(5-1)動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律(教師版)

第五章機(jī)械能重點(diǎn)知識(shí)（一）動(dòng)能定理考點(diǎn)一對(duì)動(dòng)能及其變化的理解例1(2011·課標(biāo)全國(guó)·15)（多選）一質(zhì)點(diǎn)開始時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從某時(shí)刻起受到一恒力作用．此后，該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能可能 ()A．一直增大B．先逐漸減小至零，再逐漸增大C．先逐漸增大至某一最大值，再逐漸減小D．先逐漸減小至某一非零的最小值，再逐漸增大答案ABD考點(diǎn)二動(dòng)能定理及其應(yīng)用例2如圖3所示，質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線懸于O點(diǎn)，與O點(diǎn)處于同一水平線上的P點(diǎn)處有一個(gè)光滑的細(xì)釘，已知OP＝eq\f(L,2)，在A點(diǎn)給小球一個(gè)水平向左的初速度v0，發(fā)現(xiàn)小球恰能到達(dá)跟P點(diǎn)在同一豎直線上的最高點(diǎn)B.則：(1)小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速率？ (2)若不計(jì)空氣阻力，則初速度v0為多少？(3)若初速度v0＝3eq\r(gL)，則小球在從A到B的過(guò)程中克服空氣阻力做了多少功？解析(1)小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)B，有mg＝meq\f(v\o\al(2,B),\f(L,2))，得vB＝eq\r(\f(gL,2)).(2)從A→B由動(dòng)能定理得－mg(L＋eq\f(L,2))＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)可求出v0＝eq\r(\f(7gL,2)).(3)由動(dòng)能定理得－mg(L＋eq\f(L,2))－Wf＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)可求出Wf＝eq\f(11,4)mgL.應(yīng)用動(dòng)能定理求變力做功時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題1．所求的變力的功不一定為總功，故所求的變力的功不一定等于ΔEk.2．合外力對(duì)物體所做的功對(duì)應(yīng)物體動(dòng)能的變化，而不是對(duì)應(yīng)物體的動(dòng)能．3．若有多個(gè)力做功時(shí)，必須明確各力做功的正負(fù)，待求的變力的功若為負(fù)功，可以設(shè)克服該力做功為W，則表達(dá)式中應(yīng)用－W；也可以設(shè)變力的功為W，則字母W本身含有負(fù)號(hào)．突破訓(xùn)練1如圖4所示，質(zhì)量為m的物塊與水平轉(zhuǎn)臺(tái)之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體與轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸相距R，物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到某值時(shí)，物塊即將開始滑動(dòng)，在這一過(guò)程中，摩擦力對(duì)物體做的功是 () A.eq\f(1,2)μmgR B．2πmgRC．2μmgR D．0答案A解析物塊即將開始滑動(dòng)時(shí)，最大靜摩擦力(近似等于滑動(dòng)摩擦力)提供向心力，有μmg＝eq\f(mv2,R)，根據(jù)動(dòng)能定理有，Wf＝eq\f(mv2,2)，解得Wf＝eq\f(μmgR,2)，選項(xiàng)A正確．例3如圖5所示，電梯質(zhì)量為M，在它的水平地板上放置一質(zhì)量為m的物體．電梯在鋼索的拉力作用下由靜止開始豎直向上加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)上升高度為H時(shí)，電梯的速度達(dá)到v，則在這個(gè)過(guò)程中，以下說(shuō)法中正確的是 () 電梯地板對(duì)物體的支持力所做的功等于eq\f(mv2,2)B．電梯地板對(duì)物體的支持力所做的功大于eq\f(mv2,2)C．鋼索的拉力所做的功等于eq\f(mv2,2)＋MgHD．鋼索的拉力所做的功大于eq\f(mv2,2)＋MgH解析對(duì)物體：WN－mgH＝eq\f(1,2)mv2，即WN＝mgH＋eq\f(1,2)mv2，選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A錯(cuò)誤．以系統(tǒng)為研究對(duì)象，由動(dòng)能定理得WT－(m＋M)gH＝eq\f(1,2)(M＋m)v2，即WT＝eq\f(1,2)(M＋m)v2＋(M＋m)gH>eq\f(mv2,2)＋MgH，選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．應(yīng)用動(dòng)能定理解題的基本思路1．選取研究對(duì)象，明確它的運(yùn)動(dòng)過(guò)程；2．分析研究對(duì)象的受力情況和各力的做功情況：3．明確研究對(duì)象在過(guò)程的初末狀態(tài)的動(dòng)能Ek1和Ek2；4.列動(dòng)能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解題方程，進(jìn)行求解．突破訓(xùn)練2如圖6所示，一塊長(zhǎng)木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物體A，現(xiàn)以恒定的外力F拉B，由于A、B間摩擦力的作用，A將在B上滑動(dòng)，以地面為參考系，A、B都 向前移動(dòng)一段距離．在此過(guò)程中 ()A．外力F做的功等于A和B動(dòng)能的增量B．B對(duì)A的摩擦力所做的功等于A的動(dòng)能增量C．A對(duì)B的摩擦力所做的功等于B對(duì)A的摩擦力所做的功D．外力F對(duì)B做的功等于B的動(dòng)能的增量與B克服摩擦力所做的功之和答案BD解析A物體所受的合外力等于B對(duì)A的摩擦力，對(duì)A物體運(yùn)用動(dòng)能定理，則有B對(duì)A的摩擦力所做的功等于A的動(dòng)能的增量，B對(duì)．A對(duì)B的摩擦力與B對(duì)A的摩擦力是一對(duì)作用力與反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑動(dòng)，A、B對(duì)地的位移不等，故二者做功不等，C錯(cuò)．對(duì)B應(yīng)用動(dòng)能定理，WF－Wf＝ΔEkB，WF＝ΔEkB＋Wf，即外力F對(duì)B做的功等于B的動(dòng)能的增量與B克服摩擦力所做的功之和，D對(duì)．由前述討論知B克服摩擦力所做的功與A的動(dòng)能增量(等于B對(duì)A的摩擦力所做的功)不等，故A錯(cuò)．突破訓(xùn)練3[利用動(dòng)能定理求變力功]一個(gè)質(zhì)量為m的小球，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩懸掛于O點(diǎn)，小球在水平拉力F作用下，從平衡位置P點(diǎn)很緩慢地移動(dòng)到Q點(diǎn)，此時(shí)輕繩與豎直方向夾角為θ，如圖所示，則拉力F所做的功為 () A．mgLcosθB．mgL(1－cosθ)C．FLsinθD．FLcosθ答案B解析小球從P點(diǎn)移動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)，受重力、繩子的拉力及水平拉力F作用，因很緩慢地移動(dòng)，小球可視處于平衡狀態(tài)，由平衡條件可知：F＝mgtanθ，隨θ的增大，拉力F也增大，故F是變力，因此不能直接用W＝FLcosθ計(jì)算．根據(jù)動(dòng)能定理有：WF－WG＝0，所以WF＝WG＝mgL(1－cosθ)，選項(xiàng)B正確．突破訓(xùn)練4[利用動(dòng)能定理求彈力的功]如圖所示，光滑斜面的頂端固定一彈簧，一物體向右滑行，并沖上固定在地面上的斜面．設(shè)物體在斜面最低點(diǎn)A的速度為v，壓縮彈簧至C點(diǎn)時(shí)彈簧最短，C點(diǎn)距地面高度為h，則從A到C的過(guò)程中彈簧彈力做功是()A．mgh－eq\f(1,2)mv2 B.eq\f(1,2)mv2－mghC．－mgh D．－(mgh＋eq\f(1,2)mv2)答案A解析由A到C的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理可得－mgh＋W＝0－eq\f(1,2)mv2所以W＝mgh－eq\f(1,2)mv2，所以A正確．考點(diǎn)三動(dòng)能定理與圖象結(jié)合的問(wèn)題例4如圖7甲所示，一根輕質(zhì)彈簧左端固定在豎直墻面上，右端放一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊，小物塊的質(zhì)量為m＝1.0kg，當(dāng)彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，小物塊靜止于O點(diǎn)．