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的

過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).

［新知I

1.利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是尋找平面內(nèi)與已知

直線平行的直線.

2.直線與平面平行的性質(zhì)定理使用時三個條件缺一不可

①直線a和平面a平行，即a〃a.

②平面a和平面￡相交于直線b,即aCB=b,

③直線a在平面6內(nèi)，即aC￡.

'±1評價自測I

1.判一判(正確的打"J"，錯誤的打“義”)

(1)如果一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平

行.()

(2)如果一條直線與一個平面平行于同一條直線，則這條直線和這個平面平

行.()

(3)若直線a〃平面a,則直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線平行.()

(4)若直線a〃平面a,則平面a內(nèi)有唯一一條直線與直線a平行.()

2.做一做

⑴下列選項中，一定能得出直線加與平面。平行的是（）

A.直線加在平面a外

B.直線勿與平面a內(nèi)的兩條直線平行

C.平面a外的直線R與平面內(nèi)的一條直線平行

D.直線加與平面a內(nèi)的一條直線平行

⑵梯形4?修中，AB//CD,/3U平面a,斯平面a,則直線繆與平面a

內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是（）

A.平行B.平行或異面

C.平行或相交D.異面或相交

（3）已知1,勿是兩條直線,a是平面，若要得到“/〃a”，則需要在條件

“加Ua,中另外添加的一個條件是.

（4）如圖，空間四邊形繆中，茗M,N,尸分別是48,BC,繆的中點，則與

力邠平行的平面是，與川°平行的平面是.

核心素養(yǎng),形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一直線與平面平行判定定理的理解

例1能保證直線3與平面a平行的條件是（）

A.bua,a//b

B.bua,c//o,a//b,a//c

C.bua,A,BEa,C,DGb,且AC=BD

D.ma,buQ,a//b

［跟蹤訓(xùn)練1］給出下列幾個說法：

①若直線a在平面。外，則a//&；②若直線a//b,直線bua,貝lj方〃口;

③若直線&〃6,bua,那么直線a就平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線.

其中正確說法的個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

題型二直線與平面平行的判定

例2如圖所示，已知尸是平行四邊形切所在平面外一點，"為陽的中點.

求證：外〃平面物C

［跟蹤訓(xùn)練2］在正方體/aZ-44G〃中，E,尸分別是面對角線46,B、C

的中點.求證：所〃平面力比〃

題型三直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

例3如圖，在長方體46CZ-46G〃中，E,〃分別為棱4身，〃。上的點，

旦EH〃A、D\,過功的平面與棱防，CG相交，交點分別為EG,求證：&7〃平面

ADD4.

［跟蹤訓(xùn)練3］如圖所示，在四棱錐人48"中，底面4?"是平行四邊形,

與劭交于點。，物是尸。的中點，在〃"上取一點G,過G和小作平面交平面

BDM于GH,求證：AP//GH.

隨堂水平達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.在正方體血力一45G〃中，物是棱繆上的動點，則直線陽與平面4438

的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.相交或平行

2.如圖，下列正三棱柱/比’一464中，若M,A；尸分別為其所在棱的中點，

則不能得出AB//平面MNP的是（）

3.（多選）過平面。外的直線/,作一組平面與。相交，如果所得的交線分

別為a,b,c,…，則這些交線的位置關(guān)系可能為（）

A.都平行B.都相交于同一點

C,都相交但不交于同一點D.以上均不正確

4.如圖，alla,4是a的另一側(cè)的點，B,C,D《a,線段AC,AD分

別交a于E,F,G,若笈9=4,CF=4,AF=5,則跖=.

5.在四面體力一靦中，肱N分別是△力劭和△△⑦的重心，求證：他〃平

面ADC.

