專題21 函數(shù)的應用(一)（學生版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學暑期銜接講義

專題21函數(shù)的應用(一)【知識點梳理】知識點一用函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，用函數(shù)刻畫實際問題，初步選擇模型．(2)建模：將文字語言轉化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型．(3)求模：求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結論．(4)還原：利用數(shù)學知識和方法得出的結論還原到實際問題中．可將這些步驟用框圖表示如下：知識點二常見的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：即直線模型，其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值勻速增大或減?。F(xiàn)實生活中很多事例可以用該模型來表示，例如：勻速直線運動的時間和位移的關系，彈簧的伸長量與拉力的關系等．(2)二次函數(shù)模型：二次函數(shù)為生活中最常見的一種數(shù)學模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等問題常常是二次函數(shù)的模型．(3)分段函數(shù)模型：由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化的實際問題，或者在某一特定條件下的實際問題中具有廣泛的應用．【題型歸納目錄】題型一：分式型函數(shù)模型的應用題型二：二次函數(shù)模型的應用題型三：分段函數(shù)模型的應用題型四：函數(shù)圖象與實際問題的交匯【典例例題】題型一：分式型函數(shù)模型的應用例1．(2023·廣東深圳·高一深圳外國語學校校考期中)生命在于運動，運動在于鍛煉.其中，游泳就是一個非常好的鍛煉方式.游泳有眾多好處，強身健體、保障生命安全、增強心肺功能、鍛煉意志、培養(yǎng)勇敢頑強精神、休閑娛樂.近幾年，游泳池成了新小區(qū)建設的標配家門口的“游泳池”，成了市民休閑娛樂的好去處，如圖，某小區(qū)規(guī)劃一個深度為，底面積為的矩形游泳池，按規(guī)劃要求：在游泳池的四周安排寬的休閑區(qū)，休閑區(qū)造價為元/，游泳池的底面與墻面鋪設瓷磚，瓷磚造價為元/.其他設施等支出約為1萬元，設游泳池的長為.

