2025版新教材高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)四向量的數(shù)乘湘教版必修第二冊

課時作業(yè)(四)向量的數(shù)乘[練基礎(chǔ)]1．3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－4b))等于()A．5a＋7bB．5a－7bC．6a＋12bD．6a－12b2．設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λ2a的方向相同B．a(chǎn)與－λa的方向相反C．|λa|＝λ|a|D．|－λa|＝－λ|a|3．設(shè)a是任一向量，e是單位向量，且a∥e，則下列表示形式中，正確的是()A．e＝eq\f(a,|a|)B．a(chǎn)＝|a|eC．a(chǎn)＝－|a|eD．a(chǎn)＝±|a|e4．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共線，則a＋b與c＝6e1－2e2的關(guān)系是()A．不共線B．共線C．相等D．無法確定5．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則肯定共線的三點是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D6．(多選)對于非零向量a，下列說法正確的是()A．2a的長度是a的長度的2倍，且2a與a方向相同B．－eq\f(a,3)的長度是a的長度的eq\f(1,3)，且－eq\f(a,3)與a方向相反C．若λ＝0，則λa等于零D．若λ＝eq\f(1,|a|)，則λa是與a同向的單位向量7．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，則a－b＝________，2a－3b＝________．8．已知a、b、c為非零向量，且a與b不共線，若c∥a，則c與b必定________．9．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為BD，AB，AC，CD的中點，求證：四邊形EFGH為平行四邊形．10．設(shè)兩個非零向量e1，e2不共線，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2.問：是否存在實數(shù)k，使得A，B，D三點共線，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．[提實力]11．已知△ABC的重心為O，則向量eq\o(BO,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))12．(多選)已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，給出下列結(jié)論，其中正確的有()A．eq\o(AC,\s\up6(→))＝－bB．eq\o(BE,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)bC．eq\o(BA,\s\up6(→))＝a＋bD．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a13．已知△ABC和點M滿意eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0.若存在實數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，則m＝________．14．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點，則eq\o(MA,\s\up6(→))＝________，eq\o(MN,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)15．如圖所示，在△ABC中，D、F分別是BC、AC的中點，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a、b表示向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．[培優(yōu)生]16．設(shè)a，b，c為非零向量，其中隨意兩向量不共線，已知a＋b與c共線，且b＋c與a共線，則b與a＋c是否共線？請證明你的結(jié)論．課時作業(yè)(四)向量的數(shù)乘1．解析：3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－4b))＝6a－12b.答案：D2．解析：因為λ2>0，所以a與λ2a的方向相同，故A選項正確；當(dāng)λ<0時，a與－λa的方向相同，故B選項錯誤；因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λa))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))，當(dāng)λ<0時，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λa))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝－λeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))，故C選項錯誤；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－λa))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))，當(dāng)λ>0時，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－λa))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝λeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))，故D選項錯誤．答案：A3．解析：當(dāng)a＝0時，eq\f(a,|a|)無意義，A錯誤；當(dāng)a＝0時，BCD均正確；當(dāng)a≠0時，由a∥e知：a與e同向或反向，知BC不全面，D正確．答案：D4．解析：因為a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，所以a＋b＝3e1－e2＝eq\f(1,2)c，因此a＋b與c＝6e1－2e2的關(guān)系是共線．答案：B5．解析：∵＝－5a＋6b，＝7a－2b，∴＝＋＝2a＋4b，又＝a＋2b，所以＝2，即∥，而，有公共點B，∴A，B，D三點共線，A選項正確；＝－4a＋8b，明顯，，兩兩不共線，選項B，C，D都不正確．答案：A6．解析：2a的長度是a的長度的2倍，且2a與a方向相同，故A正確；－eq\f(a,3)的長度是a的長度的eq\f(1,3)，且－eq\f(a,3)與a方向相反，故B正確；若λ＝0，則λa等于零向量，不是零，故C錯誤；若λ＝eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))，則λa是與a同向的單位向量，故D正確．答案：ABD7．解析：a－b＝2e1＋e2－(e1－2e2)＝e1＋3e2，2a－3b＝2(2e1＋e2)－3(e1－2e2)＝e1＋8e2.答案：e1＋3e2e1＋8e28．解析：因為a與b不共線，c∥a，所以c與b不共線．答案：不共線9．證明：∵F，G分別是AB，AC的中點，∴＝eq\f(1,2).同理，＝eq\f(1,2).∴＝，∴FG＝EH，F(xiàn)G∥EH，∴四邊形EFGH為平行四邊形．10．解析：設(shè)存在k∈R，使得A，B，D三點共線，∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2又∵A，B，D三點共線，∴＝λ，∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝－λ,k＝4λ))，解得k＝－8，∴存在k＝－8，使得A，B，D三點共線．11．解析：如圖，設(shè)E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點，由于O是三角形ABC的重心，所以＝eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)×＝eq\f(2,3)×＝－eq\f(2,3)＋eq\f(1,3).答案：C12.解析：如圖所示：＝－＝－b，則A項正確；＝＋＝a＋eq\f(1,2)b，則B項錯誤；＝＋＝a＋b，則C項正確；＝eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)a，則D項錯誤．答案：AC13．解析：由條件知M是△ABC的重心，設(shè)D是BC邊的中點，則＋＝2，而＝eq\f(2,3)，所以2＝m·eq\f(2,3)，∴m＝3.答案：314.解析：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴＝，又∵＝3，∴A，N，C三點共線，且＝－eq\f(1,4)，則＝＋＝eq\f(1,2)＋＝－eq\f(1,2)b－a，＝＋＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,4)(a＋b)＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,2)b－a－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b15.解析：(1)如圖，延長AD到G，使＝eq\f(1,2)，連接BG，CG，得到平行四邊形ABGC，所以＝a＋b，＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(a＋b)，＝eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)(a＋b)，＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)b，則＝－＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，＝－＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a).(