中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)15 相似三角形

專題15相似三角形

選擇題

1.（2022?湖南衡陽(yáng)）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的

高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺(jué)美感.如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m

的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（）（結(jié)果精確到0.01m.參考數(shù)據(jù)：

72=1.414,73?1.732,逐=2.236）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

【答案】B

【分析】設(shè)雕像的下部席為xm,由黃金分割的定義得4=叵」，求解即可.

22

【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為xm,則上部長(zhǎng)為（2-x）m,

?.?雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雷鋒雕

像為2m,

苴二L.-.x=V5-l?1.24,即該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是1.24m,故選：B.

22

【點(diǎn)睛】本題考查/黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?山西）神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí).動(dòng)物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每

圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618.這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（）

A.平移B.旋轉(zhuǎn)C.軸對(duì)稱D.黃金分割

【答案】D

【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可求解.

【詳解】解：動(dòng)物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋宜徑的比約為

0.618.這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割.故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分

的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為叵1，約等于0.618,這個(gè)比例被公認(rèn)

2

為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.熟知黃金分割的定義是解題關(guān)鍵.

3.（2022?浙江麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直

線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C都在橫線上.若線段4?=3,則線段8c的長(zhǎng)是（）

23

A.-B.1C.-D.2

32

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)A作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于。、E,根據(jù)題意得

AD=2DE,然后利用平行線分線段成比例定理即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于E,

AnAn11

根據(jù)題意得AD=2￡>E,^BD//CE,回——=——=2,又1248=3,SBC=-AB=-故選:

BCDE22

C

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?湖南湘潭）在「ABC中（如圖），點(diǎn)。、E分別為45、AC的中點(diǎn)，則叫%：5\,詆=

B

A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4

【答案】D

【分析】證出OE是A48C的中位線，由三角形中位線定理得出。E〃BC,DE=；BC,證

出A40EMBC,山相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結(jié)論.

【詳解】解：；點(diǎn)。、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，,DE是A4BC的中位線，.?.DE〃3C,

DE=-BC,

2

DADEDABC,SVADE:SVABC==；.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理；熟練掌握三角形中位線

定理，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.（2022?浙江紹興）將一張以A8為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在

剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的

是如圖所示的四邊形紙片A3CC，其中NA=90。，AB=9,BC=1,8=6,AT>=2,則

剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)不可熊是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)和分類討論的方法，求出

剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意.

【詳解】解：當(dāng)團(tuán)DFE國(guó)ECB時(shí)，如圖，

E.____________?!E

D

B

27

x=一

DFFEDE、兒x96+y.4

回正=百=百‘設(shè)叫‘"傳〒二p解JZH鬲

21

產(chǎn)了

2145

0DE=CD+CE=6+7=-）故8選項(xiàng)不符合題意;

2735

0￡B=￡>F+AD=—+2=—,故選項(xiàng)。不符合題意;

44

DCCFDF

如圖，當(dāng)國(guó)DC?3FE8時(shí)，回一=一=——,設(shè)FC=m,FD=n,

FEEBFB

回￥=3=二，解得：,回FD=10,故選項(xiàng)C不符合題意；

9n+2m+1["=10

BF=FC+BC=8+6=14,故選項(xiàng)A符合題意；故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、矩形性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類討

論的方法解答.

Ar

6.（2022?甘肅武威）若△ABC:ADEF,BC=6,EF=4,則——=（）

DF

49-23

A.-B.-C.-D.一

9432

【答案】D

Ar

【分析】根據(jù)蜘8a型DEF,可以得到三=/，然后根據(jù)8c=6,24,即可求解.

