浙江省名校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期適應(yīng)性聯(lián)合考試試題含解析

Page26浙江省名校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期適應(yīng)性聯(lián)合考試試題考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校、班級、姓名、試場號、座位號及準(zhǔn)考證號．3．全部答案必需寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得集合，得到，結(jié)合和選項，即可求解.【詳解】由題意，集合，或，所以或，因為，結(jié)合選項可得.故選：D.2.已知向量滿意，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先對平方，代入已知條件整理得，再利用數(shù)量積公式可求得.【詳解】，，又，，，設(shè)與的夾角為，，從而，所以與的夾角.故選：C3.如圖是杭州2024年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展.如圖是會徽的幾何圖形，設(shè)弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（

）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依據(jù)弧長公式，可得出兩個扇形的半徑之比，從而可求出面積之比.【詳解】設(shè)，，，，，而，，即是的中點，，，.故選：C4.已知復(fù)數(shù)z滿意，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由復(fù)數(shù)相等，得出的關(guān)系式，消去得到關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)解，利用，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，整理得：,所以，消去得,因為方程有解，所以，解得：.故選：D.5.若，則的最大值是（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，則，利用余弦定理求得，再結(jié)合三角形的面積公式計算即可得出答案.【詳解】解：設(shè)，則，，又，代入上式得，又，則，所以當(dāng)時，取最大值．故選：B.6.用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），在隨意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先算出隨意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的6位數(shù)的個數(shù)，再探討個位是偶數(shù)并分2在或不在個位計數(shù)，以及個位是奇數(shù)并分1在或不在個位計數(shù)，最終求目標(biāo)概率.【詳解】將3個偶數(shù)排成一排有種，再將3個奇數(shù)分兩種狀況插空有種，所以隨意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的6位數(shù)有種，隨意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰，分兩種狀況探討：當(dāng)個位是偶數(shù)：2在個位，則1在十位，此時有種；2不在個位：將4或6放在個位，百位或萬位上放2，在2的兩側(cè)選一個位置放1，最終剩余的2個位置放其它兩個奇數(shù)，此時有種；所以個位是偶數(shù)共有20種；同理，個位是奇數(shù)也有20種，則隨意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰數(shù)有40種，所以隨意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：對隨意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰做計數(shù)時，留意探討特別位置上放置偶數(shù)或奇數(shù)，進(jìn)而分1、2是否在該位置的狀況計數(shù).7.已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對變形得到，進(jìn)而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關(guān)系式，求出離心率.【詳解】因為，所以，如圖，在上取一點M，使得，連接，則，則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點A與上頂點重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點睛】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，干脆求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，須要作出協(xié)助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率.8.已知數(shù)列滿意遞推關(guān)系，且，若存在等比數(shù)列滿意，則公比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先設(shè)，，，，分析得，，所以，又分析得，再用數(shù)學(xué)歸納法證明得，，再設(shè)函數(shù)，分析得函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，得到，即，再利用條件得，分析得，再設(shè)函數(shù)，，分析得在單調(diào)遞減，所以，得到，即，即，再結(jié)合條件得到，分析得，即可求解.【詳解】設(shè)，，，因為，所以，所以，所以，所以．因為，所以．下面用歸納法證明．當(dāng)時，，假設(shè)當(dāng)時，，那么對，，所以，因為，所以，所以．因此，.，所以，，綜上，．再設(shè)，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，所以，所以，而，所以取足夠大，易知，即．設(shè)，，，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，而，所以，所以，所以，當(dāng)足夠大時，易知須滿意，即．綜上，．故選：A.【點睛】本題主要考查數(shù)列和函數(shù)相結(jié)合問題，通過構(gòu)造合適的函數(shù)，再利用數(shù)學(xué)歸納法得到數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，屬于難題.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的或不選的得0分．9.