現(xiàn)對(duì)小物塊施加一個(gè)外力F，使它緩慢移動(dòng)，將彈簧壓縮至A點(diǎn)，壓縮量為x＝0.1m，在這一過(guò)程中，所用外力F與壓縮量的關(guān)系如圖乙所示．然后撤去F釋放小物塊，讓小物塊沿桌面運(yùn)動(dòng)，已知O點(diǎn)至桌邊B點(diǎn)的距離為L(zhǎng)＝2x，水平桌面的高為h＝5.0m，計(jì)算時(shí)，可用滑動(dòng)摩擦力近似等于最大靜摩擦力．(g取10m/s2)求：圖7(1)在壓縮彈簧的過(guò)程中，彈簧存貯的最大彈性勢(shì)能；(2)小物塊到達(dá)桌邊B點(diǎn)時(shí)速度的大??；(3)小物塊落地點(diǎn)與桌邊B的水平距離．審題指導(dǎo)解答本題時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)F－x圖象與x軸所圍面積為變力F做的功；(2)彈簧存貯的彈性勢(shì)能對(duì)應(yīng)彈簧的彈力所做的負(fù)功的值；(3)F－x圖象中x＝0時(shí)對(duì)應(yīng)F的含義．解析(1)取向左為正方向，從F—x圖中可以看出，小物塊與桌面間的滑動(dòng)摩擦力大小為Ff＝1.0N，方向?yàn)樨?fù)方向，在壓縮過(guò)程中，摩擦力做功為Wf＝－Ffx＝－0.1J由圖線與x軸所圍面積可得外力F做功為WF＝eq\f(1.0＋47.0×0.1,2)J＝2.4J所以彈簧存貯的最大彈性勢(shì)能為Epm＝WF＋Wf＝2.3J(2)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程中，由于L＝2x，摩擦力做功為Wf′＝Ff·3x＝0.3J對(duì)小物塊運(yùn)用動(dòng)能定理有Epm－Wf′＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)解得vB＝2m/s(3)物塊從B點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，有h＝eq\f(1,2)gt2解得下落時(shí)間t＝1s，水平距離s＝vBt＝2m答案(1)2.3J(2)2m/s(3)2m突破訓(xùn)練5總質(zhì)量為80kg的跳傘運(yùn)動(dòng)員從離地500m的直升機(jī)上跳下，經(jīng)過(guò)2s拉開繩索開啟降落傘．如圖8所示是跳傘過(guò)程中的v－t圖象，試根據(jù)圖象(g取10m/s2)(1)求0～2s內(nèi)阻力做的功；(2)估算14s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落的高度及克服阻力做的功；(3)估算運(yùn)動(dòng)員從飛機(jī)上跳下到著地的總時(shí)間．答案(1)－2560J(2)160m1.27×105J(3)71s解析(1)從題圖中可以看出，在0～2s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員做勻加速運(yùn)動(dòng)，其加速度大小為a＝eq\f(vt,t)＝eq\f(16,2)m/s2＝8m/s2.設(shè)此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)員受到的阻力大小為Ff，根據(jù)牛頓第二定律，有mg－Ff＝ma得Ff＝m(g－a)＝80×(10－8)N＝160N.0～2s內(nèi)下落高度h′＝eq\f(vt,2)t＝eq\f(16,2)×2m＝16m.阻力做功W＝－Ffh′＝－2560J.(2)從題圖中估算得出運(yùn)動(dòng)員在14s內(nèi)下落了h＝40×2×2m＝160m根據(jù)動(dòng)能定理，有mgh－Wf＝eq\f(1,2)mv2所以有Wf＝mgh－eq\f(1,2)mv2＝(80×10×160－eq\f(1,2)×80×62)J≈1.27×105J.(3)14s后運(yùn)動(dòng)員做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t′＝eq\f(H－h(huán),v)＝eq\f(500－160,6)s＝57s.運(yùn)動(dòng)員從飛機(jī)上跳下到著地需要的總時(shí)間t總＝t＋t′＝(14＋57)s＝71s.方法建模：動(dòng)能定理在多過(guò)程問(wèn)題中的應(yīng)用模型特征：優(yōu)先考慮應(yīng)用動(dòng)能定理的典型問(wèn)題不涉及加速度、時(shí)間的問(wèn)題．(2)有多個(gè)物理過(guò)程且不需要研究整個(gè)過(guò)程中的中間狀態(tài)的問(wèn)題．(3)變力做功的問(wèn)題．(4)含有F、l、m、v、W、Ek等物理量的力學(xué)問(wèn)題．突破訓(xùn)練6一質(zhì)量為2kg的鉛球從離地面2m高處自由下落，陷入沙坑中2cm深處，如圖10所示，求沙子對(duì)鉛球的平均阻力(g＝10m/s2)．答案2020N解析小球的運(yùn)動(dòng)包括自由落體運(yùn)動(dòng)和陷入沙坑減速運(yùn)動(dòng)兩個(gè)過(guò)程，知道初末態(tài)動(dòng)能和運(yùn)動(dòng)位移，應(yīng)選用動(dòng)能定理解決，處理方法有兩種： 全程列式：全過(guò)程都有重力做功，進(jìn)入沙中又有阻力做功．所以W總＝mg(H＋h)－Ffh由動(dòng)能定理得：mg(H＋h)－Ffh＝0－0故：Ff＝eq\f(mgH＋h,h)＝eq\f(2×10×2＋0.02,0.02)N＝2020N.高考題組1．(2012·福建理綜·21)如圖11所示，用跨過(guò)光滑定滑輪的纜繩將海面上一艘失去動(dòng)力的小船沿直線拖向岸邊．已知拖動(dòng)纜繩的電動(dòng)機(jī)功率恒為P，小船的質(zhì)量為m，小船受到的阻力大小恒為f，經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度大小為v0，小船從A點(diǎn)沿直線加速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)經(jīng)歷時(shí)間為t1，A、B兩點(diǎn)間距離為d，纜繩質(zhì)量忽略不計(jì)．求：(1)小船從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的全過(guò)程克服阻力做的功Wf；(2)小船經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小v1；(3)小船經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的加速度大小a.解析(1)小船從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)克服阻力做功Wf＝fd（2）小船從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，電動(dòng)機(jī)牽引纜繩對(duì)小船做功W＝Pt1由動(dòng)能定理有W－Wf＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得v1＝eq\r(v\o\al(2,0)＋\f(2,m)Pt1－fd) (3)設(shè)小船經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)纜繩的拉力大小為F，纜繩與水平方向夾角為θ，電動(dòng)機(jī)牽引纜繩的速度大小為v，則P＝Fv v＝v1cosθ 由牛頓第二定律有Fcosθ－f＝ma解得a＝eq\f(P,\r(m2v\o\al(2,0)＋2mPt1－fd))－eq\f(f,m).2．(2012·北京理綜·22)如圖12所示，質(zhì)量為m的小物塊在粗糙水平桌面上做直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)距離l后以速度v飛離桌面，最終落在水平地面上．已知l＝1.4m，v＝3.0m/s，m＝0.10kg，小物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.25，桌面高h(yuǎn)＝0.45m．不計(jì)空氣阻力，重力加速度g取10m/s2.求：(1)小物塊落地點(diǎn)到飛出點(diǎn)的水平距離s；(2)小物塊落地時(shí)的動(dòng)能Ek；(3)小物塊的初速度大小v0.答案(1)0.90m(2)0.90J(3)4.0m/s解析(1)由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有豎直方向h＝eq\f(1,2)gt2水平方向s＝vt得水平距離s＝eq\r(\f(2h,g))v＝0.90m(2)由機(jī)械能守恒定律，得落地時(shí)的動(dòng)能Ek＝eq\f(1,2)mv2＋mgh＝0.90J(3)由動(dòng)能定理，有－μmgl＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)得初速度大小v0＝eq\r(2μgl＋v2)＝4.0m/s.模擬題組3．