課后課時,精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

一、選擇題

1.如果直線勿與平面a,￡,尸滿足：BC\y=1,m//1,mua,則必

有（）

A.1//aB.a//y

C.m//B且m//yD.m//B或m//y

2.已知直線a〃平面a,a〃平面￡,an￡=b,則a與8（）

A.相交B.平行

C.異面D.共面或異面

3.在空間四邊形/時中，E,F,G,〃分別是46,BC,CD,的上的點，當(dāng)

施〃平面功第時，下列結(jié)論中正確的是（）

A.E,F,G,，一定是各邊的中點

B.G,〃一定是切，物的中點

C.BE,.EA=BF\FC,旦DH；HA=DG；GC

D.AE\EB=AH\HD,且防：FC=DG\GC

4.如圖所示，在長方體力故14B'CD'中，E,尸分別為四'，BB'的

中點，過）的平面EFGH分別交a'和4〃于點G,點H,則HG與48的位置關(guān)系是

（）

A.平行B.相交

C.異面D.平行或異面

5.（多選）如圖，。為平行四邊形力時所在平面外一點，0為必的中點，0

為AC與BD的交點,下面說法正確的是（）

A.。?！ㄆ矫?7口B.PC//平面BDQ

C.40〃平面PCDD.切〃平面處3

二、填空題

6.過三棱柱4AG的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面/如M平行

的直線有一條.

7.在棱長為a的正方體4靦-4AG〃中，憶N分別是棱4A,6G的中點,

產(chǎn)是棱/〃上的一點，AP=^,過戶，N的平面與棱口交于。，則&=.

8.如圖所示，在四面體力一65中，"，"分別是△/口?,△頗的重心，則四

面體的四個面中與的V平行的是.

三、解答題

9.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐產(chǎn)一力靦中，夕是尸。的中點.求證:

用〃平面BDE.

P

10.如圖所示，已知兩條異面直線46與5，平面,捌制與⑦都平行，

且肱MP,0依次在線段4C,BC,BD,段上，求證：四邊形網(wǎng)倒是平行四邊形.

B級￡學(xué)考水平等級練

1.對于直線加，〃和平面a,下列命題中正確的是（）

A.如果加Ua,rfta,m,〃是異面直線，那么〃〃a

B.如果加Ua,加a,必，〃是異面直線，那么〃與a相交

C.如果/Ua,n//a,m,〃共面，那么加〃〃

D.如果/〃a,n//a,m,〃共面，那么面〃〃

2.已知正方體466714AG〃的棱G〃上存在一點6（不與端點重合），使得

初〃平面3位，則（）

A.BDJ/CEB.AC」BD\

C.仄E=2EC\D.D\E=EC、

3.如圖所示的正方體的棱長為4,點反廠分別為4〃，的中點，則過G,

E,6的截面的周長為

4.如圖，在三棱臺班F—48。中，AC=2DF,G,，分別為他8C的中點.求

證：BD〃平面FGH.

5.如圖，在三棱柱/比‘一46K中，點反尸分別是棱CG,防上的點，點"

是線段月C上的動點，EC=2FB=2,若/跖〃平面45F,試判斷點物在何位置.

8.5.2直線與平面平行

因謙圖闔自困（教師獨具內(nèi)容）

課程標準：1.從定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空

間中直線與平面的平行關(guān)系.2.歸納出直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并

加以證明.

教學(xué)重點：直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用.

教學(xué)難點：綜合運用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理進行線線平行、

線面平行的相互轉(zhuǎn)化.

核心素養(yǎng)：通過發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)、應(yīng)用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的

過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).

，新知1

1.利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是尋找平面內(nèi)與已知

直線平行的直線.

2.直線與平面平行的性質(zhì)定理使用時三個條件缺一不可

①直線a和平面a平行，即a〃*

②平面a和平面￡相交于直線b,即aCB=b.

③直線a在平面￡內(nèi)，即au￡.