(1)試將總造價(元)表示為長度(m)的函數(shù)；(2)當取何值時，總造價最低，并求出最低總造價.例2．(2023·高一課時練習)“垃圾分一分，環(huán)境美十分”．某校為積極響應有關垃圾分類的號召，從百貨商場購進了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個貴50元，用4000元購買A品牌垃圾桶的數(shù)量是用3000元購買B品牌垃圾桶數(shù)量的2倍．(1)求購買一個A品牌、一個B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若該中學決定再次準備用不超過6000元購進A，B兩種品牌垃圾桶共50個，恰逢百貨商場對兩種品牌垃圾桶的售價進行調(diào)整：A品牌按第一次購買時售價的九折出售，B品牌比第一次購買時售價提高了20%，那么該學校此次最多可購買多少個B品牌垃圾桶？例3．(2023·江蘇鹽城·高一鹽城市伍佑中學?？茧A段練習)因新冠疫情零星散發(fā)，某實驗中學為了保障師生安全，同時考慮到節(jié)省費用，擬借助校門口一側原有墻體建造一間高為4米、底面積為24平方米、背面靠墻體的長方體形狀的隔離室．隔離室的正面需開一扇安全門，此門高為2米，且此門高為此門底的.因此室的后背面靠墻，故無需建墻費用，但需粉飾．現(xiàn)學校面向社會公開招標，甲工程隊給出的報價：正面為每平方米360元，左右兩側面為每平方米300元，已有墻體粉飾為每平方米100元，屋頂和地面以及安全門報價共計1200元．設隔離室的左右兩側面的底邊長度均為x米．(1)記y為甲工程隊整體報價，求的解析式；(2)現(xiàn)有乙工程隊也要參與此隔離室建造的競標，其給出的整體報價為元，問是否存在實數(shù)t，使得無論左右兩側底邊長為多少，乙工程隊都能競標成功(注：整體報價小者競標成功)，若存在，求出t滿足的條件；若不存在，請說明理由．題型二：二次函數(shù)模型的應用例4．(2023·高一課時練習)某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券類產(chǎn)品的年收益f(x)(單位：萬元)與投資額x(單位：萬元)成正比，其關系如圖1；投資股票類產(chǎn)品的年收益g(x)(單位：萬元)與投資額x(單位：萬元)的算術平方根成正比，其關系如圖2.(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益f(x)和g(x)的函數(shù)關系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元?例5．(2023·高一課時練習)小明同學想知道自家煤氣灶旋鈕放到什么位置時，燒開一壺水最省燃氣，于是通過實驗統(tǒng)計了旋鈕的轉角為、、、、時，燒開一壺水所耗燃氣情況：旋鈕的轉角(單位：度)1836547290所耗燃氣量(單位：)0.1300.1220.1390.1490.172請選擇合適的函數(shù)模擬擬合以上數(shù)據(jù)，由此計算：旋鈕的轉角為多少度時，燒開一壺水所耗然氣最少？最少燃氣為多少立方米？例6．(2023·江蘇·高一專題練習)魚卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜歡，而且深受外來游客的贊賞.小張從事魚卷生產(chǎn)和批發(fā)多年，有著不少來自零售商和酒店的客戶當?shù)氐牧曀资寝r(nóng)歷正月不生產(chǎn)魚卷，客戶正月所需要的魚卷都會在上一年農(nóng)歷十二月底進行一次性采購，小張把去年年底采購魚卷的數(shù)量x(單位：箱)在的客戶稱為“熟客”，并把他們?nèi)ツ瓴少彽臄?shù)量制成下表：采購數(shù)x客戶數(shù)10105205(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖，并估計采購數(shù)在168箱以上(含168箱)的“熟客”人數(shù)；(2)若去年年底“熟客”們采購的魚卷數(shù)量占小張去年年底總的銷售量的，估算小張去年年底總的銷售量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(3)由于魚卷受到游客們的青睞，小張做了一份市場調(diào)查，決定今年年底是否在網(wǎng)上出售魚卷，若不在網(wǎng)上出售魚卷，則按去年的價格出售，每箱利潤為20元，預計銷售量與去年持平；若在網(wǎng)上出售魚卷，則需把每箱售價下調(diào)2至5元，且每下調(diào)m元()銷售量可增加1000m箱，求小張今年年底收入Y(單位：元)的最大值.變式1．