如圖13甲所示，一質(zhì)量為m＝1kg的物塊靜止在粗糙水平面上的A點(diǎn)，從t＝0時(shí)刻開始，物塊在按如圖乙所示規(guī)律變化的水平力F作用下向右運(yùn)動(dòng)，第3s末物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度剛好為0，第5s末物塊剛好回到A點(diǎn)，已知物塊與粗糙水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，(g取10m/s2)求：(1)AB間的距離；(2)水平力F在5s時(shí)間內(nèi)對(duì)物塊所做的功．答案(1)4m(2)24J解析(1)在3s～5s內(nèi)物塊在水平恒力F作用下由B點(diǎn)勻加速直線運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，設(shè)加速度為a，AB間的距離為x，則F－μmg＝maa＝eq\f(F－μmg,m)＝eq\f(4－0.2×1×10,1)m/s2＝2m/s2x＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)×2×22m＝4m(2)設(shè)整個(gè)過(guò)程中F做的功為WF，物塊回到A點(diǎn)時(shí)的速度為vA，由動(dòng)能定理得WF－2μmgx＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)又veq\o\al(2,A)＝2ax所以WF＝2μmgx＋max＝24J4．如圖14所示裝置由AB、BC、CD三段軌道組成，軌道交接處均由很小的圓弧平滑連接，其中軌道AB、CD段是光滑的，水平軌道BC的長(zhǎng)度s＝5m，軌道CD足夠長(zhǎng)且傾角θ＝37°，A、D兩點(diǎn)離軌道BC的高度分別為h1＝4.30m、h2＝1.35m．現(xiàn)讓質(zhì)量為m的小滑塊自A點(diǎn)由靜止釋放．已知小滑塊與軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)小滑塊第一次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度大??；(2)小滑塊第一次與第二次通過(guò)C點(diǎn)的時(shí)間間隔．解析(1)物塊從A→B→C→D過(guò)程中，由動(dòng)能定理得mg(h1－h(huán)2)－μmgs＝eq\f(1,2)mvD2－0，解得：vD＝3m/s(2)小物塊從A→B→C過(guò)程中，有mgh1－μmgs＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)解得：vC＝6m/s小物塊沿CD段上滑的加速度a＝gsinθ＝6m/s2小物塊沿CD段上滑到最高點(diǎn)的時(shí)間t1＝eq\f(vC,a)＝1s小物塊從最高點(diǎn)滑回C點(diǎn)的時(shí)間t2＝t1＝1s故t＝t1＋t2＝2s課后作業(yè)?題組1動(dòng)能定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用1．某人用手托著質(zhì)量為m的物體，從靜止開始沿水平方向運(yùn)動(dòng)，前進(jìn)距離l后，速度為v(物體與手始終相對(duì)靜止)，物體與手掌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則人對(duì)物體做的功為()A．mgl B．0 C．μmgl D.eq\f(1,2)mv2答案D2．子彈的速度為v，打穿一塊固定的木塊后速度剛好變?yōu)榱悖裟緣K對(duì)子彈的阻力為恒力，那么當(dāng)子彈射入木塊的深度為其厚度的一半時(shí)，子彈的速度是 ()A.eq\f(v,2) B.eq\f(\r(2),2)v C.eq\f(v,3) D.eq\f(v,4)答案B解析設(shè)子彈的質(zhì)量為m，木塊的厚度為d，木塊對(duì)子彈的阻力為Ff.根據(jù)動(dòng)能定理，子彈剛好打穿木塊的過(guò)程滿足－Ffd＝0－eq\f(1,2)mv2.設(shè)子彈射入木塊厚度一半時(shí)的速度為v′，則－Ff·eq\f(d,2)＝eq\f(1,2)mv′2－eq\f(1,2)mv2，得v′＝eq\f(\r(2),2)v，故選B.3．在地面上某處將一金屬小球豎直向上拋出，上升一定高度后再落回原處，若不考慮空氣阻力，則下列圖象能正確反映小球的速度、加速度、位移和動(dòng)能隨時(shí)間變化關(guān)系的是(取向上為正方向) ()答案A解析小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度不變，B錯(cuò)；速度均勻變化，先減小后反向增大，A對(duì)；位移和動(dòng)能與時(shí)間不是線性關(guān)系，C、D錯(cuò)．4．一人乘豎直電梯從1樓到12樓，在此過(guò)程中經(jīng)歷了先加速，后勻速，再減速的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，則下列說(shuō)法正確的是 ()A．電梯對(duì)人做功情況是：加速時(shí)做正功，勻速時(shí)不做功，減速時(shí)做負(fù)功B．電梯對(duì)人做功情況是：加速和勻速時(shí)做正功，減速時(shí)做負(fù)功C．電梯對(duì)人做的功等于人動(dòng)能的增加量D．電梯對(duì)人做的功和重力對(duì)人做的功的代數(shù)和等于人動(dòng)能的增加量答案D解析電梯向上加速、勻速、再減速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，電梯對(duì)人的作用力始終向上，故電梯始終對(duì)人做正功，A、B均錯(cuò)誤；由動(dòng)能定理可知，電梯對(duì)人做的功和重力對(duì)人做的功的代數(shù)和等于人動(dòng)能的增加量，故C錯(cuò)誤，D正確．5．如圖1所示，物體與斜面AB、DB間動(dòng)摩擦因數(shù)相同．可視為質(zhì)點(diǎn)的物體分別沿AB、DB從斜面頂端由靜止下滑到底端，下列說(shuō)法正確的是 ()A．物體沿斜面DB滑動(dòng)到底端時(shí)動(dòng)能較大B．物體沿斜面AB滑動(dòng)到底端時(shí)動(dòng)能較大 C．物體沿斜面DB滑動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做的功較多D．物體沿斜面AB滑動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做的功較多答案B解析已知物體與斜面AB、DB間動(dòng)摩擦因數(shù)相同，設(shè)斜面傾角為θ，底邊為x，則斜面高度為h＝xtanθ，斜面長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝eq\f(x,cosθ)，物體分別沿AB、DB從斜面頂端由靜止下滑到底端，由動(dòng)能定理有：mgh－μmgcosθ·L＝mgh－μmgx＝eq\f(1,2)mv2，可知物體沿斜面AB滑動(dòng)到底端時(shí)動(dòng)能較大，故A錯(cuò)誤，B正確；物體沿斜面滑動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做的功W＝μmgLcosθ＝μmgx，則兩次相同，故C、D錯(cuò)誤．6．人通過(guò)滑輪將質(zhì)量為m的物體，沿粗糙的斜面從靜止開始勻加速地由底端拉到斜面頂端，物體上升的高度為h，到達(dá)斜面頂端時(shí)的速度為v，如圖2所示．則在此過(guò)程中 () A．物體所受的合外力做的功為mgh＋eq\f(1,2)mv2B．物體所受的合外力做的功為eq\f(1,2)mv2C．人對(duì)物體做的功為mghD．人對(duì)物體做的功大于mgh答案BD解析物體沿斜面做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理：W合＝WF－Wf－mgh＝eq\f(1,2)mv2，其中Wf為物體克服摩擦力做的功．人對(duì)物體做的功即是人對(duì)物體的拉力做的功，所以W人＝WF＝Wf＋mgh＋eq\f(1,2)mv2，A、C錯(cuò)誤，B、D正確．?題組2應(yīng)用動(dòng)能定理求解變力做功問(wèn)題7．如圖3所示，光滑水平平臺(tái)上有一個(gè)質(zhì)量為m的物塊，站在地面上的人用跨過(guò)定滑輪的繩子向右拉動(dòng)物塊，不計(jì)繩和滑輪的質(zhì)量及滑輪的摩擦，且平臺(tái)邊緣離人手作用點(diǎn)豎直高度始終為h.當(dāng)人以速度v從平臺(tái)的邊緣處向右勻速前進(jìn)位移x時(shí)，則 ()A．在該過(guò)程中，物塊的運(yùn)動(dòng)可能是勻速的B．在該過(guò)程中，人對(duì)物塊做的功為eq\f(mv2x2,2h2＋x2)C．在該過(guò)程中，人對(duì)物塊做的功為eq\f(1,2)mv2D．人前進(jìn)x時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)速率為eq\f(vh,\r(h2＋x2))答案B解析設(shè)繩子與水平方向的夾角為θ，則物塊運(yùn)動(dòng)的速度v物＝vcosθ，而cosθ＝eq\f(x,\r(h2＋x2))，故v物＝eq\f(vx,\r(h2＋x2))，可見物塊的速度隨x的增大而增大，A、D均錯(cuò)誤；人對(duì)物塊的拉力為變力，變力的功可應(yīng)用動(dòng)能定理求解，即W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,物)＝eq\f(mv2x2,2h2＋x2)，B正確，C錯(cuò)誤．