EFDF

【詳解】解：團(tuán)△ABC:△￡>￡方"回生=生，本三會(huì)■一生二）；??二:三一T：敷學(xué)第六感

EFDF

BC=6,EF=4,（=1?故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?云南）如圖，在，ABC中，D、E分別為線段8C、BA的中點(diǎn)，設(shè)ABC的面積為多,

EBD的面積為工.則（■=（）

【答案】B

【分析】先判定￡B￡>ABC,得到相似比為再根據(jù)兩個(gè)相似三角形的面積比等于相

似比的平方，據(jù)此解題即可.

【詳解】解：回D、E分別為線段BC、8A的中點(diǎn)，回組=照=1,

ABBC2

X0ZB=ZB,0EBDABC,相似比為

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)

是解題關(guān)鍵.

8.（2022?浙江舟山）如圖，在RtABCRtBOE中，ZABC=/BOE=90。，點(diǎn)4在邊。E

的中點(diǎn)上，若他=BC,DB=DE=2,連結(jié)CE,則CE的長(zhǎng)為（）

A.V14B.V15C.4D.V17

【答案】D

【分析】過(guò)點(diǎn)E作E用BC,交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作人G08E于點(diǎn)G,根據(jù)等腰直角三

角形的性質(zhì)可得BE=2JJ,回BED=45°,進(jìn)而得到AB=BC=石，EG=AG=—AE=—,

22

BG=迪，再證得她￡甩附BG,可得BF=迫*EF=處,然后根據(jù)勾股定理，即可求解.

255

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)￡作￡甩8C,交C8延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作AG0BE于點(diǎn)G,

在RtBDE中,0BDf=9O°,DB=DE=2,

回BE=>JBD2+DE2=2V2，0BfD=45°，

團(tuán)點(diǎn)A在邊￡>Et的中點(diǎn)上，S4D=AE=1,

^AB=y]AD2+BD2=V5>0AB=BC=V5,

EE8ED=45°,0aAEG是等腰直角三角形，

向E?小丘AH&BlDZ-3灰

222

團(tuán)M8c=團(tuán)「=90°,用EfEAB,

WBEF=^lABGf^BEFWABG,

272BFEF

BEBFEF—=-=-=-=—=-

回罰=布=前’nun,不也還,

22

解得：BF=^-,EF=—,0CF=—

555

^CE=^EF2+CF2=V17.故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的

關(guān)鍵.

9.（2022?江蘇連云港）ABC的三邊長(zhǎng)分別為2,3,4,另有一個(gè)與它相似的三角形DEF,

其最長(zhǎng)邊為12,則一￡）￡戶的周長(zhǎng)是（）

A.54B.36C.27D.21

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.本號(hào)玄蚪全若來(lái)漂于多售公眾與敷學(xué)第六親

【詳解】解：回（MBC與I3DEF相似，M8C的最長(zhǎng)邊為4,回?！晔淖铋L(zhǎng)邊為12,

回兩個(gè)相似三角形的相似比為1:3,

02DEF的周長(zhǎng)與EW8c的周長(zhǎng)比為3:1,

03DEF的周長(zhǎng)為3x（2+3+4）=27,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似之比是解

題的關(guān)鍵.

An2

10.（2022?四川涼山）如圖，在MBC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DE08C,—

D￡=6cm,則BC的長(zhǎng)為（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

【答案】C

ADDEAD2

【分析】根據(jù)平行得到AADEAABC,根據(jù)相似的性質(zhì)得出:砥==，再結(jié)合==彳，

AD￡>CDD3

Df=6cm,利用相似比即可得出結(jié)論.本

【詳解】解：,在M8c中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DE〃BC,乙短光=NB,

__A__ADDE

ZA=ZA?DA4DEDABC,=—-?

ABBC

AD2.DEADAD2

~DB~3'AD+DB~^?

5DE5X6

DE=6cm,BC=-------=-------=15cm,故選：C.

