第19章幾何證明（基礎(chǔ)、?？?、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期考試滿分全攻略滬教版（解析版）

第19章幾何證明（基礎(chǔ)、?？肌⒁族e(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要

使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）

A.45C的三條中線的交點(diǎn)

B.ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)

C.ABC三條角平分線的交點(diǎn)

D.二A8C三條高所在直線的交點(diǎn)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，想到角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以要選角平分線的交

點(diǎn).

【詳解】；要使涼亭到草坪三邊的距離相等，

.?.涼亭應(yīng)在ABC三條角平分線的交點(diǎn)處.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，需要注意區(qū)分三角形中線的交點(diǎn)、高的交點(diǎn)、垂直平分線的交點(diǎn)以

及角平分線的交點(diǎn)之間的區(qū)別.

2.（2022?上海?八年級單元測試）三角形的外心是三角形的（）

A.三條中線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)

C.三邊垂直平分線的交點(diǎn)D.三條高所在直線的交點(diǎn)

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的外心的定義（三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)）即可得.

【詳解】解：三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心，熟記定義是解題關(guān)鍵.

3.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）下列命題中，真命題是（）

A.三角形的一個(gè)外角大于這個(gè)三角形的內(nèi)角

B.如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等

C.一對鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直

D.面積相等的兩個(gè)三角形全等

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的概念、全等三角形的判定定理判斷即可.

【詳解】解：A、三角形的一個(gè)外角大于這個(gè)三角形與它不相鄰的內(nèi)角，本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意;

B、如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；

C、一對鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直，本選項(xiàng)說法是真命題，符合題意；

D、面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等，本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假

關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

4.（2022.上海.八年級專題練習(xí)）如圖，將線段OA繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到線段08.若04=8,則點(diǎn)

A經(jīng)過的路徑長度為（）

A.4〃B.34C.2TVD.乃

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得ZAO8=45。，再根據(jù)弧長公式，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：4408=45。，

...點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長度為4三5薩XRTT=2萬.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求弧長公式，熟練掌握弧長公式為魯（其中〃為圓心角，,為半徑）是解題的關(guān)

1oU

鍵.

5.（2022?上海?同濟(jì)大學(xué)附屬七一中學(xué)八年級期中）下列語句不是命題的是（）

A.兩條直線相交有且只有一個(gè)交點(diǎn)B.兩點(diǎn)之間線段最短

C.延長AB到。，使8￡）=24?D.等角的補(bǔ)角相等

【答案】C

【分析】對事情進(jìn)行判斷真假的陳述句叫做命題，對選項(xiàng)逐個(gè)分析即可.

【詳解】解：A、兩條直線相交有且只有一個(gè)交點(diǎn)，可以判斷是真的陳述句，是命題，不符合題意；

B、兩點(diǎn)之間線段最短，可以判斷是真的陳述句，是命題，不符合題意；

C、延長A8到。，使=不可以判斷真假，不是命題，符合題意；

D、等角的補(bǔ)角相等，可以判斷是真的陳述句，是命題，不符合題意.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了命題的定義，理解其定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?上海浦東新?八年級期中）在下列各命題中，是假命題的是（）

A.在一個(gè)三角形中，等邊對等角B.全等三角形的對應(yīng)邊相等

C.同旁內(nèi)角相等，兩直線平行D.等角的補(bǔ)角相等

【答案】C

【分析】分別判斷命題的真假即可得出答案.

【詳解】在一個(gè)三角形中，等邊對等角，正確，是真命題，則A不符合題意；

全等三角形的對應(yīng)邊相等，正確，是真命題，則B不符合題意：

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，則C符合題意；

等角的補(bǔ)角相等，正確，是真命題，則D不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假，掌握定義是解題的關(guān)鍵.即條件和結(jié)論相矛盾的命題是假命題.

7.（2022?上海?八年級單元測試）如圖，已知釣魚竿AC的長為6加，露在水面上的魚線3c長為34〃，某

釣者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC'的位置，此時(shí)露在水面上的魚線BC為后加，則的

A.y[2mB.2~j2mC.s/5mD.2布＞m

【答案】B

【分析】利用勾股定理分別求出AB和AB，，再根據(jù)BB，=AB-AB，即可得出答案.

【詳解】'.'AC—6m,BC=3血in,

二A8=yjAC2-BC2=?2-（3及f=3垃m,

AC=6mfB'C'=

...A8'=ylA'C,2-B'C'2=而-（9）2=05，

：.BB'=AB-AB'=3y/2-叵=2及ni；

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了二次根式的應(yīng)用和勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出AB和AB，的長度.