8．如圖4所示，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在半徑為R的半球形容器中(容器固定)由靜止開始自邊緣上的A點(diǎn)滑下，到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)，它對(duì)容器的正壓力為FN.重力加速度為g，則質(zhì)點(diǎn)自A滑到B的過(guò)程中，摩擦力對(duì)其所做的功為 () A.eq\f(1,2)R(FN－3mg) B.eq\f(1,2)R(3mg－FN)C.eq\f(1,2)R(FN－mg) D.eq\f(1,2)R(FN－2mg)答案A解析質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)，它對(duì)容器的正壓力為FN，根據(jù)牛頓第二定律有FN－mg＝meq\f(v2,R)，根據(jù)動(dòng)能定理，質(zhì)點(diǎn)自A滑到B的過(guò)程中有Wf＋mgR＝eq\f(1,2)mv2，故摩擦力對(duì)其所做的功Wf＝eq\f(1,2)RFN－eq\f(3,2)mgR，故A項(xiàng)正確．9．質(zhì)量為m的小球被系在輕繩一端，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖5所示，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球受到空氣阻力的作用．設(shè)某一時(shí)刻小球通過(guò)軌道的最低點(diǎn)，此時(shí)繩子的張力為7mg，在此后小球繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周恰好能通過(guò)最高點(diǎn)，則在此過(guò)程中小球克服空氣阻力所做的功是 ()A.eq\f(1,4)mgR B.eq\f(1,3)mgRC.eq\f(1,2)mgR D．mgR答案C解析小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，繩的張力為F＝7mg由牛頓第二定律可知：F－mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)小球恰好過(guò)最高點(diǎn)，繩子拉力為零，由牛頓第二定律可知：mg＝eq\f(mv\o\al(2,2),R) 小球由最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：－2mgR＋Wf＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1) 解得Wf＝－eq\f(1,2)mgR，所以小球克服空氣阻力所做的功為eq\f(1,2)mgR，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤．?題組3應(yīng)用動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)和動(dòng)能定理解決多過(guò)程問(wèn)題10．如圖6所示，粗糙水平地面AB與半徑R＝0.4m的光滑半圓軌道BCD相連接，且在同一豎直平面內(nèi)，O是BCD的圓心，BOD在同一豎直線上．質(zhì)量m＝2kg的小物塊在9N的水平恒力F的作用下，從A點(diǎn)由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．已知AB＝5m，小物塊與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.2.當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)撤去力F.取重力加速度g＝10m/s2.求：(1)小物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大??；(2)小物塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小物塊作用力的大小；(3)小物塊離開D點(diǎn)落到水平地面上的點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離．答案(1)5m/s(2)25N(3)1.2m解析(1)從A到B，由動(dòng)能定理有(F－μmg)xAB＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)得vB＝eq\r(\f(2F－μmgxAB,m))＝5m/s(2)從B到D，根據(jù)動(dòng)能定理有－mg·2R＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,D)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)得vD＝eq\r(v\o\al(2,B)－4Rg)＝3m/s在D點(diǎn)，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有FN＋mg＝eq\f(mv\o\al(2,D),R)得FN＝meq\f(v\o\al(2,D),R)－mg＝25N(3)由D點(diǎn)到落點(diǎn)小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上有2R＝eq\f(1,2)gt2得t＝eq\r(\f(4R,g))＝eq\r(\f(4×0.4,10))s＝0.4s水平地面上落點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離為x＝vDt＝3×0.4m＝1.2m11．水上滑梯可簡(jiǎn)化成如圖7所示的模型：傾角為θ＝37°的傾斜滑道AB和水平滑道BC平滑連接，起點(diǎn)A距水面的高度H＝7.0m，BC的長(zhǎng)度d＝2.0m，端點(diǎn)C距水面的高度h＝1.0m．一質(zhì)量m＝50kg的運(yùn)動(dòng)員從滑道起點(diǎn)A無(wú)初速度地自由滑下，運(yùn)動(dòng)員與AB、BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝0.1.(取重力加速度g＝10m/s2，cos37°＝0.8，sin37°＝0.6，運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可視為質(zhì)點(diǎn))(1)求運(yùn)動(dòng)員沿AB下滑時(shí)加速度的大小a；(2)求運(yùn)動(dòng)員從A滑到C的過(guò)程中克服摩擦力所做的功W和到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大小vC；(3)保持水平滑道端點(diǎn)在同一水平線上，調(diào)節(jié)水平滑道高度h和長(zhǎng)度d到圖中B′C′位置時(shí)，運(yùn)動(dòng)員從滑梯平拋到水面的水平位移最大，求此時(shí)滑道B′C′距水面的高度h′.答案(1)5.2m/s2(2)500J10m/s(3)3m解析(1)運(yùn)動(dòng)員沿AB下滑時(shí)，受力情況如圖所示Ff＝μFN＝μmgcosθ根據(jù)牛頓第二定律：mgsinθ－μmgcosθ＝ma得運(yùn)動(dòng)員沿AB下滑時(shí)加速度的大小為：a＝gsinθ－μgcosθ＝5.2m/s2(2)運(yùn)動(dòng)員從A滑到C的過(guò)程中，克服摩擦力做的功為：W＝μmgcosθ·eq\f(H－h(huán),sinθ)＋μmgd＝μmg[d＋(H－h(huán))cotθ]＝10μmg＝500J，mg(H－h(huán))－W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－0解得運(yùn)動(dòng)員滑到C點(diǎn)時(shí)速度的大小vC＝10m/s(3)在從C′點(diǎn)滑出至落到水面的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，h′＝eq\f(1,2)gt2，t＝eq\r(\f(2h′,g))下滑過(guò)程中克服摩擦力做功保持不變，W＝500J根據(jù)動(dòng)能定理得：mg(H－h(huán)′)－W＝eq\f(1,2)mv2－0，v＝eq\r(2gH－1－h(huán)′)運(yùn)動(dòng)員在水平方向的位移：x＝vt＝eq\r(2gH－1－h(huán)′)eq\r(\f(2h′,g))＝eq\r(4H－1－h(huán)′h′)當(dāng)h′＝eq\f(H－1,2)＝3m時(shí)，水平位移最大．（二）機(jī)械能守恒定律考點(diǎn)一機(jī)械能守恒的判斷例1如圖4所示，質(zhì)量為m的鉤碼在彈簧秤的作用下豎直向上運(yùn)動(dòng)．設(shè)彈簧秤的示數(shù)為FT，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g.則()A．FT＝mg時(shí)，鉤碼的機(jī)械能不變B．FT<mg時(shí)，鉤碼的機(jī)械能減小C．FT<mg時(shí)，鉤碼的機(jī)械能增加D．FT>mg時(shí)，鉤碼的機(jī)械能增加 解析無(wú)論FT與mg的關(guān)系如何，F(xiàn)T與鉤碼位移的方向一致，F(xiàn)T做正功，鉤碼的機(jī)械能增加，選項(xiàng)C、D正確．