22

【點(diǎn)睛】本題考查利用相似求線段長(zhǎng)，涉及到平行線的性質(zhì)、兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

11.（2022?重慶）如圖，ABC與,.QE尸位似，點(diǎn)。是它們的位似中心，且位似比為102,

則1MBe與￡>防的周長(zhǎng)之比是（）

B,

A.102B.104C.1（33D.109

【答案】A

【分析】根據(jù)位似圖形是相似圖形，位似比等于相似比，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比即

可求解.

【詳解】解：0A6c與.REF位似

0△ABCSADEF

0ABCHDE尸的位似比是1:2

ELABC與￡>E尸的相似比是1:2

0ABCHDE尸的周長(zhǎng)比是1:2故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì).

12.（2022,重慶）如圖，/BC與￡>￡尸位似，點(diǎn)。為位似中心，相似比為2:3.若.ABC的

周長(zhǎng)為4,則Z）所的周長(zhǎng)是（）

A.4B.6C.9D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)周長(zhǎng)之比等于位似比計(jì)算即可.

【詳解】設(shè).DEF的周長(zhǎng)是X,

0ABC與DEF位似,相似比為2:3,ABC的周長(zhǎng)為4,

04：x=2：3,解得：x=6,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了位似的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的周長(zhǎng)之比等于位似比是解題的關(guān)鍵.

13.（2022?浙江金華）如圖是一張矩形紙片ABC。，點(diǎn)E為AO中點(diǎn)，點(diǎn)F在8c上，把該

紙片沿EF折疊，點(diǎn)4B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B',AE與BC相交于點(diǎn)G,的延長(zhǎng)線過(guò)

B'

A.2&B.殍C.弓D.|

【答案】A

【分析】令8F=2x,CG=3x,FG二y,易證△CGAs^C/吩，得出k==777,進(jìn)而得出片3x,

CFBF

AH

則4E=4x,AD=8x,過(guò)點(diǎn)E作EH08c于點(diǎn)H,根據(jù)勾股定理得出E”=2正x,最后求出r的

AB

值.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EHQBC于點(diǎn)H,

又四邊形A8CD為矩形，

00A=0B=0D=I3BCD=9O<,,AD=BC,

回四邊形ABHE和四邊形CDEH為矩形，

EWB=￡H,ED=CH,

BF2

回---=——

GC3

回令8F=2x,CG=3x,FG=y,則CF=3x+y,B'F=2x,A'G='X~V,

由題意，得NC4'G=NCE'F=900

又NGGV為公共角，

0ACGA,^ACFB,,

CGA'G

團(tuán)---=一;一,

CFB'F

5x-y

則3x；2,

3x+y2x

整理，得（x+y）（3x-y）=0,

解得x=-y（舍去），y=3x,

0/4D=BC=5x+y=8x,EG=3x,HG=x,

在RtAfGH中EH2+HG2=EG2,

則￡“2+/=（3刈2,

解得E”=2&x,EH=-2夜x（舍）,

B48=2&x，

AD8xc衣，…

0-^7=r-=2V2.故選：A.

AB2V2X

AE

B'

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求邊長(zhǎng)等知識(shí)，

借助于相似三角形找到片3x的關(guān)系式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

14.（2022?浙江湖州）如圖，已知8。是矩形ABCD的對(duì)角線，AB=6,BC=8,點(diǎn)E,F分別

在邊AD,BC上，連結(jié)8E,DF.將蜘8E沿8E翻折，將回OCF沿。F翻折，若翻折后，點(diǎn)A,

C分別落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G,H處,連結(jié)GF.則下列結(jié)論布,州的是（）

A.BD=10B.HG=2C.EG//FHD.GF0BC

【答案】D

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及勾股定理即可判斷A,根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得HD,BG,進(jìn)

而判斷B,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得N￡G3=N77m=90。，進(jìn)而判斷C選項(xiàng)，根據(jù)勾股定理求

得C尸的長(zhǎng)，根據(jù)平行線線段成比例，可判斷D選項(xiàng)