±1評價自測I

1.判一判（正確的打“，錯誤的打“X”）

（1）如果一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平

行.（）

（2）如果一條直線與一個平面平行于同一條直線，則這條直線和這個平面平

行.（）

（3）若直線a〃平面a,則直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線平行.（）

（4）若直線a〃平面a,則平面a內(nèi)有唯一一條直線與直線a平行.（）

答案⑴X（2）X（3）X（4）X

2.做一做

（1）下列選項中，一定能得出直線加與平面。平行的是（）

A.直線加在平面a外

B.直線勿與平面a內(nèi)的兩條直線平行

C.平面a外的直線力與平面內(nèi)的一條直線平行

D.直線勿與平面a內(nèi)的一條直線平行

(2)梯形力靦中，AB//CD,18U平面a,辦平面a,則直線繆與平面a

內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是()

A.平行B.平行或異面

C.平行或相交D.異面或相交

⑶已知1,加是兩條直線，a是平面，若要得到，〃a"，則需要在條件

“加Ua,/〃力”中另外添加的一個條件是.

⑷如圖，空間四邊形四⑦中，若M,N,。分別是物BC,的中點，則與

平行的平面是,與般平行的平面是

答案(1)C(2)B(3)Ida(4)平面戊刀平面/劭

核心素養(yǎng).形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一直線與平面平行判定定理的理解

例1能保證直線a與平面a平行的條件是()

A.bua,a//b

B.bua,c//a,a//b,a//c

C.bua,A,BGa,C,DGb,且Z￡>=劭

D.血a,bua,a//b

［解析］A錯誤，若bua,a//b,則a〃?；騛Ua；B錯誤，若Z?Ua,c

//a,a//b,a//c,則a〃a或aUa；C錯誤，若滿足此條件，則a//a或aU

a或a與。相交；D正確，恰好是定理所具備的不可缺少的三個條件.故選D.

［答案］D

金版點睛

平行問題的實質(zhì)

(1)平行問題是以無公共點為主要特征的,直線與平面平行即直線與平面沒有

任何公共點，緊緊抓住這一點，平行的問題就可以順利解決.

(2)正確理解直線與平面平行的判定定理和掌握直線與平面的位置關(guān)系是解

決此類題目的關(guān)鍵，可以采用直接法，也可以使用排除法.

［跟蹤訓(xùn)練1］給出下列幾個說法：

①若直線a在平面a外，則a〃②若直線allb,直線bua,則a//a；

③若直線。〃6,bua,那么直線a就平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線.

其中正確說法的個數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析對于①，直線a在平面。外包括兩種情況：a〃?；騛與。相交，

.?.a與a不一定平行，①說法錯誤.對于②，?.?直線a〃4bua,則只能說

明a和6無公共點，但a可能在平面a內(nèi)，a不一定平行于明??.②說法錯誤.對

于③，Va//b,8Ua,「.aU?；騛〃。，與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線平行，

...③說法正確.故選B.

題型二直線與平面平行的判定

例2如圖所示，已知。是平行四邊形48⑦所在平面外一點，"為陽的中點.

求證：外〃平面物C

［證明］如圖所示，連接物交〃1于點0,連接物,

P

則加為△應(yīng)加的中位線,

：.PD//MO.

?.?儂平面MAC,

欣)u平面MAC,

.?.如〃平面MAC.

|金版點睛

證明線面平行的方法、步驟

(1)利用判定定理判斷或證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在已知平面。內(nèi)找一

條直線8和已知直線a平行.即要證直線a與平面a平行，先證直線a與直線8

平行.即由立體向平面轉(zhuǎn)化.

(2)證明線面平行的一般步驟：①在平面內(nèi)找一條直線；②證明線線平行；③

由判定定理得出結(jié)論.

(3)在與中點有關(guān)的平行問題中，?？紤]中位線定理.

［跟蹤訓(xùn)練2］在正方體/四一464〃中，E,尸分別是面對角線46,8C的

中點.求證：EF“平一噩ABCD.

證明如圖，分別取45,a'的中點G,H,連接班,FH,GH.

則由三角形中位線的性質(zhì)知：

11

EG//AA，EG=~AAX,FH〃BB\,FH=~BBX,

乙乙

又AAJ/BB、,

：.EG//FH,旦EG=FH,

二四邊形跖仍是平行四邊形，，旗〃以

?.?網(wǎng)平面/靦，而0u平面/比》,

二所〃平面ABCD.