8.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）下列命題中，其逆命題是真命題的命題個(gè)數(shù)（）

（1）全等三角形的對應(yīng)角相等;（2）對頂角相等;（3）等角對等邊;（4）兩直線平行,同位角相等;（5）全等三角形的

面積相等；

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】首先寫出各個(gè)命題的逆命題，再進(jìn)一步判斷真假.

【詳解】（1）逆命題是：三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，錯(cuò)誤；

（2）逆命題是：相等的角是對頂角，錯(cuò)誤；

（3）逆命題是等邊對等角，正確；

（4）逆命題是同位角相等，兩條直線平行，正確；

（5）逆命題是面積相等，兩三角形全等，錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了逆命題的定義及真假性，學(xué)生易出現(xiàn)只判斷原命題的真假，也就是審題不認(rèn)真，

難度適中.

9.（2022?上海?八年級單元測試）如圖，AABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PR1AB于點(diǎn)R,PS±AC

于點(diǎn)S,若PR=PS,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

(1)PQ=PB；(2)AS=AR；(3)ABRP^APSC(4)ZC=ZSPC

B

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上可得AP平分NBAC,由直角三角形全等的判定方

法得出R2ARP絲RSASP,從而判斷出（2）正確；根據(jù)由一組邊相等和一組角相等無法判斷A3RP絲

從而判斷出（3）錯(cuò)誤；同（3）也無法判斷A2RP名△PS。，所以P&P8,從而判斷出（1）錯(cuò)誤；APSC

是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以/C與NSPC不一定相等，從而判斷出（4）錯(cuò)誤.

【詳解】連接AP,

,：PRLAB,PSLAC,PR=PS,

...點(diǎn)P在/A的平分線上，/ARP=/ASP=90。，

：.ZSAP=ZRAP,

fPR=PS

在Rt^ARP和Rt^ASP中，〈，

[AP=AP

.'.R^ARP^Rl^ASP,（HL）,

：.AR=AS,：.（2）正確；

'：PR=PS,ZPRB=ZPSC=90°,

...無法判斷△BRP絲故（3）錯(cuò)誤；

NPRB=NPSQ=90。，PR=PS,

無法判斷△BRPgZSPS。，

J.PQ^PB,故（1）錯(cuò)誤；

???△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，

.?.NC與NSPC不一定相等，故（4）錯(cuò)誤；

故選A.

B

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì).

二、填空題

10.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）命題：“對頂角相等”的逆命題是.

【答案】如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角

【分析】交換原命題的題設(shè)與結(jié)論即可得到其逆命題.

【詳解】解：命題“對頂角相等”的逆命題是“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角

故答案為：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組

成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式.有些命題的

正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理.也考查了逆命題.

11.（2022?上海市市西初級中學(xué)八年級期中）命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是.

【答案】有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；

【分析】先找到原命題的題設(shè)和結(jié)論，在將題設(shè)和結(jié)論互換，即可得到答案.

【詳解】解：原命題的題設(shè)是：“一個(gè)三角形是等腰三角形”，結(jié)論是：“這個(gè)三角形兩底角相等”，

所以命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等'’的逆命題是“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”.

【點(diǎn)睛】本題考查命題的轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確找到命題的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）請寫出“兩直線平行，同位角相等''的結(jié)論：.

【答案】同位角相等

【分析】命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的，將這個(gè)命題改寫成“如果…那么…''的形式即可得出答案.

【詳解】解：將命題改寫成“如果…那么…''的形式為：如果兩直線平行，那么同位角相等，

則此命題的結(jié)論為：同位角相等，

故答案為：同位角相等.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題，熟練掌握命題的概念是解題關(guān)鍵.

13.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這

個(gè)角的.

【答案】角平分線

【分析】根據(jù)角平分線的判定可知.

【詳解】解：根據(jù)角平分線的判定可知：平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌

跡是這個(gè)角的角平分線，

故答案為：角平分線.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定，解題關(guān)鍵是明確在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到角的兩邊距離相等的點(diǎn)

在這個(gè)角的平分線上.

14.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）命題“如果〃=匕，那么的逆命題是,逆命題是命題

（填“真”或"假”）

【答案】如果/=〃，那么斫假

【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再判斷命題的真假即可.

【詳解】解:根據(jù)題意得:命題“如果。斗，那么后"”的條件是如果斫命結(jié)論是＞=/，，,

故逆命題是如果那么斫兒該命題是假命題.

故答案為：如果/=〃，那么的"假.

【點(diǎn)睛】本題考查了互逆命題的知識，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一

個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆

命題.