【詳解】8。是矩形A8CD的對(duì)角線，4B=6,8c=8,

BC=AD=S,AB=CD=6...BD=\）BC2+CD2=10故A選項(xiàng)正確，

.將M8E沿8E翻折，將回DCF沿DF翻折，

：.BG=AB=6,DH=CD=6:.DG=4,BH=BD-HD=4

.?.〃G=10-B”-￡）G=10-4-4=2故B選項(xiàng)正確，

EG_LB￡）,//F_LOB,E]￡G0HF,故C正確

設(shè)AE=a,則EG=a,:.ED=AD-AE=S-a,

ZEDG=ZADB.-.tanZEDG=tanZADB

?EGAB63a3

即n---=---=—=—

DGAD8444

.\AE=3f同理可得b=3

若尸G〃8則一=——

BFBG

CF3GD42.CFGD

BF~5'BG~6~3'"BFBG'

.??FG不平行8,即GF不垂直BC,故D不正確.故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，掌握以上

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.本號(hào)史料全部來(lái)源于笠售公眾弓：岐學(xué)第六首

15.（2022?四川眉山）如圖，四邊形A88為正方形，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至,HBC,

點(diǎn)。，B,H在同一直線上，HE■與AB交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，HB=2,

HG=3.以下結(jié)論：?ZEZX7=135°；（2）EC2=CD-CF；③HG=EF；④

歷

sinZC￡D=—,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

3

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)

可知②正確；證明△GB”s△瓦（，得至“段=聶，即EC=。匕”當(dāng),利用

HBHGHB2

是等腰直角三角形，求出HE=主答，再證明△HGBjXHDF即可求出EF=3可知③正確;

過(guò)點(diǎn)￡作初/_1/7）交FD于點(diǎn)M,求出sin/E尸c="=正，再證明乙DEC=NEFC,即

EF3

可知④正確.

【詳解】解：回△EOC旋轉(zhuǎn)得到HBC,

⑦NEDC=NHBC,

[2/43C。為正方形，D,B,"在同一直線上,

0ZHBC=18O°-45°=135°,

0Z￡￡）C=135O,故①正確；

回△￡￡＞（；旋轉(zhuǎn)得到HBC,

國(guó)EC=HC,ZECH=90°,

0ZHEC=45°,

團(tuán)ZF￡C=180°-45°=135°,

⑦NECD=/ECF,

團(tuán)△EFCs/^DEC,

ECFC

0-----------,

DCEC

^EC1=CDCF,故②正確；

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為o

0Z.GHB+NBHC=45。,/GHB+NHGB=450,

0/BHC=/HGB=/DEC,

0NGBH=NEDC=135。,

回△GBHs△瓦）。，

DCEC-CDHG3a

0——二-----，即EC=-------------=—,

HBHGHB2

回△”￡€;是等腰直角三角形，

2

ONGHB=NFHD,NGBH=NHDF=135。,

團(tuán)HBGsHDF,

23

團(tuán)■^二即2+&。30。，解得：EF=3,

HDHF—+EF

2

⑦HG=3,

團(tuán)HG=EF,故③正確；

過(guò)點(diǎn)E作HW_LFD父FD于點(diǎn)M,

0ZEDM=45°,

田ED=HB=2,

^MD=ME=y/2.

團(tuán)歷=3,

,MEV2

團(tuán)sinZ.EFC==——，

EF3

0ZDEC+ZDCE=45°,ZEFC+ZDCE=45°,

⑦/DEC=NEFC,

0sinZDEC=sinZEFC=—=—.故④正確

EF3

綜上所述：正確結(jié)論有4個(gè)，

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，解宜角三角形，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合圖形求解.本

16.（2022?湖南株洲）如圖所示，在菱形A8CO中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)C作

CE〃皿交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,下列結(jié)論不一定正確的是（）

A.OB=gcEB.ACE是直角三角形C.BC=^AED.BE=CE

【答案】D

【分析】由菱形的性質(zhì)可知AC，OB,A0=0C,由兩直線平行，同位角相等可以推出

ZACE=ZAO3=90。，再證明RtACERtAAOfi,得出O8=’CE,AB=-AE,由直角

22

三角形斜邊中線等于斜邊一半可以得出8C=gAE.現(xiàn)有條件不足以證明=CE.

