專題11 集合的基本運算（交集與并集）（教師版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題11集合的基本運算(交集與并集)【知識點梳理】知識點1：并集和交集的定義定義并集交集自然語言一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B符號語言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}圖形語言【知識點撥】(1)簡單地說，集合A和集合B的全部(公共)元素組成的集合就是集合A與B的并(交)集；(2)當(dāng)集合A，B無公共元素時，不能說A與B沒有交集，只能說它們的交集是空集；(3)在兩個集合的并集中，屬于集合A且屬于集合B的元素只顯示一次；(4)交集與并集的相同點是：由兩個集合確定一個新的集合，不同點是：生成新集合的法則不同．知識點2：并集和交集的性質(zhì)并集交集簡單性質(zhì)A∪A＝A；A∪?＝AA∩A＝A；A∩?＝?常用結(jié)論A∪B＝B∪A；A?(A∪B)；B?(A∪B)；A∪B＝B?A?BA∩B＝B∩A；(A∩B)?A；(A∩B)?B；A∩B＝B?B?A【題型歸納目錄】題型1：并集的運算題型2：交集的運算題型3：根據(jù)交集求參數(shù)問題題型4：根據(jù)并集求參數(shù)問題題型5：交集、并集的綜合運算【典例例題】題型1：并集的運算例1．(2023·浙江杭州·高一?？茧A段練習(xí))設(shè)集合，，則元素的個數(shù)為(

)A．2 B．3 C．8 D．9【答案】C【解析】因為集合，，所以所以元素的個數(shù)為8，故選：C例2．(2023·云南普洱·高一?？茧A段練習(xí))已知集合，，則(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，故選：A.例3．(2023·四川涼山·高一統(tǒng)考期末)已知集合，，則(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因為集合，，根據(jù)并集的定義可知，.故選：B變式1．(2023·四川宜賓·高一校考階段練習(xí))已知集合，，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因為集合，，所以，故選:D.變式2．(2023·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級中學(xué)?？计谀?已知集合，則(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】已知集合，所以.故選：C變式3．(2023·廣東惠州·高一惠州市惠陽高級中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知集合，則(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】，故.故選：C變式4．(2023·江蘇鹽城·高一江蘇省阜寧中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知集合，，則(

)A．S B．T C．R D．【答案】A【解析】集合，.當(dāng)時，有；當(dāng)時，有.所以，所以.故選：A變式5．(2023·河北石家莊·高一?？茧A段練習(xí))設(shè)集合，，則A∪B中的元素個數(shù)是A．11 B．10 C．16 D．15【答案】C【解析】由題意可得：,,據(jù)此可得：，則A∪B中的元素個數(shù)是16.本題選擇C選項.題型2：交集的運算例4．(2023·高一課時練習(xí))集合，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因為集合，所以.故選：D.例5．(2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？计谥?已知集合，則(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以.故選：B例6．(2023·高一單元測試)已知集合，，則(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，又因為，則，故選：A.變式6．(2023·海南海口·高一?？谝恢行？计谥?集合，集合，則(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】因為集合，集合，所以.故選：C.變式7．(2023·廣東汕尾·高一華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校校考階段練習(xí))設(shè)集合，，則等于(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，故選：A．變式8．(2023·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？计谀?已知集合，，則(