答案CD1.機(jī)械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零，更不是合外力為零；只有重力做功不等于只受重力作用．2．對(duì)一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等，除非題目特別說(shuō)明，否則機(jī)械能必定不守恒．3．對(duì)于系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒，可以根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化進(jìn)行判斷．突破訓(xùn)練1如圖5所示，質(zhì)量分別為m和2m的兩個(gè)小球A和B，中間用輕質(zhì)桿相連，在桿的中點(diǎn)O處有一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸，把桿置于水平位置后釋放，在B球順時(shí)針擺動(dòng)到最低位置的過(guò)程中(不計(jì)一切摩擦) ()A．B球的重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加，B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒 B．A球的重力勢(shì)能增加，動(dòng)能也增加，A球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒C．A球、B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．A球、B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒答案BC解析A球在上擺過(guò)程中，重力勢(shì)能增加，動(dòng)能也增加，機(jī)械能增加，B項(xiàng)正確．由于A球、B球和地球組成的系統(tǒng)只有重力做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤．所以B球和地球組成系統(tǒng)的機(jī)械能一定減少，A項(xiàng)錯(cuò)誤．考點(diǎn)二機(jī)械能守恒定律的表達(dá)形式及應(yīng)用1．守恒觀點(diǎn)(1)表達(dá)式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.(2)意義：系統(tǒng)初狀態(tài)的機(jī)械能等于末狀態(tài)的機(jī)械能．(3)注意問(wèn)題：要先選取零勢(shì)能參考平面，并且在整個(gè)過(guò)程中必須選取同一個(gè)零勢(shì)能參考平面．2．轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)(1)表達(dá)式：ΔEk＝－ΔEp.(2)意義：系統(tǒng)(或物體)的機(jī)械能守恒時(shí)，系統(tǒng)增加(或減少)的動(dòng)能等于系統(tǒng)減少(或增加)的勢(shì)能．(3)注意問(wèn)題：要明確勢(shì)能的增加量或減少量，即勢(shì)能的變化，可以不選取零勢(shì)能參考平面．3．轉(zhuǎn)移觀點(diǎn)(1)表達(dá)式：ΔEA增＝ΔEB減．(2)意義：若系統(tǒng)由A、B兩部分組成，當(dāng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒時(shí)，則A部分機(jī)械能的增加量等于B部分機(jī)械能的減少量．(3)注意問(wèn)題：A部分機(jī)械能的增加量等于A部分末狀態(tài)的機(jī)械能減初狀態(tài)的機(jī)械能，而B部分機(jī)械能的減少量等于B部分初狀態(tài)的機(jī)械能減末狀態(tài)的機(jī)械能．例2如圖6所示，一質(zhì)量m＝0.4kg的滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))靜止于動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.1的水平軌道上的A點(diǎn)．現(xiàn)對(duì)滑塊施加一水平外力，使其向右運(yùn)動(dòng)，外力的功率恒為P＝10.0W．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后撤去外力，滑塊繼續(xù)滑行至B點(diǎn)后水平飛出，恰好在C點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧形軌道，軌道的最低點(diǎn)D處裝有壓力傳感器，當(dāng)滑塊到達(dá)傳感器上方時(shí)，傳感器的示數(shù)為25.6N．已知軌道AB的長(zhǎng)度L＝2.0m，半徑OC和豎直方向的夾角α＝37°，圓形軌道的半徑R＝0.5m．(空氣阻力可忽略，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，求：(1)滑塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)速度vC的大小；(2)B、C兩點(diǎn)的高度差h及水平距離x；(3)水平外力作用在滑塊上的時(shí)間t.解析(1)滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得FN－mg＝meq\f(v\o\al(2,D),R)滑塊由C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得mgR(1－cosα)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,D)聯(lián)立解得vC＝5m/s(2)滑塊在C點(diǎn)時(shí)，速度的豎直分量為vy＝vCsinα＝3m/s，B、C兩點(diǎn)的高度差為h＝eq\f(v\o\al(2,y),2g)＝0.45m滑塊由B運(yùn)動(dòng)到C所用的時(shí)間為ty＝eq\f(vy,g)＝0.3s，滑塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度為vB＝vCcosα＝4m/sB、C間的水平距離為x＝vBty＝1.2m(3)滑塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得Pt－μmgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)解得t＝0.4s答案(1)5m/s(2)0.45m1.2m(3)0.4s例3圖7是一個(gè)橫截面為半圓、半徑為R的光滑柱面，一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)線兩端分別系物體A、B，且mA＝2mB，從圖示位置由靜止開始釋放A物體，當(dāng)物體B到達(dá)半圓頂點(diǎn)時(shí)，求繩的張力對(duì)物體B所做的功．解析物體B到達(dá)半圓頂點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能的減少量為ΔEp＝mAgeq\f(πR,2)－mBgR，系統(tǒng)動(dòng)能的增加量為ΔEk＝eq\f(1,2)(mA＋mB)v2，由ΔEp＝ΔEk得v2＝eq\f(2,3)(π－1)gR.對(duì)B由動(dòng)能定理得：W－mBgR＝eq\f(1,2)mBv2繩的張力對(duì)物體B做的功W＝eq\f(1,2)mBv2＋mBgR＝eq\f(π＋2,3)mBgR.答案eq\f(π＋2,3)mBgR多物體機(jī)械能守恒問(wèn)題的分析方法1．對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒．2．注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系．3．列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用ΔEk＝－ΔEp的形式．突破訓(xùn)練2如圖8所示，一很長(zhǎng)的、不可伸長(zhǎng)的柔軟輕繩跨過(guò)光滑定滑輪，繩兩端各系一小球a和b.a球質(zhì)量為m，靜置于地面；b球質(zhì)量為3m，用手托住，高度為h，此時(shí)輕繩剛好拉緊．不計(jì)空氣阻力，從靜止開始釋放b后，a可能達(dá)到的最大高度為()A．h B．1.5hC．2h D．2.5h 答案B解析在b球落地前，a、b球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，且a、b兩球速度大小相等，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知：3mgh－mgh＝eq\f(1,2)(m＋3m)v2，v＝eq\r(gh)，b球落地時(shí)，a球高度為h，之后a球向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)過(guò)程中機(jī)械能守恒，eq\f(1,2)mv2＝mgΔh，Δh＝eq\f(v2,2g)＝eq\f(h,2)，所以a球可能達(dá)到的最大高度為1.5h，B正確.突破訓(xùn)練25．