【詳解】解：團(tuán)在菱形A5C￡N」，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，

QACrDB.AO=OC,0ZAOB=9O°,

0CE/7SD,0ZACE=ZAOB=9O°,

E1.ACE是直角三角形，故B選項(xiàng)正確；

回NACE=NAO3=90°,ZCAE=^OAB,

一c……cOBABOAI

團(tuán)Rt.ACERt/\AOB，團(tuán)-----------——

CEAEAC2

回O8=2CE,AB=-AE,故A選項(xiàng)正確;

22

0BC為RtACE斜邊上的中線,

囪BC=gg故C選項(xiàng)正確；

現(xiàn)有條件不足以證明BE=CE,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)，難度一般，由菱形的性質(zhì)得出AO=OC是解題的關(guān)鍵.

17.（2022?浙江溫州）如圖，在mABC中，ZACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形，連

結(jié)CF,作GM1.CF于點(diǎn)M,8/LGA/于點(diǎn)人AKJ_B/于點(diǎn)K,交CF于點(diǎn)L.若正方形

ABGF與正方形〃2M的面積之比為5,CE=M+&,則CH的長(zhǎng)為（）

C.2&D.Vio

【答案】c

【分析】設(shè)CF交AB于P,過(guò)C作C/VM8于N,設(shè)正方形JKLM邊長(zhǎng)為m,根據(jù)正方形A8GF

與正方形JKLM的面積之比為5,得AF=AB=&m,證明EMFLEBFGM（AAS）,可得4=FM,

設(shè)AL=FM=x,在RtfMFL中，/+（x+m）2=（亞m）2,可解得x=m,有AL=FM=m,FL=2m,

從而可得4>=畫(huà),FP=-m,BP=—,即知P為A8中點(diǎn)，CP=AP=BP=—,由EICPWEBFRA,

2222

得CN=m,PN=m,即得AN=吏'm,而tcrnEia4C=》=R=-3—，又EMEC00BCH,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)CF交A8于P,過(guò)C作CM2MB于N,如圖:

設(shè)正方形JKLM邊長(zhǎng)為m,回正方形JKLM面積為nA

回正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5,

回正方形A8GF的面積為5m2,SAF=AB=y/5m,

由已知可得：EMFL=90°-回MFG=I3MGF,MLF=90°=EIFMG,AF=GF,

SSAFL^FGM（MS）,設(shè)AL=FM=x,貝ljFL=FM+ML=x+m,

在AtfflAFL中，AL2+FL2=AF2,/+（x+m）2=（布m）2,

解得x=m或x=-2m（舍去），QAL-FM-m,FL-2m,

FP=〃尸+4尸=J苫當(dāng)2+（我=-m,BP=AB-AP^書(shū)m一^■=

V2222

B4P=BP,即P為A8中點(diǎn)，

回&4。8=90°,0CP=4P=SP=—

2

EBCPN=MPF,EICNP=9O°=E1MP,EBCP/VEBFR4,

CP_CNPN,2_CNPN

而一俞一'5-75,?一出m

回CN=m,PN=^-m,MN=AP+PN=9±I,”

22

BCCN2

???tan^BAC=—=—=7—

ACANV5+1

的4EC和團(tuán)BCM是等腰直角三角形,

BCCH

(2gLAECW)BCH,~\C~~CE

2CH

3屈+在'行=；B77r.CH=2"故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，

勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含m的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度.