題型三直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

例3如圖，在長方體48⑦-43G〃中，E,〃分別為棱43,〃《上的點，

豆EH〃AD，過"的平面與棱防，CC相交，交點分別為凡G,求證：〃平面

ADDA

［證明］因為EH〃A。,A\D\〃B\C\,

所以EH〃BC，

又或平面BCCB,5Gu平面BCCB,

所以防〃平面BCCB.

又平面FGHEC平面BCQR=FG,

所以EH〃FG,即

又放平面ADDA，u平面ADDA,

所以尾〃平面

利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解題的步驟

找一個與平面相交且過該直線的平面I

定〉一確定兩平面的交線

結(jié)＞7由性質(zhì)定理列條件,下結(jié)論

［跟蹤訓(xùn)練3］如圖所示，在四棱錐。一力靦中，底面口是平行四邊形,

4。與被交于點0,M是尸。的中點，在加/上取一點G,過G和作平面交平面

BDM于GH,求證：AP//GH.

B

證明如圖，連接的.

p

?.?四邊形485是平行四邊形，

二。是4。的中點.

又，"是用的中點，.?"-〃〃〃

又平面BDM,〃仁平面BDM,

尸〃平面BDM.

又”u平面4PGH,平面APGHC平面BDM=GH,：.AP//GH.

隨堂水平達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.在正方體/閱9—4AG〃中，"是棱切上的動點，則直線,囑與平面加近6

的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.相交或平行

答案B

解析由線面平行的判定定理可知，B正確.

2.如圖，下列正三棱柱力8C—46c中，若M,M尸分別為其所在棱的中點，

答案C

解析在圖A,B中，易知AB〃AB〃MN,所以43〃平面屈W；在圖D中，易

知AB//PN,所以48〃平面MNP；在圖C中，力8與平面物肥相交，故選C.

3.（多選）過平面a外的直線作一組平面與a相交，如果所得的交線分

別為a,b,c,…，則這些交線的位置關(guān)系可能為（）

A.都平行B.都相交于同一點

C.都相交但不交于同一點D.以上均不正確

答案AB

解析因為Ra,所以/〃?；?Ca=A.若/〃a,則由直線與平面平行

的性質(zhì)定理可知，l//a,l//b,l//c,所以由基本事實4可知，a//b//c-.

若則力Wa,AGb,A^c,…，an^Acn…=/,故選AB.

4.如圖，alla,/是a的另一側(cè)的點，B,C,D^a,線段AC,AD）分

別交。于￡,F,6,若戍?=4,CF=4,AF=5,則跖=.

生.20

答案T

AFEG5EG

解析'：a//。，平面4叫na=%,.?.云=瓦，...7鈣=彳，BPEG

_20

=V

5.在四面體力一靦中，肱N分別是和△心的重心，求證：/小〃平

面ADC.

證明如圖，連接砌，翻并延長，分別交49,DC于P,。兩點，連接做

,：M,N分別是△/龍和46口的重心,

：.BM\MP=BN,.NQ=2：1,

：.MN//PQ.

又掰V：平面4%,尸。u平面C,

...MM〃平面ADC.

課后課時精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

一、選擇題

1.如果直線/，/與平面a,J3,7滿足：8Cy=1,m//1,mUa,則必

有（）

A.1//aB.a//y

C.m//B且m//yD.m//8或m//y

答案D

一BCy=1,/u￡,/uy]、、

解析>=>加〃￡或zz?〃若/為。與￡的交

m//1,mua,

線或為a與尸的交線，則不能同時有R〃￡，/〃7.故選D.

2.已知直線a〃平面a,a〃平面￡,an￡=8,則a與8（）

A.相交B.平行

C.異面D.共面或異面

答案B

解析因為直線。〃，所以在平面a,6中分別有一直線平行于a,

不妨設(shè)為加，n,所以a〃力，a//n,所以/力〃〃.又a,。相交，加在平面a內(nèi)，〃

在平面尸內(nèi)，所以加〃￡,所以m〃b,所以a〃力.