15.（2022?上海市南洋模范初級中學(xué)八年級期中）底邊為已知線段BC的等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A的軌跡

是.

【答案】底邊BC的垂直平分線（除底邊中點(diǎn)外）

【分析】由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可以確定答案.

【詳解】在已知線段BC的等腰三角形ABC中，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，頂點(diǎn)A必在底邊BC的

垂直平分線上.

故答案為：底邊BC的垂直平分線（除底邊中點(diǎn)外）.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?上海浦東新?八年級期中）“若油＞0,則aX）,6XT命題（選填“是"或‘不是"）.

【答案】是

【分析】根據(jù)命題的定義判斷即可.

【詳解】若而＞0，則“＞0,是■—個(gè)命題.

故答案為：是.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的判斷，掌握定義是解題的關(guān)鍵.即是表示判斷一件事情的句子是命題.

17.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是.

【答案】有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形

【分析】根據(jù)逆命題的定義寫出即可.

【詳解】解：命題”等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是“有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角

形

故答案是：有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了互逆命題的知識，掌握逆命題的定義是解題的關(guān)鍵.兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的

條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其

中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.

18.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：.

【答案】如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等

【分析】找到命題的條件和結(jié)論進(jìn)行改寫即可.

【詳解】根據(jù)命題的特點(diǎn)，可以改寫為：“如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等“

故答案為：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是“如果”后面接題設(shè)，“那么”后面接結(jié)論.

19.（2022?上海?同濟(jì)大學(xué)附屬七一中學(xué)八年級期中）把命題“同角的余角相等”寫成“如果……，那么……”

的形式為.

【答案】如果兩個(gè)角是同角的余角，那么這兩個(gè)角相等.

【分析】根據(jù)命題的概念把原命題改寫成“如果…，那么…”的形式即可.

【詳解】解：命題“同角的余角相等“，改寫成"如果…，那么…”的形式為：如果兩個(gè)角是同角的余角，那么

這兩個(gè)角相等，

故答案為：如果兩個(gè)角是同角的余角，那么這兩個(gè)角相等.

【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的概念，命題寫成“如果…，那么…”的形式時(shí)，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那

么''后面接的部分是結(jié)論.

20.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）平面上經(jīng)過A、8兩點(diǎn)的圓的圓心的軌跡是.

【答案】線段4B的垂直平分線

【分析】要求作經(jīng)過已知點(diǎn)A和點(diǎn)B的圓的圓心，則圓心應(yīng)滿足到點(diǎn)4和點(diǎn)8的距離相等，從而根據(jù)線段

的垂直平分線性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)同圓的半徑相等，則圓心應(yīng)滿足到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等，即經(jīng)過已知點(diǎn)A和點(diǎn)8的圓

的圓心的軌跡是線段AB的垂直平分線.

故答案為：線段A8的垂直平分線.

【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì).掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到該線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題

關(guān)鍵.

21.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）命題“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”的逆命題為.

【答案】兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形

【分析】把原命題的題設(shè)與結(jié)論部分交換即可得到其逆命題.

【詳解】解：命題“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”的逆命題為“兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形”.

故答案為：兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與逆命題，解題的關(guān)鍵在于找出原命題的條件和結(jié)論.

22.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）到點(diǎn)A的距離等于6cm的點(diǎn)的軌跡是.

【答案】以A為圓心，6cm為半徑的圓

【分析】到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓，據(jù)此解題即可.

【詳解】根據(jù)圓的定義，到點(diǎn)A的距離等于定長6cm的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)A為圓心,6cm為半徑的圓，

故答案為：以點(diǎn)A為圓心，6cm為半徑的圓.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡、圓的定義，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度容易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

23.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）“全等三角形的對應(yīng)角相等”的逆命題是

【答案】對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等

【分析】根據(jù)逆命題的概念，交換原命題的題設(shè)與結(jié)論即可得出原命題的逆命題.

【詳解】解：命題“全等三角形的對應(yīng)角相等”的題設(shè)是"兩個(gè)三角形是全等三角形”，結(jié)論是“它們的對應(yīng)角

相等”，故其逆命題是對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形.

故答案為：對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查了互逆命題的知識，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一

個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆

命題.

24.（2022?上海?八年級期末）已知兩點(diǎn)A、B,到這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是.

【答案】線段AB的垂直平分線

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】解：因?yàn)榫€段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，所以到這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是線

段AB的垂直平分線.