)A． B． C．， D．【答案】D【解析】由題意可知，解得，所以.故選：D.題型3：根據(jù)交集求參數(shù)問題例7．(2023·高一課時練習(xí))設(shè)集合,(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)時，，；(2)，當(dāng)時，滿足題意，此時，解得；當(dāng)時，解得，實數(shù)m的取值范圍為.例8．(2023·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末)集合，集合.(1)當(dāng)時，求，；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)解不等式，得，所以，當(dāng)時，則，所以，；(2)因為，所以當(dāng)時，，即，此時；當(dāng)時，，則，解得:，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是.例9．(2023·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí))設(shè)集合.(1)討論集合與的關(guān)系；(2)若，且，求實數(shù)的值.【解析】(1)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，是的真子集.(2)當(dāng)時，因為，所以，所以.當(dāng)時，解得(舍去)或，此時，符合題意.當(dāng)時，解得，此時符合題意.綜上，或.變式9．(2023·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？计谀?設(shè)集合，.(1)若，求a的值；(2)若，求實數(shù)a組成的集合C.【解析】(1)由，解得或，所以，因為，所以，則，所以；(2)因為，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上可得集合.變式10．(2023·黑龍江齊齊哈爾·高一?？计谥?已知集合，，.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【解析】(1)因為，，所以.(2)因為，且，所以，即的取值范圍為.變式11．(2023·貴州銅仁·高一校考開學(xué)考試)已知集合，．(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)時，，，.(2)當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，或，解得：或，綜上所述：實數(shù)的取值范圍．題型4：根據(jù)并集求參數(shù)問題例10．(2023·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)集合，，(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)由集合可得，由可得，故，解得或，當(dāng)時，，此時不滿足題意，舍去，當(dāng)時，，滿足題意，故；(2)由得，當(dāng)時，即時，滿足題意；當(dāng)時，即時，滿足題意；當(dāng)時，即時，，解得，綜上可得，或；即實數(shù)的取值范圍為.例11．(2023·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習(xí))設(shè)集合.已知.(1)求集合A；(2)若，求所有滿足條件的的取值集合.【解析】(1)因為，又，，所以，，所以；(2)由，可得，當(dāng)時，則關(guān)于的方程沒有實數(shù)根，所以；當(dāng)時，此時，則，所以或，解得或；綜上，所有滿足條件的的取值集合為.例12．(2023·上海虹口·高一上外附中?？茧A段練習(xí))已知，若，求實數(shù)的值.【解析】因為中，且兩根之積為，又，故，所以，則，由上知：，所以，代入得，顯然滿足.所以.變式12．(2023·上海徐匯·高一?？计谀?已知集合.(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)，；時，，故(2)由于，故，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.變式13．(2023·福建龍巖·高一?？茧A段練習(xí))已知集合，，.(1)若，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍.【解析】(1)若,則，解得；故的取值范圍為(2)若，則，則或，解得或.故的取值范圍為或變式14．(2023·上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？计谀?已知集合，.(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值集合.【解析】(1)當(dāng)時，，又，所以；(2)由解得，，若，則，，符合題意；若，由于，所以；綜上所述，實數(shù)的取值集合為.變式15．(2023·安徽滁州·高一?？茧A段練習(xí))已知集合，集合．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【解析】(1)，∵，∴，∴；(2)∵，∴，∵∴①，即時，，滿足題意；②時，，∴，解得，綜上得，或．變式16．(2023·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí))已知，且，若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】由得，即.由得，解得.故實數(shù)的取值范圍為題型5：交集、并集的綜合運算例13．(多選題)(2023·江蘇連云港·高一連云港高中?？茧A段練習(xí))對于非空集合，，我們把集合且叫做集合與的差集，記作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，則有，2，，如果，集合與之間的關(guān)系為(

)A． B． C． D．【答案】AD【解析】差集的定義，且，，，故選：．例14．(多選題)(2023·江西宜春·高一江西省樟樹中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)集合，則下列說法不正確的是(

)A．若有4個元素，則 B．若，則有4個元素C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】(1)當(dāng)時，，；(2)當(dāng)時，，；(3)當(dāng)時，，；(4)當(dāng)時，，；故A，B，C，不正確，D正確故選：ABC例15．(多選題)(2023·江蘇連云港·高一階段練習(xí))已知集合，，則(

)A．集合 B．集合可能是C．集合可能是 D．0可能屬于B【答案】ABD【解析】∵，∴，故A正確．∵集合，∴集合中一定包含元素1，2，3，∵，∴集合可能是，故B正確；∵不是自然數(shù)，∴集合不可能是，故C錯誤；∵0是最小的自然數(shù)，∴0可能屬于集合，故D正確.故選：ABD.變式17．(多選題)(2023·廣西桂林·高一?？茧A段練習(xí))若集合，則(

)A． B．C． D．【答案】AB【解析】對于AB，因為，所以，，故AB正確；對于C，因為，但，所以不成立，故C錯誤；對于D，由選項AB易知，故D錯誤.故選：AB.變式18．(多選題)(2023·廣東江門·高一新會陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí))若集合，則下列結(jié)論正確的有(

)A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因為，所以，A正確；，當(dāng)時，，B錯誤；因為，而，所以，C正確；因為，而，所以，D正確.故選：ACD.變式19．(多選題)(2023·山東菏澤·高一?？茧A段練習(xí))若集合，則下列結(jié)論正確的是(