18.（2022?湖北十堰）如圖，某零件的外徑為10cm,用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)/C和8。

相等）可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑48.如果。1：OC=OB：OD=3,且量得CQ=3cm,則零件的

厚度x為（）

A.（）.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm

【答案】B

【分析】求出△/O8和AC。。相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算求出再

根據(jù)外徑的長(zhǎng)度解答.

【詳解】解：囪。/：OC=OB：。。=3,^AOB^COD,

^AOB^COD,^AB-.CD=3,EW5：3=3,EL48=9（cm）,

團(tuán)外徑為10cm,團(tuán)19+2x=10,取=0.5（cm）.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出”的長(zhǎng).

二、填空題

19.（2022?陜西）在20世紀(jì)70年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)

選法"，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法，所做EF將矩形窗

框ABCZ）分為上下兩部分，其中E為邊48的黃金分割點(diǎn)，^BE2=AE-AB.已知A8為2

米，則線段BE的長(zhǎng)為米.

【答案】（君石）

【分析】根據(jù)點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，可得絲=些=Y1二1,代入數(shù)值得出答案.

BEAB2

【詳解】回點(diǎn)E是A8的黃金分割點(diǎn)，（3—=—=近二1.

BEAB2

蜘8=2米，0BE=（75-1）TK.故答案為：（6-1）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用，掌握黃金比是解題的關(guān)鍵.

AF）1

20.（2022?浙江湖州）如圖，已知在蜘8c中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)，DE//BC=

AB3

【答案】6

r）rAni

【分析】根據(jù)相似一角形的性質(zhì)可得蕓=黑=:，再根據(jù)DE=2,進(jìn)而得到8c長(zhǎng).

BCAB3

【詳解】解：根據(jù)題意，

2〃n八DEAD1

^DE//BCWADEWABC.團(tuán)一=—=-,

fBCAB3

21

團(tuán)DE=2,[?）—=-,0BC=6；故答案為：6.

BC3

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)

算.

21.（2022?湖南懷化）如圖，MBC中，點(diǎn)。、E分另IJ是48、AC的中點(diǎn)，若SAADE=2,則SJ8C

A

[)F1

【分析】根據(jù)三角形中位線定理求得DEBBC,蕓=從而求得MDEHMBC,然后利用相

BC2

似三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】解：回D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則DE為中位線，

所以DEI3BC,絲=：所以EWDESa48c0舁迫=(蜉尸=J

BC23ABC/。4

回5”。尸2,回5〃8c=8故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查中位線及平行線性質(zhì)，本題難度較低，主要考查學(xué)生對(duì)三角形中位線及平

行線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的掌握.

22.(2022?四川成都)如圖，ABC和DEF是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形.若

OA:AD=2:3,貝iLASC與.DE尸的周長(zhǎng)比是.

【答案】2:5

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到AOC4AOFD,根據(jù)。4:4)=2:3得到相似比為

E"蕓二＞W(wǎng)，再結(jié)合三角形的周長(zhǎng)比等于相似比即可得到結(jié)論?

FDODOA+AD5

【詳解】解：A8C和是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，

CAOA_

?.\OCAAOFD,而一歷

.CAOAOA2

OA:AD=2:3,

.訪—方―OA+AD_5'

(jC42

???根據(jù)45。與叱的周長(zhǎng)比等于相似比可得產(chǎn)故答案為：2:5.

(ADEF卜DJ

【點(diǎn)睛】本題考查相似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系，熟記相似圖形的性質(zhì)

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.本

23.（2022?湖南婁底）如圖，已知等腰,43C的頂角ZBAC的大小為0,點(diǎn)。為邊BC上的動(dòng)

點(diǎn)（與8、C不重合），將AD繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角度時(shí)點(diǎn)。落在OC處，連接.給

出下列結(jié)論：①AACD二八小。；②AAC8AAW；③當(dāng)班）=8時(shí)，一ADD的面積

取得最小值.其中正確的結(jié)論有（填結(jié)論對(duì)應(yīng)的序號(hào)）.