同時拋擲兩個質(zhì)地勻稱的四面分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體一次，記事務(wù)A表示“第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)”，事務(wù)B表示“其次個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)”，事務(wù)C表示“兩個四面體向下的一面同時出現(xiàn)奇數(shù)或者同時出現(xiàn)偶數(shù)”，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由相互獨立事務(wù)乘法公式可推斷A、C、D；由條件概率公式可推斷B；【詳解】由題意，，，,故A正確．所以，，所以，故B正確．事務(wù)A，B，C不行能同時發(fā)生，故，故C錯誤；，故D錯誤．故選：AB．10.定義在上的函數(shù)，是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則下列正確的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小比較.【詳解】因為，所以，.由，得，設(shè)，則，可得，則在定義域上單調(diào)遞減，因為，所以，則，故A正確；因為，所以，則，故B錯誤；因為，所以，則，故C正確；因為，所以，則，故D正確.故選：ACD.11.已知拋物線上的四點，，，，直線，是圓的兩條切線，直線、與圓分別切于點、，則下列說法正確的有（）A.當(dāng)劣弧的弧長最短時， B.當(dāng)劣弧的弧長最短時，C.直線的方程為 D.直線的方程為【答案】BD【解析】【分析】對于AB選項，當(dāng)劣弧最短時，即最小，最大，最小，依據(jù)二倍角公式及三角函數(shù)可得，設(shè)點，求的最小值即可得解；對于CD選項，依據(jù)相切可得直線與的方程，進(jìn)而可得點與點的坐標(biāo)，即可得直線.【詳解】由已知得拋物線過點，即，所以，即拋物線為，對于AB選項，如圖所示，設(shè)點當(dāng)劣弧的弧長最短時，最小，又，所以最大，即最小，又，又圓，所以圓心，半徑，，又，所以當(dāng)時，取最小值為，此時最小為，所以A選項錯誤，B選項正確；對于CD選項，設(shè)過點作圓切線的方程為，即，所以，解得，則直線的方程為：，即，直線的方程為：，即，聯(lián)立直線與拋物線，得，故，，，同理可得，所以，直線的方程為，即，所以C選項錯誤，D選項正確；故選：BD.12.如圖，在中，，，，設(shè)點在上的射影為，將繞邊隨意轉(zhuǎn)動，則有（）A.若為銳角，則在轉(zhuǎn)動過程中存在位置使B.若為直角，則在轉(zhuǎn)動過程中存在位置使C.若，則在轉(zhuǎn)動過程中存在位置使D.若，則在轉(zhuǎn)動過程中存在位置使【答案】AC【解析】【分析】作出相應(yīng)的圖形，利用兩角和的正切公式以及零點存在定理可推斷A選項；利用圓的幾何性質(zhì)以及平面幾何相關(guān)學(xué)問可推斷BCD選項.【詳解】不妨設(shè)點在直線上的射影點為，當(dāng)圍著直線旋轉(zhuǎn)時，會形成圓錐，且直線為該圓錐的軸所在的直線，如下圖所示：在圓錐上任取一點，平面為平面，當(dāng)為銳角時，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為平面，平面，則；因為，，平面，當(dāng)時，點與點重合；當(dāng)為鈍角時，則點在射線上；當(dāng)或時，點與點重合.不失一般性，不妨設(shè)，則點在線段上，且，設(shè)的外接圓為圓.對于A選項，若為銳角，如下圖所示：不妨設(shè)，則，，因為，若存在位置使得，即，設(shè)，由于，則點不與線段的端點重合，即，，則，即，令，其中，因為為銳角，則，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，故方程在時有解，所以，若為銳角，則在轉(zhuǎn)動過程中存在位置使，A對；對于B選項，若為直角，則為等腰直角三角形，此時點與點重合，當(dāng)點在線段（不包含端點）上運動時，的取值范圍是，此時，不存在位置使得，B錯；對于C選項，連接、，因為，，則，，則，由圓的幾何性質(zhì)可得，，則，所以，,故線段與圓相交，設(shè)交點為，當(dāng)點在線段（不包括端點）上運動時，延長交圓于點，連接，則，若，則在轉(zhuǎn)動過程中存在位置使，C對；對于D選項，若，，則，，則，由圓的幾何性質(zhì)可得，，，所以，，所以，與圓相切，當(dāng)點在線段（不包括端點）上運動時，連接交圓于點，連接、，則，所以，若，則在轉(zhuǎn)動過程中不存在位置使，D錯.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查點的存在性使得條件成立，解決本題的關(guān)鍵在于作出圖形，利用平面幾何的相關(guān)學(xué)問求解.非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.的綻開式中的常數(shù)項為_______．【答案】1120【解析】【分析】先求出的綻開式的通項，令，求出，回代入通項即可求出答案.【詳解】因為的綻開式的通項為：，令，得，所以綻開式的常數(shù)項為．故答案為：.14.已知雙曲線的右焦點為，右頂點為，以坐標(biāo)原點為圓心，過點的圓與雙曲線的一條漸近線交于位于第一象限的點，若直線的斜率為，則雙曲線的漸近線方程為________．【答案】【解析】【分析】先由題意得到圓的方程，再與雙曲線的漸近線聯(lián)立得到的坐標(biāo)，利用的坐標(biāo)求出直線的斜率，得到，繼而求出雙曲線的漸近線方程【詳解】解：由題意得圓的方程為，雙曲線經(jīng)過第一象限的漸近線方程為，聯(lián)立方程，解得點的坐標(biāo)為，有，又由直線的斜率為，可得，有，故雙曲線的漸近線方程為．故答案為：15.以為底的兩個正三棱錐和內(nèi)接于同一個球，并且正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為45°，記正三棱錐和正三棱錐的體積分別為和，則__________【答案】##【解析】【分析】作圖后由二面角的定義與勾股定理，列方程求出正三棱錐高與球的半徑之比，再得兩個三棱錐的高之比【詳解】如圖，正三棱錐和正三棱錐內(nèi)接于同一個球，設(shè)究竟面的距離為，究竟面的距離為，則，取的中點，連接，，，記與平面的交點為，由兩個正三棱錐和內(nèi)接于同一個球，故肯定為球的直徑，記其中點為，且由題意可知，為正三角形的中心，因此，，分別為正三棱錐和正三棱錐的高，，由，，，且為的中點，可得，，，則為正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，，，記球的半徑為，于是，在中，由勾股定理可得，，解得，于是，則．故答案為：16.設(shè)函數(shù)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則函數(shù)在上全部零點之和為___________.