(2023·高一單元測試)甲、乙兩城相距100km，在兩城之間距甲城xkm處的丙地建一核電站給甲、乙兩城供電，為保證城市安全，核電站距兩地的距離不少于10km．已知各城供電費用(元)與供電距離(km)的平方和供電量(億千瓦時)之積都成正比，比例系數(shù)均是=0.25，若甲城供電量為20億千瓦時/月，乙城供電量為10億千瓦時/月，(1)把月供電總費用y(元)表示成x(km)的函數(shù)，并求其定義域；(2)求核電站建在距甲城多遠處，才能使月供電總費用最?。兪?．(2023·高一課時練習)某工廠去年1月，2月，3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估測以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份數(shù)的關系，模擬函數(shù)可以選擇二次函數(shù)或函數(shù)(其中為常數(shù))．已知4月份該產(chǎn)品產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)更好，并說明理由．題型三：分段函數(shù)模型的應用例7．(2023·高一課時練習)某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為4元，出廠單價6元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購超過100個時，每多訂購一個，零件的出廠單價就降低0.01元，但實際出廠價不低于5元．(1)當一次訂購量為多少時，零件的實際出廠單價降為5元？(2)設一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為元，求函數(shù)的表達式；(3)銷售商一次訂購150個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？若訂購500個呢？例8．(2023·高一平湖市當湖高級中學校聯(lián)考期中)在中國很多鄉(xiāng)村，燃放煙花爆竹仍然是慶祝新年來臨的一種方式，煙花爆竹帶來的空氣污染非常嚴重，可噴灑一定量的去污劑進行處理.據(jù)測算，每噴灑一個單位的去污劑，空氣中釋放的去污劑濃度(單位：毫克/立方米)隨著時間(單位：天)變化的函數(shù)關系式近似為，若多次噴灑，則某一時刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應時刻所釋放的濃度之和，由試驗知，當空氣中去污劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到去污作用.(1)若一次噴灑4個單位的去污劑，則去污時間可達幾天？(2)若第一次噴灑2個單位的去污劑，6天后再噴灑個單位的去污劑，要使接下來的3天能夠持續(xù)有效去污，求的最小值.例9．(2023·云南昆明·高一統(tǒng)考期末)目前，我國汽車工業(yè)迎來了巨大的革命時代，確保汽車產(chǎn)業(yè)可持續(xù)發(fā)展，國內(nèi)汽車市場正由傳統(tǒng)燃油車向新能源、智能網(wǎng)聯(lián)汽車升級轉型.某汽車企業(yè)決定生產(chǎn)一種智能網(wǎng)聯(lián)新型汽車，生產(chǎn)這種新型汽車的月成本為400(萬元)，每生產(chǎn)x臺這種汽車，另需投入成本(萬元)，當月產(chǎn)量不足40臺時，(萬元)；當月產(chǎn)量不小于40臺時，(萬元)．若每臺汽車售價為20(萬元)，且該車型供不應求．(1)求月利潤y(萬元)關于月產(chǎn)量x(臺)的函數(shù)關系式；(2)月產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤?并求出最大月利潤．變式3．(2023·福建福州·高一福建省福州第一中學?？计谀?某地某路無人駕駛公交車發(fā)車時間間隔(單位：分鐘)滿足，，經(jīng)測算.該路無人駕駛公交車載客量與發(fā)車時間間隔滿足：，其中.(1)求，并說明的實際意義：(2)若該路公交車每分鐘的凈收益(元)，問當發(fā)車時間間隔為多少時，該路公交車每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.題型四：函數(shù)圖象與實際問題的交匯例10．(2023·北京昌平·高一統(tǒng)考期末)某校航模小組進行無人機飛行測試，從某時刻開始15分鐘內(nèi)的速度(單位：米/分鐘)與飛行時間(單位：分鐘)的關系如圖所示.若定義“速度差函數(shù)”(單位：米/分鐘)為無人機在這個時間段內(nèi)的最大速度與最小速度的差，則的圖像為(