3.在空間四邊形力靦中，E,F,G,〃分別是46,BC,CD,加上的點，當(dāng)

劭〃平面甌火時，下列結(jié)論中正確的是（）

A.E,F,G,，一定是各邊的中點

B.G,〃一定是切，物的中點

C.BE：EA=BF：FC,豆DH；HA=DG；GC

D.A￡：EB=AH,.HD,aBF；FC=DG；GC

答案D

解析由于劭〃平面跖明由直線與平面平行的性質(zhì)定理，有BD〃EH,BD

//FG,則AE\EB=AH：HD,且BF；FC=DG\GC.

4.如圖所示，在長方體/比力一〃B'CD'中，E,尸分別為4”,BB'的

中點，過）的平面篦弟分別交a'和4〃于點G,點H,則HG與48的位置關(guān)系是

A.平行B.相交

C.異面D.平行或異面

答案A

解析:E,少分別為44',BB'的中點，...即〃四.?.38U平面力靦，EK

平面力比Z?,.?.①〃平面ABCD.又平面防RA平面ABCD=HG,：.EF//HG,：.HG//AB.

5.（多選）如圖，。為平行四邊形力靦所在平面外一點，0為川的中點，0

為“'與劭的交點，下面說法正確的是（）

A.平面PCDB.PC〃平面BDQ

C.四〃平面尸切D.5〃平面為6

答案ABD

解析因為。為平行四邊形/頷對角線的交點，所以又0為必的

中點，所以QO//PC.由直線與平面平行的判定定理，可知A,B正確.又四邊形ABCD

為平行四邊形，所以/8〃①，故切〃平面為8,故D正確.陽與平面也相交，

C錯誤.故選ABD.

二、填空題

6.過三棱柱45C—45G的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面/85M平行

的直線有一條.

答案6

解析如圖所示，與平面力如4平行的直線有EEED,DD\,D、E,DE、,

共6條.

7.在棱長為a的正方體力式》—4旦C〃中，MN分別是棱44,5。的中點,

。是棱絲上的一點，AP=^,過尸，機/￥的平面與棱口?交于0,則圖=.

O

答案半

0

2a

解析MN//平面AC,平面PMNC平面AC=PQ,：.MN//PQ.易知DP=DQ=~r.

o

故PQ=y[2a?|=^^.

8.如圖所示，在四面體4一65中，"，"分別是△/口?,△頗的重心，則四

面體的四個面中與物V平行的是.

答案平面力回和平面/施

解析連接CV并延長交/〃于反連接③并延長交助于凡則反月分別為

AD,劭的中點，連接期V；EF,：.EF〃AB.易得MN"EF,：.耐/ABJ：■面ABC,

/8U平面力比；.，州〃平面/比；?.?胡恒平面/阿，/8U平面4劭，I肺〃平面/被

三、解答題

9.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐產(chǎn)一力閱9中，￡是尸。的中點.求證:

為〃平面BDE.

p

證明如圖，連接4C交班于點。，連接如

在口48（力中，。是力。的中點，又后是的中點，

.?.施'是△物。的中位線.：.OE//PA.

?.?必Q平面糜；龐1U平面核.?.必〃平面及昭

10.如圖所示，已知兩條異面直線48與切，平面/眈圖與四，修都平行，

且叫N,P,0依次在線段4C,BC,BD,AD上,求證：四邊形物T閥是平行四邊形.

證明'：AB//平面MNPQ,過力8的平面48C交平面MNPQ于MN,：.AB//MN.

又過48的平面力劭交平面楙74于PQ,

AB//PQ,：.MN//PQ.同理可證NP//MQ.

二四邊形助W%為平行四邊形.

B級?,學(xué)考水平等級練

1.對于直線加，〃和平面叫下列命題中正確的是（）

A.如果/Ua,rfla,勿，〃是異面直線，那么z?〃a

B.如果/Ua,rfla,m,〃是異面直線，那么〃與a相交