【答案】①②③

【分析】依題意知，A8C和A3。是頂角相等的等腰三角形，可判斷②；利用SAS證明

/XADC^AD'B,可判斷①；利用面積比等于相似比的平方，相似比為黑，故最小時(shí)

AC

面積最小，即等腰三角形三線合D為中點(diǎn)時(shí).

【詳解】???AD繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角度得到AD'

：.ZDAD'=e,AD=AD'*'?^CAB="5

即NCAD+ZDAB=NDAB+ZBAD'：.ZCAD=ZBAZT

ZCAD=ZBAD'

-：-AC=AB得：△ADCgZ\A￡>'B（SAS）故①對(duì)

AD=AD'

ABC和，ADD是頂角相等的等腰三角形zMCB^ADiy故②對(duì)

2

...=（—―）即4D最小時(shí)5AAD.D最小當(dāng)AD_L8C時(shí)，4。最小

dA/lBCAC

由等腰三角形三線合■,此時(shí)。點(diǎn)是8c中點(diǎn)故③對(duì)故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，手拉手模型，選項(xiàng)

③中將面積與相似比結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

24.（2022?湖南常德）如圖，已知尸是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，F(xiàn)D//BC,FE//AB,若、BDFE

的面積為2,BD=\BA,BE=^-BC,貝％ABC的面積是_______.

34

A

【答案】12

【分析】延長(zhǎng)￡F、DF分布交AC于點(diǎn)M、N,可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求

出AM、MN、C7V之間的關(guān)系，從而得到三角形的面積關(guān)系即可求解.

【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)EF、OF分布交AC于點(diǎn)M、N,

FD〃BC,FE//AB,BD=-BABE=-BC

3949

AI—RD.CM__CE_.j47V_AD_

?.CE=3BE,ziZ-x—.——3，一一乙,

AMBECNBD

令A(yù)M=x，則CM=3x,.?.AC=4x,

921A

AN=-AC=-x,CN=-AC=-x

3333f

:.MN=，x,NM_5NM_5

3A7V-8，MC-9

S&NMF：S/、NAD=25:64,S&NMF：S^MEC=25:81,

設(shè)S^NMF=25。，S&NAD=64〃，5AA/￡C=8162,

?,S四邊形FECN=56a，.，,S^ABC=2+120a,

求出

°SADN64?！猅=-,a=\

S^ABC2+120〃AB)912

???SGBC=2+120。=12,故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行線分線段成比例知識(shí)，具有一

定的難度，不斷的利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解線段的長(zhǎng)度；利用相似

三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

25.（2022?天津）如圖，已知菱形A3。的邊長(zhǎng)為2,ND45=60。，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE

的中點(diǎn)，”與相交于點(diǎn)G,則GF的長(zhǎng)等于.

D____________C

AEB

【答案】叵

4

（分析］連接FB,作CG_L交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.由菱形的性質(zhì)得出ZCBG=ZDAB=6（）。,

AD=AB=BC=CZ>=2,解直角ABGC求出CG=6，BG=1,推出FB為AECG的中位線，進(jìn)

而求出FB,利用勾股定理求出AF,再證明AAEGMBF,得出AG=GF=gAF.

【詳解】解：如圖，連接F&作CG_LAB交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

D____________C

?\\

AEB~'G

田四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形

SAD//BC,AD=AB=BC=CD=2,

0ZDAB=60°,

0NCBG=ZDAB=60°,

0CG=fiCsinZCBG=2x—=V3,

2

BG=BCcosZCBG=2xl=l,

回￡為A8的中點(diǎn),

^AE=EB=\,

回8E=8G,即點(diǎn)8為線段EG的中點(diǎn),

又M為CE的中點(diǎn),

0FB為AECG的中位線,

1J3

國(guó)FB〃CG,FB=-CG=—

229

^FBYAB,即AABb是直角三角形,

^AF=y/AB2+BF2=

在AAED和ABGC中,

AD=BC

ZDAE=ZCBG,'

AE=BG

0MED=A5GC,

0ZA￡D=ZBGC=9O°,

0ZAEG=ZABF=9O°,

又回NGAE=NE48,

0AAEGAABF,

0-A-G=-A-E

AFAB2

0AG=-AF=—

24

^GF=AF-AG=

4

故答案為：限

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)解直角三角形，三角形中位線的性

質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，添加輔助線構(gòu)造直角ABGC是解題的關(guān)鍵.