[機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用]山地滑雪是人們喜愛的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)．一滑雪坡由AB和BC組成，AB是傾角為37°的斜坡，BC是半徑為R＝5m的圓弧面，圓弧面和斜面相切于B點(diǎn)，與水平面相切于C點(diǎn)，如圖3所示，AB豎直高度差h＝8.8m，運(yùn)動(dòng)員連同滑雪裝備總質(zhì)量為80kg，從A點(diǎn)由靜止滑下通過(guò)C點(diǎn)后飛落(不計(jì)空氣阻力和摩擦阻力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)．求：(1)運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大??；(2)運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)軌道受到的壓力大小．答案(1)14m/s(2)3936N解析(1)由A→C過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得：mg(h＋Δh)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)又Δh＝R(1－cos37°)解得：vC＝14m/s(2)在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：FC－mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R)解得：FC＝3936N方法建模：用機(jī)械能守恒定律處理豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題能把牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，形成綜合性較強(qiáng)的力學(xué)題目，有利于考查學(xué)生的綜合分析能力及對(duì)物理過(guò)程的想象能力，是一種常見的力學(xué)壓軸題型．例4如圖9所示的是某公園設(shè)計(jì)的一種驚險(xiǎn)刺激的娛樂設(shè)施，軌道除CD部分粗糙外，其余均光滑，一挑戰(zhàn)者質(zhì)量為m，沿斜面軌道滑下，無(wú)能量損失地滑入第一個(gè)圓管形軌道．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，在最低點(diǎn)與最高點(diǎn)各放一個(gè)壓力傳感器，測(cè)試挑戰(zhàn)者對(duì)軌道的壓力，并通過(guò)計(jì)算機(jī)顯示出來(lái)．挑戰(zhàn)者到達(dá)A處時(shí)剛好對(duì)管壁無(wú)壓力，又經(jīng)過(guò)水平軌道CD滑入第二個(gè)圓管形軌道．在最高點(diǎn)B處挑戰(zhàn)者對(duì)管的內(nèi)側(cè)壁壓力為0.5mg，然后從平臺(tái)上飛入水池內(nèi)．若第一個(gè)圓管軌道的半徑為R，第二個(gè)圓管軌道的半徑為r，水面離軌道的距離為h＝2.25r，g取10m/s2，管的內(nèi)徑及人相對(duì)圓管軌道的半徑可以忽略不計(jì)．則：(1)挑戰(zhàn)者若能完成上述過(guò)程，則他至少應(yīng)從離水平軌道多高的地方開始下滑？(2)挑戰(zhàn)者從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服軌道阻力所做的功為多少？(3)挑戰(zhàn)者入水時(shí)的速度大小是多少？解析(1)挑戰(zhàn)者到達(dá)A處時(shí)剛好對(duì)管壁無(wú)壓力，可得出mg＝meq\f(v\o\al(2,A),R)設(shè)挑戰(zhàn)者從離水平軌道H高處的地方開始下滑，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)正好對(duì)管壁無(wú)壓力，在此過(guò)程中機(jī)械能守恒mgH＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＋mg·2R，解得H＝eq\f(5R,2)(2)在B處挑戰(zhàn)者對(duì)管的內(nèi)側(cè)壁壓力為0.5mg，根據(jù)牛頓第二定律得：mg－FN＝eq\f(mv\o\al(2,B),r)，挑戰(zhàn)者在從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，利用動(dòng)能定理得：mg·2(R－r)－Wf＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)聯(lián)立解得Wf＝eq\f(5,2)mgR－eq\f(9,4)mgr(3)設(shè)挑戰(zhàn)者在第二個(gè)圓管軌道最低點(diǎn)D處的速度為v，則－mg·2r＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)mv2解得v＝eq\f(3\r(2),2)eq\r(gr)挑戰(zhàn)者離開第二個(gè)圓管軌道后在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，然后做平拋運(yùn)動(dòng)落入水中，在此過(guò)程中機(jī)械能守恒，設(shè)挑戰(zhàn)者入水時(shí)的速度大小為v′，則mgh＋eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mv′2解得：v′＝3eq\r(gr)答案(1)eq\f(5R,2)(2)eq\f(5,2)mgR－eq\f(9,4)mgr(3)3eq\r(gr)對(duì)于此例，要充分理解和把握物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，明確每一個(gè)過(guò)程所遵循的物理規(guī)律，并會(huì)列出相應(yīng)的方程式．突破訓(xùn)練3如圖10所示，ABC和DEF是在同一豎直平面內(nèi)的兩條光滑軌道，其中ABC的末端水平，DEF是半徑為r＝0.4m的半圓形軌道，其直徑DF沿豎直方向，C、D可看做重合的點(diǎn)．現(xiàn)有一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從軌道ABC上距C點(diǎn)高為H的地方由靜止釋放．(g取10m/s2) (1)若要使小球經(jīng)C處水平進(jìn)入軌道DEF且能沿軌道運(yùn)動(dòng)，H至少多高？(2)若小球靜止釋放處離C點(diǎn)的高度h小于(1)中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的E點(diǎn)，求h.答案(1)0.2m(2)0.1m解析(1)小球沿ABC軌道下滑，機(jī)械能守恒，設(shè)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，則mgH＝eq\f(1,2)mv2小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在圓周最高點(diǎn)必須滿足mg≤eq\f(mv2,r) 解得H≥0.2m.(2)若h<H，小球過(guò)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)球經(jīng)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為vx，則擊中E點(diǎn)時(shí)，豎直方向上有r＝eq\f(1,2)gt2水平方向上有r＝vxt又由機(jī)械能守恒定律有mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,x)聯(lián)立可解得h＝eq\f(r,4)＝0.1m高考題組1．(2012·浙江理綜·18)由光滑細(xì)管組成的軌道如圖11所示，其中AB段和BC段是半徑為R的四分之一圓弧，軌道固定在豎直平面內(nèi)．一質(zhì)量為m的小球，從距離水平地面高為H的管口D處由靜止釋放，最后能夠從A端水平拋出落到地面上．下列說(shuō)法正確的是()A．小球落到地面時(shí)相對(duì)于A點(diǎn)的水平位移值為2eq\r(RH－2R2)B．小球落到地面時(shí)相對(duì)于A點(diǎn)的水平位移值為2eq\r(2RH－4R2)C．小球能從細(xì)管A端水平拋出的條件是H>2RD．小球能從細(xì)管A端水平拋出的最小高度Hmin＝eq\f(5,2)R答案BC解析要使小球從A點(diǎn)水平拋出，則小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度v>0，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有mgH－mg·2R＝eq\f(1,2)mv2，所以H>2R，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；小球從A點(diǎn)水平拋出時(shí)的速度v＝eq\r(2gH－4gR)，小球離開A點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有2R＝eq\f(1,2)gt2，水平位移x＝vt，聯(lián)立以上各式可得水平位移x＝2eq\r(2RH－4R2)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確．