)A． B． C． D．【答案】BCD【解析】，∴，，，故選：BCD．變式20．(多選題)(2023·江蘇蘇州·高一吳縣中學(xué)?？茧A段練習(xí))下列命題為真命題的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】若，則中的元素中都有，則，故A正確.若，則.因為含有中的全部元素，故B正確.因為，所以是的公共元素，故，所以C正確.因為，所以是的元素或的元素，不一定是公共元素，故D不對.故選：ABC【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末)集合滿足，則集合中的元素個數(shù)為(

)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】因為，所以，又，所以，則，故集合中的元素個數(shù)為.故選：B.2．(2023·湖北黃岡·高一黃岡中學(xué)校聯(lián)考期中)設(shè)集合，，則圖陰影區(qū)域表示的集合是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，圖陰影區(qū)域表示的集合是,所以.故選：A.3．(2023·湖北·高一校聯(lián)考期中)已知集合，，若，則(

)A．0 B．1 C．0或1 D．2【答案】C【解析】由題意可得：若，則，此時，，若，則或符合題意；若，則，不符合題意.故選:C4．(2023·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末)已知集合，，則(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，故選：C.5．(2023·浙江金華·高一?？茧A段練習(xí))設(shè)，，若，則實數(shù)組成的集合的子集個數(shù)有(

)A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解析】，，，或或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，得，實數(shù)組成的集合為，其子集的個數(shù)為.故選：D.6．(2023·湖南·高一衡陽市八中校聯(lián)考階段練習(xí))已知集合，，則(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，，所以.故選：C7．(2023·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習(xí))設(shè)集合A、B、C均為非空集合，下列命題中為真命題的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】對于A，，當(dāng)時，結(jié)論不成立，則A錯誤；對于B,，當(dāng)時，結(jié)論不成立，則B錯誤；對于C，，當(dāng)時，結(jié)論不成立，則C錯誤；對于D，因為，，所以，又，所以，則，則D正確.故選：D8．(2023·云南曲靖·高一曲靖一中?？茧A段練習(xí))定義集合運算，若集合，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以或所以或，或所以或，，代入驗證，故.故選：D.二、多選題9．(2023·高一單元測試)設(shè)，若，則m的值可以為(

)A．0 B． C．1 D．2【答案】ABC【解析】，，當(dāng)時，，符合；當(dāng)時，，或，或.故選：ABC.10．(2023·江蘇連云港·高一連云港高中校考階段練習(xí))設(shè)，均為有限集，中元素的個數(shù)為，中元素的個數(shù)為，中元素的個數(shù)為，下列各式可能成立的是(

)A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由并集的定義知，當(dāng)集合與中沒有公共元素時，有，所以可能成立；當(dāng)集合與中有公共元素時，，所以可能成立；當(dāng)集合與集合為相等集合時，，所以可能成立；根據(jù)集合的并集運算可知不能成立.故選：ABD．11．(2023·遼寧沈陽·高一沈陽市外國語學(xué)校校考階段練習(xí))設(shè)，，若，則實數(shù)的值可以為(

)A． B．0 C．3 D．【答案】ABD【解析】，，又，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，要使，則或，解得或．綜上，或或．故選：ABD．12．(2023·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)?？计谥?設(shè)集合，，若，則實數(shù)的值可以為(

)A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由得：或，即；，；當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，則或，解得：或；綜上所述：實數(shù)的取值集合為.故選：ABC.三、填空題13．(2023·上海閔行·高一校考期末)已知，，則_______.【答案】【解析】因為集合，，因此，.故答案為：.14．(2023·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí))已知集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】因為，所以，若即，則，滿足題意；若即，因為，所以解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是，故答案為:.15．(2023·高一課時練習(xí))已知集合，，則_________.【答案】【解析】因為，所以，易知，當(dāng)時，，此時，，不合題意舍去；當(dāng)時，，此時，，滿足題意，所以.故答案為：16．(2023·上海松江·高一上海市松江二中?？计谥?設(shè)集合，，若，則的取值范圍是________．【答案】【解析】，，，故.故答案為：四、解答題17．(2023·高一課時練習(xí))設(shè)方程的解集是A，方程的解集是B，，求．【解析】因為，則是方程的一個實根，則，解得，解方程，得或，.，則是方程的一個實根，則，解得，解方程，得或，.18．(2023·高一單元測試)已知全集為，集合，．(1)求；(2)若，且，求的取值范圍．【解析