故答案為：線段A8的垂直平分線.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）如圖，在RSABC中,ZC=90°,平分/CAB,BC=\2cm,AC=9cm,

【分析】作。ELAB于E,根據(jù)勾股定理求出AB,證明△AC。絲△AED,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到8

=ED,AE=AC=9,根據(jù)角平分線的性質(zhì)、勾股定理列式計(jì)算即可.

【詳解】解：作。于E,

由勾股定理得，AB=7AC2+BC2=V92+122=15,

在^ACD和^AED中，

'NCAD=NEAD

■NACD=NAED=90",

AD=AD

AAACD^AAED(A4S)

：.CD=ED,AE=AC=9,

，BE=AB-AE=6,

在RSBED中，BD2=DE2+BE2,即B￡)2=(12-8。)2+62,

解得，BD=M

故答案為：—cm.

【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握利用勾股定理解直角三角形和全等三角

形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

26.(2022?上海?八年級單元測試)已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)分別為A(-3,1)、B(1,-2),那么A、

B兩點(diǎn)間的距離等于.

【答案】5.

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算，即A(x,y)和B(a,b),則AB="4+仃叫2

【詳解】A.B兩點(diǎn)間的距離為：AB=>/[1-(-2)]2+(-3-1)2=>/32+42=5,

故答案為5,

故答案是：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)間的距離公式.

27.(2022?上海?八年級專題練習(xí))“若&=逐，則的逆命題為.

【答案】若a=b,則右=8

【分析】把命題的題設(shè)和結(jié)論換一下位置即可.

【詳解】解：“若右=指，則。斗”的逆命題為若。=8，則&=4b.

故答案為：若則4=〃

【點(diǎn)睛】本題主要考查了逆命題，熟練掌握把原命題的結(jié)論作為命題的條件，把原命題的條件作為命題的

結(jié)論，所組成的命題叫做原命題的逆命題是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

28.(2022?上海?八年級單元測試)如圖，在正方形4BC。中，點(diǎn)E、尸分別在A￡>、邊上，且

聯(lián)結(jié)5E、AF.求證：AF=BE.

【答案】詳見解析

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD,/BAE=/D=90。，再根據(jù)已知條件可證一ABEg△必尸,

即可得出AF=BE.

【詳解】解：:四邊形A6CQ是正方形，

AAB=DA,ZBAE=ZADF=900.

在..ABE與/\DAF中，

AB=DA

<ZBAE=ZADFf

AE=DF

A,ABE^/^DAF（SAS）.

JAF=BE.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形四邊相等，四角相等都等于90。是解題關(guān)鍵.

【常考】

一.選擇題（共5小題）

1.（2020秋?閔行區(qū)期中）下列命題是真命題的是（）

A.兩個(gè)銳角的和還是銳角

B.全等三角形的對應(yīng)邊相等

C.同旁內(nèi)角相等，兩直線平行

D.等腰三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

【分析】根據(jù)銳角的概念、全等三角形的性質(zhì)、平行線的判定定理、軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念

判斷即可.

【解答】解：A、兩個(gè)銳角的和還是銳角，是假命題，例如60°+60°=120。；

8、全等三角形的對應(yīng)邊相等，是真命題；

C、同旁內(nèi)角合并，兩直線平行，本選項(xiàng)說法是假命題；

等腰三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，本選項(xiàng)說法是假命題；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真

假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

2.（2019秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，BD,CE分別是△ABC的高線和角平分線，且相交于點(diǎn)。，若NBC4

=70°,則4BOE的度數(shù)是（）

A.60°B.55°C.50°D.40°

【分析】根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

【解答】解：

AZBDC=9Q°,

平分NACB,/ACB=70°,

：.NDCO=35°,

:.NBOE=NCOD=90°-35°=55°,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?楊浦區(qū)期中）若兩條平行線被第三條直線所截，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.一對同位角的平分線互相平行

B.一對內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行

C.一對同旁內(nèi)角的平分線互相平行

D.一對同旁內(nèi)角的平分線互相垂直

【分析】結(jié)合角平分線的定義，根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定進(jìn)行分析，從而得到答案.

【解答】解：如圖所示：

若兩條平行線被第三條直線所截，一對同位角和內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行，一對同旁內(nèi)角的平分線互相

垂直，

所以C錯(cuò)誤.故選C.

【點(diǎn)評】本題考查兩條平行線被第三條直線所截得的角的角平分線之間的關(guān)系，可結(jié)合圖形進(jìn)行分析.