)A． B．C． D．例11．(2023·高一單元測試)列車從地出發(fā)直達外的地，途中要經(jīng)過離地的地，假設列車勻速前進，后從地到達地，則列車與地距離(單位：與行駛時間(單位：)的函數(shù)圖象為(

)A． B．C． D．例12．(2023·全國·高一專題練習)點P從O點出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O?P兩點的距離y與點P所走路程x的函數(shù)關系如圖所示，那么點P所走的圖形是(

)A． B．C． D．變式4．(2023·全國·高一專題練習)小明去上學，先步行，后跑步，如果y表示小明離學校的距離，x表示出發(fā)后的時間，那么下列圖象中符合小明走法的是()A． B． C． D．變式5．(2023·云南紅河·高一?？茧A段練習)如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線左側的圖形的面積為，則的函數(shù)圖象是(

).A． B． C． D．【過關測試】一、單選題1．(2023·全國·高一專題練習)某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品萬件時的生產(chǎn)成本為(萬元)，每件商品售價為元，假設每月所生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完．當月所獲得的總利潤用(萬元)表示，用表示當月生產(chǎn)商品的單件平均利潤，則下列說法正確的是(

)A．當生產(chǎn)萬件時，當月能獲得最大總利潤萬元B．當生產(chǎn)萬件時，當月能獲得最大總利潤萬元C．當生產(chǎn)萬件時，當月能獲得單件平均利潤最大為元D．當生產(chǎn)萬件時，當月能獲得單件平均利潤最大為元2．(2023·四川資陽·高一四川省安岳實驗中學?？计谀?某工廠近期要生產(chǎn)一批化工試劑，經(jīng)市場調(diào)查得知，生產(chǎn)這批試劑的成本分為以下三個部分：①生產(chǎn)1單位試劑需要原料費50元；②支付所有職工的工資總額由7500元的基本工資和每生產(chǎn)1單位試劑補貼20元組成；③后續(xù)保養(yǎng)的費用是每單位元(試劑的總產(chǎn)量為單位，)，則要使生產(chǎn)每單位試劑的成本最低，試劑總產(chǎn)量應為(

)A．60單位 B．70單位 C．80單位 D．90單位3．(2023·廣東廣州·高一廣州大學附屬中學校聯(lián)考期末)為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民實行“階梯水價”，計費方法如下表：每戶每月用水量水價不超過的部分3元/超過但不超過的部分6元/超過的部分9元/若某戶居民本月交納的水費為54元，則此戶居民的用水量為(

)A． B． C． D．4．(2023·河南周口·高一統(tǒng)考期末)某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為．其中代表擬錄用人數(shù)，代表面試人數(shù)．若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為A．15 B．25 C．40 D．1305．(2023·北京·高一?？茧A段練習)某產(chǎn)品的總成本y萬元與產(chǎn)量x(臺)之間的關系是，，若每臺產(chǎn)品的售價為9萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產(chǎn)量是()A．3臺 B．5臺 C．6臺 D．10臺6．(2023·高一課時練習)把長為的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是(

)A． B． C． D．7．(2023·高一課時練習)某市為打擊出租車無證運營、漫天要價等不良風氣，出臺兩套出租車計價方案，方案一：2公里以內(nèi)收費8元(起步價)，超過2公里的部分每公里收費3元，不足1公里按1公里計算：方案二：3公里以內(nèi)收費12元(起步價)，超過3公里不超過10公里的部分每公里收費2.5元，超過10公里的部分每公里收費3.5元，不足1公里按1公里計算．以下說法正確的是(

)A．方案二比方案一更優(yōu)惠B．乘客甲打車行駛4公里，他應該選擇方案二C．乘客乙打車行駛12公里，他應該選擇方案二D．乘客丙打車行駛16公里，他應該選擇方案二8．(2023·高一課時練習)一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(單位：萬元)與倉庫到車站的距離(單位：)成反比，每月庫存貨物費(單位：萬元)與成正比，若在距離車站處建倉庫，則為萬元，為萬元，下列結論正確的是(

)A． B．C．有最大值 D．無最小值二、多選題9．(2023·高一單元測試)某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數(shù)記為，關于的函數(shù)圖像如圖(1)所示．由于目前該片盈利未達到預期，相關人員提出了兩種調(diào)整方案，圖(2)、圖(3)中的實線分別為調(diào)整后關于的函數(shù)圖像．給出下列四種說法，其中正確的說法是(

)A．圖(2)對應的方案是：提高票價，并提高固定成本B．圖(2)對應的方案是：保持票價不變，并降低固定成本C．圖(3)對應的方案是：提高票價，并保持固定成本不變D．圖(3)對應的方案是：提高票價，并降低固定成本10．(2023·寧夏石嘴山·高一平羅中學期中)幾名大學生創(chuàng)業(yè)時經(jīng)過調(diào)研選擇了一種技術產(chǎn)品，生產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤(單位：萬元)與每月投入的研發(fā)經(jīng)費(單位：萬元)有關.已知每月投入的研發(fā)經(jīng)費不高于16萬元，且，利潤率.現(xiàn)在已投入研發(fā)經(jīng)費9萬元，則下列判斷正確的是(