2．(2011·課標(biāo)全國(guó)·16)一蹦極運(yùn)動(dòng)員身系彈性蹦極繩從水面上方的高臺(tái)下落，到最低點(diǎn)時(shí)距水面還有數(shù)米距離．假定空氣阻力可忽略，運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()A．運(yùn)動(dòng)員到達(dá)最低點(diǎn)前重力勢(shì)能始終減小B．蹦極繩張緊后的下落過(guò)程中，彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加C．蹦極過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員、地球和蹦極繩所組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．蹦極過(guò)程中，重力勢(shì)能的改變與重力勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)答案ABC解析運(yùn)動(dòng)員到達(dá)最低點(diǎn)前，重力一直做正功，重力勢(shì)能減小，選項(xiàng)A正確．蹦極繩張緊后的下落過(guò)程中，彈力一直做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加，選項(xiàng)B正確．除重力、彈力外沒有其他力做功，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒，選項(xiàng)C正確．重力勢(shì)能的改變與重力勢(shì)能零點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．3．(2012·大綱全國(guó)·26)一探險(xiǎn)隊(duì)員在探險(xiǎn)時(shí)遇到一山溝，山溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀．此隊(duì)員從山溝的豎直一側(cè)，以速度v0沿水平方向跳向另一側(cè)坡面．如圖12所示，以溝底的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系xOy.已知，山溝豎直一側(cè)的高度為2h，坡面的拋物線方程為y＝eq\f(1,2h)x2；探險(xiǎn)隊(duì)員的質(zhì)量為m.人視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，重力加速度為g.(1)求此人落到坡面時(shí)的動(dòng)能；(2)此人水平跳出的速度為多大時(shí)，他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最小？動(dòng)能的最小值為多少？答案(1)eq\f(1,2)m(veq\o\al(2,0)＋eq\f(4g2h2,v\o\al(2,0)＋gh))(2)eq\r(gh)eq\f(3,2)mgh解析(1)設(shè)該隊(duì)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，在坡面上落點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y.由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和已知條件得x＝v0t 2h－y＝eq\f(1,2)gt2根據(jù)題意有y＝eq\f(x2,2h)根據(jù)機(jī)械能守恒，此人落到坡面時(shí)的動(dòng)能為eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mg(2h－y) 聯(lián)立解得eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)m(veq\o\al(2,0)＋eq\f(4g2h2,v\o\al(2,0)＋gh)) (2)⑤式可以改寫為eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)m[(eq\r(v\o\al(2,0)＋gh)－eq\f(2gh,\r(v\o\al(2,0)＋gh)))2＋3gh]v2取極小值的條件為上式中的平方項(xiàng)等于0，由此得v0＝eq\r(gh)此時(shí)v2＝3gh，則最小動(dòng)能為(eq\f(1,2)mv2)min＝eq\f(3,2)mgh.模擬題組4．如圖13所示，固定的傾斜光滑桿上套有一個(gè)質(zhì)量為m的圓環(huán)，圓環(huán)與豎直放置的輕質(zhì)彈簧一端相連，彈簧的另一端固定在地面上的A點(diǎn)，彈簧處于原長(zhǎng)h時(shí)，讓圓環(huán)由靜止開始沿桿滑下，滑到桿的底端時(shí)速度恰好為零．若以地面為參考面，則在圓環(huán)下滑過(guò)程中 () A．圓環(huán)的機(jī)械能保持為mghB．彈簧的彈性勢(shì)能先增大后減小C．彈簧彈力做的功為－mghD．彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，圓環(huán)的動(dòng)能和重力勢(shì)能之和最小答案CD解析圓環(huán)受到重力、支持力和彈簧的彈力作用，支持力不做功，故圓環(huán)的機(jī)械能與彈簧的彈性勢(shì)能總和保持不變，故全過(guò)程彈簧的彈性勢(shì)能變化量等于圓環(huán)的機(jī)械能變化量，C正確．圓環(huán)的機(jī)械能不守恒，A錯(cuò)誤．彈簧垂直桿時(shí)彈簧的壓縮量最大，此時(shí)圓環(huán)有向下的速度，故此時(shí)彈性勢(shì)能比末狀態(tài)的彈性勢(shì)能小．即：圓環(huán)滑到桿的底端時(shí)彈簧被拉長(zhǎng)，且彈性勢(shì)能達(dá)到最大，此時(shí)圓環(huán)的動(dòng)能為零，所以在圓環(huán)下滑過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能先增大后減小最后又增大，B錯(cuò)誤．彈簧和圓環(huán)的總機(jī)械能守恒，即Ep彈＋Ekm＋Epm＝0，當(dāng)Ep彈最大時(shí)，Ekm＋Epm必最小，故D項(xiàng)正確．5．光滑曲面軌道置于高度為H＝1.8m的平臺(tái)上，其末端切線水平；另有一長(zhǎng)木板兩端分別擱在軌道末端點(diǎn)和水平地面間，構(gòu)成傾角為θ＝37°的斜面，如圖14所示．一個(gè)可視做質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m＝1kg的小球，從光滑曲面上由靜止開始下滑(不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8)(1)若小球從高h(yuǎn)0＝0.2m處下滑，則小球離開平臺(tái)時(shí)速度v0的大小是多少？(2)若小球下滑后正好落在木板的末端，則釋放小球的高度h1為多大？(3)試推導(dǎo)小球下滑后第一次撞擊木板時(shí)的動(dòng)能與它下滑高度h的關(guān)系表達(dá)式，并在圖15中作出Ek－h(huán)圖象．圖15答案(1)2m/s(2)0.8m(3)Ek＝32.5h圖象見解析圖解析(1)小球從曲面上滑下，只有重力做功，由機(jī)械能守恒定律知：mgh0＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0) 得v0＝eq\r(2gh0)＝eq\r(2×10×0.2)m/s＝2m/s(2)小球離開平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，小球正好落在木板的末端，則H＝eq\f(1,2)gt2 eq\f(H,tanθ)＝v1t 聯(lián)立②③兩式得：v1＝4m/s又mgh1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)得h1＝eq\f(v\o\al(2,1),2g)＝0.8m(3)由機(jī)械能守恒定律可得：mgh＝eq\f(1,2)mv2小球離開平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，可看做水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，則：y＝eq\f(1,2)gt2 x＝vttan37°＝eq\f(y,x) vy＝gt veq\o\al(2,合)＝v2＋veq\o\al(2,y) Ek＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,合)mgh＝eq\f(1,2)mv2 由④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得：Ek＝32.5h考慮到當(dāng)h>0.8m時(shí)小球不會(huì)落到斜面上，其圖象如圖所示．