4.（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）在RtaABC中，ZC=90°,有一點(diǎn)。同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①在直

角邊8c上；②在NC48的角平分線上；③在斜邊AB的垂直平分線上，那么為（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到D4=O8,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到根據(jù)角平

分線的定義和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【解答】解：在斜邊A8的垂直平分線上，

：.DA=DB,

：.ZDAB=ZB,

在ZCAB的角平分線上，

：.ZDAB^ZDAC,

；./C4O=/￡>AB=/B=30°,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段

的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）在△48C中，AB=4,AC=6,A0是BC邊上的中線，則的取值范圍是

（）

A.0<AD<10B.\<AD<5C.2<AD<\0D.0<AD<5

【分析】延長A。至點(diǎn)E,使得。E=AO,可證△AB￡>出△EC￡>,可得AB=CE,AD=DE,在△ACE中，

根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得AE的取值范圍，即可解題.

【解答】解：延長至點(diǎn)E,使得

E

:在△AB。和△COE中,

'AD=DE

「ZADB=ZCDE>

BD=CD

/.AABD^AECD（SAS）,

：.AB=CE,AD=DE

'：△ACE中，AC-AB<AE<AC+AB,

：.2<AE<10,

：.\<AD<5.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△48。絲4

COE是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共11小題）

6.（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）將命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果…那么…”形式為如果兩個(gè)角

是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等.

【分析】“同角的補(bǔ)角相等”的條件是：兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等.據(jù)此即可寫

成所要求的形式.

【解答】解：“同角的補(bǔ)角相等”的條件是：兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等.

則將命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果…那么…”形式為：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這

兩個(gè)角相等.

故答案是：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等.

【點(diǎn)評】本題考查了命題的敘述，正確分清命題的條件和結(jié)論是把命題寫成“如果…那么…”的形式的

關(guān)鍵.

7.（2022秋?閔行區(qū)校級期中）將一副三角板如圖所示放置（其中含30°角的三角板的一條較短直角邊與

另一塊三角板的斜邊放置在一直線上）,那么圖中N1=105度.

【分析】根據(jù)三角形的外角定理，即可得出/I的度數(shù).

【解答】解：由題意可得，Z2=60°,Z3=45°,

由三角形外角定理，

Nl=/2+N3=60°+45°=105°.

【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和為180°,熟練掌握三角形的內(nèi)角和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難度

適中.

8.（2021秋?靜安區(qū)校級期末）命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是有兩條角平分線相等

的三角形是等腰三角形.

【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題.

【解答】解：命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題是“有兩條角平分線相等的三角形是等

腰三角形”.

【點(diǎn)評】本題考查了互逆命題的知識，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第

一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題

的逆命題.

9.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）命題“同旁內(nèi)角相等，兩直線平行”是假（填"真”或"假”）命題

【分析】利用平行線的判定對命題進(jìn)行判斷即可確定答案.

【解答】解：???同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

命題“同旁內(nèi)角相等，兩直線平行”錯(cuò)誤，是假命題，

故答案為：假.

【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)，難度比較小.

10.（2022秋?閔行區(qū)校級期中）將命題“對頂角相等”改為“如果…那么…”的形式為：如果兩個(gè)角是

對頂角，那么這兩個(gè)角相等.

【分析】先找到命題的題設(shè)和結(jié)論，再寫成“如果…，那么…”的形式.

【解答】解：原命題的條件是：“兩個(gè)角是對頂角”，結(jié)論是：“這兩個(gè)角相等”，

命題“對頂角相等”寫成“如果…，那么…”的形式為：“如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等”.

故答案為：如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等.

【點(diǎn)評】本題主要考查了將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是

條件的結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論，比較簡單.

11.（2022秋?虹口區(qū)校級期中）已知三條不同的直線a,b,c在同一平面內(nèi)，下列四個(gè)命題：

①如果a〃6,a_Lc?那么b_Lc；②如果6〃“，c〃a,那么b〃c；

③如果6_La,c_L“，那么b_Lc；④如果6_La,c_La,那么6〃c.

其中正確的是①②④.（填寫序號）

【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案.

【解答】解：在同一個(gè)平面內(nèi)，①如果"〃4a±c,那么b_Lc；

②如果6〃a,c//a,那么b〃c；

③如果b_La,C-La,那么b〃c；

④如果6J_a,c±a,那么/?〃c,

故答案為：①②④.

【點(diǎn)評】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)

鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

12.（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，NACB=90°,/A=20°,C￡＞與CE分別是斜邊42

上的高和中線，那么/QCE=50度.

【分析】根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)及互為余角的性質(zhì)計(jì)算.

【解答】解：ZA=20°,8為AB邊上的高，

：/AC8=90°,CE是斜邊4B上的中線，

ACE=AE,

：.Z/1CE=ZA=20°,

.?.NOCE的度數(shù)為70。-20°=50。.