)A．此時獲得最大利潤率 B．再投入6萬元研發(fā)經(jīng)費才能獲得最大利潤C．再投入1萬元研發(fā)經(jīng)費可獲得最大利潤率 D．再投入1萬元研發(fā)經(jīng)費才能獲得最大利潤11．(2023·高一單元測試)(多選)甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學從家出發(fā)到乙同學家經(jīng)過的路程y(km)與時間x(min)的關系，下列結論正確的是(

)A．甲同學從家出發(fā)到乙同學家走了60minB．甲從家到公園的時間是30minC．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度快D．當0≤x≤30時，y與x的關系式為y＝x12．(2023·高一單元測試)某工廠八年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量(即前年年產(chǎn)量之和)與時間(年)的函數(shù)關系如圖，下列幾種說法中正確的是()A．前三年中，總產(chǎn)量的增長速度越來越慢B．前三年中，年產(chǎn)量的增長速度越來越慢C．第三年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)D．第三年后，年產(chǎn)量保持不變?nèi)?、填空題13．(2023·廣西桂林·高一?？计谥?將進貨單價40元的商品按50元一個售出，能賣出500個；若此商品每漲價1元，其銷售量減少10個.為了賺到最大利潤，售價應定為_________元.14．(2023·重慶永川·高一重慶市永川北山中學校?？奸_學考試)如圖，在半徑為的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其頂點A，B在直徑上，頂點C，D在圓周上，則矩形ABCD面積的最大值為__________；15．(2023·廣東汕頭·高一汕頭市第一中學校考期中)在一次數(shù)學實踐課上，同學們進行節(jié)能住房設計，綜合分析后，設計出房屋的剖面圖(如圖所示)，屋頂所在直線方程分別是yx+3和x，為保證采光，豎直窗戶的高度設計為1m，那么點A的橫坐標為__．16．(2023·高一課時練習)某商人將每臺彩電先按原價提高40%，然后在廣告中寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結果是每臺彩電比原價多了270元，則每臺彩電原價是___________元.四、解答題17．(2023·上海靜安·高一?？计谥?國家為了加強對酒類生產(chǎn)的管理，現(xiàn)對酒類銷售加征附加稅．已知某種酒每瓶售價為70元，不收附加稅時，每年銷售100萬瓶．若征收附加稅，規(guī)定稅率為(即每銷售100元要征附加稅元)，則每年的產(chǎn)銷量將減少萬瓶．如果要保證每年在此項經(jīng)營中所收取的附加稅額不少于112萬元，那么附加稅稅率應定在什么范圍？18．(2023·上?！じ咭粚ｎ}練習)某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？19．(2023·河北保定·高一保定一中?？计谥?我國是用水相對貧乏的國家，據(jù)統(tǒng)計，我國的人均水資源僅為世界平均水平的．因此我國在制定用水政策時明確提出“優(yōu)先滿足城鄉(xiāng)居民生活用水”，同時為了更好地提倡節(jié)約用水，對水資源使用進行合理配置，對居民自來水用水收費采用階梯收費．某市經(jīng)物價部門批準，對居民生活用水收費如下：第一檔，每戶每月用水不超過立方米，則水價為每立方米元；第二檔，若每戶每月用水超過立方米，但不超過立方米，則超過部分水價為每立方米元；第三檔，若每戶每月用水超過立方米，則超過部分水價為每立方米元，同時征收其全月水費的用水調(diào)節(jié)稅．設某戶某月用水立方米，水費為元．(1)試求關于的函數(shù)；(2)若該用戶當月水費為元，試求該年度的用水量；(3)設某月甲用戶用水立方米，乙用戶用水立方米，若之間符合函數(shù)關系：．則當兩戶用水合計達到最大時，一共需要支付水費多少元？20．(2023·河南南陽·高一統(tǒng)考階段練習)某超市