2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時(shí)精講第8章　§8.3　圓的方程（原卷版）

第第頁(yè)§8.3圓的方程課標(biāo)要求1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．知識(shí)梳理1．圓的定義和圓的方程定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．常用結(jié)論1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上．3．圓心在任一弦的垂直平分線上．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．()(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)為圓心，a為半徑的圓．()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()(4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.()2．以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝eq\r(2)3．若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．[－2,0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)4．下列各點(diǎn)中，在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是()A．(0,2)B．(3,3)C．(－2,2)D．(4,1)題型一圓的方程例1設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________________．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知點(diǎn)A(－2,1)，B(－1,0)，C(2,3)，M(a,2)四點(diǎn)共圓，則a＝________.(2)若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心在直線y＝－2x＋3上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑最小時(shí)，圓的方程為__________．題型二與圓有關(guān)的軌跡問題命題點(diǎn)1直接法例2已知A(－2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|＝2|MB|，則點(diǎn)M的軌跡方程是________．命題點(diǎn)2定義法例3已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，AM與圓相切，且|AM|＝2，則點(diǎn)A的軌跡方程是()A．y2＝4xB．x2＋y2－2x－2y－3＝0C．x2＋y2－2y－3＝0D．y2＝－4x命題點(diǎn)3相關(guān)點(diǎn)法例4已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡．跟蹤訓(xùn)練2已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．題型三與圓有關(guān)的最值問題命題點(diǎn)1利用幾何性質(zhì)求最值例5已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．命題點(diǎn)2利用函數(shù)求最值例6設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)．則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________．跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是()A．6B．25C．26D．36(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，求x＋y的取值范圍為________．課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)＝0的圓心坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，則半徑為()A．2B．3C．4D．52．已知點(diǎn)M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則k的取值范圍為()A．－6<k<eq\f(1,2) B．k<－6或k>eq\f(1,2)C．k>－6 D．k<eq\f(1,2)3．點(diǎn)M，N是圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對(duì)稱，則該圓的半徑等于()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．3D．94．已知圓C過點(diǎn)A(－2,0)，B(2,4)，當(dāng)圓心C到原點(diǎn)O的距離最小時(shí)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x－1)2＋y2＝10B．x2＋(y＋1)2＝10C．(x－1)2＋(y－1)2＝10D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝105．若點(diǎn)M(x，y)是圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝9上的一點(diǎn)，則x2＋2x＋y2＋4y的最小值為()A．8B．3C．－1D．－36．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點(diǎn)P引該圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，PQ的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0二、多項(xiàng)選擇題7．圓M與y軸相切，且經(jīng)過A(1,0)，B(2,1)兩點(diǎn)，則圓M可能是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝4B．(x－5)2＋(y＋3)2＝25C．(x－1)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y＋1)2＝9三、填空題8．寫出一個(gè)過原點(diǎn)，且半徑為2eq\r(2)的圓的方程________________．9．已知圓M過曲線y＝－x2＋4與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________________．四、解答題10．已知圓C的圓心在x軸上，并且過A(1,3)，B(3,3)兩點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)若P為圓C上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)M(8,0)，點(diǎn)Q滿足eq\o(PM,\s\up6(→))＝3e