故答案為：50.

【點(diǎn)評】此題主要考查了直角三角形中線的性質(zhì)及互為余角的性質(zhì).

13.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）如圖，在△A8C和△OE/中，NACB=NEFD=90°,點(diǎn)、B、尸、C、。在

同一直線上，已知AB_LQE,S.AB=DE,AC=6,EF=8,DB=10,則CF的長度為4.

E

【分析】由“AAS”可證△ABC絲△￡>￡下,可得AC=￡>F=6,EF=BC=8,即可求CF的長.

【解答】解：*：NACB=NEFD=90°,ABIDE,

；.N8+/O=90°,NB+/A=90°

.?./A=/O,且/ACB=/EFO=90°,AB=DE,

：./\ABC^/\DEF（AAS）

：.AC^DF=6,EF=BC=8,

:.CF=BC+DF-BD=4

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABC好是本題的關(guān)鍵.

14.（2020秋?徐匯區(qū)校級期中）“等腰三角形兩腰上的中線相等的逆命題是兩邊上的中線相等的三角

形是等腰三角形.

【分析】交換命題的題設(shè)和結(jié)論即可得到該命題的逆命題；

【解答】解：“等腰三角形兩腰上的中線相等的逆命題是兩邊上的中線相等的三角形是等腰三角形，

故答案為：兩邊上的中線相等的三角形是等腰三角形.

【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理的知識，了解如何寫出一個(gè)命題的逆命題是解答本題的關(guān)鍵，難度不大.

15.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）在AABC中，ZBAC=a,邊A8的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)。，邊AC的

垂直平分線交邊BC于點(diǎn)E,連接A。，AE,則/D4E的度數(shù)為2a-180°或180°-2a.（用含a

的代數(shù)式表示）

【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到ZC=ZC4￡,進(jìn)而

得到/&W+/C4E=NB+/C=180°-a,再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：分兩種情況：

①如圖所示，當(dāng)/84C290°時(shí)，

：垂直平分AB,

：.DA=DB,

:.NB=NBAD,

同理可得，NC=NCAE,

：.ZBAD+ZCAE=ZB+ZC=\^O°-a,

：.ZDAE=ZBAC-(ZBAD+ZCAE)=a-(1800-a)=2a-180°；

②如圖所示，當(dāng)/班C<90°時(shí)，

:.DA=DB,

:.NB=NBAD,

同理可得，ZC=ZCAE,

：.ZBAD+ZCAE=ZB+ZC^180Q-a,

：.ZDAE^ZBAD+ZCAE-ZBAC=180°-a-a=180°-2a.

故答案為：2a-180°或180°-2a.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到

線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

16.（2022秋?虹口區(qū)校級期中）如圖，已知：ZVIBC中，ZC=90°,AC=40,8。平分/ABC交AC于。,

AD：DC=5：3,則。點(diǎn)到C8的距離是15.

【分析】先求出CO的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：VAC=40,AD：DC=5：3,

"0=40x3=15.

8

■:BD平分NBAC交AC于D,

...￡＞點(diǎn)到A3的距離是15.

故答案為：15.

【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)

鍵.

三.解答題（共2小題）

17.（2022秋?靜安區(qū)校級期中）如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形A8C內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM.以

AB為一邊向外作等邊三角形△A8E,將8M繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到8N,連接EM

（1）求證：△AMBZ4ENB；

（2）若AM+3M+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為AABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，試求此時(shí)N

AMB、NBMC、ACMA的度數(shù)；

（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡便方法：如圖②，分別以△A8C的AB.AC

為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF,連接CE、BF,設(shè)交點(diǎn)為M,則點(diǎn)”即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).試

說明這種作法的依據(jù).

/ED.j

【分析】（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證名△ENB；

（2）連接MN,由（1）的結(jié)論證明△8MN為等邊三角形，所以BM=MN,即AM+BM+CM=EN+MN+CM,

所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時(shí)NAMB、NBMC、/CMA的度

數(shù)；

（3）根據(jù)（2）中費(fèi)馬點(diǎn)的定義，又△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段B尸上.因此線段EC

與B尸的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【解答】解：（1）證明：,.△ABE為等邊三角形，

：.AB=BE,ZAB￡=60°.

而NM8N=60°,

NEBN.

在△AMB與△ENB中,

'AB=BE

ZABM=ZEBN>

BI=BN

：.4AMB空/\ENB(SAS).

(2)連接MN.由(1)知，AM=EN.