【答案】【解析】【分析】分析的對稱性，將問題轉(zhuǎn)化為圖象交點橫坐標(biāo)之和，采納數(shù)形結(jié)合法求解出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以是一個周期為的周期函數(shù)，且關(guān)于直線對稱，令，所以，所以關(guān)于直線對稱，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象，如下圖所示：由圖象可知：的圖象共有個交點，其中個點關(guān)于對稱，還有一個點橫坐標(biāo)為，所以交點的橫坐標(biāo)之和為，所以在上全部零點之和為，故答案為：.【點睛】思路點睛：求解函數(shù)零點之和的問題，可以轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)之和，利用數(shù)形結(jié)合的思想能高效解答問題，常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的個數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）探討函數(shù)性質(zhì).四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間［0，］上的最值.【答案】（1）（kZ）（2）最大值為1，最小值為-.【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)降冪公式與二倍角公式，依據(jù)協(xié)助角公式，化簡函數(shù)為單角三角函數(shù)，依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；（2）利用整體思想，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，可得答案.【小問1詳解】=.因為y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為（kZ），令（kZ），得（kZ）.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（kZ）.【小問2詳解】因為x∈［0，］，所以2x＋.當(dāng)2x＋=，即x＝時，最大值為1，當(dāng)2x＋=，即x＝時，最小值為-.18.已知數(shù)列滿意.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡，再推導(dǎo)出等于一個常數(shù)，即可求解；（2）結(jié)合第一問，先求出數(shù)列的滿意的規(guī)律，然后再求和.【小問1詳解】由已知有：所以，，其中，所以數(shù)列為以為首項，公比為的等比數(shù)列.所以，得.【小問2詳解】由（1）知：，，所以.19.如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，平面平面是的中點，且為等邊三角形，平面平面.（1）設(shè)直線，求點到平面PDC的距離；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）延長，交于點發(fā)覺直線，通過圖象關(guān)系可得點到平面PDC的距離是點到平面PDC的距離的2倍，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點到平面PDC的距離的2倍，繼而得到結(jié)果；（2）通過向量法求解二面角的余弦值，繼而求出正弦值【小問1詳解】延長，交于點直線，在底面中，，得為中位線，所以為中點，因為分別為中點，所以為的中位線，得，所以點到平面PDC的距離是點到平面PDC的距離的2倍，易得是等邊三角形，，取中點中點為，連接，所以在中，，解得，所以，所以因為平面平面平面平面，，平面，所以平面則以為原點如圖建立直角坐標(biāo)系，由題意得，設(shè)平面PDC的法向量由得，令，則，所以所以點到平面PDC的距離為，所以點到平面的距離是；【小問2詳解】由（1）得：，設(shè)平面法向量由得，令，則，則設(shè)平面PBE法向量，由得，令，則，則設(shè)二面角P-BE-D的平面角為因此，二面角的正弦值是20.為應(yīng)對氣候改變，我國安排在2030年前實現(xiàn)碳排放量到達(dá)峰值，2060年前實現(xiàn)“碳中和”.某市為了解本市企業(yè)碳排放狀況，從本市320家年碳排放量超過2萬噸的企業(yè)中隨機(jī)抽取50家企業(yè)進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將年碳排放量大于18萬噸的企業(yè)確定為“超標(biāo)”企業(yè)：硫排放量X[2.55.5）[5.5，8.5）[8.5，115）[115，14.5）[14.5.175）[175，20.5）[20.523.5）頻數(shù)56912864（1）假設(shè)該市這320家企業(yè)的年碳排放量大致聽從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計算得，.試估計這320家企業(yè)中“超標(biāo)”企業(yè)的家數(shù)；（2）通過探討樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)覺，抽取的50家企業(yè)中共有8家“超標(biāo)”企業(yè)，市政府確定對這8家“超標(biāo)”企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，現(xiàn)安排在這8家“超標(biāo)”企業(yè)中任取5家先進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)Y為抽到的年碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)家數(shù)，求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望.（參考數(shù)據(jù)：若X~，則，，.）【答案】（1）51（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】【分析】（1）依據(jù)正態(tài)分布的規(guī)律以及計算公式求解即可；（2）Y的可能取值為1，2，3，4，再由超幾何分布概率的計算方法求出對應(yīng)的概率即可求解【小問1詳解】由已知，得，，所以因為所以這320家企業(yè)中“超標(biāo)”企業(yè)的家數(shù)約為51.【小問2詳解】由頻數(shù)分布表可知，8家“超標(biāo)”企業(yè)中碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)有4家，所以Y的可能取值為1，2，3，4，且所以Y的分布列為Y1234P所以21.拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為A為C上的一點，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點，

（1）若面積為，求的值及圓的方程（2）若直線與拋物線C交于P，Q兩點，且，準(zhǔn)線與y軸交于點S，點S關(guān)于直線PQ的對稱點為T，求的取值范圍.【答案】（1），圓的方程為（2）【解析】【分析】（1）由焦半徑和圓的半