26.（2022?江蘇宿遷）如圖，在矩形43CD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)”、N分別是邊A￡＞、BC

的中點(diǎn)，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)M出發(fā)，沿M4方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻

速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)N出發(fā)，沿NC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，

其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到矩形頂點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接EF,過(guò)點(diǎn)8作EF的垂線，垂足為

H.在這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)//所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是

【答案】亞?##叵

22

【分析】根據(jù)題意知EF在運(yùn)動(dòng)中始終與MN交于點(diǎn)Q,且A/1QW:△尸QMNQ.MQ=\.2,

點(diǎn)”在以8Q為直徑的PN上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為PN的長(zhǎng)，求出8Q及PN的圓角，運(yùn)用弧

長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果.本號(hào)空料全克來(lái)德于笠售公眾弓：敷學(xué)第六苒

【詳解】解：圖點(diǎn)M、N分別是邊A。、BC的中點(diǎn)，

連接MN,則四邊形A8NM是矩形，

0MN=A8=6,AM=8N=gAD==4,

根據(jù)題意知EF在運(yùn)動(dòng)中始終與MN交于點(diǎn)Q,如圖，

回四邊形ABCD是矩形，

SAD//BC,

回AAQM:bFQN,

NFNQ1

回---=----=—

EMMQ2

0NQ=gMN=2

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，則NF=gAM=2,

?BF=BN+NF=4+2=6,SAB=BF=6

團(tuán)AWF是等腰直角三角形，田4尸8=45。，

IEBPEMF,0ZPBF=45°

由題意得，點(diǎn)”在以8Q為直徑的PN上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為PN長(zhǎng)，取BQ中點(diǎn)。，連接

PO,NO,EBPCW=90°,

又ZBNQ=90°,回時(shí)=yjB^+NQ2=14，+2。=2石，

^ON=OP=OQ=^-BQ=y[5,ElpN的長(zhǎng)為組工工叵=立萬(wàn)故答案為：旦兀

218022

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及弧長(zhǎng)等知

識(shí)，判斷出點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為PN長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵.

27.（2022?四川宜賓）如圖，ABC中，點(diǎn)E、尸分別在邊48、NC上，Z1=Z2.若3C=4,

AF=2,CF=3,則防=.

【答案】IQ

ppApFFAF'

【分析】易證△/EE3A/8C,得蕓=要即一=---------即可求解.

BCACBCAF+CF

【詳解】解：001=02,S1A=@A,SAAEF^AABC,

EFAF?EFAF

13---=----,[n!；-----=-----------

BCACBCAF+CF

EF288

138c=4,AF=2,CF=3,回——=-----,回￡7三一，故答案為：一.

42+355

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.本

28.（2022?河北）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)的小正方形頂點(diǎn)，

釘點(diǎn)/,8的連線與釘點(diǎn)C,。的連線交于點(diǎn)E,則

（1）48與8是否垂直？（填"是"或"否”（2）AE=

【答案】是逑##:百

55

【分析】（1）證明△4CGI3AC網(wǎng)?,推出回。G=0尸CQ,證明團(tuán)CE/=90。，即可得到結(jié)論；

（2）利用勾股定理求得的長(zhǎng)，證明△/瓜下回8瓦），利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可

求解.

【詳解】解：（1）如圖：AC=CF=2,CG=DF=1,SAC