INMBN=60°,BM=BN,

...△8MN為等邊三角形.

：.BM=MN.

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

.,.當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小.

此時(shí)，/BMC=180°-NNMB=120°；

ZAMB=ZENB=\80°-NBNM=120°；

NAMC=360°-ABMC-ZAMB=120°.

(3)由(2)知，△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上.

因此線段EC與B尸的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，是一道綜合性的題目難度很大.

18.(2021秋?崇明區(qū)校級期末)如圖，在四邊形ABC。中，ZDAB^ZDCB=90Q,對角線AC與3。相交

于點(diǎn)O,M、N分別是邊BD、AC的中點(diǎn).

(1)求證：MN.LAC；

(2)當(dāng)AC=8a”，B￡>=10cm時(shí)，求MN的長.

B

4

Dc

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半判定AM=MC=1B。，從而推知N點(diǎn)是AC

2

邊上的中點(diǎn)，所以MN是AC的中垂線；

（2）在Rt^AMN中，利用勾股定理求得MN的長.

【解答】（1）證明：連接AM、MC.

在和△84。中，ND4B=/Z）CB=90°,M是邊3。的中點(diǎn)，

:.AM=MC=1BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）；

2

是AC的中點(diǎn)，

.'.MN±AC；

（2）解：'：AC=Scm,BD=\Ocm,M、N分別是邊B。、AC的中點(diǎn).

.\AM=5cm,AN=4cm；

在RtZkAMN中，MN=J^]=3””（勾股定理）.

【點(diǎn)評】本題綜合考查了直角三角形斜邊上的中線、勾股定理.解題時(shí)，通過作輔助線AM、MC構(gòu)建了

直角三角形斜邊上的中線，然后利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”來解答問題.

【易錯(cuò)】

一.選擇題（共4小題）

1.(2022秋?黃浦區(qū)校級月考)下列命題中，是真命題的是()

A.從直線外一點(diǎn)向直線引垂線，這條垂線段就是這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離

B.過一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行

C.兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

D.兩點(diǎn)之間，線段最短

【分析】根據(jù)點(diǎn)到這條直線的距離的概念、平行公理、平行線的性質(zhì)、線段的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：4、從直線外一點(diǎn)向直線引垂線，這條垂線段的長度就是這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離，故本選

項(xiàng)命題是假命題，不符合題意；

B、過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意；

C、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意；

。、兩點(diǎn)之間，線段最短，本選項(xiàng)命題是真命題，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真

假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

2.(2021秋?浦東新區(qū)期末)下列三個(gè)數(shù)為邊長的三角形不是直角三角形的是()

A.3,3,3&B.4,8,473C.6,8,10D.5,5,5a

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.

【解答】解:A.V32+32=18,(3V2)2=18,

.?.32+32=(3V2)2,

...以3,3,3加三個(gè)數(shù)為邊長的三角形是直角三角形，

故A不符合題意；

B.V42+(4V3)2=64,82=64,

.\42+(473)2=82,

...以4,8,4?三個(gè)數(shù)為邊長的三角形是直角三角形，

故B不符合題意；

C.V62+82=100,1()2=100,

.,.62+82=102,

.?.以6,8,10三個(gè)數(shù)為邊長的三角形是直角三角形，

故B不符合題意；

D.V52+52=50,(5?)2=75,

.,.52+52^（5炳）2>

...以5,5,5?三個(gè)數(shù)為邊長的三角形不是直角三角形，

故。符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?浦東新區(qū)期中）在下列各原命題中，逆命題是假命題的是（）

A.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

B.如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊相等

C.如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的對應(yīng)角相等

D.兩個(gè)相等的角是對頂角

【分析】先寫出各個(gè)命題的逆命題，再根據(jù)平行線的判定定理、全等三角形的判定定理、對頂角的性質(zhì)

判斷即可.

【解答】解：A、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的逆命題是同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，是真命題，不符合

題意；

8、如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊相等的逆命題是兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊相等，那么這

兩個(gè)三角形全等，是真命題，不符合題意；

C、如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的對應(yīng)角相等的逆命題是兩個(gè)三角形的對應(yīng)角相等，那么

這兩個(gè)三角形全等，是假命題，符合題意；

D,兩個(gè)相等的角是對頂角的逆命題是對頂角相等，是真命題，不符合題意：

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題,

掌握平行線的判定定理、全等三角形的判定定理、對頂角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）BP和CP是△A8C兩個(gè)外角的平分線，則N8PC為（）

A.//AB.90°+//AC.90°-D-

【分析】根據(jù)題意得（NA+NACB）,ZPCB=1CZA+ZABC）,由三角形的內(nèi)角和定理以

22

及三角形外角的性質(zhì)，求得/尸與/A的關(guān)系，從而計(jì)算出/P的度數(shù).