課后作業(yè)?題組1關(guān)于重力勢(shì)能和機(jī)械能守恒定律的理解1．關(guān)于重力勢(shì)能，下列說(shuō)法中正確的是 ()A．物體的位置一旦確定，它的重力勢(shì)能的大小也隨之確定B．物體與零勢(shì)能面的距離越大，它的重力勢(shì)能也越大C．一個(gè)物體的重力勢(shì)能從－5J變化到－3J，重力勢(shì)能減少了D．重力勢(shì)能的減少量等于重力對(duì)物體做的功答案D解析物體的重力勢(shì)能與參考面有關(guān)，同一物體在同一位置相對(duì)不同的參考面的重力勢(shì)能不同，A選項(xiàng)錯(cuò)．物體在零勢(shì)能面以上，距零勢(shì)能面的距離越大，重力勢(shì)能越大；物體在零勢(shì)能面以下，距零勢(shì)面的距離越大，重力勢(shì)能越小，B選項(xiàng)錯(cuò)．重力勢(shì)能中的正、負(fù)號(hào)表示大小，－5J的重力勢(shì)能小于－3J的重力勢(shì)能，C選項(xiàng)錯(cuò)．重力做的功等于重力勢(shì)能的變化，D選項(xiàng)對(duì)．2．置于水平地面上的一門大炮，斜向上發(fā)射一枚炮彈．假設(shè)空氣阻力可以忽略，炮彈可以視為質(zhì)點(diǎn)，則 ()A．炮彈在上升階段，重力勢(shì)能一直增大B．炮彈在空中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，動(dòng)能一直增大C．炮彈在空中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，重力的功率一直增大D．炮彈在空中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒答案AD解析炮彈在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能先減小后增大．重力的功率亦是先減小后增大，由于忽略空氣阻力，所以炮彈的機(jī)械能守恒，選項(xiàng)A、D正確．3．關(guān)于機(jī)械能是否守恒，下列說(shuō)法正確的是 ()A．做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能一定守恒B．做圓周運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能一定守恒C．做變速運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能可能守恒D．合外力對(duì)物體做功不為零，機(jī)械能一定不守恒答案C解析做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體與做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，如果是在豎直平面內(nèi)則機(jī)械能不守恒，A、B錯(cuò)誤；合外力做功不為零，機(jī)械能可能守恒，C正確，D錯(cuò)誤．4．如圖1所示，將一個(gè)內(nèi)外側(cè)均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側(cè)有一固定的豎直墻壁．現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點(diǎn)的正上方由靜止開始下落，從A點(diǎn)與半圓形槽相切進(jìn)入槽內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是 ()A．小球在半圓形槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中，只有重力對(duì)它做功 B．小球從A點(diǎn)向半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球處于失重狀態(tài)C．小球從A點(diǎn)經(jīng)最低點(diǎn)向右側(cè)最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．小球從下落到從右側(cè)離開槽的過(guò)程中，機(jī)械能守恒答案C解析小球從A點(diǎn)向半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，半圓形槽有向左運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，但是實(shí)際上沒有動(dòng)，整個(gè)系統(tǒng)只有重力做功，所以小球與槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒．而小球過(guò)了半圓形槽的最低點(diǎn)以后，半圓形槽向右運(yùn)動(dòng)，由于系統(tǒng)沒有其他形式的能量產(chǎn)生，滿足機(jī)械能守恒的條件，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．小球到達(dá)槽最低點(diǎn)前，小球先失重，后超重．當(dāng)小球向右上方滑動(dòng)時(shí)，半圓形槽向右移動(dòng)，半圓形槽對(duì)小球做負(fù)功，小球的機(jī)械能不守恒．綜合以上分析可知選項(xiàng)C正確．5．如圖2所示，輕質(zhì)彈簧的一端與固定的豎直板P拴接，另一端與物體A相連，物體A置于光滑水平桌面上(桌面足夠大)，A右端連接一細(xì)線，細(xì)線繞過(guò)光滑的定滑輪與物體B相連．開始時(shí)托住B，讓A處于靜止且細(xì)線恰好伸直，然后由靜止釋放B，直至B獲得最大速度．下列有關(guān)該過(guò)程的分析中正確的是 ()A．B物體受到細(xì)線的拉力保持不變B．B物體機(jī)械能的減少量大于彈簧彈性勢(shì)能的增加量C．A物體動(dòng)能的增量等于B物體重力對(duì)B做的功與彈簧彈力對(duì)A做的功之和D．A物體與彈簧所組成的系統(tǒng)機(jī)械能的增加量等于細(xì)線拉力對(duì)A做的功答案BD解析對(duì)A、B的運(yùn)動(dòng)分析可知，A、B做加速度越來(lái)越小的加速運(yùn)動(dòng)，直至A和B達(dá)到最大速度，從而可以判斷細(xì)線對(duì)B物體的拉力越來(lái)越大，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)能量守恒定律知，B的重力勢(shì)能的減少轉(zhuǎn)化為A、B的動(dòng)能與彈簧的彈性勢(shì)能的增加，據(jù)此可判斷B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；而A物體動(dòng)能的增量為細(xì)線拉力與彈簧彈力對(duì)A做功之和，由此可知D選項(xiàng)正確．?題組2機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用6．如圖3所示，將物體從一定高度水平拋出(不計(jì)空氣阻力)，物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離地面高度為h時(shí)，物體水平位移為x、物體的機(jī)械能為E、物體的動(dòng)能為Ek、物體運(yùn)動(dòng)的速度大小為v.以水平地面為零勢(shì)能面．下列圖象中，能正確反映各物理量與h的關(guān)系的是 ()答案BC解析設(shè)拋出點(diǎn)距離地面的高度為H，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律x＝v0t，H－h(huán)＝eq\f(1,2)gt2可知：x＝v0eq\r(\f(2H－h(huán),g))，圖象為拋物線，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；做平拋運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能守恒，故B項(xiàng)正確；平拋物體的動(dòng)能Ek＝mgH－mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤．7．如圖4所示，細(xì)繩跨過(guò)定滑輪懸掛兩物體M和m，且M>m，不計(jì)摩擦，系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 ()A．M、m各自的機(jī)械能分別守恒 B．M減少的機(jī)械能等于m增加的機(jī)械能C．M減少的重力勢(shì)能等于m增加的重力勢(shì)能D．M和m組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒答案BD解析M下落過(guò)程，繩的拉力對(duì)M做負(fù)功，M的機(jī)械能減少，A錯(cuò)誤；m上升過(guò)程，繩的拉力對(duì)m做正功，m的機(jī)械能增加；對(duì)M、m組成的系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，易得B、D正確；M減少的重力勢(shì)能并沒有全部用于m重力勢(shì)能的增加，還有一部分轉(zhuǎn)變成M、m的動(dòng)能，所以C錯(cuò)誤．8．如圖5所示，小球以初速度v0從光滑斜面底部向上滑，恰能到達(dá)最大高度為h的斜面頂部．A是內(nèi)軌半徑大于h的光滑軌道、B是內(nèi)軌半徑小于h的光滑軌道、C是內(nèi)軌直徑等于h的光滑軌道、D是長(zhǎng)為eq\f(1,2)h的輕棒，其下端固定一個(gè)可隨棒繞O點(diǎn)向上轉(zhuǎn)動(dòng)的小球．小球在底端時(shí)的初速度都為v0，則小球在以上四種情況下能到達(dá)高度h的有()圖5答案AD9．如圖6所示是全球最高的(高度為208米)北京朝陽(yáng)公園摩天輪，一質(zhì)量為m的乘客坐在摩天輪中