【解答】解：如圖，；BP、CP是△ABC的外角平分線，

ZPBC=A（/A+/ACB）,NPCB=}（ZA+ZABC）,

22

又?.,NPBC+NPCB+NP=180°,

.?.ZP=180°-(NPBC+NPCB)

=180°(NA+N4CB+NA+/ABC)

2

=180°-工(180+NA)

2

=90°-1ZA,

2

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理.解決問題的關(guān)鍵是掌握：三角形的一

個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

二.填空題（共2小題）

5.（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）以線段MN為底邊的等腰三角形的頂角頂點(diǎn)的軌跡是線段政V的垂直

平分線（線段的中點(diǎn)除外）.

【分析】滿足△MNC以線段MN為底邊且CM=CN,根據(jù)線段的垂直平分線判定得到點(diǎn)C在線段A8的

垂直平分線上，除去與MN的交點(diǎn)（交點(diǎn)不滿足三角形的條件）.

【解答】解：?.?△A/NC以線段為底邊，CM=CN,

...點(diǎn)C在線段MN的垂直平分線上，除去與的交點(diǎn)（交點(diǎn)不滿足三角形的條件），

以線段MN為底邊的等腰三角形的頂點(diǎn)C的軌跡是：

線段的垂直平分線（線段的中點(diǎn)除外）.

故答案為：線段MN的垂直平分線（線段的中點(diǎn)除外）.

【點(diǎn)評】本題考查了軌跡：軌跡是動(dòng)點(diǎn)按一定條件運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的痕跡.也考查了線段的垂直平分線判定

與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記線段AB的垂直平分線的定義

6.（2020秋?浦東新區(qū)校級月考）在△4BC中，AB=\?>cm,AC=15<ro,高AO=12cm,則BC=14的或

4cm.

【分析】高線4?？赡茉谌切蔚膬?nèi)部也可能在三角形的外部，本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.分別依據(jù)

勾股定理即可求解.

【解答】解：由于高的位置是不確定的，所以應(yīng)分情況進(jìn)行討論.

(1)ZVIBC為銳角三角形，高A。在△ABC內(nèi)部.BD=d研2一曲=5,

CD-VAC2-AD2=9，BC=9+5-14cm.

(2)△ABC為鈍角三角形，高AO在△ABC外部.方法同(1)可得到B￡>=5,CD=9,：.BC=9-5=

4cm,

【點(diǎn)評】本題需注意高不確定位置的時(shí)候，三角形的形狀有兩種.

三.解答題(共1小題)

7.(2019秋?浦東新區(qū)期末)如圖(1),已知銳角AABC中，CD、BE分別是A3、AC邊上的高，M、N分

別是線段BC、的中點(diǎn).

(1)求證：MNVDE.

(2)連接DM,ME,猜想N4與NOME之間的關(guān)系，并證明猜想.

(3)當(dāng)NA變?yōu)殁g角時(shí)，如圖(2),上述(1)(2)中的結(jié)論是否都成立，若結(jié)論成立，直接回答，不

需證明；若結(jié)論不成立，說明理由.

【分析】(1)連接。M,ME,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到。M=』BC,ME=1BC,得到根

22

據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算；

(3)仿照(2)的計(jì)算過程解答.

【解答】(1)證明：如圖(1),連接。M,ME,

VCD,BE分別是A3、AC邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，

.-.DM=ABC,ME=LBC,

22

：.DM=ME,

又,：N為DE中點(diǎn),

：.MN±DE；

(2)在△ABC中，/ABC+/ACB=180°-ZA,

,:DM=ME=BM=MC,

：.ZBMD+ZCME^(180°-2ZABC)+(180°-2NACB),

=360°-2(NABC+/ACB),

=360°-2(180°-乙4),

=2ZA,

.../OME=180°-2ZA；

(3)結(jié)論(1)成立，結(jié)論(2)不成立，

理由如下：連接。M,ME,

在△ABC中，NABC+NAC8=180°-ZBAC,

；DM=ME=BM=MC,

：.NBME+NCMD=2NACB+2/ABG

=2(180°-ZBAC),

=360°-2ABAC,

：.ZDME=\S00-(360°-2NBAC),

=2ZBAC-180°.

⑴取-

【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于

斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【壓軸】

一、單選題

1.（2020.上海市曹楊第二中學(xué)附屬學(xué)校八年級期中）如圖，。